Centrale Maths 1 PC 2004

Thème de l'épreuve Étude de séries entières au bord de leur disque de convergence
Principaux outils utilisés séries entières, critère de Cauchy, transformation d'Abel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ËeN oOEmQ=OE - QOEÈOEU 838200

Dans tout le problème, a : (an)n EUR IN désigne une suite de complexes et 2anzn

la série entière associée, dont le rayon de convergence Ra est supposé non nul
et fini.

On note Ca l'ensemble des complexes 2 de module Ra tels que ganz"
est convergente.

On appelle cercle unité l'ensemble des complexes de module 1 : un complexe z
appartient au cercle unité si et seulement s'il existe un réel x appartenant à
l'intervalle I : ]--n,n] tel que 2 = e".

D'autre part on note: 2352 : {2krc|k EZ} , et [[ p,ql] désigne l'ensemble des
entiers naturels k vérifiant : p 5 k 5 q .

On étudie différentes séries entières pour lesquelles l'ensemble Ca prend 
diffé--
rentes formes.

Dans le cas où Ca est un cercle, on propose d'observer différents comportements
de la fonction somme de la série entière sur ce cercle.

Partie I - Calculs préliminaires

Les résultats de cette partie sont destinés à préparer les démonstrations des
parties suivantes.

I.A - Montrer les inégalités :

Vx EUR [0,15], 0 s sinx 5 x et Vx EUR [Opt/2], sinx z îx .

I.B - Montrer que pour tout x qui appartient à IR\2nZ et pour tout couple
d'entiers naturels (p, q) tel que p 5 q :

q
ikx
2e
k=p

1 0
sin (£)
2

LC - Soient (un) E

S

. et (Un) . deux suites complexes.
n &

IN IN

On note (Vn) & * la suite des sommes partielles de la série 2 Un :
n

ÏN

nal

n
pourtoutnem*, Vn = 2 Uk-
k=l

I.C.1) Montrer que pour tout couple d'entiers naturels (p, q) tel que
lspC
.nx.

n: (,
x-->ane

Montrer que la série de fonction 2fn converge uniformément sur I vers une
fonction continue sur I .

II.B.3) Donner un exemple simple de série entière îanz" pour laquelle Ca
est le cercle unité.

II.C - Donner un exemple simple de série entière 2anzn pour laquelle Ra : 1
et Ca est vide.

II.D - Construction de quelques cas intermédiaires.

II.D.1) On suppose qu'il existe un complexe 20 de module 1 tel que Eanzg soit

semi-convergente (c'est-à-dire que îanzg est convergente mais ne converge pas
absolument).

Montrer qu'alors Ra : 1 .

II.D.2) Soit & un complexe de module 1. Si pour tout n EUR 1N* , an : -l--n , 
mon-
trer que Ca est le cercle unité privé d'un point à déterminer. "&

II.D.3) Soit p & ]N* et p complexes distincts gl, ëp , tous de module 1.

Construire un exemple de série entière Eanzn pour laquelle Ca est le cercle
unité privé des p points 131, ëp. -

II.D.4) On suppose que, pour tout n EUR IN* , an. : %Ë .

Déterminer Ra et Ca.

La série 2 |an| est-elle convergente '?
n a 1

Partie III - Un exemple pour lequel Ca est le cercle unité et
Elan| diverge

Dans cette partie, on définit la suite a,, de la façon suivante :
° a 0 = O ,
0 pour tout naturel p non nul et tout naturel n tel que

(--1)p
2 .
P

pzsns(p+l)2--l :an=

HLA - Montrer que la série 2 |a,,| est divergente.
(On pourra par exemple chercher un équivalent de '|an] ).

III. B- Soit (An ) la suite des sommes partielles de la série numérique 2azn.

III. B. 1) Pour N E IN* ,on note P le plus grand entier naturel vérifiant: P2 5 
N.

On pose . RN: AN--AP2_I.

2P+1
P2

III.B.2) En déduire que la série Ean est convergente.

Montrer que [RM 5

III.C - Soit 2 : eix un complexe de module 1, avec x non nul appartenant à I .

III.C.1) Calculer la,, +1 -- an| suivant les valeurs du naturel n , et en 
déduire que

la ser1e Elan + 1 --a n| est convergente.

III. C. 2) Déduire des résultats précédents et de la partie I que la série Ean 
z"
est convergente.

Partie IV - Un dernier exemple

IV.A - On veut montrer qu'il existe une constante réelle C1 telle que pour tout
entier naturel non nul n et tout réel x :

kE sin(kx)£

Soient x E ]O, n[ et kx le plus grand entier naturel tel que kx - x s 315 .
IV.A.1) On suppose que 1 s n s kx . Montrer que :

n

sin(kx)
Oskz1 k sn.

IV.A.2) On suppose que n > kx . Montrer que :

î sin(kx)

k 52.

k=h+l

On pourra notamment utiliser le résultat de la question I.C.1.
' IV.A.3) Conclure.

IV.B - Soit n et N deux entiers naturels tels que : 1 s n 5 N .
Soit Qn, N le polynôme défini par :

N--1 1 k N+n 1 k
Qn,N(X)= 2 N--kX + 2 N--kX°
k=N--n k=N+l

IV.B.1) Soit x E IR. Montrer que :

n

Qn,N(eix) : _2ieiNx 2 s1näkx)_
k=1

IV.B.2) En déduire qu'il existe 'une constante réelle C2 telle que, pour
tout couple de naturels (n, N) tel que 1 s n 5 N et tout complexe 2 de module 1 
:

IQÛ,N(2)I 5 C2 .
IV.C - Pour tout entier naturel non nul j , on pose :
_ (j3) _  __
nj--2 ,Nj--2 etlj-- [[Nj--nj,Nj+nJ-fl.

Vérifier que les intervalles Ij ainsi définis sont disjoints deux à deux.

Pour toute la suite du problème, on pose pour tout naturel j non nul:
P j : an, N]. , et on définit les suites (ak)k EUR IN et (ak)k E N de la façon 
suivante :

0 s'il existe jEIN* tel que kte,etk=NJ-,alorsz

1 e/j
et ak : --------- ;
Nrk jzC

n' inx '
x-->ane

On veut prouver que la série de fonctions 2 fn ne converge pas uniformément
sur I.

IV.G.1) Montrer que, pour tout entier naturel j non nul :

AN(--;--) AN...---n--l( })= 45275

Jk=l

IV.G. 2) Donner un équivalent simple de cette expression lorsque j tend
vers +00 et conclure.

IV.H - Donner Ra et Ca.

ooo FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 PC 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Olivier Dudas (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite exclusivement de séries entières. Il s'intéresse plus 
spécifiquement au comportement au bord du disque de convergence, sans requérir 
de dextérité
particulière.
· La première partie introduit une opération sur les séries appelée 
transformation d'Abel. On montre la formule générale
puis on l'applique
P de la transformée,
P
pour prouver la convergence des séries
sin(kx)/k et
cos(kx)/k. Il est très
vivement conseillé d'avoir vu au moins une fois ces exemples avant de se 
présenter aux concours.
· La deuxième partie est dans une large mesure indépendante de la première.
Elle demande de proposer ou d'évaluer des exemples de séries vérifiant certaines
propriétés sur le bord du disque de convergence.
· Les deux dernières parties présentent des exemples pour lesquels on doit 
montrer que la série est semi-convergente en tout point du disque. Elles 
utilisent
essentiellement les résultats de la première partie, que l'on peut au besoin se
contenter d'admettre pour répondre aux questions.
La dernière partie peut paraître difficile, notamment à cause de notations et
de définitions obscures. Elle n'en est cependant pas moins abordable, même si
l'on se demande où l'énoncé veut nous emmener.
Globalement, cette épreuve constitue une bonne manière d'approfondir ou de
réviser les questions de convergence des séries (entières, numériques, de 
fonctions).
Elle offre en outre un bon panorama des problèmes qui se posent sur le disque de
convergence, et des manières usuelles de les étudier.

Indications
Première partie
I.A Utiliser la concavité de la fonction sinus sur l'intervalle [ 0 ;  ].
I.B Remarquer que la somme est une somme géométrique.
I.C.1 Remarquer que pour tout entier k supérieur à 2, vk = Vk - Vk-1 .
I.C.2 Ajouter l'hypothèse un ---- 0, sans laquelle on ne peut conclure. Majorer
n
grossièrement l'égalité de la question précédente.
I.C.3 Remarquer que si la suite (un )nN est réelle et décroissante alors
|un - un+1 | = un - un+1
I.D Appliquer les résultats précédents avec un = 1/n et vn = einx .
Deuxième partie
P
II.B.2 Prouver la convergence normale de la série de fonctions fn .
P
II.C Penser à une série an z n dont le terme général ne tend pas vers 0 sur le
cercle unité.

II.D.1 Montrer que
Pla suite (an )nN est bornée. En déduire la convergence absolue
de la série an z n pour tout z de module inférieur à 1.

II.D.2 Poser  = eix et utiliser le résultat de la question I.C.3.
II.D.3 Utiliser le résultat de la question précédente.
n
n !
ei
e-i
1
II.D.4 Remarquer que cos n =
+
.
2
n
n
Troisième partie

III.A Déduire de l'inégalité entre p et n un encadrement de p entre deux 
fonctions
de n.
III.B.1 Remarquer que N 6 (P + 1)2 - 1.
III.B.2 Utiliser le critère de convergence des séries alternées.
III.C.1 Montrer que |an+1 - an | est nul, sauf quand n + 1 est le carré d'un 
entier.
Quatrième partie
IV.A.1 Remarquer que pour tout k compris entre 1 et n, kx est compris entre 0 
et 
et utiliser le résultat de la question I.A.
IV.A.2 Utiliser le résultat des questions I.C.1, I.B puis la deuxième inégalité 
de la
question I.A.
IV.B.1 Effectuer le changement de variable  = N - k.
IV.B.2 Utiliser le résultat de la question IV.A.3.
IV.D Montrer la convergence normale de la suite
de la question IV.B.2.

P

fj , en utilisant les résultats

IV.E Remarquer que Pj (x) =

P

ak eikx .

kIj r{Nj }

IV.F.1 Remarquer que la suite (k )kN est monotone sur les deux intervalles
[[ Nj - nj ; Nj - 1 ]] et [[ Nj + 1 ; Nj + nj ]]. Raisonner alors comme à la 
question
I.C.3.
IV.F.2 Utiliser les résultats des questions I.B et I.C.1. puis appliquer la 
majoration
de la question I.A.
3

IV.F.3 Séparer les cas n inférieur à Nj +nj = 3·2j et n supérieur à Nj +nj . 
Appliquer
alors les résultats des questions IV.E et IV.F.2 en remarquant enfin que si k
3
est compris entre Nj + nj et 2(j+1) = Nj+1 - nj+1 , il est nécessairement nul.
IV.G.1 Revenir à la définition de k et de An .
n 1
P
 ln n.
k=1 k
IV.H Montrer que Ra est supérieur à 1 en majorant grossièrement k . Montrer
ensuite que si Ra est strictement supérieur à 1, cela contredit le résultat
de la question IV.G.

IV.G.2 Montrer à l'aide d'une comparaison série/intégrale que

I.

Calculs préliminaires

I.A La fonction sinus est positive sur l'intervalle [ 0 ;  ]. Les deux 
inégalités restantes
se montrent en utilisant la concavité de la fonction sinus, que l'on peut 
constater
sur son graphe.
1

0
1
/2
En effet, on vérifie que sur cet intervalle, on a
(sin) (x) = - sin x 6 0

Par conséquent, la fonction est au-dessous de sa tangente en 0 sur cet 
intervalle,
si bien que
sin x 6 sin (0)x + sin(0) = x

x  [ 0 ;  ]

Par ailleurs, en appliquant la propriété de concavité entre 0 et /2, il vient

  [ 0 ; 1 ]
sin  + (1 - ) 0 >  sin
+ (1 - ) sin 0
2
2
On obtient alors l'inégalité souhaitée en posant  = 2x/, qui est bien compris 
entre
0 et 1 si x est dans l'intervalle [ 0 ; /2 ]. Finalement,
x  [ 0 ;  ]

h i
x  0 ;
2

et

0 6 sin x 6 x

sin x >

2
x

I.B Soient p 6 q deux entiers et x 
/ R r 2Z. Alors eix est différent de 1 et ainsi,
on peut factoriser la somme de la suite géométrique sous la forme
q
P

eikx = eipx

k=p

k=0

Pour tout entier N, on a
eiNx - 1 = e

q-p
P

iN
2

x

e

iN
2

x

eix

k

= eipx

iN
2

x

- e-

ei(q-p+1)x - 1
eix - 1

= -2i × e

iN
2

x

× sin

Nx
2

ce qui permet de récrire l'expression sous la forme

q-p+1
q-p+1
-2i sin
x
sin
x
ei(q-p+1)x - 1
2
2
ipx i q-p
i q+p
2 x
2 x

eipx
=
e
e
=
e
x
x
eix - 1
-2i sin
sin
2
2