Centrale Maths 1 PC 2016

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4 heures Calculatrices autorisées N

On utilise la fonction Gamma d'Euler P (partie I) pour calculer, en partie Il, 
une intégrale dépendant d'un
paramètre. En partie III, en liaison avec des variables aléatoires suivant une 
loi de Poisson, on détermine
l'équivalent, quand n --> +00, de sommes dépendant d'un paramètre entier n. Les 
trois parties sont largement
indépendantes.

I Autour de la fonction Gamma d'Euler

+oo

Pour oe EUR [R, on pose, lorsque cela a un sens, P(æ) : / 7î9Ü*1e*t dt.
0

LA EUR
I.A.1) Quel est le domaine de définition D de la fonction P '?

I.A.2) Pour tout x EUR 23, exprimer P(æ + 1) en fonction de x et de Nos).

En déduire, pour tout 33 EUR @ et tout n EUR IN*, une expression de P(sc + n) 
en fonction de x, n et P(æ), ainsi que
la valeur de P(n) pour tout n 2 1.

+00 +00
I.A.3) Montrer l'existence des deux intégrales / eft2 dt et / eft4 dt et les 
exprimer à l'aide de P.
0 '0

LE --
I.B.1) Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b. Montrer que, pour tout t > 0 
et tout 3: EUR la, b],

r" < max(t",tb) g ta + tb I.B.2) Montrer que P est de classe 800 sur @. Soit [EUR EUR Ù\l* et 56 EUR D. Exprimer Plk)(æ), dérivée k--ième de F au point a:, sous forme d'une intégrale. I. C * I.C.1) Montrer que P' s'annule en un unique réel EUR dont on déterminera la partie entière. I.C.2) En déduire les variations de P sur @. Préciser en particulier les limites de P en 0 et en +oo. Préciser également les limites de P' en 0 et en +oo. Esquisser le graphe de P. II Une transformée de Fourier +oo Pour 55 EUR P, on pose F(oe) : / eft tig/4 em dt, où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument 7r/ 2. 0 II.A EUR Montrer que la fonction F : R _} C est définie et de classe 600 sur R oel--àF(æ) Soit le un entier naturel non nul et soit x un réel. Donner une expression intégrale de F (I") (oe), dérivée k--ième de F en a:. Préciser F(O). II.B EUR II.B.1) Montrer qu'au voisinage de a: : 0, la fonction F peut s'écrire sous la forme F(SC) : 2 C" (133311 n=0 TL où 0" est la valeur de Gamma en un point à préciser. On exprimera en en fonction de n et de 00- 2016--04--30 16:01:14 Page 1/3 @@ BY--NC-SA Quel est le rayon de convergence de la série entière qui apparaît au second membre de (S) '? II.B.2) On admet que P(æ) ... 2mlH/2) ef m-->+oo

Étudier si la série du second membre de (S) converge absolument lorsque |3:| :
II.B.3) Soit R(æ) la partie réelle et [(m) la partie imaginaire de F(æ).
Déterminer, au voisinage de O, le développement limité de R(æ) à l'ordre 3 et 
de [(cc) à l'ordre 4.

II.C+

II.C.1) Prouver que F vérifie sur [R une équation différentielle de la forme F' 
+A F : 0, où A est une fonction
a préciser.
II.C.2) En déduire une expression de F (x)

1 .
On pourra commencer par dériver la fonction x H _Ë ln(1 + 552) + îarctanæ.

III Autour de la loi de Poisson

Dans cette partie, A désigne un réel strictement positif.

On rappelle qu'une variable aléatoire X, à valeurs dans IN, suit la loi de 
Poisson ?(À) de paramètre )\ si, pour
tout 71 EUR N :

Pour tout sous--ensemble A de [R, P(X EUR A) désigne la probabilité de 
l'événement X *1(A).

On note G t : E tx : P X : le tk série génératrice de la variable aléatoire X .
X
k=0

III.A + Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson ?(À).

III.A.1) Déterminer GX(t).
III.A.2) Calculer l'espérance E(X ), la variance V(X ) et l'écart type de X.

III.A.3) Soit ;L un réel strictement positif. Soit Y une variable aléatoire 
suivant la loi de Poisson ?(u) et telle
que X et Y soient indépendantes. Déterminer la loi de X + Y.

III.B + Soit (X")7121 une suite de variables aléatoires mutuellement 
indépendantes, de 101 ?(À). On rappelle
que, quels que soient les entiers 1 EUR il < [2 < < ik et les intervalles Il, [2,...Ik de [R P(X,l EUR I,, X,2 EUR 12, X,-k EUR Ik) =HP( (X EUR 1...) j=1 III. B. 1) Pour tout entier n> 1, déterminer la loi de S,, -- X1 + X2 + + X.

S' --nÀ
III.B.2) Déterminer l'espérance et l'écart type des variables aléatoires S,, et 
T" : "Î.
n

III.B.3) Montrer que, pour tout 5 > 0, il existe un réel c(£) tel que, si c ; 
c(e) et n EUR N*, on a P(|T,,| ; c)

//\
...

III.C + Dans cette sous--partie, on fixe deux réels @ et b tels que a < b. Pour tout entier n> 1 tel que a + Vn À> 0, on pose

In:{kEURN|nÀ+aVnÀ 0 tel que f soit une fonction M 
--l1psch1tz1enne.
III.C.2)

a) Montrer que, si oe, h EUR [? et [L > 0, alors |hf(æ )--/+h f(t )dt|< 2016--04--30 16:01:14 Page 2/3 @c) BY--NC-SA b ) En déduire, lorsque 1" est non vide, une majoration de où p est le plus petit élément de In et q est le plus grand. 0) Montrer que &: k III.C.3) Pour tout [EUR EUR ]... on note ka71 : < -- % nÀ) exp(æk7n\/nÀ). Soit 6 > O. Démontrer l'existence d'un entier N (5) tel que, pour tout n 2 N 
(5) et tout [EUR EUR [... les inégalités
suivantes soient satisfaites :

)1--5 1 +oo EUR

17) (1 -- EUR)f(flîk,n) < yz... < (1 + 6)f(flîk,n)- . ,. ; . (nÀ)k fn)\ III.C.4) Exprimer, sous forme d mtegrale, ngmoe1OEîl: 14! e . { b) et Z P(Sn : k), où S" et Tn sont définies en IH.B. keln III.C.5) Comparer P(a EUR T n III.C.6) Déterminer les limites, quand n --> +00, de

P(Tn } a), P(T : a), P(T > a) et P(T

TL

III.D +

+00

III.D.1) Déduire de la question 111.06) la valeur de / f(x) dx.

III.D.2) Déterminer un équivalent, lorsque n --> +00, de

lnÀl +00 .
 1.
n-->+oo n-->+oo

III.E + On suppose À < 1. nÀ III.E.1) Déterminer lim ((nÀ)"/ (nÀ -- lE)"et dt) . 'Ilù) 00 0 III.E.2) En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, en déduire un équivalent de D" quand n --> +00.

III .F + Si À > 1, déterminer un équivalent de On lorsque n --> +00.
0

Considérer l'intégrale --| (r --1î)"et dt et choisir convenablement le réel r.
n.
*00

oooFlNooo

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