CCP Maths PC 2016

Thème de l'épreuve Différentes études des polynômes de Bernstein
Principaux outils utilisés arcs paramétrés, algèbre linéaire, variables aléatoires, intégration, séries de fonctions
Mots clefs polynômes de Bernstein

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2016

PCMA002

!

!
!

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
!

MATHEMATIQUES
Mardi 3 mai : 14 h - 18 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.!

!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
!
!
!
!
!
Les calculatrices sont interdites
!
!
L'epreuve est constituee d'un probleme en cinq parties qui sont, dans une large 
mesure,
!
independantes les unes des autres.
!
!
! Lorsqu'un raisonnement utilise le resultat d'une question precedente, il est
! demande au candidat d'indiquer precisement le numero de la question utilisee.
!
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1/6

!

PROBLEME  
n
X k (1 - X)n-k si bien que :
Pour n  N et k  [[0, n]], on note pk,n (X) le polynome
k
 
n k
n!
t (1 - t)n-k =
tk (1 - t)n-k .
t  R, pk,n (t) =
k
k!(n - k)!
On propose d'etudier quelques aspects geometriques, algebriques, probabilistes 
et analytiques
de cette famille de polynomes appeles "polynomes de Bernstein".
Dans la partie 1, on considere des exemples de courbes dont le parametrage fait 
intervenir
des polynomes de Bernstein dans des cas simples. Dans la partie 2, on 
s'interesse a deux
endomorphismes n et Bn de Rn [X] dont les proprietes sont liees au fait que la 
famille des
polynomes de Bernstein correspond a une base de Rn [X]. La loi binomiale permet 
de faire le
lien avec l'endomorphisme Bn dont on etudie en detail la restriction a R2 [X]. 
On etudie, dans la
partie 3, les aspects analytiques de Bn (f ) pour une fonction f definie sur 
[0, 1] avec Bn defini sur
le modele de la partie 2. Par l'usage des probabilites, on obtient une 
demonstration "naturelle"
de la convergence uniforme de Bn (f ) vers f sur [0, 1] sous l'hypothese forte 
que f est de classe
C 1 sur [0, 1]. La partie 4 complete la partie 3 par l'etude d'integrales 
impropres et d'integrales
a parametres. La partie 5 aborde la question des series de fonctions liees aux 
polynomes de
Bernstein.
Les parties 1 et 5 sont independantes des autres parties. La partie 3 depend 
seulement de la
partie 2 et cela uniquement par la question 5 faisant intervenir les 
probabilites. La partie 4
depend seulement de la partie 3 et uniquement par la question 11.d).
PARTIE 1. GEOMETRIE
On note A0 , A1 et A2 les trois elements de R2 definis par A0 = (0, 1), A1 = 
(1, 1) et A2 = (1, 0).
On note T l'ensemble defini par T = {(x, y)  [0, 1]2 | x + y  1}.
Pour t  [0, 1], on remarque que p0,1 (t) = 1 - t et p1,1 (t) = t. On note alors 
:
A(t) = p0,1 (t)A0 + p1,1 (t)A1 , B(t) = p0,1 (t)A1 + p1,1 (t)A2 et C(t) = p0,1 
(t)A(t) + p1,1 (t)B(t).
1. Soit t  [0, 1].
1.a) Determiner l'expression de p0,2 (t), p1,2 (t) et p2,2 (t) en fonction de t.
1.b) Determiner les coordonnees de A(t), B(t) et verifier que C(t) = (2t - t2 , 
1 - t2 ).
2

pk,2 (t)Ak .
1.c) Montrer que C(t) =
k=0

2. Montrer que T est une partie convexe de R2 .
3. Soit C l'arc parametre defini a partir de la fonction f :
3.a) Justifier que tous les points de C sont dans T .

t
  C(t)
-
[0, 1] - R2 .

3.b) Pour t  [0, 1], determiner un vecteur directeur de la tangente Dt a C en 
C(t).
3.c) Montrer que, pour tout t  [0, 1], le segment [A(t), B(t)] est inclus dans 
Dt .
3.d) Representer dans un meme repere orthonorme la courbe C , la partie T et 
les segments
[A(t), B(t)] pour t = 0, t = 1/2 et t = 1.
2/6

PARTIE 2. ALGEBRE LINEAIRE ET PROBABILITES
Soit n  N tel que n  2. On note Rn [X] l'espace vectoriel des polynomes reels 
de degre inferieur
ou egal a n. Pour P (X) un polynome reel, on note P  (X) le polynome derive.
On note F la famille de Rn [X] constituee des polynomes (p0,n (X), p1,n (X), . 
. . , pn,n (X)).
Pour tout P  Rn [X], on definit les polynomes n (P ) et Bn (P ) par :
n (P )(X) = nXP (X) + X(1 - X)P  (X)
et

4.

n

k
pk,n (X).
P
Bn (P )(X) =
n
k=0
4.a) Montrer que n et Bn sont des endomorphismes de Rn [X].
4.b) Verifier que, pour tout k  [[0, n]], n (pk,n )(X) = k pk,n (X).
4.c) En deduire que F est une base de Rn [X] et que n est diagonalisable.
4.d) Montrer que n n'est pas bijectif et que Bn est bijectif.

5. Soit r  N et t  [0, 1]. On considere un espace probabilise (, A , P) et Tr 
une variable
aleatoire sur (, A , P) qui suit la loi binomiale B(r, t). On note T r = Tr /r.
Pour Y une variable aleatoire discrete sur (, A , P), on note, sous reserve 
d'existence, E(Y )
l'esperance de Y et V(Y ) la variance de Y .
On rappelle que si Y ()  [[0, r]] et h est une fonction a valeurs reelles 
definie sur [[0, r]], alors
r

h(Y ) admet une esperance et E(h(Y )) =
h(k)P(Y = k).
k=0

5.a) Donner un exemple de situation probabiliste qui peut etre decrite par une 
variable
aleatoire qui suit la loi binomiale B(r, t).
5.b) Donner Tr () et justifier que, pour tout k  [[0, r]], on a : P(Tr = k) = 
pk,r (t).
5.c) Donner l'expression simplifiee des quantites suivantes :
E(Tr ), E(T r ), V(Tr ), V(T r ), E(Tr2 ) et E((T r )2 ) ;
t t2
verifier en particulier que E((T r )2 ) = + (r - 1).
r
r
5.d) En deduire que les egalites suivantes sont valables pour tout t  [0, 1] :

r
r
r  2

k
1 2 1
k
t + t.
pk,r (t) = t
pk,r (t) = 1,
et
pk,r (t) = 1 -
r
r
r
r
k=0
k=0
k=0
5.e) Montrer que les trois egalites precedentes sont encore valables pour tout 
t  R.
6. Montrer que R2 [X] est un sous-espace vectoriel de Rn [X] qui est stable par 
Bn .
On note Bn l'endomorphisme de R2 [X] induit par Bn ; on rappelle que dans ce 
cas, pour tout
P  R2 [X], Bn (P ) = Bn (P ). On note An la matrice de Bn dans la base 
canonique de R2 [X].
3/6

On note M3 (R) l'espace
vectoriel
matrices 
carrees reelles
d'ordre
 3.

 des

1 0 0
1 0 0
1 0
0
1 0 0
0 .
On note aussi I3 = 0 1 0, H = 0 1 1, D = 0 1 0 et Dn = 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 1 - n1
0 0 1

1 0
0
1
1
1 

7. Montrer que An = 0 1
= 1-
I3 + H.
n
n
n
0 0 1 - n1
8.
8.a) La matrice H est-elle diagonalisable
? 

1 0 a

8.b) Soit a et b deux reels et Q = 0 1 b . Justifier que Q est inversible.
0 0 1
8.c) Determiner (sans chercher a calculer Q-1 ) deux reels a et b tels que H = 
QDQ-1 .
9. On suppose dans toute lafin de cette
 partie que les reels a et b ont ete choisis de telle sorte
1 0 a
que H = QDQ-1 pour Q = 0 1 b .
0 0 1
On munit M3 (R) d'une norme quelconque. Si une suite de matrices de M3 (R), 
notee (M ),
converge vers une matrice M , on note lim (M ) = M . On admet alors que lim (M 
) = M si
+

+

et seulement si pour tout (i, j)  [[1, 3]]2 , on a :

lim (M )i,j = Mi,j .

+

9.a) Montrer que lim (An ) = I3 .
n+

9.b) Montrer que l'application  definie sur M3 (R) par (M ) = QM Q-1 est 
lineaire.
9.c) En deduire que si lim (M ) = M , alors lim (QM Q-1 ) = QM Q-1 .
+

+

9.d) Montrer que An = QDn Q-1 .
9.e) Determiner explicitement, pour n  2, lim (An ).
+

9.f ) Determiner explicitement lim (Ann ).
n+

PARTIE 3. ANALYSE ET PROBABILITES
Soit n  N . Pour f une fonction definie sur [0, 1] a valeurs dans R, pour tout 
x  R, on note :
 
n

k
Bn (f )(x) =
f
pk,n (x).
n
k=0
On reprend les notations de la question 5 avec r = n. On remarque que dans ce 
cas, pour tout
t  [0, 1], on a :
f (t) - Bn (f )(t) = E(f (t) - f (T n )) =

n

(f (t) - f (k/n))pk,n (t).

k=0

On pourra utiliser sans demonstration les resultats de cette question 5.
4/6

10.
10.a) Montrer que pour toute
 variable aleatoire discrete Y admettant une variance, on a
l'inegalite suivante : E(Y )  E(Y 2 ).

t(1 - t)
.
10.b) En deduire que, pour tout t  [0, 1], E(|t - T n |) 
n
11. On suppose dans toute cette question que f est une fonction de classe C 1 
sur [0, 1].
11.a) Justifier l'existence d'un reel Mf tel que : (a, b)  [0, 1]2 , |f (a) - f 
(b)|  Mf |a - b|.
Dans toute la suite de cette question, on suppose que Mf est un reel choisi de 
telle sorte que :
(a, b)  [0, 1]2 ,

|f (a) - f (b)|  Mf |a - b|.

t(1 - t)
11.b) Montrer que, pour tout t  [0, 1], E(|f (t) - f (T n )|)  Mf
.
n
Mf
11.c) En deduire que, pour tout t  [0, 1], |f (t) - Bn (f )(t)|   .
2 n
11.d) Montrer que (Bn (f ))nN converge uniformement vers f sur [0, 1].

PARTIE 4. INTEGRALES
Soit f une fonction de classe C 1 sur [0, 1].
On reprend les notations de la partie 3 pour Bn (f ). On pourra utiliser sans 
demonstration le
resultat de la question 11.d).

12. Montrer que lim

n+

1
0

Bn (f )(x) dx =
n

1 
f
13. On note Sn (f ) =
n + 1 k=0

1

f (x) dx.
0

k
.
n

 1
a
x (1-x) dx =
xa-1 (1-x)b+1 dx.
13.a) Montrer que, pour tout a  N et b  N,
b+1 0
0
 1
pk,n (x) dx est independant
13.b) En deduire que, pour tout n  N et tout k  [[0, n]], le reel
0
 1
1
.
pk,n (x) dx =
de l'entier k et que
(n + 1)
0
 1
f (x) dx.
13.c) En deduire que lim Sn (f ) =

n+

0

5/6

1

a

b

14. Montrer que le resultat de la question 13.c) reste vrai pour la seule 
hypothese que f est
continue sur [0, 1].
15. Soit (a, b, c)  N3 tels que a + b  c - 2.
15.a) Montrer que, pour tout x  [0, 1], l'integrale

15.b) Montrer que, pour b  1, la fonction F : x 

+
0

0

[0, 1].
15.c) Montrer que la fonction h :

ua (1 + xu)b
du est convergente.
(1 + u)c

+

ua (1 + xu)b
du est de classe C 1 sur
(1 + u)c

t
est une fonction de classe C 1 qui est
1-t
[0, 1[ - [0, +[
t

-

strictement croissante et bijective.
15.d) En utilisant le changement de variable u =
F (1).

t
, calculer F (0); en deduire la valeur de
1-t

PARTIE 5. SERIES DE FONCTIONS
Soit k  N . Pour n  N et t  [0, 1], on note :
fn (t) =

pk,n (t) si n  k,
0
si n < k,

si bien que

 n tk (1 - t)n-k
k
fn (t) =

0

si n  k,
si n < k.

nk
n

16. Montrer que
quand n tend vers + et en deduire, pour tout t  ]0, 1[, un
k
k!
equivalent de fn (t) quand n tend vers +.

17. Etablir que
fn converge simplement sur [0, 1].

Pour t  [0, 1], on note S(t) =

+

fn (t).

n=0

18. Determiner S(t) pour t = 0 et pour t = 1.
19.
19.a) Donner le developpement en serie entiere au voisinage de 0 de la fonction 
u 
19.b) En deduire que, pour tout u  [0, 1[,

+

n(n - 1) · · · (n - k + 1)un-k =

n=k

1
19.c) Montrer que, pour tout t  ]0, 1], S(t) = .
t

19.d) La serie
fn converge-t-elle normalement sur [0, 1] ?
Fin de l'enonce
6/6

1
.
1-u

k!
.
(1 - u)k+1

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths PC 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Émilie Liboz (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Matthias Moreno Ray (Professeur en CPGE) et Sophie Rainero (Professeur
en CPGE).

Ce problème met à l'honneur les polynômes de Bernstein, définis, pour n  N et
k  [[ 0 ; n ]], par
 
n
pk,n (X) =
Xk (1 - X)n-k
k
Un de ses objectifs est de démontrer, dans le cas particulier des fonctions de
classe C 1 , un résultat très classique en analyse : le théorème de 
Weierstrass, qui
affirme que toute fonction continue sur un segment peut être approchée 
uniformément par des polynômes. La démonstration proposée ici s'inspire de la 
célèbre
preuve constructive faite par Bernstein, à l'aide des polynômes qui portent 
maintenant son nom. D'autres aspects de cette famille sont étudiés dans le 
sujet : en géométrie, on construit une courbe qui permet de relier deux points 
avec des tangentes
prescrites (cas particulier des courbes de Bézier). En algèbre, on montre que 
les polynômes de Bernstein forment une base de l'espace des polynômes et on 
étudie l'opérateur Bn d'approximation par cette famille. En probabilités, ces 
polynômes permettent
d'étudier divers processus liés à la loi binomiale B(n, t), quand les 
paramètres n
et t varient.
Cette épreuve est découpée en cinq parties qui balayent l'essentiel du 
programme.
· La première partie étudie un arc paramétré défini à partir des premiers
polynômes de Bernstein. Les questions posées restent proches du cours et font
appel à des raisonnements basiques mais qui peuvent s'avérer difficiles pour les
étudiants qui ne sont pas à l'aise en géométrie.
· Certaines questions de la deuxième partie consistent en des exercices 
classiques
d'algèbre linéaire. La fin de cette partie fait appel à des notions de limite 
et de
continuité dans les espaces vectoriels normés tandis que la question 5 utilise 
le
cours sur les variables aléatoires, notamment la loi binomiale.
· La troisième partie utilise des résultats sur les espérances ainsi que des 
études
de fonctions pour montrer la convergence uniforme d'une suite de fonctions.
· Dans la quatrième partie, on travaille sur des intégrales. Les méthodes 
classiques de calcul (intégration par parties, changement de variable, calcul de
primitives...) sont mises en oeuvre ainsi que des études de convergence et de
fonctions définies par une intégrale.
· Les différents modes de convergence des séries de fonctions sont invoqués dans
la dernière partie, à l'aide notamment d'une série entière usuelle.
Ce sujet très varié représente un excellent entraînement aux concours, avec des
parties relativement indépendantes. Il apprend aussi à être efficace car il est 
plutôt long et toutes les parties sont accessibles à un étudiant qui maîtrise 
son cours ;
il s'agit donc de traiter autant de questions que possible, tout en restant 
rigoureux.
De plus, certaines questions plus poussées, comme la 5.e et la 14, favorisent 
les prises
d'initiative.

Indications

Partie 1
1.c Expliciter l'expression de droite pour retrouver la formule de la question 
1.b.
2 Revenir à la définition d'une partie convexe.
3.b Utiliser la définition de la tangente à un arc paramétré en un point 
régulier.
----- -----
3.c Montrer que les vecteurs A(t)C(t) et B(t)C(t) sont colinéaires au vecteur 
directeur de Dt trouvé à la question 3.b.
3.d Étudier les variations des fonctions coordonnées de f pour tracer C .
Partie 2
4.a Après avoir montré que n est linéaire, traiter séparément les cas P  Rn-1 
[X]
et P = Xn . Pour Bn , calculer le degré des polynômes pk,n .
4.c Décrire le spectre de n .
4.d Regarder le spectre de n . Pour Bn , décrire son noyau.
5.c Utiliser la linéarité de l'espérance, la formule du cours pour V(aX + b), 
ainsi
que la formule de Koenig-Huygens.
5.d Remplacer pk,r (t) par P(Tr = k) et reconnaître les expressions de la 
question
précédente. Utiliser le théorème du transfert rappelé dans l'énoncé.
5.e Traduire ces égalités en termes de polynômes.
6 Calculer Bn (1), Bn (X) et Bn (X2 ).
7 Pour la première égalité, utiliser la définition de An comme la matrice 
canonie n.
quement associée à B

8.c Voir les colonnes de Q comme des vecteurs propres de H.

9.c Justifier que  est continue puis utiliser la caractérisation séquentielle 
de la
continuité.
9.d Utiliser les questions 7 et 8.c.
9.e Utiliser les questions 9.d et 9.c.

1 n
à l'aide d'un développement limité ou
9.f Déterminer proprement lim 1 -
n+
n
d'équivalents.
Partie 3
10.a Penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
10.b Remplacer Y par |t - Tn | dans 10.a puis calculer E((t - Tn )2 ).
11.a Invoquer l'inégalité des accroissements finis.
11.b Utiliser les questions 10.b et 11.a.
11.c Faire appel à la première égalité de la formule donnée en bas de la page 4 
de
l'énoncé et étudier la fonction t 7- t(1 - t) sur [ 0 ; 1 ].

Partie 4
12 Invoquer un théorème d'interversion limite et intégrale sur un segment.
13.a Faire une intégration par parties.
Z 1
Z 1
13.b Exprimer
pk,n (x) dx en fonction de
pk-1,n (x) dx à l'aide de la question 13.a.

0

0

13.c Utiliser les questions 13.b et 12.
14 Penser aux sommes de Riemann.
15.a Comparer la fonction qu'on intègre à une fonction intégrable.
15.b Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
15.c Invoquer le théorème de la bijection.
15.d Utiliser la question 13.b pour justifier le changement de variable dans 
l'intégrale
généralisée, puis reconnaître l'intégrale calculée à la question 13.b.
Pour le calcul de F(1), se ramener à une intégrale de la forme de F(0).
Partie 5
n!
comme un produit.
(n - k) !
17 Pour t  ] 0 ; 1 [, comparer fn (t) au terme d'une série convergente à l'aide 
de la
question 16.

16 Écrire

18 Calculer fk (1).
19.b Dériver k fois chaque membre de l'égalité obtenue à la question 19.a.
19.d Raisonner par contraposée, en regardant la régularité de S sur [ 0 ; 1 ].

1. Géométrie
1.a À partir de la formule donnée dans l'énoncé, on obtient
p0,2 (t) = (1 - t)2 , p1,2 (t) = 2t(1 - t)

et

p2,2 (t) = t2

1.b Les expressions de p0,1 (t) et p1,1 (t) fournies par l'énoncé entraînent :
A(t) = (1 - t)(0, 1) + t(1, 1) et B(t) = (1 - t)(1, 1) + t(1, 0)
soit

A(t) = (t, 1)

et

B(t) = (1, 1 - t)

Ainsi, C(t) = (1 - t)(t, 1) + t(1, 1 - t) donc
C(t) = (2t - t2 , 1 - t2 )
1.c Les formules obtenues à la question 1.a donnent
2
P

pk,2 (t)Ak = (1 - t)2 (0, 1) + 2t(1 - t)(1, 1) + t2 (1, 0) = (2t - t2 , 1 - t2 )

k=0
2
P

soit

pk,2 (t)Ak = C(t)

k=0

2 Soient (u, v)  T 2 et   [ 0 ; 1 ]. Posons u = (x, y), v = (x , y  ) et 
montrons
que u + (1 - )v  T . Par définition, u et v appartiennent à [ 0 ; 1 ] 2 qui est 
une
partie convexe, ainsi u + (1 - )v  [ 0 ; 1 ] 2 . De plus, on a
u + (1 - )v = (x + (1 - )x , y + (1 - )y  )
avec

x + (1 - )x + y + (1 - )y  = (x + y) + (1 - )(x + y  )
>  + (1 - )

car x + y > 1, x + y  > 1 et   [ 0 ; 1 ]. Ainsi, x + (1 - )x + y + (1 - )y  > 1 
et
u + (1 - )v  T
On a donc montré que

T est une partie convexe de R2 .

3.a Soit t  [ 0 ; 1 ]. Montrons que C(t)  T . On sait d'après la question 1.b
que C(t) = (x(t), y(t)) avec x(t) = 2t - t2 et y(t) = 1 - t2 qui vérifient
x(t) + y(t) = 1 + 2t - 2t2 = 1 + 2t(1 - t)
Or, pour t  [ 0 ; 1 ], t(1 - t) > 0 donc x(t) + y(t) > 1 et C(t)  T , par 
conséquent
Tous les points de C sont dans T .
Si l'on ne pense pas à factoriser l'expression x(t) + y(t) - 1 pour montrer
qu'elle est positive quand t  [ 0 ; 1 ], on peut faire une étude de la fonction
t 7- 1 + 2t - 2t2 sur [ 0 ; 1 ].