CCP Maths 2 PC 2003

Thème de l'épreuve Étude de la suite de fonctions de terme général n-x(n-1)!Πk=0n(x+k)
Principaux outils utilisés convergences simple et uniforme, séries numériques, développements limités

Corrigé

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SESSION 2003 | PCMZOO7

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUÈ -- FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites
' ****

N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté,
& la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énonce',
il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition

en expliquant les raisons des initiatives qu 'ila été amené à prendre.
****

PARTIE 1

Pour tout nombre réel u EUR]O, 1[ on définit la fonction cpu de la variable 
réelle t par :
-- Pour tout t EUR [--7r, +7r[, cpu(t) : cos ut,
-- La fonction cpu est périodique de période 271".

+00
1
Soit --2-ao(u) + z a,,(u) cos nt la série de Fourier de la fonction 9%.
n=1

I.1 Calculer a,,(u) pour tout n EUR IN. _
La fonction cpu est-elle égale en tout point de IR à la somme de sa série de 
Fourier ?

1.2 En déduire, pour tout u EUR]0, 1[, l'égalité :

+oo
7rcos 7... 1 __ 2 Zu
sin7ru u _ n___1 u2 -- n2'
æ2
I\.3 Montrer que la série de fonctions de terme général u,,(æ) = ln (l ---- 
--2--) , n EUR N°",
n

converge simplement sur [O, 1[, et que la série de foncti0ns de terme général 
uÇ,(æ) converge
normalement sur tout segment [O, a] C [0,1[.

+a>
En déduire une expression de z un(æ) pour tout 33 EUR [0,1[.
n=1 '

1.4 Soit (sn)nEUR1N la suite de fonctions définies pour tout 33 EUR IR par la 
récurrence :

2
30(oe) : a:, sn(æ) : (l -- OE--) sn_1(æ) pour tout n EUR IN*.

1.4.1 Montrer que la suite de fonctions (Sn)nEURlN converge simplement sur IR.
Nous noterons 3 sa limite.

æ+n+l

OE'--71

1.4.2 Montrer que pour tout n EUR IN"' et tout :v EUR IR on a sn(æ+1) : sn(æ).

En déduire que s(oe + 1) : --s(oe) pour tout 3: EUR IR.

1.4.3 Calculer s(x) pour tout 33 EUR [0,1[.
sin 7roe

En déduire que pour tout a: EUR IR on a s(oe) :
7r

PARTIE II

On considère la suite ( fn)nEURlN* de fonctions définies pour tout &: EUR IR 
par :

--x _x n--l
n n
fn(æ) : (n_1)'æ(oe+l) (æ+n--l)= (n--1)'H(æ+k)
k=0
11.1
11.1.1 Soit 19 EUR IN un nombre entier naturel. Déterminer _l_1Æl fn(--p).

11.1.2 On suppose que 3: n'est pas un nombre entier négatif ou nul.
Montrer que la suite ( fn(oe))nelN. converge vers une limite non nulle (on 
pourra con-

fn+l(æ)

fn(æ)
déterminera en fonction de 33).

Nous noterons f la fonction lir_|n f... définie sur IR tout entier.
?).--> 00

, défini à partir d'un certain rang Na: que l'on

sidérer la série de terme général ln

11.2 Montrer que pour tout oe EUR IR on a f(x) : xf(æ +1).
Calculer f(1) et en déduire f(n) pour tout n EUR IN'".

sin 7roe

II.3 Montrer que pour tout x EUR IR on a f(oe)f(l --- ;p) :
7r
fn(oe)fn(l _ il?)

On pourra étudier, pour n EUR N'" le rapport ( )
sn x

11.4 On se propose dans cette question de montrer que pour tout :1: EUR IR et 
tout ]) EUR IN'"
on a la relation :

II.4.1 Montrer que la relation (1) est vérifiée lorsque pac est entier négatif 
ou nul.

II.4.2 On suppose que px n'est pas entier négatif, et soit n un élément 
quelconque

Ppæ_lfpn(pæ)

p--1 le

de N'". Montrer que ne dépend pas de a:. En déduire que f vérifie une

relation du type :

où A,, est un nombre réel positif ou nul dépendant de p.

. 1 . .
11.4.3 En écr1vant pour :1: = -- la relation c1--dessus, montrer que :

En déduire une expression de A; en fonction de p et de H sin Î'
k=1

11.4.4 Montrer l'identité suivante entre fonctions polynômes de la variable 
réelle oe :

p--1 --2 2 p--1 2 2k7T
(3: +3? ---+oe+1) ==H cc --2:ccos--+l .

le:] p
p--1
. , . . k7r . .
En donnant a ac la valeur 1, en déduire les valeurs de Hs1n ----- et de A... 
a1n81 que la
P
k=1

relation (1).

PARTIE III

+oo
Soit I' la fonction de la variable réelle a: définie par P(oe) : / e"ttOE--ldt.
0

111.1 Déterminer le domaine de définition D de l' et montrer que I' est 
indéfiniment
dérivable sur D.

. n t n
III.2 Pour tout :c EUR]0, +00[ et tout n EUR N'" on pose Gn(oe) : / (l -- --) 
tx"1dt.
0

n

1
III.2.1 On pose gn(oe) : ] (l -- u)"uæ_ldu. Déterminer une relation entre 
gn(oe) et
0

gn_1(æ + 1) et en déduire l'expression de gn(æ) enfonction de a: et n.
n

En dédllil'EUR que Gn(oe) : ....

t '"
III.2.2 Montrer que pour tout t E [O,n] on a les inégalités e"t 2 (1-- --) et

. t " t " t2 "
et 2 (1 + --) . En déduire que l'on a 0 S e_t-- (l -- --) S @"lt [1 --- (1-- 
--) ] pour
n

n
tout t EUR [0,72] .

III.2.3 Montrer, par récurrence sur n, que l'on a (1 -- a)" Z 1 --- na pour tout
a EUR [O, 1] et tout n E N'". En déduire que pour tout t E [O, n] on a les 
inégalités :

n 2--t
O
			

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CCP Maths 2 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été 
relu par
Sébastien Gadat (Enseignant-chercheur à l'Université) et Jean Starynkévitch (ENS
Cachan).

Ce sujet comporte trois parties distinctes qui, bien que liées, peuvent être 
traitées
indépendamment les unes des autres : les résultats utiles de chaque partie sont 
en
effet mentionnés dans l'énoncé. On y étudie la convergence de différentes 
suites et
séries de fonctions.
Dans la partie I, on étudie une série et une suite de fonctions, et l'on 
établit des
expressions de leurs limites respectives.
Dans la partie II, on commence l'étude d'une suite de fonctions et de sa limite
simple f , qui constitue en fait le but du sujet. On établira diverses 
propriétés de cette
fonction, ainsi qu'une équation fonctionnelle dont elle est solution.
Enfin dans la partie III, on introduit deux nouvelles suites de fonctions, 
définies
par des intégrales et liées à la suite étudiée dans la partie précédente. On 
finit par
établir que f est l'inverse de la célèbre fonction  ; on se rend compte a 
posteriori
que la partie II présente en fait une autre définition de la fonction  (ou 
plutôt de
son inverse).
Ce sujet ne présente pas de grosse difficulté : on y utilise des développements
limités pour montrer les sommabilités des séries étudiées, et on établit 
facilement des
relations de récurrences qui fournissent les équations fonctionnelles 
recherchées par
passage à la limite. Notons toutefois que l'énoncé est assez mal rédigé et 
comporte
une ou deux erreurs problématiques, comme la division par une fonction qui 
s'annule
aux questions I.4.2 et III.2.1 !

Indications
Partie I
Z
1 
(t) cos(nt) dt pour le développement de
I.1 Utiliser la formule an () =
 -
Fourier de  en cosinus. Noter que u est de classe C 1 par morceaux.
I.2 Calculer u ().
I.3 Majorer un sur [ 0 ; a ]. Utiliser ensuite l'intégrabilité terme à terme 
des séries
normalement convergentes et la question I.2.
I.4.2 Procéder par récurrence sur n en utilisant la définition de sn . Il est 
plus simple
de considérer des polynômes. Passer ensuite à la limite.
I.4.3 Passer au logarithme et utiliser la question I.3.

Partie II
II.1.1 Faire apparaître un facteur (X + p) dans l'expression de fn (X) pour n 
assez
grand.
II.2 Calculer xfn (x + 1) pour n  N .
II.3 Faire apparaître le facteur sn-1 (x) dans l'expression de fn (x)fn (1 - x).
II.4.1 Effectuer la division euclidienne de -px par p pour montrer l'annulation 
du
membre de droite de (1).
II.4.2 Calculer fpn (px) et faire apparaître des doubles produits au moyen de

p-1
k
divisions euclidiennes des indices par p. Calculer ensuite  fn x +
.
k=0
p
Appliquer la relation obtenue entre ces deux quantités à x = 1/p et passer à
la limite quand n tend vers l'infini.
II.4.4 Décomposer sur C le membre de gauche.
Partie III
III.1 Étudier l'intégrabilité sur ] 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; + [. Pour la 
dérivabilité de ,
faire apparaître une convergence dominée sur tout compact.
III.2.1 Intégrer par parties. Pour le calcul de Gn , effectuer le changement de 
variable
t = un.
III.2.2 Montrer que pour tout réel x, on a 1 + x 6 ex .
III.3 Montrer d'abord le résultat sur D, puis sur R, en établissant une relation
entre f (x) et f (x + n) pour n  N.

Partie I
I.1 Les coefficients de Fourier de la fonction paire u sont définis par
Z
Z
1 
1 
n  N
an (u) =
u (t) cos(nt) dt =
cos(ut) cos(nt) dt
 -
 -
cos ((u + n)t) + cos ((u - n)t)
2
Comme u  ] 0 ; 1 [, on a u + n 6= 0 et u - n 6= 0. En outre,

Z 
2 sin()
sin(t)
  6= 0
cos(t) dt =
=

-
-
Or,

t  R

si bien que

cos(ut) cos(nt) =

sin ((u + n)) sin ((u - n))
+
(u + n)
(u - n)

n
(-1) sin(u)
1
1
=
+

u+n u-n

n  N

Par conséquent,

an (u) =

an (u) = (-1)n

n  N

2u sin(u)
 (u2 - n2 )

La fonction u étant paire, son développement en série de Fourier ne comporte 
que des termes en cosinus : c'est pour cela qu'on ne calcule que les
coefficients an (u).
Comme u est de classe C 1 sur [ - ;  [, elle est par périodicité de classe C 1
par morceaux sur R : elle coïncide alors avec la somme de sa série de Fourier 
(qui
converge simplement) en tout point de R, soit
x  R

u (x) =

a0 (u) +P
+
an (u) cos(nx)
2
n=1

I.2 En particulier, pour x = , il vient
u () =
soit

cos(u) =

a0 (u) +P
+
(-1)n an (u)
2
n=1
 2u sin(u)
sin(u) +P
+
2
2
u
n=1  (u - n )

Or, sin(u) 6= 0 pour tout u  ] 0 ; 1 [, donc
u  ]0;1[

+
P
 cos(u)
1
2u
- =
2
sin(u)
u n=1 (u - n2 )

Cette égalité montre que le membre de gauche tend vers 0 quand u tend
vers 0, ce qui permet ainsi de le prolonger par continuité en 0 et de l'intégrer
sur tout segment [ 0 ; a ]  [ 0 ; 1 [.

I.3 Pour tout n  N , un (0) = 0 donc la série de terme général un (0) converge.
De plus, à x  ] 0 ; 1 [ fixé,

x2
x2
un (x) = ln 1 - 2
 - 2
n n+ n
Deux séries à termes positifs équivalents en l'infini sont de même nature : 
comme
P
P
1/n2 converge, il en découle que
un (x) converge. Par conséquent,

n>1

n>1

La série de fonctions

P

un converge simplement sur [ 0 ; 1 [.

n>1

Soit un segment [ 0 ; a ]  [ 0 ; 1 [ ; on a
 n  N
d'où

un (x) =

x  [0;a]

 n  N

|un (x)| 6

x  [0;a]
2a
n2 - a2

Or,

-2x/n2
2x
= 2
1 - x2 /n2
x - n2

n+

n2

2a
- a2

2a
n2

qui est le terme général d'une série convergente : de ce fait,
La série de fonctions

P

2a
converge.
2 - a2
n
n>1
P

un converge alors normalement sur [ 0 ; a ] et d'après la

n>1

question I.2,

+

x  ]0;a]

P

n=1

un (x) =

 cos(x)
1
-
sin(x)
x

La convergence normale de
permet alors d'intégrer cette série
P terme à terme
sur le segment [ 0 ; a ] et d'écrire, grâce à la convergence simple de un sur 
ce même
segment,

+  Z a
+
+
X
P
P

a  ]0;1[
un (a) =
un (0) +
un (t) dt
P

un

n=1

n=1
+

=

P

0+

n=1

Or,

x  ]0;a]

Comme

a

Z

a
0

n=1

0

 +
P

un (t)

n=1

dt

a

Z a
 cos(t)
dt
dt -
sin(t)
n=1
x
x
x t
h
ia h
ia
= ln sin(t) - ln t
x
x

Z a  +
P 
sin(a)
sin(x)
un (t) dt = ln
- ln
a
x
n=1
x

Z

 +
P

Z
un (t) dt =

sin(x)
----
, on déduit des deux égalités précédentes que
x
x0+

+
P
sin(a)
a  ]0;1[
un (a) = ln
a
n=1