CCP Maths 2 PC 2005

Thème de l'épreuve Étude de deux intégrales à paramètres
Principaux outils utilisés séries entières, équations différentielles linéaires, intégrales à paramètres, séries de Fourier, interversion somme-intégrale

Corrigé

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SESSION 2005 PCM2007

A

CONCOURS COMMUN!) POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites
****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté,
& la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énonce',
il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition

en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
****

PARTIE I

On considère l'équation différentielle linéaire du 2° ordre en la fonction 
inconnue y de la
variable réelle a: :

<£,\) cv(æ + 1)y"<æ) + (2oe + 1)y'(x) -- À_ --â--.

Dans la suite de cette partie, y désigne une fonction de la variable réelle 
:::, admettant un
+oo

développement en série entière y(a:) : E ans:" au voisinage de O.

n=0

1.2. Montrer que, pour que y soit solution de l'équation (&), il faut et il 
suffit que l'on
ait pour tout n EUR IN :
(À+n+l)(À--n)

: an.
CL?"L+1 (TL + 1)2

1.3.
1.3.1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur A E [----â--, +00[ 
pour que
l'équation (EA) admette des solutions polynomiales de degré donné d EUR IN .

1.3.2. Lorsque c'est le cas7 montrer qu'il existe une unique solution 
polynomiale de
(&) de degré ci, que nous noterons god, telle que god(O) = 1.

1.3.3. Expliciter la fonction polynôme cpl.

1.3.4. Déterminer les coefficients a, b, c, a', b', c' tels que :

8oe2+8x+1 _a+ b + c 1 __a'+ b' + c'
æ(oe+1)(2x+l)--æ a:+1 2x+1' æ(x+1)(2oe+1)2--oe :z:+1 (2x+1)2'

En déduire la solution générale de l'équation (81) sur ]0, +oo[.

1.4. On se place dans le cas où À _>_ ---â, /\ &' IN.

1.4.1. On suppose que y est une solution non identiquement nulle de (&).
+oo '

Déterminer le rayon de convergence de la série entière E aux".

n=O

1.4.2. Montrer qu'il existe une unique solution de (($), que nous noterons g0À,
développable en série entière de la variable a: sur } -- 1, +1[ et telle que 
go,\(O) : 1.

1.4.3. Expliciter les développements en série entière de la variable a: des 
fonctions
 bcos t.î + asint.jÇ où a et b sont 
des nombres
réels donnés tels que a 2 b > 0. On note EUR sa longueur et 6 son excentricîté.

Montrer que EUR : 7ra ]90%(--e2) + 90_%(--e2)] .

PARTIE III

Soit f la fonction de la variable réelle t définie par :

1 +1 ___--___
f(t)=-2- J1+æsin%doe.
,-1

111.1. Montrer que f est définie et continue sur IR, et 27r--périodique.
111.2. Montrer que f est de classe C1 sur IR.
111.3. Montrer que la série de Fourier de f est de la forme :

& +00

--29 + % 012n cos2nt,

où dg, a2, . . . (12... . . . sont des nombres réels que l'on ne cherchera pas 
à calculer.
Préciser pourquoi la fonction f est égale à la somme de sa série de Fourier.

111.4. A l'aide du résultat de la question 11.3.5, donner une expression de cm 
sous forme
de somme d'une série numérique.

Fin de l'énoncé

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CCP Maths 2 PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Denis Ravaille (ENS Cachan) et Olivier Dudas (ENS Ulm).

Ce sujet d'analyse aborde des thématiques assez classiques du programme, autour
de l'étude de la fonction de deux variables
p
h : (x, t) 7- 1 + x sin2 t

à partir de laquelle sont étudiées deux fonctions d'une variable, en intégrant 
h suivant
l'une ou l'autre de ses variables.

· La première partie est une sorte de préliminaire visant à trouver les 
solutions
développables en série entière d'une équation différentielle linéaire du second
ordre à paramètre. Elle détaille la méthode de résolution classique.
Z 
2 2
· Dans la deuxième partie, on étudie la fonction  : x 7-
h(x, t) dt ; on en
 0
donne une expression sous forme de série entière, que l'on utilise ensuite pour
déterminer le périmètre d'une ellipse.
Z
1 1
· La troisième et dernière partie étudie la fonction f : t 7-
h(x, t) dx à
2 -1
l'aide des séries de Fourier.
Les trois parties du sujet ne sont pas indépendantes : les deux premières 
doivent
être traitées dans l'ordre, la deuxième nécessitant l'usage de résultats 
compliqués et
très calculatoires obtenus précédemment. En revanche, la troisième partie peut 
être
traitée en ayant seulement lu l'énoncé des deux premières parties.
Ce sujet est donc assez classique et utilise à de nombreuses reprises des 
techniques
calculatoires pénibles, mais incontournables pour préparer les concours.

Indications
Partie I
I.2 Reporter la série entière dans l'équation différentielle (E ).
I.3.1 Une solution polynomiale de degré exactement d est une solution 
développable
P
en série entière an xn avec ad 6= 0 et an = 0 pour n > d.
I.3.2 Utiliser l'un des sens de l'équivalence établie à la question I.2.
n-1

I.4.3 Utiliser le fait que, sous réserve d'existence, an = a0

ak+1
.

k=0 a

Pour calcu-

k

ler explicitement les produits de nombres impairs consécutifs, intercaler « de
force » les nombres pairs coincés.

Partie II

II.2 Former une équation différentielle linéaire du premier ordre dont u 7- 1 + 
u
est solution, puis chercher des solutions développables en série entière de 
cette
équation différentielle.
II.3.3 Écrire sin2n u = sin2n-2 u(1 - cos2 u). Intégrer (sin2n-1 u cos u) × cos 
u par
parties.
II.5 Se rappeler de la formule de l'excentricité d'une ellipse en fonction des 
demilongueurs de ses axes (1 - e2 = a2 /b2 ).
Partie III
III.1 Déterminer une expression simple de f ou utiliser le théorème de 
continuité
sous le signe intégrale.
III.3 Vérifier et exploiter le fait que f est paire et -périodique.
III.4 Utiliser le théorème de Fubini.

PARTIE I
I.1 Dans l'équation (E ), le réel  n'est présent que dans le coefficient devant 
y(x),
et sous la forme -( + 1). Du fait que
-(- - 1)([- - 1] + 1) = -(- - 1)(-)
= -( + 1)

Les équations (E ) et (E--1 ) sont donc identiques.

Il est ainsi tout à fait légitime de restreindre l'étude des ces équations au
cas où  décrit un certain sous-ensemble E de R tel que, si  décrit E, alors
-1 -  décrit un ensemble contenant le complémentaire de E. L'ensemble
E = { |  > -1/2} satisfait cette propriété.
I.2 Soit y une fonction réelle de la variable réelle x développable en série 
entière au
voisinage de 0 (comme le dit l'énoncé) avec un rayon de convergence r > 0.
+
P
x  ] -r ; r [
y(x) =
an xn
n=0

D'après le théorème de dérivation des séries entières, y est de classe C  sur
l'intervalle ] -r ; r [ et
+
P
x  ] -r ; r [
y  (x) =
nan xn-1
n=1

puis

x  ] -r ; r [

+

y  (x) =

P

n(n - 1)an xn-2

n=2

Ainsi, pour tout x tel que |x| < r, on a :

x(x + 1)y  (x) + (2x + 1)y  (x) - ( + 1)y(x)
= x2 y  (x) + xy  (x) + 2xy  (x) + y  (x) - ( + 1)y(x)
+

=

P

n(n - 1)an xn +

n=2

+

P

n(n - 1)an xn-1 +

n=2

+

P

2nan xn +

n=1

+

P

nan xn-1

n=1
+
P

+

n=0

+

=

P

n(n - 1)an xn +

n=0

+

P

(n + 1)n an+1 xn +

n=0

+

P

2nan xn +

n=0

+

P

- ( + 1) an xn

(n + 1)an+1 xn

n=0
+
P

+

n=0

+

- ( + 1) an xn

i
Ph
=
n(n - 1)an + (n + 1)nan+1 + 2nan + (n + 1)an+1 - ( + 1)an xn
n=0
+

=

P

n=0

[n(n + 1) - ( + 1)]an + (n + 1)2 an+1 xn

Ainsi, y : x 7-
entière

+

P

n=0

+

P

an xn est solution de l'équation (E ) si et seulement si la série

n=0

[n(n + 1) - ( + 1)]an + (n + 1)2 an+1 xn est la fonction nulle, ce qui,

par unicité du développement en série entière, équivaut à
n  N
soit

[n(n + 1) - ( + 1)]an + (n + 1)2 an+1 = 0

n  N

an+1 =

( + 1) - n(n + 1)
an
(n + 1)2

Il reste à vérifier que ( + n + 1)( - n) = ( + 1) - n(n + 1). Cette vérification
s'effectue en développant chacun des deux membres de l'égalité à montrer ; on 
vérifie
en effet qu'ils sont tous les deux égaux à 2 +  - n2 - n.
n  N

an+1 =

( + n + 1)( - n)
an
(n + 1)2

(1)

Ainsi, l'ensemble des solutions  à l'équation E qui sont développables
en série entière au voisinage de 0 forment un espace vectoriel, de dimension 1
(paramétré par a0 = (0)) si cette relation définit effectivement le terme
général d'une série entière de rayon de convergence non nul, et de dimension 0
dans le cas contraire.
D'autre part, le théorème de Cauchy-Lipschitz pour les équations 
différentielles linéaires permet d'affirmer que l'ensemble des solutions de E 
sur
R+ est de dimension 2. En particulier, il est certain que toutes les solutions
de l'équation ne sont pas développables en série entière.
Par ailleurs, cette question est calculatoire et, de surcroît, la réponse est
fournie par l'énoncé. Il est donc important de la traiter très soigneusement
au niveau des calculs. Dans le cas contraire, le correcteur pourra avoir 
l'impression (d'ailleurs, il n'aura pas tort, n'est-ce pas ?) que le candidat a 
bluffé
et risque de le sanctionner fortement.

I.3.1 Soit d un entier naturel fixé.
Condition nécessaire : supposons que (E ) admette une solution polynomiale
de degré d. Cette solution est développable en série entière sous la forme
y(x) =

+
X

an xn

n=0

avec ad 6= 0 et an = 0 pour n > d. En particulier, avec n = d + 1, on a ad+1 = 
0.
D'autre part, d'après l'égalité (1) (et le fait que  > -1/2),
ad+1 = ( - d)

+d+1
ad
(d + 1)2 |{z}
| {z } 6=0
>0

Pour avoir ad+1 = 0, il faut donc que  = d.