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SESSION 2005 PCM2007
A
CONCOURS COMMUN!) POlYÏECHNIOUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites
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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté,
& la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énonce',
il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition
en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
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PARTIE I
On considère l'équation différentielle linéaire du 2° ordre en la fonction
inconnue y de la
variable réelle a: :
<£,\) cv(æ + 1)y"<æ) + (2oe + 1)y'(x) -- À_ --â--.
Dans la suite de cette partie, y désigne une fonction de la variable réelle
:::, admettant un
+oo
développement en série entière y(a:) : E ans:" au voisinage de O.
n=0
1.2. Montrer que, pour que y soit solution de l'équation (&), il faut et il
suffit que l'on
ait pour tout n EUR IN :
(À+n+l)(À--n)
: an.
CL?"L+1 (TL + 1)2
1.3.
1.3.1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur A E [----â--, +00[
pour que
l'équation (EA) admette des solutions polynomiales de degré donné d EUR IN .
1.3.2. Lorsque c'est le cas7 montrer qu'il existe une unique solution
polynomiale de
(&) de degré ci, que nous noterons god, telle que god(O) = 1.
1.3.3. Expliciter la fonction polynôme cpl.
1.3.4. Déterminer les coefficients a, b, c, a', b', c' tels que :
8oe2+8x+1 _a+ b + c 1 __a'+ b' + c'
æ(oe+1)(2x+l)--æ a:+1 2x+1' æ(x+1)(2oe+1)2--oe :z:+1 (2x+1)2'
En déduire la solution générale de l'équation (81) sur ]0, +oo[.
1.4. On se place dans le cas où À _>_ ---â, /\ &' IN.
1.4.1. On suppose que y est une solution non identiquement nulle de (&).
+oo '
Déterminer le rayon de convergence de la série entière E aux".
n=O
1.4.2. Montrer qu'il existe une unique solution de (($), que nous noterons g0À,
développable en série entière de la variable a: sur } -- 1, +1[ et telle que
go,\(O) : 1.
1.4.3. Expliciter les développements en série entière de la variable a: des
fonctions
bcos t.î + asint.jÇ où a et b sont
des nombres
réels donnés tels que a 2 b > 0. On note EUR sa longueur et 6 son excentricîté.
Montrer que EUR : 7ra ]90%(--e2) + 90_%(--e2)] .
PARTIE III
Soit f la fonction de la variable réelle t définie par :
1 +1 ___--___
f(t)=-2- J1+æsin%doe.
,-1
111.1. Montrer que f est définie et continue sur IR, et 27r--périodique.
111.2. Montrer que f est de classe C1 sur IR.
111.3. Montrer que la série de Fourier de f est de la forme :
& +00
--29 + % 012n cos2nt,
où dg, a2, . . . (12... . . . sont des nombres réels que l'on ne cherchera pas
à calculer.
Préciser pourquoi la fonction f est égale à la somme de sa série de Fourier.
111.4. A l'aide du résultat de la question 11.3.5, donner une expression de cm
sous forme
de somme d'une série numérique.
Fin de l'énoncé
