Centrale Maths 1 PC 2008

Thème de l'épreuve Équation différentielle linéaire d'ordre n à coefficients constants
Principaux outils utilisés équations différentielles, espaces vectoriels, polynômes, séries entières, théorème de convergence dominée
Mots clefs equation différentielle, série entièrem récurrence

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2008

Épreuve :

MATHÉMATIQUES I

Filière

PC

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

MATHÉMATIQUES I
Objectifs
On se propose, dans ce qui suit, de déterminer l'ensemble des solutions d'une
équation différentielle linéaire à coefficients constants lorsqu'elle est 
homogène,
puis lorsque celle-ci admet un « second membre » d'un type particulier.
La partie I vise à établir des résultats utiles dans les suivantes.
Notations
2

· Pour tout couple ( m, n )  IN :
* si m  n l'ensemble { k  IN, m  k  n } est noté [ [ m, n ] ] ;
*  m, n vaut 1 si m = n , 0 sinon.
2

· Si ( p, q )  IN , on note C
I q [ X ] l'ensemble constitué des éléments de C
I [ X ] de
degré inférieur ou égal à q et C
I q[ X ]
I q, p [ X ] celui constitué des éléments de C
p
divisibles par X .
· Si u est une application linéaire, Ker ( u ) et Im ( u ) désignent 
respectivement
son noyau et son image.
0
· Si u est un endomorphisme, par convention, u est l'application identité, et
p+1
p
= uou .
pour tout entier naturel p , on pose u
· On considère un intervalle I de IR contenant au moins deux éléments. On
dira que l'intervalle I est un voisinage de 0 s'il existe un réel  > 0 tel que

[ ­ ,  ]  I . On note E le CI espace vectoriel des applications de classe C de
I dans C
I , 0 E son élément nul, id E l'application identité de E et D l'endomorphisme 
« dérivation » de E , c'est-à-dire tel que :  f  E, D ( f ) = f  .
· Pour tout y de E , et pour tout k entier strictement positif, y
ième
(0)
dérivée k
de y . Par convention y = y .

(k)

désigne la

· Si P  C
I [ X ] et z  C
I , on note deg ( P ) le degré de P et P  z l'application de I
zt
dans C
I définie par : t  I, P  z ( t ) = P ( t )e .

Concours Centrale-Supélec 2008

1/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

Filière PC
Partie I 2

Soient z  C
I et ( p, q )  IN tel que p  q .
I.A - Montrer que C
I q, p [ X ] est un CI espace vectoriel de dimension finie et préciser sa 
dimension.
I.B - Montrer qu'on peut définir une application  z de C
I [ X ] dans E définie par :
P  C
I [ X ],  z ( P ) = P  z .
Montrer que  z est linéaire et injective.
I q [ X ] et
I.C - Déduire des questions précédentes que les images par  z de C
C
I q, p [ X ] sont des sous-espaces vectoriels de E de dimensions finies que 
l'on précisera.

Dans la suite de ce problème, n est un entier naturel non nul,  = (  0, ... n ) 
un
n+1
I
élément de C
tel que  n n'est pas nul, et on note ( H ) l'équation différentielle,
d'inconnue y élément de E :
n

 k y

(H)

(k)

= 0E .

k=0

Partie II On se propose, dans cette partie, de déterminer S H , l'ensemble des 
solutions de
( H ) définies sur I . On admettra que dim ( S H ) = n .

n

k

 k D  .

II.A - Justifier que S H = Ker 

k=0

On note p le nombre de racines distinctes du polynôme A =

n

 k X

k

I [X] ;
de C

k=0

on note r 1, r 2 ...r p ses racines et m 1, m 2 ...m p leurs ordres de 
multiplicité respectifs.

Concours Centrale-Supélec 2008

2/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

II.B - Vérifier que S H contient le sous-espace vectoriel de E :
p

 Ker ( ( D ­ r j  id E )

mj

).

j=1

On admettra que cette somme est directe.
*

II.C - Dans cette question, r  C
I et m  IN .
a) Soit P un élément non nul de C
I [ X ] . Justifier l'existence d'un élément Q de
C
I [ X ] tel que d°Q < d°P et ( D ­ r  id E ) ( P  r ) = Q  r .
b) En déduire par récurrence la propriété suivante pour tout entier k de
[ [ 1, m ] ] :
k

I k ­ 1 [ X ] , alors P  r  Ker ( ( D ­ r  id E ) ) .
si P  C
m

c) En conclure que Ker ( ( D ­ r  id E ) ) est un sous-espace vectoriel de E de
dimension au moins m .
II.D - Déduire de ce qui précède que, pour tout élément y de E , on a 
l'équivalence suivante, y  S H si et seulement si il existe une famille ( P j ) 
j  [ [ 1, p ] ] d'éléments de C
I [ X ] telle que :
p

 j  [ [ 1, p ] ] ,

deg ( P j ) < m j et t  I, y ( t ) =

 P j ( t )e

r jt

.

j=1

II.E - Dans le cas où I est un voisinage de 0 , prouver que pour tout réel  
strictement positif tel que ] ­ ,  [  I , les solutions de ( H ) sont 
développables en
série entière sur ] ­ ,  [ .

Partie III Dans cette partie, on considère un polynôme B de C
I [ X ] , non nul. On note d le
degré du polynôme B . On choisit un nombre complexe z et on note m l'ordre de
multiplicité (éventuellement nul) de z en tant que racine du polynôme
n

A =

 k X

k

de C
I [X] .

k=0

On se propose de résoudre l'équation différentielle, d'inconnue y élément de E ,
notée ( L ) :
n

( L)

 k y

(k)

= B  z .

k=0

Concours Centrale-Supélec 2008

3/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

III.A - Vérifier qu'on peut définir une application  , de C
I m + d, m [ X ] dans E ,
définie par
n

P  C
I m + d, m [ X ],

( P) =

 k D

k

( P  z )

k=0

puis montrer que celle-ci est linéaire.
I d[ X ]) .
III.B - Prouver que  est injective et que Im (  )   z ( C
I m + d, m [ X ] tel que   z
III.C - Démontrer qu'il existe un unique élément  de C
soit solution de ( L ) , définie sur I , puis préciser, en fonction de  , 
l'ensemble des
solutions de ( L ) sur I .

III.D - Dans le cas où l'intervalle I est un voisinage de 0 , les solutions de 
( L )
sont-elles développables en série entière sur tout intervalle ] ­ ,  [ (  > 0 ) 
tel
que ] ­ ,  [  I ?

Partie IV On suppose, dans cette dernière partie, que  0 vaut 1 et que :
M = max
k
.
k  [ [ 0, n ] ]

On considère également un élément b de E et on note ( L b ) l'équation 
différentielle, d'inconnue y élément de E :
n

 k y

( Lb )

(k)

= b.

k=0
+

IV.A - Soit   IR * tel que ] ­ ,  [  I et que ( L b ) admette une solution 
développable en série entière sur l'intervalle ] ­ ,  [ .
Montrer que b est également développable en série entière sur l'intervalle
] ­ ,  [ . Qu'en est-il alors des autres solutions de ( L b ) ?
IV.B - Montrer que, si p  IN , alors il existe un unique élément  p de C
I p [ X ] tel
que :
n

(k)

 k  p
k=0

p

X
= -------- .
p!

Prouver qu'il existe un unique élément (  p, j ) j  [ [ 0, p ] ] de C
I
p

p =

X

p+1

tel que :

j

   p, j  ------j!- .

j=0

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4/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

IV.C - Prouver que :
( p, q )  IN

2

min { n, p ­ q }

q p

(  k   p , q + k ) =  p, q

k=0

IV.D - Lorsque p est un entier strictement positif, traduire sous forme matrip+1
I
cielle le système linéaire précédent d'inconnue (  p, j ) j  [ [ 0, p ] ] , 
élément de C
,
puis écrire une procédure qui, en fonction de n et du système  , détermine 
l'unique solution de celui-ci.
IV.E j
a) Vérifier que :  p  IN,  j  [ [ 0, p ] ],  p, p ­ j  ( 2M ) .
b) En déduire que, pour tout t  IR et pour tout entier q , alors :
q

 q ( t )  ( 2M+ t ) .

On suppose dorénavant que b est une application de I dans C
I développable en
série entière sur un intervalle ] ­ ,  [ (  > 0 ) inclus dans I . On note r le 
rayon
(n)
n
de convergence de la série entière  b ( 0 ) z et on suppose que r > 2M .
IV.F a) Montrer qu'il existe  élément de ]0, [ tel que la suite de fonctions ( 
f p ) p  IN
définie par :
p

 p  IN t  I , f p ( t ) =

b

(q)

( 0 ) q ( t )

q=0

converge sur ] ­ ,  [ .
On note f la limite de cette suite de fonctions, définie sur ] ­ ,  [ .
n
b) Prouver que f est de classe C sur ] ­ ,  [ .
IV.G - Justifier que f est une solution de ( L b ) définie sur l'intervalle sur 
] ­ ,  [ .
IV.H - Prouver que f est de classe C
on a :
t  ] ­ ,  [, f

sur ] ­ ,  [ et que pour tout entier k > 0 ,

(k)

( t ) = lim f p ( t ) .

(k)

p  +

+

IV.I - Si t  IR , on note E ( t ) sa partie entière.

Concours Centrale-Supélec 2008

5/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

On se propose, dans cette question, de démontrer que f est développable en série
entière sur ] ­ ,  [ . À cet effet, on introduit un élément x de ] ­ ,  [ puis, 
pour
+
tout entier p de IN , l'application e p de IR dans C
I définie par :
E(t)

( E(t))

fp
(0)  x
+
 p  IN , t  IR , e p ( t ) = -----------------------------------------.
[ E ( t ) ]!
+

a) Montrer que, si p  IN , e p est intégrable sur IR et préciser la valeur de 
son
+
intégrale sur IR .
+
b) Exhiber une application e en escalier de IR dans IR intégrable telle que :
 p  IN ,

+

t  IR ,

e p(t)  e(t) .

c) Conclure.
IV.J a) Qu'en déduit-on pour les solutions de ( L b ) sur l'intervalle ] ­ ,  [ 
?
b) Les résultats précédents sont-ils encore valables si  0 n'est pas égal à 1 ?
··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2008

6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hervé Diet (ENS Cachan) ; il a été relu par Chloé
Dousset (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite de la résolution d'une équation différentielle linéaire à 
coefficients
constants. Il s'agit de généraliser le résultat du programme en étudiant le cas 
d'une
équation de degré quelconque. On trouvera d'abord une solution générale et on 
s'intéressera ensuite aux solutions développables en série entière.
· La première partie établit quelques résultats généraux qui seront utiles dans 
les
parties suivantes. Il s'agit d'étudier des espaces de fonctions s'écrivant comme
le produit d'un polynôme et d'une exponentielle. On calcule notamment la
dimension de ces espaces à l'aide d'une application linéaire et du théorème
du rang.
· La deuxième partie nous guide pour résoudre l'équation différentielle 
homogène. On exprime l'espace des solutions comme une somme directe d'espaces
vectoriels. On établit ensuite que les solutions sont des sommes de fonctions
introduites dans la première partie.
· Le troisième partie traite du cas d'un second membre de la même forme que
les fonctions de la première partie. On commence par chercher une solution
particulière. Puis, grâce à la partie précédente, on exprime toutes les 
solutions
de l'équation avec second membre sous la forme d'une combinaison linéaire de
fonctions simples.
· Dans la dernière partie, le second membre est une fonction développable en 
série
entière sur un voisinage de 0. On montre que toutes les solutions de l'équation
sont alors développables en série entière sur un voisinage de 0.
Ainsi, les trois premières parties font appel au programme d'algèbre (espaces 
vectoriels, applications linéaires) pour résoudre l'équation différentielle 
lorsque le second
membre a une forme simple. La quatrième partie, elle, demande une bonne 
connaissance des séries entières et des résultats de convergence dominée.

Indications
Partie I
I.A Donner une base de Cq,p [X] pour montrer que c'est un espace vectoriel et
donner sa dimension.
I.C Utiliser le théorème du rang pour donner les dimensions.
Partie II
II.B Factoriser A par (X - rj )mj et utiliser ce résultat pour factoriser

n
P

k Dk .

k=0

II.C.a Montrer par un simple calcul que Q = P .
II.C.c Dans le résultat précédent regarder le cas k = m.
II.D Donner une minoration de la dimension de SH en utilisant la question 
précédente. Cette minoration est en fait une égalité.
Partie III
III.A Décomposer  en fonction de A, D et  pour montrer qu'elle est bien définie.
III.B Remarquer que (P) = 0 implique Phzi solution de (H).
III.C En étudiant les dimensions montrer que l'inclusion précédente est une 
égalité
et utiliser l'injectivité de  pour l'unicité.
Partie IV
IV.A Noter que la différence de deux solutions de (Lb ) est une solution de (H).
IV.B Utiliser la question III.C et remarquer que l'expression avec les p,j 
correspond à un changement de base.
IV.C Remplacer p par sa valeur en fonction des p,j dans l'équation 
différentielle.
IV.E.a Montrer ce résultat par récurrence.
IV.F.a Utiliser la majoration de la question IV.E.b et le rayon de convergence 
r pour
conclure sur la convergence.
IV.F.b Trouver une majoration de D(q (t)) en s'inspirant de la question IV.E.b.
IV.H Utiliser l'équation différentielle pour exprimer f (n) comme une somme de
fonctions de classe C 1 .
IV.I.a Trouver un majorant de D(q (t)) en s'inspirant de la question IV.E.b
IV.I.b Commencer par montrer que fpk (0) admet un majorant.

Les conseils du jury
Le rapport du jury pointe « des lacunes au niveau de la logique » et un
« manque de recul » des candidats. Par exemple, « sur les séries entières,
beaucoup sont obnubilés par ce qu'ils ont fait pendant l'année [et ne se 
soucient pas] de la question posée, ainsi l'unicité du développement en série
entière est invoquée sans raison. » À la lecture du rapport, un effort doit être
porté sur les techniques usuelles d'algèbre linéaire (notamment les questions
de la partie I), sur les raisonnements par récurrence et sur les démonstrations
de conditions nécessaires et suffisantes, d'existence et d'unicité.

Partie I
I.A Soit P un polynôme de Cq,p [X]. En particulier, son degré est majoré par q 
et il
existe une famille de coefficients complexes (ai )i[[ 0 ; q ]] telle que
q
P
P(X) =
ai Xi
i=0

Le polynôme P étant divisible par Xp , on en déduit que ai est nul si i < p et 
on a
q
P
P(X) =
ai Xi
i=p

Réciproquement tout polynôme de cette forme est dans Cq,p [X]. Ainsi,
Cq,p [X] = Vect (Xp , ..., Xq )
Comme (Xp , ..., Xq ) est une famille libre, elle est une base de Cq,p [X] et
Cq,p [X] est un espace vectoriel de dimension q - p + 1.

I.B La fonction t 7 ezt et les fonctions polynomiales sont de classe C  sur R.
La fonction Phzi est définie sur I comme le produit de ces deux fonctions, elle 
est
donc bien de classe C  sur I.
La fonction z est définie de C[X] dans E.
D'après le rapport du jury, la consigne « Montrer qu'on peut définir une
application... » est souvent mal comprise. Il s'agit ici de prouver que la 
fonction proposée est bien définie dans son ensemble de départ et à valeurs dans
son ensemble d'arrivée.
Soient P et Q deux polynômes de C[X] et  un nombre complexe. Alors
t  I

t  I
Ainsi,

z (P + Q)(t) =
=
=
=
z (P + Q)(t) =

(P + Q)hzi (t)
(P(t) + Q(t))ezt
P(t)ezt + Q(t)ezt
Phzi (t) + Qhzi (t)
z (P)(t) + z (Q)(t)

z est linéaire.

Soit P un élément du noyau de z . Alors P(t)ezt = 0 pour tout t  I. Comme ezt 
est
de module non nul pour tout z  C et t  I, P est nul sur I. Or un polynôme nul 
sur
un segment est identiquement nul. Ainsi Ker z = {0} et
z est injective.
I.C L'image par une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension 
finie
est un espace vectoriel de dimension finie. On peut en déduire que
z (Cq [X]) et z (Cq,p [X]) sont des espaces vectoriels de dimension finie.
Comme dim Ker z = 0, le théorème du rang appliqué à la restriction z
dim (Cq [X]) = dim Cq [X] - dim Ker z = dim Cq [X]
soit
et de même

dim (Cq [X]) = q + 1
dim (Cq,p [X]) = dim Cq,p [X] = q - p + 1

Cq [X]

donne

Partie II
II.A Par définition de l'endomorphisme de dérivation, D(y) = y  . De plus, pour 
tout
entier k, Dk (y) = y (k) . Soit y une fonction définie sur I, les équivalences 
suivantes
sont vérifiées
 n

 n

P
P
y  Ker
k Dk 
k Dk (y) = 0
k=0

k=0

n
P

k Dk (y) = 0

k=0
n
P

k y (k) = 0

k=0

y  Ker

n
P

k D

k=0

Finalement

k

SH = Ker

 y  SH

n
P

k=0

k Dk

II.B Du fait de la structure d'espace vectoriel de SH , il suffit de montrer que
chacun des ensembles Ker (D - rj . id E )mj , pour j  [[ 1 ; p ]], est contenu 
dans SH .
Soit j  [[ 1 ; p ]]. On peut factoriser A par (X-rj )mj puisque rj est une 
racine d'ordre
mj de A et il existe un polynôme B tel que
n
P
A=
k Xk = B(X)(X - rj )mj
k=0

Les polynômes s'écrivent naturellement sous deux formes : développée ou
factorisée. Il s'agit ici d'utiliser la dernière. Le jury précise dans son 
rapport
que peu de candidats ont ce réflexe.
Les morphismes D et id E commutent entre eux, d'où
n
P
k Dk = A(D) = B(D)  (D - rj . id E )mj
k=0

Soit f  Ker (D - rj . id E )mj . Alors

A(D)(f ) = B(D)  (D - rj . id E )mj (f ) = B(D)(0) = 0
En utilisant la question précédente et puisque ceci est vrai pour tout j dans 
[[ 1 ; p ]],
on en déduit l'inclusion
 n

P
Ker (D - rj . id E )mj  Ker
k Dk
k=0

p
P

Ainsi

Ker (D - rj . id E )mj  SH

j=1

II.C.a Soient r  C et m  N. Soit P un polynôme non nul de C[X], alors
t  I

t  I

(D - r. id E )(Phri )(t) = D(Phri )(t) - rP(t)ert
d
=
(P(t)ert ) - rP(t)ert
dt
= P (t)ert + P(t)rert - rP(t)ert
(D - r. id E )(Phri )(t) = P (t)ert