Centrale Maths 1 PC 2014

Thème de l'épreuve Propriétés de la matrice jacobienne
Principaux outils utilisés calcul différentiel, équations différentielles, réduction, intégrales à paramètre
Mots clefs jacobien, jacobienne, jacobienne orthogonale, jacobienne symétrique

Corrigé

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Mathématiques 1 :
._ä PC °

4 heures Calculatrices autorisées N

Notations et conventions

-- Dans ce problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2.

-- On confond vecteur de [R" et matrice colonne correspondante, ce qui permet 
des écritures du type Am où A
est une matrice carrée réelle de taille n et m un élément de [R".

-- Si f est une fonction de classe C1 de [R" dans IR" et si a: est un élément 
de IR", on note

f(x) = (f1($):f2(flî% "'7fn(x))

ce qui, compte tenu de la convention précédente, s'écrit aussi

f 1 (m)
f(x) = f2Ë'"
f.koe)
Si i et j sont deux entiers de [[l,n]], la j--ème dérivée partielle de f,- en 
a: est notée Djfi(oe) ou 3? (x).

]
-- Le déterminant d'une matrice carrée A est noté det(A).

-- Avec les notations précédentes, on appelle matrice jacobienne de f en m et 
on note J f(x) la matrice carrée
réelle de taille n dont le terme situé sur la i--ème ligne et la j--ème colonne 
est Djfl(x).

-- On appelle jacobien de f en a: et on note jacf(x), le déterminant det(Jf 
(x)) de la matrice jacobienne J f (x).

-- On appelle divergence de f en a: et on note divf(oe), la trace de la matrice 
jacobienne J f(x) On a donc

divf(oe) = tr(Jf(oe)) = ËDifi(x)

Les quatre parties sont pour une large part indépendantes les unes des autres.

I Une interprétation du jacobien

I.A -- Soit A une matrice carrée réelle de taille n et b un élément de [R". 
Soit f l'application de [R" dans [R"
définie par

VOEEIR" f(x):Aæ+b

Montrer que f est de classe C1 et préciser sa matrice jacobienne J f(x) en tout 
point m de IR".

LB -- Dans cette section, 9 désigne une fonction de classe C1 de [R" dans IR.
On fixe un élément a = (al,a2, ...,an) de [R".
Soit cp la fonction de [R dans IR définie par

(p(t) : g(ta) : g(talvta2a "'7tan)

I.B.1) Justifier que cp est de classe C1 sur IR et, pour tout réel t, donner 
cp'(t).
I.B.2) En déduire qu'au voisinage de 0

9(ta) = 9(0) + t(alDlg(0) + a2D29(0) + + anDn9(0)) + 000
LG -- Dans cette section, f désigne une fonction de classe C1 de IR" dans IR" 
vérifiant f (0) = 0.
Pour t réel et j entier de [[l,n]], on note tj l'élément (O, ..., 0, t, 0, ..., 
O) de IR", le réel t étant situé au rang j.

1.0.1) On admettra que si des fonctions (t) = det(fi1(t), 502(t)7 
tl--I>Id det(t1, ...,tn)

= jac,<0>

I.C.3) Dans le cas n = 2 (respectivement 71. = 3), donner une interprétation 
géométrique de la valeur absolue
du jacobien de f en 0 a l'aide d'aires de parallélogrammes (respectivement 
volumes de parallélépipèdes).

II Une interprétation de la divergence dans un cas particulier

On désigne par A une matrice réelle carrée de taille 2 et on pose, pour tout 
516 dans IR2, f (ac) : Aoe.

II.A -- Pour 513 dans IRZ, exprimer div f(ÇÛ) a l'aide de A seulement.

Pour (L dans IRZ, on note ua(t) la solution sur IR du problème de Cauchy
X ' : AX, X (0) = &
Autrement dit, ua est l'unique fonction Cl de IR dans IR telle que ua(0) : a 
et, pour tout réel t, uâ(t) : Aua(t).

II .B -- Dans cette section et la suivante, on suppose A diagonale de la forme
. /\ 0
A : dlag<)'l7 /\2) = ( 01 À2)

II.B.1) Que vaut ua(t) ?

II.B.2) Soit 0 et 19 deux éléments de |R2 et soit t un réel. Montrer que
det(ua(t)7 ub(t)) = EURXP(t dîVf(a)) det(ua(0)7 ub(0))

II.B.3) Utiliser le résultat précédent pour interpréter le signe de divf(a) en 
termes de sens de variation de
l'aire d'un certain parallélogramme comme fonction de t.

II.C -- Eoeemple
On suppose toujours que A : diag()... À2).

II.C.1) On pose 0 = (01,02) et ua(t) : (oe1(t),oe2(t)). On suppose que /\1 # 0 
et al > 0. Déterminer une
fonction 6a telle que oe2(t) : 9a(oe1(t)) pour tout réel t.

II.C.2) Dans cette question, a = (2,1) et b = (1,2).

Pour chacun des cas suivants, illustrer sur une même figure les courbes 
représentatives des fonctions 9... Gb et
9a+b, ainsi que les parallélogrammes de sommets (0,0), ua(t), ub(t) et ua(t) + 
ub(t) pour t = 0 et une valeur de
t strictement positive.

b) À1=1etÀ2=--2.
II.D --
II.D.1) Reprendre les questions II.B.1 et 11.132 dans le cas où A est 
triangulaire de la forme

A=(è ?)

det(ua(t)a ub(t)) = eXp(t dîvf(a)) det(ua(0)a ub(0))

II.B.2) Montrer que la relation

est valable lorsque la matrice A possède un polynôme caractéristique scindé sur 
IR.

II.D.3) Étendre ce résultat au cas d'une matrice réelle 2 >< 2 quelconque.

2014-02-08 18:10:56 Page 2/3 OE=C BY-NC-SA

III Matrice jacobienne symétrique, antisymétrique

Dans le début de cette partie f est une fonction de classe 02 de IR" dans 
lui--même.
Si :U est un élément de IR", on note toujours

f1(oe)
a:
f<æ> = ,f2<æ>, ...f..<æ>> = f2É )
f...(OE)
Si 72, j et [{ sont trois entiers de [[17 n]], la dérivée partielle seconde de 
fk en :U par rapport aux variables :ci et 507-
82
est notée Di,jfk(OE) ou ÔæiâÊj (a:), ou encore ij(oe).

III.A -- Justifier que, pour tout x dans IR" et tous i, j et k dans [[l,n]], on 
a zjk(oe) : fj7zk(oe).

III.B -- Dans cette section, on suppose que la matrice jacobienne J f(oe) est 
antisymétrique pour tout x dans
IR".

III.B.1) Montrer que pour tout a: dans HQ", et tous 71, j et [EUR dans [[l,n]], 
fz',j,k(OE) : --fijkjj(aÿ).

(cc) : O.

III.B.3) Montrer qu'il existe une matrice carrée réelle A de taille 71. et un 
élément () de IR" tels que pour tout
:U dans IR", f(oe) : Acc + b.

Justifier que A est antisymétrique.

III.B.2) En déduire que, pour tout oe dans IR" et tous 71, j et [EUR dans 
[[l,n]], on a ...-gk

III.B.4) Soit f une fonction de classe C2 de IR" dans lui--même. À quelle 
condition nécessaire et suffisante
portant sur f, la matrice jacobienne J f(oe) est--elle antisymétrique pour tout 
a: dans IR" ?

III.C -- Maintenant f est une fonction de classe Cl de IR" dans lui--même.
Montrer que la matrice jacobienne J f(ÇÛ) est symétrique pour tout x dans IR" 
si et seulement si il existe 9 de
classe 02 sur IR" à valeurs dans IR telle que

VOE EUR |Rn7 W EUR [l17nll7 fi(æ) : DiÿfïÜ)

%

n 1
On pourra considérer l'application g définie par g(æ) : Zæz/ fZ-(tæ) dt et on 
exprimera Dig(æ) sous
=1 0

forme d'une seule intégrale.

IV Matrice jacobienne orthogonale

Dans cette partie, f est une fonction de classe 02 de IR" dans lui--même.

On considère la proposition

($") Pour tout a: de HQ", la matrice jacobienne J f(oe) de f est orthogonale.

Pour $ dans IR" et 73, j, [EUR dans [[l,n]], on note

ai'j'k
			

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Centrale Maths 1 PC 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Juliette Brun-Leloup (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (ENS Cachan).

Ce sujet est consacré au calcul différentiel. Il propose d'établir des liens 
entre la
matrice jacobienne d'une fonction d'une part, et l'expression de cette fonction 
ou
certaines de ses propriétés d'autre part. Le sujet est composé de quatre 
parties.
· La première partie introduit le jacobien de la fonction f : x 7- Ax + b où
la variable x et b sont deux vecteurs de Rn et A une matrice carrée réelle
de taille n. Des calculs classiques mais fondamentaux sont demandés ; ils sont
réutilisés dans chacune des parties suivantes.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse à des propriétés vérifiées par les 
solutions
du problème de Cauchy X = AX, X(0) = a avec A une matrice carrée réelle de
taille 2 et a  R2 . On étudie successivement les cas d'une matrice A diagonale,
puis triangulaire, puis quelconque.
· La troisième partie fournit une caractérisation d'une fonction de classe C 2
sur Rn dont la matrice jacobienne en tout point de Rn est antisymétrique.
On fait ensuite de même pour une matrice symétrique.
· Dans la quatrième partie, on montre une caractérisation d'une fonction de
classe C 2 sur Rn dont la matrice jacobienne est orthogonale en tout point
de Rn .
Le sujet est intéressant et permet d'aborder des techniques de calcul 
différentiel
pas toujours bien maîtrisées. Sa progression n'est guère graduelle : les deux 
premières
parties sont tout à fait accessibles tandis que les deux dernières sont 
beaucoup plus
techniques. Comme souvent, investir deux minutes au début de l'épreuve pour 
parcourir et évaluer l'énoncé permettait d'optimiser la gestion du temps : il 
fallait ici
traiter rapidement les parties 1 et 2 afin de réserver l'essentiel du temps aux 
parties 3
et 4, a priori plus rémunératrices.

Indications
Partie I
I.B.1 Interpréter  comme une composée de fonctions.
I.B.2 Utiliser le théorème de Taylor-Young.
I.C.1 En remarquant que tj = tej avec ej le j e vecteur de la base canonique de 
Rn ,
établir l'égalité f (tj ) = tDj f (0) + tj (t) avec j une fonction continue sur 
R
et s'annulant en zéro. Conclure par multilinéarité et en utilisant la continuité
de la fonction  fournie par l'énoncé.
Partie II
y

II.C.1 Utiliser le fait que e xy = (e x ) pour (x, y)  R2 .
II.D.1 Pour la résolution de X = AX, commencer par déterminer la solution de
l'équation en la deuxième coordonnée puis injecter la solution dans la première 
équation pour en faire une équation avec second membre.
II.D.2 Montrer que pour A et B matrices réelles semblables, la relation 
souhaitée
est vérifiée pour A si et seulement si elle l'est pour B. Conclure à l'aide des
cas particuliers précédents.
II.D.3 Observer que le seul cas non couvert par l'étude précédente est celui 
d'une
matrice admettant deux valeurs propres complexes conjuguées et donc distinctes. 
Puis remarquer que les calculs de la question II.D.2 se déroulent à
l'identique dans C.
Partie III
III.B.2 Utiliser successivement les relations des questions III.A et III.B.1.
III.B.3 Utiliser la caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert 
convexe
de Rn puis considérer la fonction h(x) = f (x) - Ax avec A une matrice bien
choisie.
III.B.4 La question III.B.3 fournit une condition nécessaire, étudier si cette 
condition est suffisante.
III.C En supposant Jf (x) symétrique pour tout x  Rn , introduire la fonction g
suggérée par l'énoncé. Vérifier les hypothèses de dérivation sous l'intégrale à
l'aide d'une domination locale puis calculer Dj g pour j  [[ 1 ; n ]] et 
procéder
à une intégration par parties.

Partie IV
IV.A.1 Remarquer que les vecteurs colonnes de Jf (x) pour x  Rn forment une base
orthonormée de Rn puis procéder par dérivation.
IV.A.2 Utiliser successivement les résultats de la question IV.A.1 en procédant
comme à la question III.B.2.
t

IV.A.3 Reconnaître le produit matriciel Jf (x) X dans la relation précédente
 en
posant X matrice colonne dont la pe ligne contient  2 fp /(xj xk ) (x).
Puis utiliser le résultat de la question III.B.3.
IV.B La question IV.A.3 fournit une condition nécessaire, étudier si cette 
condition est suffisante.
IV.C Si Jf (x) est orthogonale pour tout x  Rn , utiliser les résultats établis 
au
cours de la question IV.A.3 et procéder à des changements dans l'ordre de
sommation de l'expression de gf . Pour la réciproque, étudier le cas où
g(x) = xp avec p  [[ 1 ; n ]] puis g(x) = xp xq avec (p, q)  [[ 1 ; n ]]2 .

I. Une interprétation du jacobien
I.A Notons A = ai,j

(i,j)[[ 1 ; n ]]2

. Pour i  [[ 1 ; n ]], on a

x = (x1 , . . . , xn )  Rn

fi (x) =

n
P

ai,j xj + bi

j=1

Ainsi, les fonctions coordonnées fi sont polynomiales donc de classe C 1 sur Rn 
.
Par dérivation, on a
fi
(i, j)  [[ 1 ; n ]]2
Dj fi (x) =
(x) = ai,j
xj
f  C 1 (Rn , Rn ) et x  Rn

Par suite

Jf (x) = A

I.B.1 Soit (a1 , . . . , an )  Rn et posons
t  Rn

(t) = (1 (t), . . . , n (t)) = (ta1 , . . . , tan )

La fonction  est de classe C 1 sur R puisque chacune de ses fonctions 
coordonnées i
l'est. Comme  = g  , on en déduit que  est de classe C 1 sur R comme composée
de fonctions de classe C 1 . Par dérivation, il vient
n 
P
g
i
 (t) =
(t) ×
((t))
xi
i=1 t
On conclut
  C 1 (R, R) et t  R

 (t) =

n
P

ai

i=1

n
P
g
(ta) =
ai Di g(ta)
xi
i=1

I.B.2 D'après le théorème de Taylor-Young, comme  est de classe C 1 sur R,
elle admet en particulier un développement limité à l'ordre 1 en 0 :
(t) = (0) + t (0) + o(t)
Avec le résultat établi à la question précédente, il s'ensuit au voisinage de 
zéro
g(ta) = g(0) + t (a1 D1 g(0) + . . . + an Dn g(0)) + o(t)
I.C.1 Soit i  [[ 1 ; n ]]. En utilisant le résultat établi ci-avant, on trouve 
au voisinage
de zéro
f (ti ) = f (0, . . . , 0, t, 0, . . . , 0)

(1)

= f (0) + t(0 × D1 f (0) + . . . + 1 × Di f (0) + . . . + 0 × Dn f (0)) + o(t)
f (ti ) = tDi f (0) + o(t)
Pour t réel, posons

 1 [f (t ) - tD f (0)]
i
i
i (t) = t
0

si t 6= 0
si t = 0

La fonction i est continue sur R comme quotient de fonctions continues dont le
dénominateur ne s'annule pas. Puis d'après l'égalité (1), on a
1
i (t) = o(t) = o(1) --- 0 = i (0)
t0
t