CCP Maths 2 PC 2004

Thème de l'épreuve Application de l'étude des séries entières au calcul d'intégrales
Principaux outils utilisés séries de fonctions, séries de Fourier, séries entières, intégrales à paramètres

Corrigé

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SESSION 2004 . PCMZOO7

CONCOURS (OMMUNS POlYTECNNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

****

NB.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté,

& la précision et a' la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énonce',
il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition

en appliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre.

****

La partie Il peut être traitée indépendamment des parties 1 et III.

PARTIE 1

+00
On considère la série entière E --n_szn de la variable complexe 2, où 3 est un 
nombre réel

, n=1
donne.

I.1 Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.

1.2 Dans cette question, 2: : ei9 désigne un nombre complexe de module 1.
+00

1.2.1 Etudier la convergence de Z n"szn dans le cas0ù s > 1 ainsi que dans le 
cas

n=1

où 3 S 0.
+00

1.2.2 Dans le cas où 0.< s 5 l, étudier la convergence de Z n"szn pour 2 = l.

' n=1
1.2.3 Toujours dans le cas où 0 < 3 S 1, on suppose que 2 # 1. On pose So : O, 
et

pour tout nombre entier n E N'", Sn : Z Z,".
k=l

1

:: _ QI.
'SH12

Montrer que |Sn| S M(9) pour tout 77. EUR IN, avec M(9)

En écrivant z'" sous la forme Sk -- Sk_1 pour tout nombre entier k EUR IN, 
montrer que :

n n---1 '
Vn EUR IN*, 2 k'szk = 2 S,. [w -- (k + 1)--3] + Sun--s.
k=1 k=1

+oo
Montrer que la série 2 S., [ra--s ---- (n + U") est convergente et en déduire 
que la série
n=1

+00
5 72--82" est convergente.

n=1

+oo
Nous noterons dorénavant cp(z,s) la somme Zn""z" pour tout couple (2,3) EUR (D 
>< IR
n=1

pour lequel cette série est Convergente.

1.3 On note [ l'intervalle ouvert ] -- 1, +1[ de IR.

7: t
1.3.1 Montrer que pour tout (32,3) EUR ] >< IR on a cp(oe,s + 1) = / ÇP( t's)dt.
0

I.3.2 Calculer ga(oe,0) et go(cc, 1) pour tout 3: EUR [.

1.4 On suppose dans cette question que 3 > 1.

1.4.1 Soit fn la fonction définie sur [O, +oo[ pour tout n EUR IN'" par f,,(t) 
: e'"'ts°l.
+oo

Montrer que fn est intégrable sur [O, +oo[ et exprimer f,,(t)dt à l'aide de n, 
3 et

0
+00

+00
l'intégrale F(s) : / e°'ts_ldt : f1(t)dt.
0 0
1.4.2 Soit 2 un nombre complexe de module inférieur ou égal à 1. Montrer que

+oo
la série z z"fn(t) de fonctions de la variable réelle t est intégrable terme a 
terme sur

n=1
]0, +oo[.
En déduire que pour tout 3 > 1 et tout z EUROE tel que |z| S 1, on a :

(1) cp(z,s)= FÎS)/O 00 t5-- dt.

et--z

PARTIE II

+oo
Pour tout nombre réels > 1, on pose Ç(s) : cp(1,s) : En".

n=1

II.] Montrer que Ç est une fonction indéfiniment dérivable de la variable 3 sur 
]1, +oo[.
11.2 Montrer que { est strictement décroissante sur ]1, +oo[.
II.3 Montrer que pour tout 3 EUR]1,+oo[ on a :

0 g Ç(s) _ 1 g /+oet'sdt g Ç(s).

En déduire la limite de Ç(s) lorsque 3 tend vers +00.
Déterminer un équivalent de Ç(s) lorsque 3 tend vers 1 par valeurs supérieures 
à 1.

PARTIE III

III.1 Soit g la fonction de la variable réelle a: définie par :

(i) g(æ) = (" " "')2 pour tout 51: EUR [0,2fl.

2
(iz) g est périodique de période 27r.

III.1.1 Montrer que g est paire. Développer g en série de Fourier réelle. 
Etudier

l'égalité entre 9 et la somme de sa série de Fourier.
III.1.2 Calculer les valeurs de Ç (2) et Ç(4), où Ç est la fonction définie 
dans la partie
précédente.

III.2 Soit 0 un nombre réel. On note ch(9) la partie réelle de go (629,2), où 
cp est la
fonction définie à la question 1.2.

III.2.1 Exprimer ch(9) a l'aide de g(9).
111.2.2 En déduire que pour tout 9 EUR IR on a :

+00 t t 9 _1 2
/ (EUR COS ""'--) dt =9(9) -- î---
0 e" -- 26t cos9 +1 12

III.2.3 Déduire de ce qui précède la valeur des intégrales :

+00 t d +00 t d +00 td
[ =' t I = t I = ---- t.
1 /0 et--l ' 2 /0 et+l ' 3 _/0 sht

III.3 Soit 3 un nombre réel strictement positif.

III.3.1 Montrer que pour tout 9 EUR IR on a les égalités :

"__--"_"dt : F 1 --(s+1) 9)
/0 e2t--28tcosô+1 (3+ )7ên cosn

+°° tsetsin0 , +oo ( ...
[; mdt : P(3 +1)Z n sm n9.

' n=1

III.3.2 En déduire (les expressions des intégrales :

+oo ts d +00 ts d
I = t = t
(3) /0 cht ' J(S) /0 sht '
+oo +00 .
en fonction des sommes Sl(s) : Z(2k + 1)'(3+1), Sg(8) : Z(--l)k(2k + 1)_(5+1) 
et de
k=0 k=0

F(s+1).

Fin de l'énoncé

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CCP Maths 2 PC 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Julien
Lévy (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Ce sujet est un grand classique, qui tourne autour de la fonction
 1
P
 : s 7
s
n=1 n

de Riemann. Les principaux outils mis en oeuvre sont les séries entières et les 
intégrales
à paramètres.
· La première partie propose d'étudier une version généralisée de la fonction ,
sous la forme de la série entière
 zn
P
s
n=1 n
Après avoir soigneusement examiné ses domaines d'existence selon z et s,
on montre un lien avec la fonction  d'Euler.
· La deuxième partie se consacre à la fonction , dont on étudie la régularité, 
la monotonie, les limites (en 1 et en +) et un équivalent classique
lorsque s  1+ .
· La troisième partie vise à calculer quelques intégrales en s'appuyant d'abord
sur un calcul usuel de (2) et (4) au moyen des séries de Fourier, puis en
utilisant la relation vue à la première partie avec la fonction .
Ce problème est de difficulté modérée, en dépit de la richesse des résultats 
obtenus,
parce que l'énoncé est nettement directif ; en outre, vous êtes supposé être 
déjà
familier avec plusieurs des questions posées, qui sont très classiques. Tout 
ceci en
fait un excellent sujet de révision.

Indications
Partie I
I.1 Appliquer le critère de d'Alembert pour les séries entières.
I.2.1 Utiliser les résultats sur les séries de Riemann.
I.2.3 Pour démontrer la convergence de la série, majorer le module de son terme
général en utilisant le début de la question et la monotonie de t 7- t-s .
I.3.1 Intervertir la somme et l'intégrale.
I.4.1 Effectuer le changement de variable u = nt.
I.4.2 Intégrer terme à terme et utiliser la question I.4.1.
Partie II
II.1 Montrer que la série des dérivées converge uniformément sur tout compact de
l'intervalle ] 1 ; + [.
II.3 Utiliser les comparaisons série­intégrale.
Partie III
III.1.1 Pour montrer la parité de g, se ramener à x  [ 0 ; 2 [.
III.1.2 Appliquer g en une valeur particulière puis utiliser la formule de 
Parseval.
III.2.2 Utiliser la question I.4.2.

.
2
III.3.1 Considérer les parties réelles et imaginaires dans la formule (1) de la 
question I.4.2.

III.3.2 Appliquer le résultat de la question précédente à  = 0,
et .
2
III.2.3 Appliquer le résultat de la question précédente à  = 0 et  =

Ce sujet fait un usage intensif des séries, en utilisant une notation qui
peut prêter à confusion. Afin d'écarter tout doute, voici les conventions
usuelles :
P
· pour désigner une série, on utilise le symbole sigma sans indice : un ;
· la somme de la série (lorsque cette dernière converge) est normalement

P
notée
un .
n=0

P
Le défaut de la notation
un est de ne pas préciser l'indice à partir
duquel on effectue la sommation, disons n0 pour fixer les idées, par exemple
dans une série tronquée. Lorsque le contexte ne permet pas de leverPfacilement
toute ambiguïté, certains enseignants recourent à la notation
un pour
n>n0

désigner la série, alors que syntaxiquement cette écriture devrait désigner
la somme. D'autres enseignants utilisent au contraire cette notation comme
abréviation de la somme. Le statut de cette notation est donc ambigu et,
finalement, seul le contexte permet de comprendre ce que l'on a voulu dire.

P
L'auteur de l'énoncé a fait le choix d'utiliser la notation
un pour
n=n0

désigner une série, et non sa somme. Afin de faciliter votre lecture, nous
suivons au plus près les notations de l'énoncé et nous adoptons par conséquent
la même convention dans ce corrigé.
Gardez toutefois à l'esprit que cette convention P
n'est pas usuelle et que
vous pouvez sans crainte adopter la forme classique un si elle vous semble
plus naturelle : lorsque les notations sont aussi proches, c'est la justesse,
la précision et la clarté de vos réponses qui seront évaluées, pas vos 
notations.

Partie I
I.1 Soit s un nombre réel et n > 1. On a

1
(n + 1)-s
-s ln 1+ n
=
e
---- 1
n
n-s
Le critère de d'Alembert pour les séries entières montre alors que
P 1 n
z est 1.
s
n=1 n
+

Le rayon de convergence de la série entière

I.2.1 Soit z = e i  un nombre complexe de module 1 et s un réel. On a
zn
1
= s
s
n
n
C'est une série de Riemann qui converge si et seulement si s > 1. De plus, si s 
6 0,
la suite (1/ns )nN ne tend pas vers 0 donc la série associée ne peut converger.
En résumé,
La série converge absolument si s > 1 et diverge grossièrement si s 6 0.

Pour redémontrer ce résultat sur les séries de Riemann, on utilise les 
comparaisons série-intégrale.
Si s 6 0, la suite (1/ns )nN ne tend pas vers 0, donc la série diverge
grossièrement.
1
Si s > 0, la fonction t 7- s est positive et décroissante sur [ 1 ; + [.
t
1
À l'aide du schéma suivant, on voit qu'on peut encadrer s (qui est à la
n
fois l'aire du rectangle R et celle du rectangle R  ) par les deux intégrales,
calculées entre n et n + 1 d'une part, et n - 1 et n d'autre part.

...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
....
.....
.....
.....
......
........
..........
..............
R
R
...............

1
ns

n-1

0

Z

n+1
n

n

1
1
dt 6 s 6
ts
n

n+1

n

1
s
t
n-1

Z

Pour s 6= 1, cela donne
Z N+1
Z N
Z N
N 1
P
1
1
1
dt
6
6
dt
=
dt + Cte
s
s
s
s
t
n
t
t
n=2
2
1
2

Les deux intégrales se comportent de la même manière lorsque N tend vers
l'infini : étudions celle de droite.

N

Z N
1
1
1
1
1
1
dt
=
=
-
s
1 - s ts-1 2
s - 1 2s-1
Ns-1
2 t
Regardons ensuite sa limite lorsque N tend vers l'infini, pour pouvoir en
déduire le comportement de la série.

1
1
1
1
1
· Si s > 1,
- s-1 -----
N+ s - 1
s - 1 2s-1
N
2s-1
donc la série converge.

1
1
1
· Si s < 1,
- s-1 ----- +
N+
s - 1 2s-1
N
donc la série diverge.