CCP Maths 2 PC 2012

Thème de l'épreuve Le polylogarithme
Principaux outils utilisés séries entières, séries de fonctions, intégrales à paramètre
Mots clefs logarithme, prolongement, représentation intégrale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2012

PCM2006

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
____________________

MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites
Les trois parties sont, dans une large mesure, independantes.
On s'interesse ici aux proprietes de la fonction polylogarithme, definie comme 
serie entiere
et a son prolongement grace a une representation integrale. On etablit aussi 
quelques
formules generales et on complete l'etude par celle d'un cas particulier.

Partie I : le polylogarithme
Dans toute cette partie,  est un reel fixe.
I - 1.1.
Determiner le rayon de convergence de la serie entiere L definie par :
+ n

x
.
L (x) =
n
n=1
I - 1.2.
Justifier que l'application L est de classe C  sur ] - 1, 1[.
I - 1.3.
Montrer que :
x ] - 1, 1[, L (-x) + L (x) = 21- L (x2 ).

1/4

Tournez la page S.V.P.

I - 2.1.
Pour tout x ] - 1, 1[, etablir une relation entre L+1 (x) et L (x).
Exprimer L+1 (x) sous forme de l'integrale entre 0 et x d'une certaine fonction.
I - 2.2.
Pour x ] - 1, 1[, preciser les valeurs de L (x) lorsque  = 0,  = -1 et  = 1.
I - 3.
Dans cette question, on suppose que   1.
Montrer que L (x) tend vers + quand x tend vers 1 par valeurs strictement
inferieures. Pour cela, on pourra chercher a minorer L (x) pour x ]0, 1[.

Partie II : prolongement pour  > 1
Dans toute cette partie,  est un reel strictement superieur a 1.
II - 1.1.
Montrer que la fonction L definie en I -1.1 est continue sur [-1, 1].
II - 1.2.
Determiner lim L2 (x) et preciser si la fonction L2 est derivable en 1.
x1
x<1

II - 2.1.
Montrer que l'application  : u "

u-1
est integrable sur ] 0, + [.
eu - 1

II - 2.2.
Pour tout reel x  1, justifier l'existence de K (x) =

+
0

u-1
du.
eu - x

II - 2.3.
Montrer que l'application K ainsi definie est continue sur l'intervalle ] - , 
1].
II - 2.4.
Dans cette question, on suppose que  > 2.
Montrer que la fonction K est de classe C 1 sur l'intervalle ] - , 1].
II - 2.5.
On revient au cas general ou  > 1.
Montrer que la fonction K est de classe C 1 sur tout segment [a, b] avec a < b 
< 1,
puis sur l'intervalle ] - , 1[.
II - 3.1.
Prouver l'existence de G =

+

t-1 e-t dt
0

2/4

et justifier que G > 0.

II - 3.2.
Montrer que pour tout x  [-1, 1] et pour tout u > 0, on a :
+

1
=
xk e-(k+1)u .
eu - x
k=0

II - 3.3.
En deduire que pour tout x  [-1, 1], en utilisant L (x) defini dans I - 1.1 et 
K (x)
defini dans II - 2.2, on a la relation :
xK (x) = G L (x).
On precisera avec soin le theoreme d'integration terme a terme utilise.
II - 4.1.
Pour tout x ] - , 1], on prolonge la definition de L (x) en posant :
+

x
L (x) =
G

0

u-1
du.
eu - x

Montrer que l'application L ainsi definie est continue sur ] - , 1] et de 
classe C 1
sur ] - , 1[.
II - 4.2.
Montrer que pour tout reel x  1, on a :
x
L (x) =
G

1
0

-1

(- ln(t))
1 - xt

dt.

II - 4.3.
Justifier que l'on peut prolonger la fonction L sur C\]1,
I
+[ par la definition :
z
z  C\]1,
I
+[, L (z) =
G

+
0

u-1
du.
eu - z

Montrer alors que pour tout z  C,
I tel que z 2 #]1, +[, on a encore la relation :
L (z) + L (-z) = 21- L (z 2 ).

Partie III : le cas  = 2
On s'interesse ici, pour tout x  [-1, 1], a : L2 (x) =

+ n

x
.
2
n
n=1

III - 1.1.
Soit f : IR  IR, 2-periodique et impaire, telle que :
x ]0, ], f (x) =
Calculer les coefficients de Fourier

bn (f )

-x
.
2

pour n  IN .

III - 1.2.
Grace a l'egalite de Parseval que l'on precisera, appliquee a f , en deduire la 
valeur de
L2 (1). Calculer aussi L2 (-1).

3/4

Tournez la page S.V.P.

III - 2.1.
Montrer que la fonction  definie par :
x ]0, 1[, (x) = L2 (x) + L2 (1 - x) + ln(x) ln(1 - x)
est de classe C 1 sur ]0, 1[.
III - 2.2.
Montrer que la fonction  est constante sur ]0, 1[ et vaut L2 (1).
III - 2.3.
En deduire la valeur de L2

1
.
2

III - 2.4.
Prouver aussi que :
!

"
1
x
x  -1,
, L2 (x) + L2
2
x-1

1
2
= - (ln(1 - x)) .
2

III - 3.
Grace a II - 3, calculer K2 (1) =

#

+

eu

0

u
du.
-1

III - 4.2.
Pour tout x < 0, calculer g(x) =

#

0
x

ln(1 - t)
dt.
t-1

III - 4.3.
Justifier l'existence de l'integrale A =
III - 4.4.
Preciser

lim g(x) et
x-

#

0
-

ln(1 - t)
dt.
t(t - 1)

lim (L2 (x) - g(x)). En deduire un equivalent simple de
x-

L2 (x) quand x tend vers -, cet equivalent dependant de ln(-x).
Fin de l'enonce

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1240 ­ D'après documents fournis

III - 4.
Desormais, on s'interesse au prolongement de L2 considere en II - 4, verifiant 
en
particulier la relation vue en II-4.2 dont on partira pour traiter les 
questions suivantes,
c'est-a-dire :
# 1
ln(s)
x
x < 0, L2 (x) = -
ds.
G2 0 1 - xs
III - 4.1.
Montrer alors que pour tout x < 0, on a aussi les egalites :

t
# 0
# 0 ln
ln(1 - t)
x
dt =
dt.
L2 (x) = -
1-t
t
x
x
On pourra effectuer un changement de variable et une integration par parties.

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CCP Maths 2 PC 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Reygner (École Polytechnique) ; il a été relu 
par
Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Tristan Poullaouec 
(ENS
Cachan).

Ce sujet porte sur l'analyse de la fonction L définie par la somme de la série
entière
+
P xn
L (x) =

n=1 n
pour un réel  donné. Cette fonction, appelée polylogarithme, est a priori 
définie sur
l'intérieur du disque de convergence de la série entière, mais elle vérifie des 
identités
permettant d'en construire un prolongement à des domaines de R ou de C plus 
vastes.
C'est l'objet de ce problème, qui comporte trois parties relativement 
indépendantes.

· La première partie, assez courte, propose d'établir quelques résultats 
généraux
sur la fonction L définie sur l'intérieur du disque de convergence. On y fait
appel à plusieurs théorèmes fondamentaux du cours sur les séries entières.
· Dans la deuxième partie, on se restreint au cas  > 1 et on construit un
prolongement de L au plan complexe privé d'une droite au moyen d'une 
représentation intégrale. On utilise la plupart des théorèmes portant sur les 
séries
de fonctions et sur les intégrales dépendant d'un paramètre.
· La troisième partie est consacrée au cas  = 2. On calcule la valeur de L2 en
plusieurs points particuliers et l'on donne un équivalent de L2 en -. On utilise
pour cela quelques résultats de la théorie des séries de Fourier.
Ce sujet d'une longueur raisonnable fait appel à un grand nombre de théorèmes
du cours et permet une bonne révision d'une large partie du programme d'analyse
de seconde année. En outre, il aborde des objets classiques mais pas 
explicitement
P
au programme, tels que la fonction Gamma d'Euler ou la série de Riemann n-2 .
Enfin, aucune question ne nécessite d'astuce particulière, et le découpage du 
sujet
est fait de sorte à séparer les difficultés les unes des autres, en fournissant 
quelques
indications pour les questions délicates.

Indications
Partie I
I.1.1 Utiliser la définition du rayon de convergence d'une série entière.
I.1.3 En observant que les séries définissant L (x) et L (-x) convergent 
absolument, séparer les termes d'indice pair et les termes d'indice impair.
I.2.1 Dériver la série terme à terme, en s'assurant que c'est licite.
I.2.2 Commencer par  = 0 puis utiliser les expressions obtenues à la question 
I.2.1.
I.3 Remarquer que n 6 n pour tout n > 1.
Partie II
II.1.1 Remarquer que L (1) est une série de Riemann.
II.1.2 Faire appel au résultat de la question I.1.2, puis utiliser le théorème 
des
accroissements finis sur l'intervalle ] x ; 1 [.
II.2.1 On pourra montrer que (u) = o(1/u2 ) au voisinage de +.
II.2.2 Comparer la fonction à intégrer à la fonction  introduite à la question 
II.2.1.
II.2.3 Utiliser le théorème de continuité sous le signe intégrale, en utilisant 
 pour
la condition de domination.
II.2.4 Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
II.2.5 Comparer les hypothèses de cette question avec celles de la question 
II.2.4.
II.3.1 Comparer la fonction à intégrer à , puis utiliser la question II.2.1.
II.3.2 Remarquer que 1/(1-xe -u ) s'écrit comme la somme d'une série 
géométrique.
II.3.3 Utiliser le théorème d'intégration terme à terme d'une série de 
fonctions.
II.4.1 Faire appel aux résultats précédemment obtenus sur la fonction K .
II.4.2 Effectuer le changement de variable t = e -u dans l'intégrale 
définissant K .
II.4.3 Pour montrer que l'intégrale converge en 0, différencier les cas z = 1 
et z 6= 1.
Partie III
III.1.2 Pour le calcul de L2 (-1), utiliser l'identité démontrée à la question 
II.4.3.
III.2.1 Utiliser le résultat de la question I.1.2.
III.2.2 Pour montrer que  vaut L2 (1) sur ] 0 ; 1 [, étudier la limite de  en 0.
III.2.4 Raisonner comme à la question III.2.2.
III.3 Calculer G2 en effectuant une intégration par parties.
III.4.2 Reconnaître le produit d'une fonction par sa dérivée dans l'intégrale.
III.4.4 Il pourra être utile d'établir que ln(1 - x)  ln(-x) lorsque x  -.

I. Le polylogarithme
I.1.1 Par définition, le rayon de convergence R de la série entière L est la 
borne
supérieure de l'ensemble des r > 0 tels que la suite (n- rn )n>1 est bornée. 
D'après
les règles de croissances comparées,
r < 1

n- rn ---- 0
n

et

r > 1

n- rn ---- +
n

En particulier, pour tout r < 1, la suite (n- rn )n>1 converge donc elle est 
bornée,
d'où R > 1. De même, pour tout r > 1, la suite (n- rn )n>1 tend vers + donc elle
n'est pas bornée et R 6 1.
Le rayon de convergence de la série entière L est 1.
Rappelons qu'on appelle « règles de croissances comparées » les énoncés
suivants, qui permettent de lever l'indétermination sur les limites de produits
et de quotients d'expressions logarithmiques, polynomiales et exponentielles :
  R
 > 0

lim x e -x = 0

et

lim x ln(x) = 0

et

x+

x0+

lim x- e x = +

x+

lim x- ln(x) = 0

x+

Notons que dans les deux premières limites, la forme n'est indéterminée que
lorsque  > 0.
Pour appliquer ces règles ici, écrivons n- rn = n- e n ln(r) . Lorsque
r > 1, ln(r) > 0 et, en posant x = n ln(r), on a x  + lorsque n  +, d'où

-
x

- n ln(r)
n e
=
e x = (ln(r)) x- e x ---- +
x+
ln(r)
tandis que, lorsque r < 1, ln(r) < 0 et, en posant x = -n ln(r), on a x  +
lorsque n  +. Alors

-
-x

n- e n ln(r) =
e -x = (- ln(r)) x- e -x ---- 0
x+
ln(r)

I.1.2 Comme le rayon de convergence R de la série entière L est strictement
positif, on sait d'après le cours que L est de classe C  sur ] -R ; R [. Ainsi,
La fonction L est de classe C  sur ] -1 ; 1 [.

Le théorème du cours utilisé ici précise de plus que les dérivées de L
s'obtiennent en dérivant la série entière terme à terme : pour tous k > 1
et x  ] -1 ; 1 [,
(k)

L (x) =

P n(n - 1) · · · (n - k + 1) n-k
x
n
n=k
+

I.1.3 Pour tout x  ] -1 ; 1 [, les séries L (-x) et L (x) convergent absolument.
On peut donc séparer leur somme en somme sur les termes d'indice pair et somme
sur les termes d'indice impair, de sorte que
 xn
P (-x)n +P
+

n=1 n
n=1 n
+

L (-x) + L (x) =

+
+
 (-x)2p-1
P (-x)2p +P
P x2p
P x2p-1
+
+
+

p=1 (2p)
p=1 (2p - 1)
p=1 (2p)
p=1 (2p - 1)
+

=

P 2x2p

p=1 (2p)
+

=

L (-x) + L (x) = 21- L (x2 )
Ainsi,

L (-x) + L (x) = 21- L (x2 )

x  ] -1 ; 1 [

P
De manière générale, avant de séparer la somme de la série un en deux
sommes sur des sous-ensembles complémentaires dans N, il convient
de vériP
fier que la série converge absolument, c'est-à-dire que la série |un | converge.
En effet, si cette condition n'est pas satisfaite, séparer les termes d'indices
pairs et impairs peut donner des résultats
Par exemple, le critère des séP -1 faux.
n
ries alternées montre
que
la
série
n
(-1)
converge,
mais pas absolument.
P
P
Or, les séries (2p)-1 (-1)2p et (2p - 1)-1 (-1)2p-1 divergent !
I.2.1 D'après la question I.1.2, L+1 est de classe C 1 sur ] -1 ; 1 [ et sa 
dérivée
s'obtient en dérivant la série entière terme à terme. Ainsi, pour tout x  ] -1 
; 1 [,
+
P nxn-1
P xn-1
=
+1

n=1 n
n=1 n
+

L+1  (x) =
d'où

x  ] -1 ; 1 [

xL+1  (x) = L (x)

En particulier, pour tout x  ] -1 ; 1 [ tel que x 6= 0,
L+1  (x) =

L (x)
x

D'après la question I.1.2, L+1 est de classe C 1 sur ] -1 ; 1 [, donc la 
fonction L+1 
est continue en 0. Ainsi, l'expression L (x)/x est prolongeable par continuité 
en 0.
Pour tout x  ] -1 ; 1 [, intégrons la relation précédente sur [ 0 ; x ], alors
Z x
L+1 (x) - L+1 (0) =
L+1  (y) dy
0

donc

x  ] -1 ; 1 [

L+1 (x) =

Z

x

0

L (y)
dy
y

car L+1 (0) = 0.

+

I.2.2 Pour tout x  ] -1 ; 1 [, L0 (x) =

P

xn est la somme d'une série géométrique

n=1

de raison x et de premier terme x, de sorte que
x  ] -1 ; 1 [

L0 (x) =

x
1-x