CCP Maths 2 PC 2001

Thème de l'épreuve Étude de l'équation différentielle de Bessel
Principaux outils utilisés séries entières, fonctions définies par une intégrale, séries de Fourier

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SESSION 2001 PCOOG

A

CONCOURS COMMUNS POlYÏECHNIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES 2

DURÉE : 4 heures

L 'utilisation des calculatrices n 'est pas autorisée.

Pour tout nombre entier relatif n & Z , on définit la fonction ]" de la 
variable réelle x par:

J,, (x) : %Kcos(nt -- xsin t)dt .

(on ne cherchera pas à calculer cette intégrale)

RIE

I.1 Montrer que Jn est définie sur IR , paire si n est pair et impaire si n est 
impair.

I.2 Exprimer J _ "(x) en fonction de J "(x) .
On supposera dorénavant que n est un nombre entier positif ou nul.

I.3 Montrer que "J,. est de classe EUR" sur IR.

" .

I.4 Montrer que l'on a J ; (x) = ;',--I cos t.[(n -- x cost)cos(nt -- x sin 
t)]dt .

0
En déduire que J,, est solution de l'équation différentielle linéaire homogène :

(B") x2y" + xy' + (x2 - n2 )y = 0 .

EARTIE I! ,

II.1 Montrer que pour tout p e [N et tout x & IR on a :
sz (x) : %Kcos 2 pt. cos(x sin t)dt ,

J,,,+1 (x) : %Ksin(2 p + 1)z. sin(x sin t)dt .

Tournez la page S.V.P.

11.2 Montrer que pour tout n e N , J_(x) est développable en série entière de x 
sur R tout entier

(on utilisera les développements en série entière des fonctions cosinus ou 
sinus, selon la parité de n ).

11.3 Soit p un nombre entier naturel.

'

II.3.1 Calculer l'intégrale I cos2pt.sin" t.dt pour tout nombre entier k 
supérieur ou égal

0

à p (on pourra exprimer sin" : comme combinaison linéaire des cos 2qt , avec q 
& IN et

q 5 k ). Lorsque p > 0 , montrer que cette intégrale est nulle pour tout nombre 
entier k tel
que 0 .<. k < p .

En déduire les coefficients au(p) du développement en série entière

J,p(x)=2a,,(p)x" de sz sur R.
k=0

21: +1

Il.3.2 Calculer l'intégrale Ksin(2p+l)t.sin t.dt pour tout nombre entier k 
supérieur

ou égal à p (on pourra exprimer sin""'1

I comme combinaison linéaire des sin (2q+l)t ,
avec q & IN et q 5 k ). Lorsque p > 0 , montrer que cette intégrale est nulle 
pour tout
nombre entier k tel que 0 .<. k < p .

En déduire les coefficients a2k+l(p) du développement en série entière

sz+l(x)=2052k+1(p)x2"+1 de J2p+1 sur IR.
k=0

II.--4

11.4.1' On fixe x & IR . Exprimer en fonction des valeurs des J_(x) les 
coefficients de

Fourier des fonctions cos(x sint) et sin(x sint) de la variable t . Ces deux 
fonctions sont-
elles égales àla somme de leurs séries de Fourier ?

11.4.2 En déduire la valeur des sommes Jo(x)+22(--l)szp(x) , Jo(x)+22sz(x) ,

P=1 p=l

n=1

Î(--l)"J2P+I(x) et Jo(x)2+2îln(x)z .

...

_ On considère l'équation différentielle linéaire homogène :
(B,) x2y"+ xy'+ (x2 -- 23)y : 0 .

où À est un nombre réel donné.

III.1

III.1.1 Montrer que, pour que x*z(x) soit solution de (B,) sur ]0, +«>[ , il 
faut et il suffit

que 2 soit solution de l'équation :
(Bi) xz"+ (2/1 + l)z' +xz : 0 .

III.1.2 Dans le cas où 2. = ----à-- , déterminer la solution générale de (B;) 
sur ]0, +oo[ , et en

déduire la solution générale de (B,) sur ]0, +oo[ .
III.1.3 En déduire la solution générale de (B1) sur ]0, +oo[ lorsque À =â-- .

On se propose à présent de chercher les solutions de (B,) sur ]0, +oo[ de la 
forme y(x) = x"z(x) ,

où z(x) est la somme d'une série entière.

III.2 On cherche les solutions de (Bi) sur ]0, +oo[ de la forme z(x) = 2a,,x" .
k=0

III.2.1 Etablir la relation qui doit exister pour tout k21 entre a,,1 et a,,_1 
pour que 2 soit

solution de (Bi) .

On suppose dorénavant que À n'est pas un entier strictement négatif.

Tournez la page S.V.P.

111.2.2 Montrer qu'il existe une unique solution zz de (B;) de la forme

zl(x) : zazp(À)x2" , et telle que aO(À)=1 . Calculer ab(À) pour tout p e N . 
Quel est le
p=0

rayon de convergence de la série entière Z a2p(À)x2" ?

111.3 On définit sur ]0, +..[ la fonction j1 par jÀ(x)=xlzÀ(x) .

III.3.1 On suppose que )... n'est pas un nombre entier.

Montrer que les fonctions jÀ et j_À sont linéairement indépendantes.

En déduire la solution générale de (B,) sur ]0, +oo[ .

III.3.2 Soit n un nombre entier strictement positif.
Comparer j,. àla fonction ]" définie au début du problème.

Vérifier que la fonction z_n définie par z_n(x) : x"z_ (x) est solution de 
l'équation (Bj_) .

Fin de l'énoncé

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CCP Maths 2 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Xavier Goaoc (ENS Cachan) ; il a été relu par David
Lecomte (ENS Cachan) et Vincent Beck (ENS Cachan).

Ce sujet étudie l'équation différentielle de Bessel :
x2 y  + xy  + (x2 - 2 )y = 0

où   R

· La première partie introduit une famille de fonctions (connues sous le nom de
coefficients de Bessel) définies par des intégrales dépendant d'un paramètre.
Après avoir étudié leur parité et leur régularité, on montre qu'elles sont 
solutions
de l'équation de Bessel pour des valeurs entières de .
· La deuxième partie, plus calculatoire, décompose en séries entières les 
fonctions
introduites en première partie. On en déduit des formules sommatoires sur les
coefficients de Bessel.
· La troisième partie traite le cas général de l'équation de Bessel. On la 
réduit
à une autre équation différentielle, dont on cherche les solutions sous forme de
série entière.

Indications

Première partie
I.1 Penser à faire un changement de variable u =  - t dans Jn (x).
I.2 Exprimer J-n (x) en fonction de Jn (-x) et utiliser la question précédente.
I.3 Appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme.
I.4 Intégrer Jn (x) par parties (en intégrant le sin(nt - x sin t)).

Deuxième partie

.
2
II.2 Utiliser la question II.1 et le théorème d'interversion entre série et 
intégrale
(penser à la convergence normale pour montrer la convergence uniforme).
 it
2k
e - e-it
II.3.1 Pour linéariser sin2k x développer
et regrouper les termes d'ex2i
posants opposés. Cette question est assez calculatoire.
II.1 Développer cos(nt - x sin t) et scinder les intégrales obtenues en

II.3.2 Procéder comme à la question II.3.1 ou se servir du résultat obtenu à la
question II.3.1 et utiliser l'identité remarquable
cos a sin b =

1
(sin(a + b) - sin(a - b))
2

II.4.1 Scinder l'intégrale définissant les coefficients de Fourier en  et 
opérer un
changement de variable u = t -  dans la deuxième partie.
II.4.2 Particulariser les relations obtenues à la question II.4.1 ; utiliser 
l'égalité de
Parseval.

Troisième partie
III.1.2 Utiliser la question III.1.1 pour trouver la solution de (B ).
III.1.3 Remarquer que (B ) = (B- ).
III.3.1 Observer les limites de j (x) et j- (x) quand x tend vers 0 par valeurs 
positives.
III.3.2 Pour comparer jn et Jn utiliser leurs développements respectifs en 
série entière. Pour montrer que z-n est solution de (B-n  ), penser à utiliser 
la question
III.1.1.

Première partie

I.1 Pour tout réel x la fonction t 7 cos(nt - x sin t) est continue sur [0, ]. 
Elle est
donc intégrable sur [0, ] et Jn (x) est bien définie.
Étudions maintenant la parité de Jn . Fixons x  R et opérons le changement de
variable u =  - t pour obtenir :
Z
1 
Jn (-x) =
cos(nt + x sin t) dt
 0
Z
1 
cos(n - nu + x sin( - u)) du
=
 0
Z
1 
Jn (-x) =
cos(n - (nu - x sin u)) du
 0
On distingue alors deux cas :
Z
1 
· n est pair et Jn (-x) =
cos(-(nu - x sin u)) du = Jn (x)
 0
Z 
1
· n est impair et Jn (-x) =
cos( - nu - x sin u) du = -Jn (x)
 0
Donc

Jn est paire si n est pair et impaire si n est impair.

I.2 Commençons par exprimer J-n en fonction de Jn . Pour tout réel x on a
Z
Z
1 
1 
J-n (x) =
cos(-nt - x sin t) dt =
cos(nt - (-x) sin t) dt
 0
 0
soit

J-n (x) = Jn (-x)

En utilisant la question I.1 on a donc :
(
Jn (x)
J-n (x) =
-Jn (x)

si n est pair
si n est impair

ce que l'on résume par
J-n (x) = (-1)n Jn (x)

x  R

I.3 Pour tout entier n et quel que soit k, la fonction (x, t) 7 cos(nt - x sin 
t) est
de classe C k sur R × [ 0 ;  ]. Puisque [ 0 ;  ] est un segment, on peut 
appliquer le
théorème de dérivation sous le signe somme et on obtient que Jn est de classe C 
k .
Pour tout n  Z, Jn est donc de classe C  sur R.
Alors,

n  Z

x  R

Jn

(k)

1
(x) =

Z

0

k
(cos(nt - x sin t)) dt
xk

I.4 Fixons x  R et commençons par calculer Jn  (x) en utilisant la formule 
obtenue
à la question I.3 :
Z
1 

Jn (x) =
sin t sin(nt - x sin t) dt
(1)
 0

Puis intégrons par parties pour faire apparaître le terme cos(nt - x sin t) (on
intègre sin t et on dérive sin(nt - x sin t)) :
Z
1 
1

cos t(n - x cos t) cos(nt - x sin t) dt
Jn  (x) = - [cos t sin(nt - x sin t)]0 +

 0

et comme
on a bien

[cos t sin(nt - x sin t)]0 = 0
Jn  (x) =

1

Z

(cos t)(n - x cos t) cos(nt - x sin t) dt

(2)

0

La fonction (x, t) 7 sin t sin(nt - x sin t) est elle aussi de classe C 1 sur R 
× [ 0 ;  ]
et [ 0 ;  ] est un segment fermé. On peut donc calculer Jn  (x) en dérivant (1) 
sous
l'intégrale :
Z
1 

Jn (x) =
- sin2 t cos(nt - x sin t) dt
 0
Et vérifions maintenant que Jn vérifie l'équation (Bn ) :

x2 Jn  (x) + xJn  (x) + (x2 - n2 )Jn (x)
Z
1 
=
(-x2 sin2 t + x cos t(n - x cos t) + x2 - n2 ) cos(nt - x sin t) dt
 0
Z
1  2
=
(x (1 - cos2 t - sin2 t) - n(n - x cos t) cos(nt - x sin t)) dt
 0
Z
n 
=-
(n - x cos t) cos(nt - x sin t) dt
 0
n

= - [sin(nt - x sin t)]o

=0
Donc

x  R

et finalement

x2 Jn  (x) + xJn  (x) + (x2 - n2 )Jn (x) = 0

Jn vérifie l'équation différentielle (Bn ) sur R.

La première partie de la question a pour but d'exprimer Jn  (x) comme une
intégrale dans laquelle apparaît le terme cos(nt - x sin t). Calculer Jn  (x) en
partant de (2), plutôt que de (1) comme nous l'avons fait, serait maladroit ;
cela conduirait en effet à une nouvelle intégration par parties pour montrer
que
x2 Jn  (x) + xJn  (x) + (x2 - n2 )Jn (x) = 0