Centrale Maths 1 PC 2014

Mathématiques 1 :
._ä PC °

4 heures Calculatrices autorisées N

Notations et conventions

-- Dans ce problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2.

-- On confond vecteur de [R" et matrice colonne correspondante, ce qui permet 
des écritures du type Am où A
est une matrice carrée réelle de taille n et m un élément de [R".

-- Si f est une fonction de classe C1 de [R" dans IR" et si a: est un élément 
de IR", on note

f(x) = (f1($):f2(flî% "'7fn(x))

ce qui, compte tenu de la convention précédente, s'écrit aussi

f 1 (m)
f(x) = f2Ë'"
f.koe)
Si i et j sont deux entiers de [[l,n]], la j--ème dérivée partielle de f,- en 
a: est notée Djfi(oe) ou 3? (x).

]
-- Le déterminant d'une matrice carrée A est noté det(A).

-- Avec les notations précédentes, on appelle matrice jacobienne de f en m et 
on note J f(x) la matrice carrée
réelle de taille n dont le terme situé sur la i--ème ligne et la j--ème colonne 
est Djfl(x).

-- On appelle jacobien de f en a: et on note jacf(x), le déterminant det(Jf 
(x)) de la matrice jacobienne J f (x).

-- On appelle divergence de f en a: et on note divf(oe), la trace de la matrice 
jacobienne J f(x) On a donc

divf(oe) = tr(Jf(oe)) = ËDifi(x)

Les quatre parties sont pour une large part indépendantes les unes des autres.

I Une interprétation du jacobien

I.A -- Soit A une matrice carrée réelle de taille n et b un élément de [R". 
Soit f l'application de [R" dans [R"
définie par

VOEEIR" f(x):Aæ+b

Montrer que f est de classe C1 et préciser sa matrice jacobienne J f(x) en tout 
point m de IR".

LB -- Dans cette section, 9 désigne une fonction de classe C1 de [R" dans IR.
On fixe un élément a = (al,a2, ...,an) de [R".
Soit cp la fonction de [R dans IR définie par

(p(t) : g(ta) : g(talvta2a "'7tan)

I.B.1) Justifier que cp est de classe C1 sur IR et, pour tout réel t, donner 
cp'(t).
I.B.2) En déduire qu'au voisinage de 0

9(ta) = 9(0) + t(alDlg(0) + a2D29(0) + + anDn9(0)) + 000
LG -- Dans cette section, f désigne une fonction de classe C1 de IR" dans IR" 
vérifiant f (0) = 0.
Pour t réel et j entier de [[l,n]], on note tj l'élément (O, ..., 0, t, 0, ..., 
O) de IR", le réel t étant situé au rang j.

1.0.1) On admettra que si des fonctions (t) = det(fi1(t), 502(t)7 
tl--I>Id det(t1, ...,tn)

= jac,<0>

I.C.3) Dans le cas n = 2 (respectivement 71. = 3), donner une interprétation 
géométrique de la valeur absolue
du jacobien de f en 0 a l'aide d'aires de parallélogrammes (respectivement 
volumes de parallélépipèdes).

II Une interprétation de la divergence dans un cas particulier

On désigne par A une matrice réelle carrée de taille 2 et on pose, pour tout 
516 dans IR2, f (ac) : Aoe.

II.A -- Pour 513 dans IRZ, exprimer div f(ÇÛ) a l'aide de A seulement.

Pour (L dans IRZ, on note ua(t) la solution sur IR du problème de Cauchy
X ' : AX, X (0) = &
Autrement dit, ua est l'unique fonction Cl de IR dans IR telle que ua(0) : a 
et, pour tout réel t, uâ(t) : Aua(t).

II .B -- Dans cette section et la suivante, on suppose A diagonale de la forme
. /\ 0
A : dlag<)'l7 /\2) = ( 01 À2) II.B.1) Que vaut ua(t) ? II.B.2) Soit 0 et 19 deux éléments de |R2 et soit t un réel. Montrer que det(ua(t)7 ub(t)) = EURXP(t dîVf(a)) det(ua(0)7 ub(0)) II.B.3) Utiliser le résultat précédent pour interpréter le signe de divf(a) en termes de sens de variation de l'aire d'un certain parallélogramme comme fonction de t. II.C -- Eoeemple On suppose toujours que A : diag()... À2). II.C.1) On pose 0 = (01,02) et ua(t) : (oe1(t),oe2(t)). On suppose que /\1 # 0 et al > 0. Déterminer une
fonction 6a telle que oe2(t) : 9a(oe1(t)) pour tout réel t.

II.C.2) Dans cette question, a = (2,1) et b = (1,2).

Pour chacun des cas suivants, illustrer sur une même figure les courbes 
représentatives des fonctions 9... Gb et
9a+b, ainsi que les parallélogrammes de sommets (0,0), ua(t), ub(t) et ua(t) + 
ub(t) pour t = 0 et une valeur de
t strictement positive.

b) À1=1etÀ2=--2.
II.D --
II.D.1) Reprendre les questions II.B.1 et 11.132 dans le cas où A est 
triangulaire de la forme

A=(è ?)

det(ua(t)a ub(t)) = eXp(t dîvf(a)) det(ua(0)a ub(0))

II.B.2) Montrer que la relation

est valable lorsque la matrice A possède un polynôme caractéristique scindé sur 
IR.

II.D.3) Étendre ce résultat au cas d'une matrice réelle 2 >< 2 quelconque. 2014-02-08 18:10:56 Page 2/3 OE=C BY-NC-SA III Matrice jacobienne symétrique, antisymétrique Dans le début de cette partie f est une fonction de classe 02 de IR" dans lui--même. Si :U est un élément de IR", on note toujours f1(oe) a: f<æ> = ,f2<æ>, ...f..<æ>> = f2É )
f...(OE)
Si 72, j et [{ sont trois entiers de [[17 n]], la dérivée partielle seconde de 
fk en :U par rapport aux variables :ci et 507-
82
est notée Di,jfk(OE) ou ÔæiâÊj (a:), ou encore ij(oe).

III.A -- Justifier que, pour tout x dans IR" et tous i, j et k dans [[l,n]], on 
a zjk(oe) : fj7zk(oe).

III.B -- Dans cette section, on suppose que la matrice jacobienne J f(oe) est 
antisymétrique pour tout x dans
IR".

III.B.1) Montrer que pour tout a: dans HQ", et tous 71, j et [EUR dans [[l,n]], 
fz',j,k(OE) : --fijkjj(aÿ).

(cc) : O.

III.B.3) Montrer qu'il existe une matrice carrée réelle A de taille 71. et un 
élément () de IR" tels que pour tout
:U dans IR", f(oe) : Acc + b.

Justifier que A est antisymétrique.

III.B.2) En déduire que, pour tout oe dans IR" et tous 71, j et [EUR dans 
[[l,n]], on a ...-gk

III.B.4) Soit f une fonction de classe C2 de IR" dans lui--même. À quelle 
condition nécessaire et suffisante
portant sur f, la matrice jacobienne J f(oe) est--elle antisymétrique pour tout 
a: dans IR" ?

III.C -- Maintenant f est une fonction de classe Cl de IR" dans lui--même.
Montrer que la matrice jacobienne J f(ÇÛ) est symétrique pour tout x dans IR" 
si et seulement si il existe 9 de
classe 02 sur IR" à valeurs dans IR telle que

VOE EUR |Rn7 W EUR [l17nll7 fi(æ) : DiÿfïÜ)

%

n 1
On pourra considérer l'application g définie par g(æ) : Zæz/ fZ-(tæ) dt et on 
exprimera Dig(æ) sous
=1 0

forme d'une seule intégrale.

IV Matrice jacobienne orthogonale

Dans cette partie, f est une fonction de classe 02 de IR" dans lui--même.

On considère la proposition

($") Pour tout a: de HQ", la matrice jacobienne J f(oe) de f est orthogonale.

Pour $ dans IR" et 73, j, [EUR dans [[l,n]], on note

ai'j'k