Centrale Maths 1 PC 2009

Thème de l'épreuve Séries factorielles
Principaux outils utilisés fonctions de la variable réelle, séries entières, interversions de séries et d'intégrales
Mots clefs séries de fonctions, séries numériques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


Concours Centrale - Supélec 2009

Épreuve :

MATHÉMATIQUES I

Filière

PC

Les calculatrices sont autorisées.
Le problème porte sur l'étude des séries factorielles, séries de fonctions de la
forme
n!
2 a"x(x+ 1)(x+2)...(x+n)°

nzO

Les parties I et Il traitent d'un exemple. Les parties III, IV et V, 
indépendantes
des deux premières, ont pour objet l'étude de propriétés de la somme d'une série
factorielle convergente sur l'intervalle ]O, +oo[ '.

Partie I - Préliminaires
I.A - Pour tout entier p naturel non nul, on pose :

l

VnE]N*,u(n'p)=m

I.A.1) Montrer que la série 2 u(n, p) est convergente.
I.A.2) On pose : " 21

+00

o(p) = 2 u(n, p)

n = 1
Calculer 0(1) .
I.A.3) Pour p a 2 , et pour n quelconque dans IN* ,
exprimer u(n, p -- 1) -- u(n + 1, p -- 1) en fonction de p et u(n, p) .

I.A.4) En déduire la valeurde o( p) en fonction de p , pour p 2 2 .

I.B - Soient q un entier 2 2 et N un entier naturel a 1 .
Donner une majoration du reste

...

1

R(N,q) = 2 --q
n=N+ln

en le comparant à une intégrale.

Partie II - Un exemple d'accélération de la convergence

II.A -

II. A. 1) Montrer par récurrence l'existence de trois suites (ap ), (bp ) et 
(cp )
d'entiers naturels définies pour p 2 2 telles que, pour tout réel x strictement
positif et pour tout entier p on ait:

p b
13 _ 2 __IÎk__Î+_ä___filcp__
_x k=2x(x+ _)---(x+ ) x(x+l)(x+2)...(x+p)
II.A.2) Exprimer ap+1, bp+1 et cp+1 àl'aide dep, b_p et cp.

_II.A.3) Montrer que : Vp ; 2, bp ch z 0.
II.A.4) Calculer ap , bpc , p pour p-- _ 2, 3 et 4.

II.B - On_ désire calculer une valeur décimale approchée de

+00

c<3>= }j--%

n : ln
avec une erreur inférieure ou égale à 8 = 5 - 10"5
II.B.1) En utilisant LB, déterminer un entier naturel N suffisant pour que

Î -% soit inférieur à e.
n = N + ln
II.B.2) Donner un majorant simple de :
+°° b 4n + c4
n =%+1n3(n +1)...(n +4)
et montrer, à l'aide de tout ce qui précède, comment calculer Ç(3) pour la même

valeur de e avec une valeur de N moins grande que celle trouvée à la
question II. B. 1. '

II.B.3) Donner une valeur décimale approchée a a près (par défaut) de Ç(3) en
utilisant ce qui précède.

Partie III - Séries factorielles

III.A -
III.A.1) Pour tout entier naturel n et pour tout réel x strictement positif, on
pose :

n! 1

_ _ _ u,.(x)
un(x) -- m , Un(x) -- (n+1)x , wn(x) -- vn(x) -

Montrer que la série de terme général

ln( wn(x)

' ) , définie pour n 2 1 , est convergente.
wn -- 1 (x) '

III.A.2) En déduire qu'il existe l(x) (dépendant de x et strictement positif) 
tel
que :
un(x)

n1--1->n}-oe Un(x) : l(x) .

III.B - Soit (an)

n 2 0 une suite de complexes et x un réel strictement positif.

. Montrer que la série 2 anun(x) est absolument convergente (en abrégé AC) si
n 2 0

et seulement si la série 2 anvn(x) est AC.
' n 2 0 /

III.C - On désigne désormais par % l'ensemble des suites (an)n 2 0 indexées par}

_]N telles que la série 2 anun(x) soit AC pour tout réel x strictement positif.
n 2 0

Soit a : (aé)n 2 0 un élément de % , montrer que :
III.C.1) la fonction fa définie par: '

x+-->fa(x) : 2 anun(x)
n=O ...

est continue sur l'intervalle ]O, +oo[ .
III.C.2) la fonction fa tend vers 0 en +oe.

III.D -

III.D.1) Donner un exempled'un élément a de % avec an non nul pour tout
entier n .

III.D.2) Donner un exemple d'une suite (an)n 2 0 qui ne soit pas un élément de

.Q/.

III.E - Soit a un élément de % .
III.E.1) Montrer que, pour tout entier n la fonction x l--> un(x) est de classe 
C1
sur l'intervalle ]0, +00[ et que :

Vx > 0 ,. |u'n(x)| s un(x)(l + ln(1 + E))

x x

III.E.2) En déduire que la fonction f a est de classe C1 sur l'intervalle ]0, 
+oo[ .

N.B. On dira alors que la fonction f a est développable en série factorielle 
(sous-
entendu ici sur ]0, +oo[ et en abrégé DSFA) et on admettra qu'un tel développe-
ment est unique. '

Partie IV - Représentation intégrale
IV.A -
IV.A.1) Soit n un entier naturel. On pose :

= n
Vk=0...n,Pk= H (X+i).
. i = 0, i : k
Montrer que les polynômes Pk forment une base de l'espace vectoriel ]Rn[X ] des
polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n .

IV.A.2) En déduire qu'il existe des rationnels indépendants de x notés
a0,a1, ...an tels que:

n
n' 0'k

' x(x+ 1)(x+ê)...(x+n) : k=0ka°

Vx>0

Exprimer ak en fonction de k et n .

IV.B - Montrer, pour x > 0 et k entier naturel, l'existence de l'intégrale :

1 _ k
f0(l--y)x " dy

: et calculer sa valeur en fonction de k et x.
IV.C - Montrer que :

Vx>O VnEURlN f1(1--y)x'1yndy=_L_.
' ' 0 x(x+l)...(x+n)

En déduire que, pour tout élément a de % , on a : '

+00
1 _
Vx>0,fa_(x) = 2anfo(1--y)x lyndy.
n=O _

IV.D- Soit a un élément de %.

IV.D.1) Montrer que la série entière 2 an y a un rayon de convergence supé-
rieur ou égal a 1. n 2 0

On note % la fonction définie sur [O, 1[ par :

IV.D2) Montrer que la fonction x +-->fà(l --y)x" 1q>a(y)dy est définie sur ]0, 
+oo[ ,

DSFA sur ce même intervalle et égale à fa .

Partie V - Dérivabilité d'une série factorielle
V.A - On reprend les notations des parties III et IV.

V.A.1) Montrer que la fonction x 1--9 fa(x) est dérivable sur l'intervalle ]O, 
+oo[
et que :

Vx>O. f'a(x) = fà<1--y>x'lq>a(y)m(1--y)dy.

V.A.2) Montrer que la fonction 1% : y +--> q)a(y)ln(l -- y) est développable en 
série
entière sur l'intervalle ]--1, 1[.

V.A.3) ' On pose :

wâ"'(0) '
nl '

'\7'nEIN,bn :

Vérifier que bo : O et que :

n--1 a
VnEUR]N*,bn=--En_p .
p=0 p

V.B - Soient x > 0 et N a 1 . Montrer:
N

N 1
1
2(nl+n1)xspîoI,ÎIOEpl(Épxlæ(k+p+l))

n=1 k=l

V.C - Montrer que, pour tout entier p tel que 0 s p 5 N -- 1 , on a :
N -- p

1 1 +°° dt
2 xS x+f x"
k=1k(k+P+l) (p+1) lt(1«'+10+1)

V.D - Montrer que ':
N -- p

2 1 S+ln(p+l) (1+ ) 1
k=lk(k+p+l)x (p+l)x (p+l)x

V.E- En déduire que la série de terme général est AC pour x > 0 .

(n + nxl)
V.F - Montrer enfin que la fonction f 'a est DSFA sur l'intervalle ']O, +oo[ et 
que :

+oo

Vx>0, f'a(x) : E bnun(x).

V.G - Exemple
1

Montrer que la fonction x r--> f(x) = ; est DSFA sur ]0, +oo[ et calculer les 
coeffi--

cients notés a'n et a"n pour les fonctions f ' et f" pour n = O, 1, 2, 3, 4.

Vérifier qu'on retrouve ainsi les calculs faits en seconde partie.

le. FIN o...

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Leloup (ENS Ulm) ; il a été relu par Florian
Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Le sujet porte sur l'étude des séries factorielles
P
n!
an un (x)
où
un (x) =
x(x + 1) . . . (x + n)
n>0
· Dans la première partie on étudie, pour un entier naturel p, le cas 
particulier
de la série
P
1
n(n
+
1)
.
. . (n + p)
n>1
en majorant le reste par une intégrale.
· La deuxième partie, nécessitant beaucoup de calculs, porte sur un 
développement sur R+ de la fonction x 7 1/x3 , qui permet ensuite un calcul 
plus rapide
de la somme de la série
P 1
3
n=1 n
+

(3) =

Ces deux parties sont relativement faciles et leur résolution semble attendue 
pour
un bon résultat au concours.
Les trois autres parties sont globalement indépendantes des deux premières.
Elles concernent l'étude de propriétés du développement en série factorielle de 
certaines fonctions et de leur représentation intégrale.
· La troisième partie permet de montrer que lesP
séries factorielles sont des fonctions de classe C 1 sur ] 0 ; + [ lorsque la 
série
an un (x) converge absolument
n>0
sur R+ .
· La quatrième donne une représentation intégrale des séries factorielles.
· La cinquième permet de calculer les coefficients du développement en série
factorielle de la dérivée d'une série factorielle.
Ces trois parties portent essentiellement sur les séries de fonctions ; leur 
résolution
nécessite les théorèmes de continuité et dérivabilité des séries de fonctions 
et le théorème de convergence dominée ; c'est une bonne occasion de s'entraîner 
à manipuler
ces outils classiques. Ainsi, ce sujet ne présente aucune difficulté majeure, 
il constitue
un bon exercice de rigueur et de précision.

Indications

Partie I.
1
comme une différence de deux fracX(X + 1)
tions rationnelles pour calculer la somme de la série proposée.

I.A.2 Écrire la fraction rationnelle

Partie II.
II.A.1 Raisonner par analyse-synthèse pour établir et construire les trois 
suites
(ap ), (bp ) et (cp ). Étudier les relations vérifiées par les différents 
éléments
de la suite.
II.A.4 Utiliser la formule obtenue à la question II.A.3.
II.B.1 Utiliser la majoration obtenue à la question I.B.
II.B.2 Penser à majorer c4 par c4 n, pour obtenir une formule plus simple à 
majorer.
Pour la suite de la question, utiliser la formule de la question II.A.1 au rang
p = 4. Dans le calcul de la somme ainsi obtenue, reconnaître les sommes (p)
de la première partie.
Partie III.
1
du terme général de la suite.
n
III.A.2 Écrire de deux façons différentes la somme partielle de la série du 
III.A.1.
III.A.1 Faire un développement limité à l'ordre 2 en

III.B Utiliser l'équivalent de la suite (un (x)/vn (x))nN obtenu à la question 
III.A.2.
III.C.1 Appliquer le théorème de continuité des séries de fonctions.
III.C.2 Utiliser un théorème d'interversion limite et somme.
III.D Utiliser la question III.B et la condition de convergence des séries de 
Riemann.
n
P
1
III.E.1 Penser à la comparaison série-intégrale pour majorer la somme
.
x
+
k
k=1

III.E.2 Appliquer le théorème de dérivation des séries de fonctions en 
travaillant sur
un segment de R+ .
Partie IV.
IV.A.1 Reconnaître des multiples des polynômes d'interpolation de Lagrange pour
les n + 1 réels 0, -1, . . . , -n.

IV.A.2 Écrire le polynôme constant R = n ! dans la base (Pk )06k6n .
IV.C Appliquer les résultats obtenus aux questions IV.A et IV.B en remarquant
que y n = (y - 1 + 1)n .
IV.D.1 Utiliser la caractérisation du rayon de convergence par la formule
R = Sup { > 0,

M > 0

n  N

|an | n 6 M}

IV.D.2 Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de 
fonctions.

Partie V.
V.A.1 Appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme. Pour la 
vérification
des hypothèses, utiliser les résultats obtenus à la question V.A.1.
V.A.2 Montrer tout d'abord que la fonction a est un produit de fonctions 
développables en série entière.
N
P
P
|bn |
.
V.B Intervertir les deux signes
dans la majoration de
x
n=1 (n + 1)
V.C Penser à la comparaison série-intégrale.
V.D Décomposer le calcul de l'intégrale sur [ 1 ; p + 1 ] et sur [ p + 1 ; + [ 
et ma1
jorer la fonction t 7
.
(t + p + 1)x
V.G Réécrire le début du développement obtenu à la question II.A.1 comme le
début d'un développement en série factorielle.

Les conseils du jury
Le rapport du jury se satisfait de la longueur et de la difficulté du sujet
proposé. « Ceux qui connaissaient bien leur cours ont été récompensés car
certaines questions étaient des applications directes » tout comme ceux qui
ont abordé les questions plus techniques ou plus calculatoires. « Les candidats
ne doivent pas négliger » ces questions car elles « permettent de juger leur
capacités à appliquer concrètement des techniques qu'ils ont vues. »
Plusieurs lacunes importantes sont souvent relevées dans le rapport du
jury. La notion de convergence normale est souvent confondue avec celle de
convergence absolue. La règle de D'Alembert est utilisée à tort (il ne s'agit
que d'une condition suffisante de convergence), souvent avec « obsession »
et « acharnement ». Les questions nécessitant l'utilisation d'un gros théorème 
sont « rarement traitées correctement » : le jury conseille aux candidats
de ne « pas hésiter à citer intégralement un théorème qu'ils veulent appliquer, 
surtout s'ils ne réussissent pas à prouver que toutes les hypothèses sont
vérifiées. »

I. Préliminaires
I.A.1 L'entier naturel non nul p est fixé. Donc p > 1. On a alors, pour n  N ,
1
1
1
6
6 2
n(n + 1) . . . (n + p)
n(n + 1)
n
P 1
La série
est convergente. Donc, d'après le théorème de comparaison pour
2
n>1 n
les séries positives,
P
Si p > 1, la série
u(n, p) est convergente.
0 6 u(n, p) =

n>1

I.A.2 On cherche ici à calculer la somme (1) de la série convergente
P
P
1
u(n, 1) =
n(n
+ 1)
n>1
n>1

1
s'écrit comme différence de deux fractions simples.
X(X + 1)
1
1
1
= -
X(X + 1)
X X+1
n
P
1
Or, (1) = lim
. Et si n  N ,
n+ k=1 k(k + 1)

n
n
n 1
n+1
P
P
P
P1
1
1
1
1
=
-
=
-
=1-
k+1
n+1
k=1 k(k + 1)
k=1 k
k=1 k
k=2 k
La fraction rationnelle

On en déduit

(1) = 1

I.A.3 Soient p > 2 et n  N ,
1
1
-
n(n + 1) · · · (n + p - 1) (n + 1) · · · (n + p)
p
=
n(n + 1) · · · (n + p)

u(n, p - 1) - u(n + 1, p - 1) =

d'où

n  N

p > 2

I.A.4 La série

P

u(n, p - 1) - u(n + 1, p - 1) = p u(n, p)

u(n, p) est convergente de somme (p) pour tout entier p > 1,

n>1

ce qui permet d'obtenir (p) comme limite de la suite des sommes partielles.
Pour p > 2, on applique l'égalité obtenue à la question I.A.3 pour calculer les 
sommes
partielles. Soit N > 1, il vient
N
P

[u(n, p - 1) - u(n + 1, p - 1)] = p

n=1

De plus,
N
P

n=1

N
P

u(n, p - 1) -

n=1
N
P

u(n, p - 1) -

n=1

u(n, p)

n=1

[u(n, p - 1) - u(n + 1, p - 1)] =

Finalement,

N
P

N+1
P

N+1
P

u(n, p - 1) + u(1, p - 1)

n=1

u(n, p - 1) + u(1, p - 1) = p

n=1

N
P

u(n, p)

n=1