Centrale Maths 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Étude d'un endomorphisme sur un espace de fonctions
Principaux outils utilisés calcul intégral, fonctions définies par une intégrale, séries de fonctions, algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MATHÉMATIQUES / Filière PC

MATHÉMATIQUES |

Partie I -

Soit E l'espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles 
définies
sur l'intervalle [O, n] , que l'on munit du produit scalaire

(fig) + (fig) = i J0nf(t)g(t)dt
et des normes

f--> llfll1 = Jo"lf(t)|dt,
f--> ||f||2 = «/_(fIf ,

f-->llf|l...,= SUP VW-

0 S t S 'II
Pour tout n & IN , on note en (respectivement % ) la fonction définie sur [O, 
715] par
la formule cn(t) : cos(nt) (respectivement sn(t) : sin(nt) ).

Pour tout f e E , on note ;" la fonction définie sur IR, 27t -périodique, 
paire, coïn-
cidant avec f sur l'intervalle [O, n] et ;" la fonction définie sur IR, 27: 
-périodique,
impaire, coïncidant avec f sur l'intervalle ]O, n[ et vérifiant la condition
suivante : en tout point x de IR

f(x) = %( lim (Î(x+h)+Î(x--h))).

h-->O,h>0

I.A -

I.A.1) On considère la fonction f définie sur [O, 71:] par la formule
f (t) = -- 2t + n .

Représenter graphiquement les fonctions ? et Î .

I.A.2) Soit f un élément de E . Montrer (soigneusement) que la fonction Î est
définie et continue, et que la fonction f est définie et continue par morceaux.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction f soit conti-
nue.

Concours Centrale-Supélec 2000 1/5

MA THÉMA TIQUES / Filière PC

Filière PC

LB -
I.B.1) Soit f un élément de E .
Montrer que sur l'intervalle [O, n] , le problème aux limites

{w = --f
y(0) = y(fi) = 0

admet une solution et une seule notée Tf .
Indication : si on désigne par
t
FO :tæj0 f(u)du

la primitive de f sur [O, %] s'annulant en 0, on pourra exprimer Tf à l'aide
d'intégrales comportant FO .

L'objet du problème est d'étudier l'application T.

I.B.2) Déterminer précisément Tf lorsque f est la fonction définie au I.A.1)
et en donner une représentation graphique.

Partie II - Valeurs propres et vecteurs propres de T

II.A - Montrer que l'application T : f ----> Tf est un endomorphisme de E . 
Déte-
rminer son noyau et son image.

II.B - Pour tout entier naturel n , calculer Ton .
II.C - Vérifier que, pour tout couple (f 1,f 2) d'éléments de E ,
(Tf1lf2) : (f1lez)

Que peut-on dire de ( f 1|f 2) lorsque f1 et f 2 sont des vecteurs propres 
associés
à des valeurs propres distinctes ?

II.D - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de T.

ILE - On note S : (sn)nEUR }... .
II.E.1) Montrer que S est une famille orthonormale.

Concours Centrale-Supé/ec 2000 2/5

MA THÉMA TIOUES / Filière PC

II.E.2) Soit f un élément de E . Pour tout N 6 IN* , on pose
N

fN : 2 (f|3n)3n-

n = 1
Que représente f N pour la fonction 2% -périodique Î ?

: l' -- = .
En conclure que N1_}m+oe||f f N||2 0

Déduire de là que, si f est orthogonal à S , la fonction f est nulle.

II.F - On note C l'ensemble des en lorsque n décrit IN .
II.F.1) La famille C est-elle orthonormale ?

II.F.2) Pour tout N 6 IN* ,on pose
N

hN : %(f|co) + 2 (f|cn)cn , où f est un élément de E . Montrer que
n=1

lim ||f--hN"2 : o.

N-->+oo

Que peut-on dire si f est orthogonal à C '?

Partie III - Représentation intégrale de T

HLA - Soit f un élément de E. En écrivant la formule de TAYLOR avec reste
intégrale à l'ordre 1 entre 0 et x puis entre 0 et n , montrer que, pour tout
x EUR [O, R],

Tf(x) = [O"k(x,t)f(t)dt ,où

t(rc--x)

" si OSth
k(x,t) :
x(nfi--t) si OSx< [O, 
%] sépa-
rément continue en x et en t satisfaisant à la condition

Tf(x) : I0nk(x, t)f(t)dt pour tout fe E et pour tout x e [O, n] .
III.C -

III.C.1) Démontrer que la fonction le admet un maximum M atteint en un
point unique A de [O, 11:] >< [O, n] et déterminer M et A (pour x fixé dans [O, 
n] ,
on pourra commencer par étudier la fonction t--> k(x, t) sur [O, n] ).

Concours Centrale-Supélec 2000 3/5

MATHÉMATIQUES / Filière PC
III.C.2) En déduire que, pour tout f E E ,
||Tfll... s Ëllfll1. -- (1)

III.C.3) En considérant la suite (f n)n 21 où

n
(gt) si OStS
TE

MIT--l

fn(t) = n
(%(n--t)) si %sp.

p=1p

IV.A.1) Démontrer que la série du second membre converge normalement sur
l'intervalle [O,n].

IV.A.2) Prouver que T"f : Tnf , pour tout f & E et tout n e ]N*.

IV.B - Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de T" .

IV.C-

IV.C.1) Soit f un élément de E. Montrer que la suite de fonctions (T"f)n21
converge uniformément sur [O,n] vers une fonction que l'on déterminera ;

(il pourra être utile d'étudier le comportement de la suite

( 2 %] lorsque n augmente indéfiniment).
p = 2 p n 2 1

IV. 02) Donner l'expression explicite de la limite de (Tn f ) lorsque f est la 
fonc-
tion définie au I.A.l).

00. FIN 000

Concours Centrale--Supélec 2000 5/5

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Centrale Maths 1 PC 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Renaud Durand (ENS Ulm) et Bruno Reyssat (ENS
Lyon) ; il a été relu par Cédric Peschard (ENS Ulm).

Ce problème se compose de quatre parties visant à l'étude d'une application
linéaire d'un espace de fonctions dans lui même (c'est ce que l'on appelle un 
opérateur
linéaire). Il combine ainsi l'analyse et les méthodes d'algèbre linéaire.
­ La première partie introduit les notions et outils nécessaires à l'étude d'un
endomorphisme T de C 0 [0, ], R dans lui-même défini par une équation 
différentielle.
­ Dans la partie II, on s'intéresse à l'étude du spectre de T et aux propriétés 
de
ses sous-espaces propres.
­ La troisième partie permet de trouver une expression explicite de T et d'en
déduire des propriétés sur sa norme en tant qu'opérateur.
­ Enfin, la dernière partie traite des propriétés de l'opérateur T itéré n fois 
et
généralise les résultats précédents. En particulier, on s'intéresse à la limite 
de
Tn lorsque n tend vers +.

Indications
I.A.2 Utiliser la périodicité pour ramener l'étude à un intervalle.
I.B Intégrer l'équation différentielle et introduire les conditions en 0 et en .
II.A Se rappeler que (Tf ) (x) = -f (x) pour le calcul du noyau et de l'image de
T.
II.C Utiliser une intégration par partie.
II.D Remarquer que les vecteurs propres de T sont solutions d'une certaine 
équation différentielle.
II.E.1 Calculer dans le cas général (sp |sq ).
II.E.2 Remarquer que fN est la série de Fourier d'une fonction périodique 
définie à
partir de f au début du problème.
II.F Procéder de même qu'à la question II.E.
III.A Écrire Tf () et Tf (x) grâce à la formule de Taylor.
III.B Raisonner par l'absurde.
III.C.2 Utiliser la majoration de k de la question précédente.
III.C.3 Effectuer les calculs en faisant très attention à l'expression de Fn 
(u) pour

u > . Ou bien utiliser l'expression de Tf trouvée à la question III.A.
2
III.D.1 Utiliser l'expression de la question III.B puis Cauchy-Schwarz.
III.D.2 Utiliser l'inégalité précédente en se souvenant que T est linéaire.
III.D.3 Utiliser le résultat précédent et la question II.E.2.
III.D.4 Utiliser l'expression de la question III.D.3. Utiliser le fait que la 
norme k k2
provient d'un produit scalaire pour lequel les (sk ) forment une famille 
orthonormée.
III.E Procéder comme à la question III.D avec les fonctions cn .
IV.B Écrire les produits scalaires (Tn f |sk ).

Partie I
I.A.1 Pour la fonction f (t) =  - 2t, on construit fb et fe en suivant la 
définition :

fb

0

fe

x

0

x

I.A.2 Définissons la fonction fb sur ] - ;  ] ainsi :
(
f (x)
si x  [ 0 ;  ]
fb(x) =
f (-x) si x  ] - ; 0 [

Cette définition est motivée par les conditions sur fb. On prolonge par 
périodicité fb
en posant pour tout x  R,
fb(x) = fb(y)

où y est le seul réel de ] - ;  ] congru à x modulo 2.
La fonction fb est, par construction, 2-périodique. Vérifions maintenant qu'elle
est bien paire.

On a fb(0) = fb(-0), et fb(-) = fb() (par périodicité). En tenant compte de la
construction de fb, on a donc bien pour x  [ - ;  ], fb(-x) = fb(x). Ces deux
fonctions sont 2-périodiques et coïncident sur un intervalle fermé de largeur 2,
elles sont donc égales. Par conséquent fb est paire, et elle est bien définie.

Par construction, fb est égale à f sur [0, ], donc est continue sur 
l'intervalle ] 0 ;  [.
En utilisant la parité de fb, on montre que celle-ci est aussi continue sur ] - 
, 0[.

Le fait que la restriction de fb soit continue sur [ 0 ;  ] n'implique pas 
automatiquement que fb le soit : il faut en effet vérifier le comportement à 
gauche
de 0 et à droite de .

­ En 0, on remarque que fb(x) = fb(-x). Les limites à droite et à gauche de fb
coïncident et sont égales à f (0) = fb(0).
­ En , la limite à gauche de fb est f () = fb(). De plus, puisque l'on a
fb(x) = fb(-x) = fb(2 - x)

la limite à droite en  est égale à sa limite à gauche.
On a donc montré que fb est continue sur ] - , ]. Par périodicité, elle est 
continue
sur R.
fb est définie et continue sur R.

De la même manière, on définit la fonction fe sur ]0, [ par fe(x) = f (x), et 
sur ]- , 0[
par parité. On pose fe(0) = 0 (puisque fe est impaire). On pose aussi fe() = 0. 
On
prolonge par périodicité comme ci-dessus.
On montre de manière analogue que fe est impaire. Elle est clairement continue 
par
morceaux sur les intervalles de la forme ]k, (k + 1)[. Il ne reste plus qu'à 
vérifier la
condition

1
fe(x) =
lim+ fe(x + h) + fe(x - h)
2 h0
­ C'est clair pour les réels où fe est continue.
­ En 0, comme d'une part les limites à droite et à gauche de fe sont opposées, 
et
d'autre part fe(0) = 0, la condition est vérifiée.
­ En , la limite à gauche est f (). Comme :
fe(x) = -fb(-x) = -fb(2 - x)

la limite à droite est -f (). Comme fe() = 0, la condition est vérifiée.
Elle est donc vérifiée sur ] - ;  ] puis (par périodicité) sur R entier.
fe est définie et continue par morceaux sur R.

Pour que fe soit continue, il faut et il suffit qu'en 0 et en  ses limites à 
gauche, à
droite et sa valeur soient les mêmes. D'après ce qui précède, il faut et il 
suffit que
f (0) = 0 et f () = 0.
Finalement :

fe est continue si et seulement si f (0) = f () = 0.

I.B.1 Si y  = -f et y(0) = 0, on a alors nécessairement :

y  (t) = -F0 (t) + y  (0)
Z t
y(t) = -
F0 (u) du + y  (0) t + y(0)
0

y(t) = -

Z

t

F0 (u) du + y  (0) t

0

Or,

y() = -

Z

F0 (u) du + y  (0)  = 0

0

et alors

d'où

1
y (0) =

y(t) = -

Z

0

Z

F0 (u) du

0

t

F0 (u) du +

t

Z

F0 (u) du

0

Cette expression est bien solution du problème posé ; ce dernier admet donc une
unique solution :
Z t
Z
t 
Tf (t) = -
F0 (u) du +
F0 (u) du
 0
0