Centrale Maths 2 PC 2000

Thème de l'épreuve Transformation de Legendre ; optimisation
Principaux outils utilisés analyse réelle, fonctions de plusieurs variables, algèbre linéaire et bilinéaire, topologie

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MATHÉMATIQUES // Filière PC

MATHÉMATIQUES ||

Nota : les trois parties du problème peuvent être abordées indépendamment.

Partie I - Propriétés de la transformée de Legendre

Dans toute la partie I - , I désigne un intervalle de IR et f une fonction à 
valeurs
réelles, définie sur I . On note J ( f ) l'ensemble des réels p tels que la 
fonction
définie sur I par x r--> (px -- f(x)) soit majorée ; si J ( f ) : ® , on 
définit la fonction
g sur J(f) par:

VpEUR J(f), s(p) = sup (px--f(x))

xEI

La fonction g est appelée la transformée de Legendre de f ; on note g =£"( f ) .

I.A - Exemples

Calculer la transformée de Legendre g =.5"( f ) (en précisant l'ensemble J ( f 
) ) et
tracer le graphe de g , dans les cas suivants :

I.A.1) f(x) : kx2 (ke IRî) ;] = IR.
I.A.2) f(x) : ex ;1 = IR.
I.A.3) f(x) : arctan(x) ;] : IR.

I.B - Etude générale

Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I . On suppose que J (f ) 
est
non vide.

I.B.1) Montrer que J (f ) est un intervalle : on montrera que, si a et b sont
dans J(f) , alors pour tout te [O, 1], ta + (1 --t)b appartient à J(f) .

I.B.2) Montrer que g =fif ) est convexe sur J (f ) , c'est-à-dire :
V(a, b) & J(f) > 0 .

Concours Centrale-Supélec 2000 1/5

MATHÉMATIQUES // Filière PC

Filiè ere PC

On sait que f '(I ) est un intervalle ; on note oc et B ses extrémités et l'on 
suppose
oc0) et h'(lR) = IR}. Montrer
que:

a) fÏ(%)c%.

b) Vhe%,fifih>) = h.

C) $ est une bijection de % sur % .

Partie II - Gênêralisation aux fonctions de
plusieurs variables

Soit n e N* . E désigne l'espace vectoriel euclidien IR" muni du produit 
scalaire
canonique

n
x, = x- - '
( y) 2 L yl ' xl
L=l
. ., x
s1 x : (xl, xn) & E , on note X le vecteur colonne assoc1e X = 2
x

Ainsi, si Y est le vecteur colonne associé à y e E, (x, y > = 'X Y.
Soit f une application de E dans IR ,telle que, pour tout p e E , l'application
de E dans IR définie par x |--> { p, x)--f (x) , soit majorée ; on définit 
alors la

transformée de Legendre de f, notée .£"(f ), comme étant l'application de E

dans IR définie par fif) : pl--)SU%( = 2f(p)-
1=1 '

Indication : on pourra calculer la dérivée de la fonction tr--> f (tp) .

11.4) En utilisant la question 11.8--b), déterminer pour tout p e E , un vecteur
x(p)EUR E tel que g(p) = f(x(p)).
Indication : on pourra utiliser ëe E tel que (grad F)(ë) : 0.

Partie III - Problème d'optimisation

E désigne l'espace vectoriel euclidien IR" (n & IN *) muni du produit scalaire

canonique, noté (,) et de la norme associée, notée II Il . Si x EUR E , on note 
X le vec-
. , - t

teur colonne assoc1e et par extensmn "XII : llxll : A/ XX .

Soit p un vecteur donné de E , A une matrice carrée réelle d'ordre n , symétri-
que et ayant toutes ses valeurs propres positives ou nulles.

Concours Centrale-Supélec 2000 3/5

MA THÉMA TIQUES II Filière PC

On note F l'application de E dans IR définie par :
F(x) = --'XAX = tPX--'XAX:

Une partie C de E est dite convexe si :
V(x,y)e C2, Vte [0,1], tx+(l--t)ye C.

Soit C une partie fermée, non vide, convexe, de E .

Lorsque F est majorée sur C, on s'intéresse à M , ensemble -- éventuellement
vide -- des points de C où l'application F restreinte à C atteint sa borne
supérieure :

M : {xe C | F(x)= supF(y)}.
yeC

III.A - Convexité de M

III.A.1) Soit x1 et x2 deux points de C et pour t e [O, 1] , x : tx1 + (1 
--t)x2.
Montrer que : F(x) : (1 --t)F(x2) +tF(x,) +t(1 --t) t(X1--X2)A(Xl--XZ).
III.A.2) On suppose M non vide. Montrer que M est convexe.

III.B - Cas particulier.

Dans cette seule question III.B, on suppose de plus que toutes les valeurs pro-
pres de A sont strictement positives.

III.B.1) Démontrer qu'il existe un nombre k > 0 tel que :

Vx & E 'XAXZk'XX.

III.B.2) Montrer que M est non vide.
III.B.3) Montrer que M ne contient qu'un élément.

III.C - Une caractérisation des points de M
III.C.1) Avec les mêmes notations qu'au III.A.1, montrer que :

F(x) - F(x2) : --t2. '(X1--X2)A(X1-- X2) + t . '(P-- 2AX2)(X1--X2) .
III.C.2) Montrer l'équivalence :

xe M=>Lxe C et Vye C, t(P--2AX)(Y--X)SOJ

Donner l'interprétation de la caractérisation trouvée au moyen du gradient de
F au point x .

III.B - Cas où C est borné

Dans cette question III.B, on suppose de plus que l'ensemble C est borné, con-
tenu dans la boule fermée de centre O et rayon R .

Concours Centrale-Supélec 2000 4/5

MATHÉMATIQUES // Filière PC

III.D.1) Démontrer que M est non vide.

Trouver un exemple avec F non identiquement nulle où M a une infinité d'élé-
ments.

III.D.2) Démontrer qu'il existe un réel oc tel que : Vx & E, MAX" 5 oc|le| .
III.D.3) Soit r un nombre réel strictement positif tel que :

r > sup{6ocR2, 2R(Ilpll + 2ocR)}

(où ce est défini au III.D.2).

On se propose de construire par récurrence des suites (um) , (um) de points de C
et une suite réelle (tm) telles que si U m (resp. Vm ) est le vecteur colonne 
associé
à um (resp. Um ), on a pour tout m & IN :

i) Vx & C, t(2AUm _ P)Vm s "'(2AUm _ P)X ;
ii) tm = }_ t(P--2AUm)(Vm-- Um) ;
iii) um+1 : um + zîm(vm -- um) .
On suppose donné m & IN et um & C.
a) Montrer l'existence de Um & C vérifiant la relation i).
b) Montrer que tm défini par la relation ii) est dans l'intervalle [O, 1] .

c) Montrer que u défini par la relation iii) est dans C .

m+1

Déduire des questions a), b) et c) que pour tout u0 & C , les relations i), ii) 
et iii)
permettent de définir les suites (um) , (um) et (tm) .

III.D.4) Montrer que, si (um) est la suite définie à la question III.D.3), la 
suite
(F(um)) est croissante et convergente.

Montrer qu'il existe une suite extraite de la suite (um) qui converge vers un 
élé-
ment de M .

ooo FIN 000

Concours Centrale-Supé/ec 2000 5/5

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Centrale Maths 2 PC 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Cédric Peschard (ENS Ulm) ; il a été relu par Renaud
Durand (ENS Ulm) et Théo Seffusatti (Mines Paris).

Le problème comporte trois parties indépendantes, mais liées par un thème 
commun, la transformée de Legendre (mathématicien français, 1752­1833). À une 
fonction on associe une autre fonction. Il est apparu que cette transformation 
avait des
liens avec certains domaines de recherche en sciences physiques (mécanique 
analytique, thermodynamique).
Le problème est très riche grâce à la variété des théories utilisées : analyse 
des
fonctions réelles, calcul différentiel, suites dans des espaces euclidiens, 
mais aussi
algèbre linéaire et bilinéaire ou convexité.
La première partie introduit la notion de transformée de Legendre dans le cas
d'une fonction réelle. Après l'étude de quelques exemples, les techniques 
élémentaires
de l'analyse réelle sont mises en oeuvre (majorations, dérivations, convexité) 
pour
dégager les propriétés générales de cette transformation. En particulier le cas 
de
fonctions satisfaisant certaines conditions de régularité est traité, et des 
résultats
plus précis sont démontrés.
Dans la deuxième partie, on reprend la notion de transformée de Legendre dans
le cas d'une fonction d'un espace vectoriel de dimension finie dans lui-même. 
On se
limite à des fonctions issues de l'algèbre linéaire, en fait des formes 
quadratiques.
Formes bilinéaires, diagonalisation des matrices symétriques, mais aussi calcul 
différentiel sont les principales notions utilisées.
Les questions font apparaître des analogies entre les situations des deux 
premières
parties, car ce sont en fait des résultats particuliers d'une théorie plus 
vaste.
La troisième partie s'attache à la description de parties d'un espace vectoriel 
de
dimension finie vérifiant des contraintes de maximisation issues de la 
définition de la
transformée de Legendre.
À nouveau, l'algèbre, linéaire et bilinéaire, est le principal instrument, avec 
en plus
les notions de convexité, de topologie (fermeture, compacité). Cette partie se 
conclut
par la construction d'une suite convergeant vers un point vérifiant le maximum.

Indications

Partie I

I.A.2 Distinguer plusieurs cas selon le signe de p.
I.A.3 Quelles sont les limites en + et en - de px - f (x) ?
I.B.1 La fonction correspondant à ta + (1 - t)b peut s'exprimer en fonction de
celles qui correspondent à a et b.
I.B.3 Si a 6 b, on peut comparer ax et bx lorsque x  I.
I.C.1 Rechercher d'abord x(p) en utilisant le fait que les fonctions étudiées 
sont
dérivables et en établissant le tableau de variation de F
I.C.2 Montrer que x(p) est dérivable, mais est-ce bien utile de calculer sa 
dérivée ?
I.C.3 Quelle est la pente ? Trouver un point de contact.
I.C.4.b Pour éviter des calculs compliqués, il vaut mieux revenir à la 
définition
initiale.
I.C.4.c Quelle est la réciproque de L ?

Partie II
II.1 Les matrices symétriques réelles sont diagonalisables.
II.2 Exprimer B dans une base déjà introduite.
II.3.b Suivre l'indication pour dériver la relation de la question précédente, 
puis
considérer un cas particulier de la nouvelle égalité obtenue.
--
II.3.C Appliquer l'égalité précédente au point  qui annule grad F.

Partie III
III.A.1 On peut partir de l'expression tF(x1 ) + (1 - t)F(x2 ) et écrire : x1 = 
x +
(x1 - x), et de même pour x2 .
t

III.A.2 Utiliser l'égalité précédente, et le fait que U AU > 0 pour tout U.
III.B.1 Il y a beaucoup de méthodes possibles. On peut par exemple diagonaliser
A.
III.B.2 Obtenir une majoration de F qui permette de trouver

lim

kxk+

F.

Considérer deux parties de C.
III.B.3 Soient x1 et x2 deux éléments de M. Appliquer l'égalité obtenue à la 
question III.A.1.
III.C.2 L'implication  est simple. Dans les deux cas, appliquer l'égalité 
obtenue
à la question III.C.1.
III.D.1 C est fermé et borné, il est donc ...

III.D.3.a Vm représente un extremum pour une certaine fonction.
III.D.3.b Montrer séparément : tm > 0 et tm 6 1.
III.D.4 Minorer F(um+1 ) - F(um ). Montrer d'abord que tm converge. Utiliser le
critère trouvé à la question III.C.2.

Partie I

Propriétés de la transformée de Legendre

I.A.1 La fonction F : x 7- px - kx2 est une fonction polynôme de degré 2, à
coefficient dominant négatif. Elle est donc majorée.
-p
p
=
, et vaut :
Son maximum est atteint en
-2k
2k
 p 2
p
p2
p2
p2
p
-k
=
-
=
2k
2k
2k 4k
4k
On a par conséquent :
J(f ) = R

et g(p) =

1 2
p
4k

I.A.2 La fonction F : x 7- px - ex tend vers - en +. Par contre, son 
comportement en - dépend du signe de p :
­ Si p < 0, F : px - ex tend vers + et donc la fonction
F n'est pas majorée, et p 
/ J(f ).
­ Si p = 0, -ex tend vers 0, de plus 0 majore F. Donc
0  J(f ) et g(0) = 0.
­ Si p > 0, px - ex tend vers -. La fonction étant C 1 on
peut chercher un maximum en cherchant où s'annule la
dérivée : F (x) = p - ex . La dérivée s'annule en un seul
point, ln p. Finalement,
J(f ) = R+

g(p) = p ln p - p
g(0) = 0

pour

p>0

Remarquons que la fonction est continue en 0.
I.A.3 La fonction Arctan est bornée sur R. Distinguons suivant le signe de p.
Lorsque p > 0, en +, F : px - Arctan x tend vers +, la fonction n'est pas 
majorée.
De façon analogue, si p < 0, lim F = +.
-

Dans le cas où p = 0, la fonction F(x) = - Arctan x est majorée.
J(f ) = {0}

et

g(0) =

1

2

I.B.1 Si a et b sont dans J(f ), les fonctions
Fa : x 7 ax - f (x) et

Fb : x 7 bx - f (x)

sont majorées.
Soient t  [ 0 ; 1 ] et c = ta + (1 - t)b. Exprimons la fonction Fc : x 7 cx - f 
(x)
en fonction de Fa et Fb :
Fc (x) = cx - f (x)
= (ta + (1 - t)b) x - (t + 1 - t)f (x)
= t (ax - f (x)) + (1 - t)(bx - f (x))
Fc (x) = tFa (x) + (1 - t)Fb (x)