CCINP Maths 2 PC 2008

Thème de l'épreuve Variations autour des intégrales de Wallis
Principaux outils utilisés suites récurrentes, intégrales généralisées, trigonométrie
Mots clefs Formule de Stirling, Intégrales de Wallis, problème de Cauchy, coefficients de Fourier

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Les calculatrices sont interdites
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la 
precision et a la concision de la redaction ; si un candidat est amene a 
reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur
d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu'il a ete amene a prendre.

PARTIE I
Pour tout nombre reel s, on considere l'equation differentielle lineaire 
homogene du second
ordre (Es ) suivante :
(Es )

(1 - x2 ) y  (x) - 2(s + 2) xy  (x) - 2(s + 1) y(x) = 0.

On note fs la solution de (Es ) sur ]-1, +1[ qui verifie les conditions 
initiales fs (0) = 0 et fs (0) = 1.
I.1. Soit gs la fonction definie sur ] - 1, +1[ par gs (x) = fs (x) + fs (-x).
I.1.1. Montrer que gs est solution de (Es ) sur ] - 1, +1[.
I.1.2. Calculer gs (0) et gs (0). En deduire que fs est impaire.
I.2. Determiner en fonction de s l'unique valeur de   IR telle que la fonction 
x 7 (1 - x2 ) soit
solution de (Es ) sur ] - 1, +1[.
I.3. Soit us la fonction definie sur ] - 1, +1[ par us (x) = (1 - x2 )s+1 fs 
(x).
I.3.1. Montrer que la derivee us de us est solution sur ] - 1, +1[ de 
l'equation differentielle :
(Es )

(1 - x2 ) y  (x) + 2sxy(x) = 0.

I.3.2. Determiner l'ensemble des solutions de (Es ) sur ] - 1, +1[.
Z x

(1 - t2 )s dt pour tout x ] - 1, +1[.
I.3.3. Calculer us (0) et us (0). En deduire que us (x) =
0

I.4. Soit y une fonction impaire, definie sur un intervalle ouvert I contenant 
0, developpable en
+
X
cn x2n+1 le developpement en serie entiere de y sur I.
serie entiere sur I. On note y(x) =
n=0

1/3

I.4.1. Montrer que pour que y soit solution de (Es ) sur I, il faut et il 
suffit que l'on ait pour
tout n  IN :
2s + 2n + 3
cn+1 =
cn .
2n + 3
I.4.2. En deduire pour tout n  IN une expression de cn en fonction de n et c0 .
I.4.3. Pour quelles valeurs de s  IR l'equation (Es ) admet-elle des solutions 
polynomiales
impaires non identiquement nulles ?
I.4.4. On suppose que s 6 {-n - 23 ; n  IN}, que y(x) =

+
X

cn x2n+1 est solution de (Es ) sur

n=0

I, et que c0 6= 0. Determiner le rayon de convergence de la serie entiere

+
X

cn x2n+1 .

n=0

I.5. Deduire des questions precedentes que pour tout s  IR et tout x ] - 1, +1[ 
on a :
#
"
n
+
X
2n n! Y
(2s + 2k + 1) x2n+1 .
fs (x) = x +
(2n
+
1)!
n=1
k=1
I.6. Montrer que pour tout p  IN et tout x ] - 1, +1[ on a :
Z x
Qp (x)
dt
=
1 ,
p+ 32
2
(1 - x2 )p+ 2
0 (1 - t )
ou Qp est une fonction polynomiale
impaire
Z x
Z x de degre 2p + 1 que l'on explicitera.
dt
dt
Expliciter en particulier
3 et
5 .
2
2
0 (1 - t ) 2
0 (1 - t ) 2
PARTIE II
On considere la fonction  de la variable reelle x definie par :
Z 1
(1 - t2 )x dt.
(x) =
0

II.1. Determiner le domaine de definition de .
II.2. Montrer que  est continue sur ] - 1, +[.
1

On admettra que  est de classe C sur ] - 1, +[, de derivee x 7  (x) =

Z

1

(1 - t2 )x ln(1 - t2 )dt.

0

II.3. Montrer que  est strictement monotone sur ] - 1, +[ et preciser son sens 
de variation.
II.4.
2x + 2
(x) pour
II.4.1. A l'aide d'une integration par parties, montrer que l'on a (x + 1) =
2x + 3
tout x > -1.
II.4.2. Calculer (0). En deduire la limite de (x) lorsque x tend vers -1 par 
valeurs
superieures.
2/3

II.4.3. Pour tout n  IN donner une expression de (n) a l'aide de factorielles. 
En utilisant
la formule de Stirling, determiner un equivalent de (n) lorsque n tend vers +. 
En deduire la
limite de (n) lorsque n tend vers +, puis celle de (x), x  IR, lorsque x tend 
vers +.

II.4.4. Calculer  - 21 . En deduire la valeur de  - 12 + n pour tout n  IN .
PARTIE III
Soit  un nombre reel strictement superieur a 1, non entier. Soit  la fonction 
2-periodique
definie sur IR par :
x  IR,
 (x) = |cos x| .
On note a0 () +

+
X

[an () cos nx + bn () sin nx] la serie de Fourier de  .

n=1

III.1.
III.1.1. Preciser pourquoi  est egale en tout point de IR a la somme de sa 
serie de Fourier.
III.1.2. Que peut-on dire des coefficients bn (), n  IN , et a2p+1 (), p  IN ?
III.2. Pour tout p  IN on considere l'integrale Ip =

Z

2

cos x. cos 2px dx.

0

III.2.1. Montrer que Ip - Ip+1 = 2

Z

2

cos x sin x. sin(2p + 1)x dx.

0

III.2.2. A l'aide d'une integration par parties, montrer que :
Z 
2p + 1 2
cos x. cos x cos(2p + 1)x dx.
Ip - Ip+1 = 2
+1 0
III.2.3. En deduire que Ip - Ip+1 =

2p + 1
[Ip + Ip+1 ].
+1

III.2.4. Montrer que I0 = (  ), ou   est un nombre reel strictement positif que 
l'on calculera
en fonction de .
p-1
Y
 - 2k

Ap ()( ), ou Ap () =
.
III.2.5. En deduire que pour tout p  IN on a Ip =
 + 2p
 + 2k
k=0

III.3. Deduire de ce qui precede les valeurs de a0 () et de a2p () pour tout p  
IN .

Fin de l'enonce

3/3