Centrale Maths 1 PC 2008

Concours Centrale - Supélec 2008

Épreuve :

MATHÉMATIQUES I

Filière

PC

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

MATHÉMATIQUES I
Objectifs
On se propose, dans ce qui suit, de déterminer l'ensemble des solutions d'une
équation différentielle linéaire à coefficients constants lorsqu'elle est 
homogène,
puis lorsque celle-ci admet un « second membre » d'un type particulier.
La partie I vise à établir des résultats utiles dans les suivantes.
Notations
2

· Pour tout couple ( m, n )  IN :
* si m  n l'ensemble { k  IN, m  k  n } est noté [ [ m, n ] ] ;
*  m, n vaut 1 si m = n , 0 sinon.
2

· Si ( p, q )  IN , on note C
I q [ X ] l'ensemble constitué des éléments de C
I [ X ] de
degré inférieur ou égal à q et C
I q[ X ]
I q, p [ X ] celui constitué des éléments de C
p
divisibles par X .
· Si u est une application linéaire, Ker ( u ) et Im ( u ) désignent 
respectivement
son noyau et son image.
0
· Si u est un endomorphisme, par convention, u est l'application identité, et
p+1
p
= uou .
pour tout entier naturel p , on pose u
· On considère un intervalle I de IR contenant au moins deux éléments. On
dira que l'intervalle I est un voisinage de 0 s'il existe un réel  > 0 tel que

[ ­ ,  ]  I . On note E le CI espace vectoriel des applications de classe C de
I dans C
I , 0 E son élément nul, id E l'application identité de E et D l'endomorphisme 
« dérivation » de E , c'est-à-dire tel que :  f  E, D ( f ) = f  .
· Pour tout y de E , et pour tout k entier strictement positif, y
ième
(0)
dérivée k
de y . Par convention y = y .

(k)

désigne la

· Si P  C
I [ X ] et z  C
I , on note deg ( P ) le degré de P et P  z l'application de I
zt
dans C
I définie par : t  I, P  z ( t ) = P ( t )e .

Concours Centrale-Supélec 2008

1/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

Filière PC
Partie I 2

Soient z  C
I et ( p, q )  IN tel que p  q .
I.A - Montrer que C
I q, p [ X ] est un CI espace vectoriel de dimension finie et préciser sa 
dimension.
I.B - Montrer qu'on peut définir une application  z de C
I [ X ] dans E définie par :
P  C
I [ X ],  z ( P ) = P  z .
Montrer que  z est linéaire et injective.
I q [ X ] et
I.C - Déduire des questions précédentes que les images par  z de C
C
I q, p [ X ] sont des sous-espaces vectoriels de E de dimensions finies que 
l'on précisera.

Dans la suite de ce problème, n est un entier naturel non nul,  = (  0, ... n ) 
un
n+1
I
élément de C
tel que  n n'est pas nul, et on note ( H ) l'équation différentielle,
d'inconnue y élément de E :
n

 k y

(H)

(k)

= 0E .

k=0

Partie II On se propose, dans cette partie, de déterminer S H , l'ensemble des 
solutions de
( H ) définies sur I . On admettra que dim ( S H ) = n .

n

k

 k D  .

II.A - Justifier que S H = Ker 

k=0

On note p le nombre de racines distinctes du polynôme A =

n

 k X

k

I [X] ;
de C

k=0

on note r 1, r 2 ...r p ses racines et m 1, m 2 ...m p leurs ordres de 
multiplicité respectifs.

Concours Centrale-Supélec 2008

2/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

II.B - Vérifier que S H contient le sous-espace vectoriel de E :
p

 Ker ( ( D ­ r j  id E )

mj

).

j=1

On admettra que cette somme est directe.
*

II.C - Dans cette question, r  C
I et m  IN .
a) Soit P un élément non nul de C
I [ X ] . Justifier l'existence d'un élément Q de
C
I [ X ] tel que d°Q < d°P et ( D ­ r  id E ) ( P  r ) = Q  r . b) En déduire par récurrence la propriété suivante pour tout entier k de [ [ 1, m ] ] : k I k ­ 1 [ X ] , alors P  r  Ker ( ( D ­ r  id E ) ) . si P  C m c) En conclure que Ker ( ( D ­ r  id E ) ) est un sous-espace vectoriel de E de dimension au moins m . II.D - Déduire de ce qui précède que, pour tout élément y de E , on a l'équivalence suivante, y  S H si et seulement si il existe une famille ( P j ) j  [ [ 1, p ] ] d'éléments de C I [ X ] telle que : p j  [ [ 1, p ] ] , deg ( P j ) < m j et t  I, y ( t ) = P j ( t )e r jt . j=1 II.E - Dans le cas où I est un voisinage de 0 , prouver que pour tout réel strictement positif tel que ] ­ ,  [  I , les solutions de ( H ) sont développables en série entière sur ] ­ ,  [ . Partie III Dans cette partie, on considère un polynôme B de C I [ X ] , non nul. On note d le degré du polynôme B . On choisit un nombre complexe z et on note m l'ordre de multiplicité (éventuellement nul) de z en tant que racine du polynôme n A = k X k de C I [X] . k=0 On se propose de résoudre l'équation différentielle, d'inconnue y élément de E , notée ( L ) : n ( L) k y (k) = B  z . k=0 Concours Centrale-Supélec 2008 3/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC III.A - Vérifier qu'on peut définir une application  , de C I m + d, m [ X ] dans E , définie par n P  C I m + d, m [ X ], ( P) = k D k ( P  z ) k=0 puis montrer que celle-ci est linéaire. I d[ X ]) . III.B - Prouver que  est injective et que Im (  )   z ( C I m + d, m [ X ] tel que   z III.C - Démontrer qu'il existe un unique élément  de C soit solution de ( L ) , définie sur I , puis préciser, en fonction de  , l'ensemble des solutions de ( L ) sur I . III.D - Dans le cas où l'intervalle I est un voisinage de 0 , les solutions de ( L ) sont-elles développables en série entière sur tout intervalle ] ­ ,  [ (  > 0 ) 
tel
que ] ­ ,  [  I ?

Partie IV On suppose, dans cette dernière partie, que  0 vaut 1 et que :
M = max
k
.
k  [ [ 0, n ] ]

On considère également un élément b de E et on note ( L b ) l'équation 
différentielle, d'inconnue y élément de E :
n

 k y

( Lb )

(k)

= b.

k=0
+

IV.A - Soit   IR * tel que ] ­ ,  [  I et que ( L b ) admette une solution 
développable en série entière sur l'intervalle ] ­ ,  [ .
Montrer que b est également développable en série entière sur l'intervalle
] ­ ,  [ . Qu'en est-il alors des autres solutions de ( L b ) ?
IV.B - Montrer que, si p  IN , alors il existe un unique élément  p de C
I p [ X ] tel
que :
n

(k)

 k  p
k=0

p

X
= -------- .
p!

Prouver qu'il existe un unique élément (  p, j ) j  [ [ 0, p ] ] de C
I
p

p =

X

p+1

tel que :

j

   p, j  ------j!- .

j=0

Concours Centrale-Supélec 2008

4/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

IV.C - Prouver que :
( p, q )  IN

2

min { n, p ­ q }

q p

(  k   p , q + k ) =  p, q

k=0

IV.D - Lorsque p est un entier strictement positif, traduire sous forme matrip+1
I
cielle le système linéaire précédent d'inconnue (  p, j ) j  [ [ 0, p ] ] , 
élément de C
,
puis écrire une procédure qui, en fonction de n et du système  , détermine 
l'unique solution de celui-ci.
IV.E j
a) Vérifier que :  p  IN,  j  [ [ 0, p ] ],  p, p ­ j  ( 2M ) .
b) En déduire que, pour tout t  IR et pour tout entier q , alors :
q

 q ( t )  ( 2M+ t ) .

On suppose dorénavant que b est une application de I dans C
I développable en
série entière sur un intervalle ] ­ ,  [ (  > 0 ) inclus dans I . On note r le 
rayon
(n)
n
de convergence de la série entière  b ( 0 ) z et on suppose que r > 2M .
IV.F a) Montrer qu'il existe  élément de ]0, [ tel que la suite de fonctions ( 
f p ) p  IN
définie par :
p

 p  IN t  I , f p ( t ) =

b

(q)

( 0 ) q ( t )

q=0

converge sur ] ­ ,  [ .
On note f la limite de cette suite de fonctions, définie sur ] ­ ,  [ .
n
b) Prouver que f est de classe C sur ] ­ ,  [ .
IV.G - Justifier que f est une solution de ( L b ) définie sur l'intervalle sur 
] ­ ,  [ .
IV.H - Prouver que f est de classe C
on a :
t  ] ­ ,  [, f

sur ] ­ ,  [ et que pour tout entier k > 0 ,

(k)

( t ) = lim f p ( t ) .

(k)

p  +

+

IV.I - Si t  IR , on note E ( t ) sa partie entière.

Concours Centrale-Supélec 2008

5/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

On se propose, dans cette question, de démontrer que f est développable en série
entière sur ] ­ ,  [ . À cet effet, on introduit un élément x de ] ­ ,  [ puis, 
pour
+
tout entier p de IN , l'application e p de IR dans C
I définie par :
E(t)

( E(t))

fp
(0)  x
+
 p  IN , t  IR , e p ( t ) = -----------------------------------------.
[ E ( t ) ]!
+

a) Montrer que, si p  IN , e p est intégrable sur IR et préciser la valeur de 
son
+
intégrale sur IR .
+
b) Exhiber une application e en escalier de IR dans IR intégrable telle que :
 p  IN ,

+

t  IR ,

e p(t)  e(t) .

c) Conclure.
IV.J a) Qu'en déduit-on pour les solutions de ( L b ) sur l'intervalle ] ­ ,  [ 
?
b) Les résultats précédents sont-ils encore valables si  0 n'est pas égal à 1 ?
··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2008

6/6