CCP Maths 1 PC 2009

Thème de l'épreuve Fonctions matriciellement croissantes
Principaux outils utilisés produit scalaire, matrices symétriques, déterminant, équivalents
Mots clefs réduction des endomorphismes, algèbre bilinéaire, intégrales généralisées

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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me.--:o: .v " cm.--fifi

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o.... mmmfiä - maoË...oËoe mËËË

m...=a_z=v...-->dcoe mz=EOEOu ...oe=0u20v

'

A

SESSIONZOO9 CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES PCM1002

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites
* * * *

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision

de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'noncé, il la signalera

sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été

amené à prendre.
****

Notations et objectifs

n est un entier naturel supérieur ou égal à 1. On note M... (R) le R-espace 
vectoriel des matrices
colonnes à n lignes à coefficients réels, MAR) le R-espace vectoriel des 
matrices carrées réelles
d'ordre n, GLAR) l'ensemble des matrices inversibles de MAR), (QAR) l'ensemble 
des matrices
orthogonales de MAR) et SAR) l'ensemble des matrices symétriques de MAR). In 
désigne la
matrice identité d'ordre n et pour toute matrice A, 'A désigne la transposée de 
A.

Selon le contexte, 0 désigne Soit le réel nul, soit la matrice nulle de MAR), 
soit encore la matrice
nulle de M...(R). '

On rappelle que pour toute matrice symétrique réelle d'ordre n, il existe P 
appartenant à (DAR)
et D diagonale réelle d'ordre n telles que S : PDP--1.

R" est muni de son produit scalaire canonique noté ( | ) et de la norme 
associée notée || - ||.

Une matrice S de SAR) est dite positive si :

VX EUR M...(R) , tXSX ; 0
et définie positive si :
VX EUR Mn,1(R)\{O} , "XSX > 0

On note Sf{ (R) l'ensemble des matrices de SAR) positives et SË+(R) l'ensemble 
des matrices
de SAR) définies positives.

Soit A une application d'un intervalle [ de R dans MAR) qui à t associe la 
matrice A(i) de
coefficient d'indices i, j , aij (t). Si pour tout (i, j ) de ||1, n]|2, 
l'application t +------> adj--(t) est intégrable

sur I , on note A(t)dt la matrice de MAR) de coefficient d'indices i, j, / 
aij(t)dt.

1 , 1
L'objectif de ce problème est d'étudier la notion de fonction matriciellement 
croissante.

1/5

Dans la première partie on étudiera les notions de matrices symétriques réelles 
positives et
définies positives, puis on définira sur l'ensemble des matrices symétriques 
réelles une relation
d'ordre. Diverses propriétés de cette relation seront utilisées dans les deux 
parties suivantes.

Dans la seconde partie, on définira ce qu'est une fonction matriciellement 
croissante (ou décrois-

sante) et on étudiera des exemples de fonctions homographiques et puissances.
La troisième et dernière partie fera appel a une représentation intégrale et 
permettra de montrer

que la fonction logarithme népérien et la fonction a: +------> :1:"' pour & 
EUR]O, 1[ sont matriciellement
croissantes.

Dans tout le problème, S désigne une matrice symétrique réelle d'ordre n.

PARTIE I

1.1 Montrer que si S appartient à 83 (R), alors pour toute matrice M de M,,(R), 
tM SM appar-
tient aussi à S; (R).

1.2 Montrer que S appartient à 8,3" (R) (respectivement SË+(R)) si et seulement 
si toutes ses
valeurs propres sont positives (respectivement strictement positives).

I.3 Montrer que la matrice A : <_Î "i) est symétrique positive. Est--elle 
symétrique définie
positive ?
----1 0 0
1.4 Soit la matrice B = 0 2 --1 . Est--elle symétrique définie positive ?
O --1 1

15 Montrer que si S appartient à $;," (R) et si T est une matrice symétrique 
réelle semblable à S,
alors T appartient aussi à S,?f (R).

1.6 a) Soit M EUR GL,,(R). Montrer que si /\ est valeur propre de M, alors A 
est non nul et À"1
est valeur propre de M "1. En déduire le spectre de M "1 en fonction du spectre 
de M.

b) Montrer que si S appartient à S.,Ï+ (R), alors S est inversible et S _1 
appartient à S;Ï+(R).

I.7 Montrer que si pour tout X EUR M...1(R) , tX SX : 0, alors toute valeur 
pr0pre de S est nulle
et S = 0.

1.8 On munit S,,(R) des relations notées < et <, définies respectivement par :

V(S1,S2) EUR (S,,(lR))2 , (S1 < S2 «==> S2 -- S1 EUR 8,Ï(R))

et

V(Sl, S2) 6 (S,,(R))2 , (31 < 52 «=> S2 ---- S1 EUR S,Ï+(R))

a) Si S1 et S2 sont deux matrices de S,,(R) telles que S1 < S2 et S2 < S1, 
montrer que
S1 : S2.

b) Si (S1, S2) EUR (Sn(R))2, montrer que l'on n'a pas nécessairement S1 < S2 ou 
S2 < S1.

c) Si S1 et S2 sont deux matrices de S,,(R) telles que S1 { S2, S1 # S2, a-t-on 
S1 < SZ ?

(1) Si S1 et S2 sont deux matrices de «S,,(R) telles que S1 < S2 et a un réel, 
comparer les

matrices aS1 et ozS2 pour la relation <.
e) Si S, S1 et S2 sont trois matrices de S,,(R) telles que S1 { S2, comparer 
les matrices

S + S1 et S + S2 pour la relation <.
1.9 Soit (S1, S2) EUR (S,,(R))2 avec S1 < S2. Montrer que pour toute matrice M 
de M,,(R),
'MS1M < tMS2M.
1.10 On suppose I,, { S.
a) Que peut-on dire des valeurs propres de S ? En déduire que S est inversible.

b) Que peut--on dire des valeurs propres de S "1 ? En déduire : 0 < S "1 < In.
2/5

1.11 a) Montrer que s'il existe M EUR GL,,(R) telle que S = ltM M , alors S est 
symétrique définie
positive.
b) Montrer que si S est diagonale définie positive, alors il existe M EUR 
GL,,(R) telle que
S : 1KM M .
c) Montrer que ce résultat subsiste si S est symétrique définie positive non 
diagonale.
I.12 Soit (S1, S2) EUR (S,,(R))2 tel que 0 < S1 { S2 et M1 EUR GL,,(R) telle 
que S1 = tM1M1.
Montrer que I,, { t(Mf 1)S2M1-- 1, en déduire que S2 est inversible et S2"]L < 
Sf1.

PARTIE II

II.] Dans cette question seulement, on suppose d'une part que n est supérieur 
ou égal à 2 et
d'autre part que S possède exactement deux valeurs propres À1 et À2 de 
multiplicités respectives nl
EURt 712.

a) Montrer qu'il existe un unique couple (P1, P2) de matrices de M,,(R) tel que 
:

In=P1+P2
S=À1P1+À2P2

Expliciter les deux matrices P1, P2 en fonction de S, ]... Al, /\2 et montrer 
qu'elles sont
symétriques.

b) Si P est une matrice orthogonale telle que P"1SP : diag()... . . . , /\1, 
À2, . . . , /\2) (où À1
est répété nl fois et À2 @ fois), exprimer P1 (respectivement P2) en fonction 
de P, de P_1 et d'une
matrice diagonale. En déduire que P? : P1, P22 : P2, P1P2 : P2P1 : 0 et donner 
les rangs de P1
et P2 en fonction de nl et m. «

c) Montrer que pour tout k E N , S '" : À'ÏP1--l-ÀËP2 et en déduire pour Q EUR 
R[X ] l'expression
de Q(S) en fonction de P1, P2, Q(À1) et Q(À2).

(1) Soit SO la matrice de S,,(R) dont tous les coefficients valent 1 sauf les 
coefficients diago-
naux qui valent 2. Vérifier que SO admet exactement deux valeurs propres et 
déterminer les matrices
P1 et P2 associées.

II.2 Soit u l'endomorphisme de IR" dont S est la matrice dans la base canonique 
de IR". On note
À1, À2, . . . , A,, les valeurs propres distinctes de u et E1,E2, . . . ,EP les 
sous-espaces propres de u
respectivement associés.

&) Montrer que : V(a:,y) EUR IR" >< IR" , (u(æ) | y) = (a: | u(y)).
b) Montrer que pour tout (i, j ) EUR [[1, p]]2 tel que z' # j , les 
sous--espaces propres E, et E, sont

_ p
orthogonaux. Que vaut la somme d1recte EURB-- E, '?
i=1

c) Si 71 EUR [[1, p]] et :1: E R'", on note p,(cc) la projection orthogonale de 
a: sur E,. La matrice de
p, dans la base canonique de R" est notée P,.
i) Montrer que la matrice P, est symétrique.
ii) Si a:, est élément de E,, évaluer p,(æ,) et en déduire que pour tout (i, j 
) EUR |Il, p]]2 tel que
i# ,, P.P, = o.

p p
d) Montrer que 2 P, = I,, et z À,P, : S.
i=l i=1

P
La décomposition S = z À,P, est dite décomposition spectrale de S.

7Ç=1

3/5

II.3 Soit ] un intervalle de IR et f une application de I dans R. Si À1, À2, . 
. . , A,, sont dans I , on
définit la matrice f (S ) par

f(S) : Zf(À,-)P,

a) Montrer que Sf(S) = f(S)S : z A,f(A,)P,.
i--1

b) Si X est vecteur propre de S pour la valeur propre Àk, montrer que X est 
aussi vecteur
propre de f (S) et préciser la valeur propre correspondante.
c) Calculer cos(7rSo) où SO est la matrice introduite en 11.1 (1).
L'application f sera dite matriciellement croissante (respectivement 
matriciellement décrois-
sante) sur 1 si pour tout n > 1 et tout couple (A, B) de matrices de S,,(R) 
dont les valeurs propres
sont dans I :

A < B => f(A) < f(B) (respectivement f(B) { f(A))

1
11.4 a) Soit 9 :]O, +oo[----> R , oe »----> --. A quelle condition sur la 
matrice S peut-on définir
a:
g(S ) '? Montrer qu'alors g(S ) = S "1 et en déduire que g est matriciellement 
décroissante sur
]0, +oo[.
b) Soit h :] -- 1, +oo[---> R , a: +------+ OE . A quelle condition sur la 
matrice S peut-on

33 +
définir h(S ) ? Montrer qu'alors h(S) : I,, ---- (S + [n)--1 et en déduire que 
h est matriciellement

croissante sur] -- 1, +oo[.
a:" si :D > 0

. et our tout cc réel, soit A sc
0 s1 :1: = 0 p ( )

II.5 Pour & > 0, soit pa : [O, +oo[----> R , oe r------> {

et B(æ) les matrices définies par :

A<æ>= (::: :::) .. B= (Z ? )

c_hʣ

3) Montrer que pour tout a: réel, B(æ) < A(æ).
b) Pour a: # O, déterminer explicitement la décomposition spectrale de A(oe).
c) En déduire que pour tout 516 E R, pa(A(oe)) : A(ozæ).

0 0
(1) Montrer que pa(B(æ)) = 0 1
(ch oe)"

e) Calculer det [ a(A(oe)) 4-- pà(B(æ))]. En donner un équivalent simple au 
voisinage de
a: = 0 et en déduire que pour a > 1, % n'est pas matriciellement croissante sur 
]0, +oo[.

PARTIE 111

On suppose désormais que S est définie positive.

III.1 a) Soit ] un intervalle de R et A : I ----> MAR) , t +----+ A(t) : 
(aw--(t)) une application

telle que pour tout (i, j ) de [[1, MP, t r----> CLü(É) est intégrable sur I . 
Montrer que pour toute matrice
colonne X de M...MR), t n--------> 'XA(t)X est intégrable sur I et :

/ItXA(t)th : "X ([A(t)dt) X

4/5

b) Soit f une application de I dans R intégrable sur I et M EUR M,,(R). 
Justifier l'existence

de / f (t)M dt et montrer que:
[
/f(t)Mdt= (/f(t)dt) M
1 1
+00 513

111.28 't 01 tF1 f t d ' F : -----------------dt.
01 05 EUR] , [e a onc1on onnee par (oe) /0 (1+æt)t°'

3) Montrer que pour tout a: > 0, F (a:) existe.
b) Montrer, en utilisant par exemple le changement de variable u : oet, qu'il 
existe une
constante C strictement positive telle que pour tout a: > 0, F (35) : Ca:°'.
p
,\.
c Montrer ue our toutt > O, S "1 +1ËIn est inversible et S _1 + tI,, --1 = ?"
) q p ( ) Z 1 + M

z=1

P,.

(1) En déduire F (S ) = /

ta
()
EUR) Soit A et B deux matrices de 8,Ï+(R) telles que A { B. Montrer que :

VX EUR M...1(R) , w > 0 , tX(A--1 +t1,,)--1X < tX(B"1 + tI,,)"1X

En déduire que F est matriciellement croissante sur ]0, +oo[, puis que pour & 
EUR]O, 1[, la
fonction pa introduite en 115 est matriciellement croissante sur ]0, +oo[.

+°° t 1
111.3 a) Montrer que pour tout a: > O, / ( ) dt : ln a:.
0

1--l--t2 a:+t

+OO t
h E d'd' 1S= ' I,,---- S t], --1 dt.
) n eu1ren /Û (1+t2 (+ ) )

c) Montrer que la fonction ln est matriciellement croissante sur ]0, +00 [.

Fin de l'énoncé

5/5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PC 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) ; il a été relu par
Guillaume Batog (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Ce problème traite d'algèbre matricielle, plus particulièrement des fonctions 
matriciellement croissantes. Ce sont les fonctions définies sur un intervalle I 
de R qui,
appliquées d'une certaine manière sur des matrices symétriques réelles, 
conservent
une relation d'ordre introduite par l'énoncé.
Le sujet introduit des notions importantes en algèbre linéaire qui ont récemment
disparu du programme de PC (bien que toujours au programme des autres filières),
celle de matrices positives et définies positives.
· La première partie, plutôt proche du cours, concerne les matrices symétriques.
On y définit et caractérise les matrices positives et définies positives en 
termes
de valeurs propres. À la question 8, l'énoncé introduit une relation d'ordre :
deux matrices symétriques réelles A et B vérifient A 6 B si et seulement si
B - A est définie positive. La fin de cette partie est consacrée à l'étude de 
cette
relation d'ordre : est-elle totale ? compatible vis-à-vis de l'addition ? du 
passage
à l'inverse ?
· Les premières questions de la deuxième partie, elles aussi proches du cours,
abordent la réduction des endomorphismes. Ensuite, l'énoncé définit la notion
de décomposition spectrale. La fin de cette partie concerne la théorie des 
fonctions matriciellement croissantes à proprement parler, et l'illustre sur 
quelques
exemples. Une fonction f : I - R est dite matriciellement croissante si pour
toutes matrices symétriques réelles A et B vérifiant A 6 B pour l'ordre décrit
plus haut, f (A) 6 f (B), où f (A) et f (B) sont définies à l'aide de la 
décomposition spectrale. La fin de cette partie utilise les fonctions 
hyperboliques et un
soupçon d'analyse. La dernière question est la plus difficile du problème.
· La troisième partie donne deux exemples de fonctions matriciellement 
croissantes. On y utilise quelques notions simples sur les intégrales 
généralisées ainsi
qu'une méthode introduite par l'énoncé pour prouver qu'une fonction est 
matriciellement croissante.
En résumé, il s'agit d'un problème de difficulté moyenne mais plutôt long. On y
trouve beaucoup de questions proches du cours, qu'il ne faut surtout pas bâcler.
La difficulté est croissante au sein des parties.
Ce sujet est bien adapté pour s'entraîner sur l'algèbre bilinéaire, la réduction
d'endomorphismes (en particulier la notion de valeur propre), le calcul 
d'équivalents
et de développements limités simples, avec un zeste d'intégrales généralisées.

Indications
Partie I
I.2 Utiliser la diagonalisation d'une matrice symétrique en base orthonormée.
I.5 Appliquer le résultat obtenu à la question I.2.
I.7 Pour montrer que S = 0, suivre l'indication de la question I.2.
I.8.b Chercher un contre-exemple à l'aide de matrices diagonales de taille 2.
I.9 Utiliser la question I.1.
t

I.11.a Matriciellement, kXk2 = X X.

I.11.b Écrire S sous la forme PD t P et définir une « racine carrée » de D.
I.11.c Une fois de plus, S est diagonalisable en base orthonormée.
I.12 Utiliser les questions I.9 et I.10.b.
Partie II
II.1.a Procéder par analyse et synthèse.
II.1.c Utiliser la formule du binôme de Newton.
II.1.d Diagonaliser S0 à l'aide d'un polynôme annulateur de la matrice J  Mn (R)
ne contenant que des « 1 ».
II.2.c Utiliser la question II.2.b et la définition d'un projecteur orthogonal.
II.3.b Utiliser la décomposition spectrale de S.
II.4.b Les propriétés montrées à la question I.8 peuvent s'appliquer ici.
II.5.a Revenir à la définition de matrice positive.
II.5.b Diagonaliser A(x).
II.5.e Après avoir calculé l'équivalent demandé, montrer que les deux valeurs
propres de p (A(x)) - p (B(x)) ne sont pas de même signe. Conclure à
l'aide de la question I.2.
Partie III
III.2.b Attention au théorème de changement de variables sur les intégrales 
généralisées.
III.2.c Les i sont les valeurs propres de S, et les Pi les projections de la 
décomposition spectrale associée.
III.2.e Utiliser les questions III.1.a, III.2.b et I.8.d.
III.3.a Il est préférable de calculer avec des bornes finies, puis de passer à 
la limite.
III.3.b Cette question est analogue à la question III.2.c.
III.3.c Reprendre la question III.2.e.

Le rapport du jury signale deux problèmes présents dans trop de copies :
· « Des difficultés de compréhension des notions introduites dans le problème, 
mais aussi des notions de base du programme : la relation d'ordre
sur les matrices, [...] la définition de fonction matricielle. Un grand
nombre de candidat ne sait toujours pas manipuler le symbole .
Lorsque le résultat n'est pas donné dans l'énoncé, on obtient trop fréquemment 
des réponses dénuées de bon sens.[...] De telles erreurs [...]
montrent le degré d'incompréhension et l'absence totale de sens critique
de leurs auteurs. » Relisez-vous !
· « Un manque de rigueur et de logique trop fréquent : dès la toute première 
question du problème une grande majorité de candidats oublie
t
de montrer que M SM est symétrique. [...] Il est trop fréquent de voir
affirmer qu'un vecteur est un vecteur propre sans s'assurer qu'il est non
nul ou bien de voir transformer une intégrale convergente en différence
de deux intégrales divergentes. »

PARTIE I
I.1 Soient S  Sn+ (R), M  Mn (R) et X  Mn,1 (R). Alors d'une part, t M SM est
symétrique
t

t

t

t

t t

t

( M SM) = M S ( M) = M SM

D'autre part, t M SM est positive. En effet, en posant Y = MX  Mn,1 (R), on a 
les
égalités suivantes
t

t

t

t

X( M SM)X = ( MX)S(MX) = Y SY
t

c'est-à-dire

X( t M SM)X > 0
t

Finalement,

par positivité de S

M SM  Sn+

Le jury regrette que les candidats ne donnent qu'une demi-réponse : « la
preuve de la symétrie est trop souvent oubliée ».
I.2 Puisque S est une matrice symétrique, il existe une matrice orthogonale P et
t
une matrice diagonale D telles que S = PDP-1 = PD P. Les coefficients diagonaux
de D sont les valeurs propres de S, notées ici 1 , . . . , n . Soit X  Mn,1 
(R). On a
t

X SX = t X PD t P X
t t
t
= ( P X)D P X
t
t
X SX = Y DY
 
y1
 .. 
t
on a posé Y = P X. Si Y s'écrit  .  alors :
yn

t

X SX =

n
P

i yi 2

i=1

Si toutes les valeurs propres de A sont positives, alors on a

n
P

t

i yi 2 = X SX > 0

i=1

donc A  Sn+ (R). Si toutes les valeurs propres de A sont strictement positives
t
t
t
et si X 6= 0, alors Y = P X 6= 0 (car P est inversible) et donc X SX > 0.
++
Ainsi A  Sn (R).
Réciproquement, si S  Sn+ (R), on note (e1 , . . . , en ) la base canonique de 
Rn .
t
Pour i  [[ 1 ; n ]], en posant X = Pei , on a Y = ei et X SX = i > 0. Donc 
toutes
les valeurs propres de S sont positives. De plus, si S  Sn++ (R), par le même 
calcul,
t
X SX = i > 0 et les valeurs propres de S sont strictement positives.
S  Sn+ (R) (respectivement S  Sn++ (R)) si et seulement si toutes ses
valeurs propres sont positives (respectivement strictement positives).
I.3 La matrice A est clairement symétrique. Son polynôme caractéristique est
PA = det(A - XI2 ) = X2 - Tr (A)X + det(A) = X2 - 3X + 1

Les valeurs
 propres de A,racines du polynôme caractéristique, sont donc (3 + 5)/2
et (3 - 5)/2. Comme 5 < 3, elles sont toutes les deux strictement positives.
La question I.2 permet de conclure que
A  Sn++ (R) et a fortiori A  Sn+ (R)
 
x1
Si X =
6= 0, on peut calculer directement
x2
t

X AX = 2x1 2 - 2x1 x2 + x2 2 = x1 2 + (x1 - x2 )2 > 0

donc A est symétrique définie positive.
Un troisième méthode serait la suivante. Dans un premier temps, remarquer que A 
est symétrique réelle, donc diagonalisable en base orthonormée.
Notons  et µ ses valeurs propres, sans chercher à les calculer. On sait que
ce sont des réels non nécessairement distincts, qui vérifient Tr (A) =  + µ et
det(A) = µ. Le calcul du déterminant det(A) montre qu'il est strictement
positif et celui de la trace Tr (A) = 2 + 1 > 0. Ceci entraîne d'une part que
les deux valeurs propres vérifient µ > 0. Elles sont donc du même signe et
d'autre part  + µ > 0 montre que ce signe est positif. On conclut alors à
l'aide la question I.2.
 
1
I.4 La matrice B est symétrique. En posant X = 0, on remarque que
0
t

Donc

X BX = -1 < 0

B
/ Sn+ (R), a fortiori B 
/ S++
n (R)
On peut aussi utiliser la question I.2 et dire que -1 étant valeur propre
« évidente », B ne peut être définie positive.