CCP Maths 1 PC 2008

Thème de l'épreuve Matrices symétriques à coefficients positifs
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, algèbre bilinéaire, topologie
Mots clefs Matrices symétriques, positives, produit scalaire, diagonalisation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

me.--:o: .v " cm.--fifi

... moeb9Ëäæææ<ä

o.... mmmfiä - maoË...oËoe mËËË

m...=a_z=v...-->dcoe mz=EOEOu ...oe=0u20v

'

Les calculatrices sont interdites
****
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la 
precision et a la
concision de la redaction.
Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur 
d'enonce, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a ete amene a prendre.
****
Notations et objectifs
le -espace vectoriel des
Pour tout entier naturel superieur ou egal a 1, on note
le -espace vectoriel des matrices
matrices carrees d'ordre a coefficients dans et
colonnes a lignes a coefficients dans .
designe l'ensemble des matrices symetriques de
,
l'ensemble des matrices
orthogonales de
et la matrice identite d'ordre .
de
est identifie a un element de
tel que l'element
Tout vecteur
eme
de la
ligne de soit . Dans toute la suite, nous noterons indifferemment
un
aussi bien que le vecteur de
qui lui est associe.
element de
, soit encore la
Selon le contexte, designe soit le reel nul, soit la matrice nulle de
matrice nulle de
.
est muni de son produit scalaire canonique note
et de la norme associee notee
.
Une matrice carree reelle
sera dite positive si tous ses coefficients sont positifs ou nuls et
. De meme un vecteur de
sera dit positif si toutes ses compoon notera dans ce cas
santes sont positives ou nulles et on notera aussi
. L'ensemble des matrices carrees reelles
.
d'ordre , positives et symetriques est note
L'objectif de ce probleme est d'etudier des conditions pour lesquelles, etant 
donnes nombres
reels distincts ou non,
, il existe une matrice carree reelle d'ordre positive et
comptees avec multiplicite, c'est-a-dire
symetrique admettant pour valeurs propres
dont le polynome caracteristique est egal a

.

Dans la premiere partie on considerera quelques exemples simples.
Dans la seconde, on montrera que si est une matrice carree reelle positive et 
symetrique de
plus grande valeur propre , alors est positif, admet pour la valeur propre un 
vecteur propre
positif et toute valeur propre de verifie
.
1/4

La troisieme partie, assez technique, permettra de connaitre les valeurs 
propres d'une matrice
carree reelle positive et symetrique d'ordre
construite a partir de deux matrices et carrees
reelles positives et symetriques d'ordres respectifs et dont on connait les 
valeurs propres.
Enfin la derniere partie donnera des conditions suffisantes pour qu'il existe 
une matrice carree
reelle positive et symetrique d'ordre admettant pour valeurs propres comptees 
avec multiplicite,
reels donnes.
PARTIE I
I.1 Montrer que si
sont des reels positifs, distincts ou non, il existe une matrice
carree reelle positive et symetrique d'ordre et de valeurs propres
, comptees avec
multiplicite.
une matrice carree reelle d'ordre admettant
et pour valeurs propres.
I.2 a) Soit
Montrer que son polynome caracteristique est donne par
.
b) En deduire une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre 
admettant pour
et .
valeurs propres
I.3 Determiner une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre 
admettant pour
, et .
valeurs propres
I.4 Determiner une matrice carree reelle positive et symetrique d'ordre 
admettant pour
,
, et .
valeurs propres comptees avec multiplicite :
I.5 Montrer qu'il n'existe aucune matrice carree reelle positive et symetrique 
d'ordre ad,
et .
mettant pour valeurs propres comptees avec multiplicite :
I.6 a) Pour et reels, on note la matrice carree d'ordre dont les coefficients 
diagonaux
valent tous et les autres valent tous . Determiner les valeurs propres de .
b) Une matrice carree reelle symetrique d'ordre dont toutes les valeurs propres 
sont
positives ou nulles est-elle necessairement positive ?
PARTIE II
II.1 Soit
,
.
a)
b)
c)
.
et
II.2 Soit
definies par blocs sous la forme

et

. Etablir les egalites :

.
. On note

a) Montrer que
.
b) Montrer que si
sont orthogonaux dans
et
sont orthogonaux dans
.
c) La reciproque est-elle vraie ?
Dans la suite de cette partie designe une matrice de
matrice diagonale semblable a . On pose
.
II.3 a) Montrer que pour tout
b) En deduire que pour tout

,

et

les matrices de

orthogonaux dans

et

,

et

une
.

,

.

2/4

c) En utilisant une decomposition du vecteur
sur une base orthonormee de vecteurs
propres de , montrer que cette derniere inegalite est une egalite si et 
seulement si est vecteur
propre de associe a la valeur propre .
,
et
.
II.4 Soit
a) Montrer que est un ferme de
.
.
b) Montrer que est un ferme borne de
. Donner l'expression de
en
c) Soit
.
fonction des coefficients de et de ceux de ; en deduire que est continue sur
d) On pose
. Justifier l'existence de et montrer qu'il existe
appartenant
tel que
.
.
e) Montrer que
II.5 On suppose dans cette question
.
est un vecteur propre unitaire de associe a la valeur propre , on
a) Si
.
pose
i) Montrer que
est element de .
.
ii) Montrer que
iii) Montrer que
.
b) En deduire
, puis que la matrice admet un vecteur propre positif associe a la
valeur propre .
c) Montrer que pour tout
,
.

a

PARTIE III
Soit et deux elements de , , deux matrices symetriques reelles d'ordres 
respectifs et
,
une base orthonormee de
formee de vecteurs propres de ,
une base orthonormee de
formee de vecteurs propres de et
,
les
reels tels que :
et
Pour tout reel , on note

la matrice de

et on considere les vecteurs
de

de

definis par

III.1 Montrer que
valeurs propres correspondantes.
III.2 Pour reel, on note

donnee sous forme de blocs par :

definis par

, ainsi que les vecteurs

.
et

sont vecteurs propres de

et preciser les

le vecteur defini par

a) Montrer que
est unitaire dans
.
.
b) Determiner le spectre de
. On note
c) On suppose dans cette question
tel que :

l'unique reel de l'intervalle

3/4

et on pose
.
i) Montrer que est non nul.
.
ii) Evaluer le produit
iii) Montrer que et verifient l'equation :

iv) En deduire que
et
sont vecteurs propres de
propres correspondantes et en fonction de , et .
v) Montrer que les vecteurs
et donner l'ensemble des valeurs propres de
.
orthonormee de
vi) Montrer que les formules exprimant
et en fonction de
des valeurs propres de
lorsque
.

et exprimer les valeurs
forment une base
,

et donnent encore

PARTIE IV
Dans cette partie on se propose de demontrer par recurrence la propriete
est un element de
tel que :

suivante : si

et
alors il existe
tel que
soient les valeurs propres de comptees avec
multiplicite.
IV.1 Verifier que
est vraie.
tel que
soit vraie et soit
verifiant :
IV.2 Soit
et
On pose
.
tel que
soient valeurs propres de .
a) Montrer qu'il existe
Dans la suite de cette question IV.2, designera une telle matrice.
b) Montrer que admet un vecteur propre
unitaire et positif associe a la valeur propre .
c) Pour reel, soit
la matrice de
definie par :

i) Verifier que
est bien de la forme
: preciser , et
ii) En deduire les valeurs propres de
.
, les valeurs propres de
iii) Montrer que si
et conclure.
IV.3 Exemple

.
sont :

a) Determiner le spectre de la matrice
b) Determiner une matrice
valeurs propres
,
,

carree reelle positive et symetrique d'ordre , admettant pour
.
Fin de l'enonce
4/4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PC 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Romain Bordier (École Polytechnique) ; il a été relu 
par
Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

L'épreuve porte sur le programme d'algèbre linéaire et bilinéaire. L'objectif du
problème est de donner une condition suffisante sur un n-uplet de réels pour 
qu'il
existe une matrice symétrique à coefficients positifs admettant ces réels comme 
valeurs propres. La démonstration permet de donner une méthode récursive pour
construire une telle matrice.
Il faut prendre garde à ne pas confondre la positivité au sens de l'énoncé (une
matrice est positive si tous ses coefficients sont positifs) avec la notion de 
matrice
symétrique positive.
Le problème est divisé en quatre parties.
· La première s'attache à étudier et construire quelques exemples de matrices
positives et symétriques. Sa résolution complète n'est pas nécessaire pour 
traiter
les autres parties.
· La deuxième partie étudie les conséquences de la positivité sur les valeurs
propres et vecteurs propres. On démontre en particulier que l'on peut toujours 
trouver un vecteur propre positif associé à la plus grande valeur propre
d'une matrice symétrique à coefficients positifs.
· La troisième partie s'appuie seulement sur les résultats élémentaires établis 
au
tout début de la deuxième partie. Elle a pour but d'étudier les valeurs propres
des éléments d'une famille de matrices symétriques de taille n + p construites
à partir de deux matrices de tailles n et p.
· Enfin, la dernière partie fait la synthèse des deux précédentes pour démontrer
le résultat annoncé en début d'énoncé. Le sujet se termine par l'étude d'un cas
particulier.
Dans l'ensemble, la difficulté de l'épreuve est raisonnablement constante ; les 
questions à la fin de chaque partie nécessitent plus de réflexion.

Indications
Partie I
I.2.b Relier le polynôme caractéristique de M à sa trace et à son déterminant
pour en déduire la forme de M.
I.3 S'appuyer sur la matrice trouvée en I.2.b
I.4 Utiliser encore une fois la matrice trouvée en I.2.b
I.5 Penser à la trace de la matrice S.
I.6.b Choisir b négatif en maintenant les valeurs propres positives.
Partie II
II.2.c Exhiber un contre-exemple.
II.4.a Montrer que le complémentaire de E est ouvert.
II.4.c Exprimer  comme un polynôme en les coefficients de X.
II.4.d Utiliser la compacité de l'ensemble C.
II.5.c Réutiliser la méthode employée question II.5.a avec i à la place de  et 
à la place de µ.
Partie III
III.2.b Montrer que les Zi et Ti forment une base orthonormale dans laquelle Ms
est diagonale.
III.2.c.iii Effectuer un calcul direct de chacun des membres de l'égalité. Le 
membre
droit se calcule à l'aide de la multiplication par la quantité conjuguée.
III.2.c.v Vérifier que V(1 ) et V(2 ) sont orthogonaux.
Partie IV
IV.2.a Montrer que a, 2 , · · · , n satisfont l'hypothèse de récurrence.
IV.2.b Utiliser le résultat de la question II.5.b
IV.2.c.ii Utiliser le résultat de la question III.2.c
IV.3.b Utiliser le résultat de IV.2.c et la matrice A pour construire la 
matrice B.
Poser a = 1 + 4 et chercher un vecteur propre positif et unitaire de A
associé à la valeur propre a.

Ce sujet a été considéré par le jury du concours comme « plus abordable
que les années précédentes ». Il faut donc s'attendre à ce que les correcteurs
soient d'autant plus exigeants sur les détails de rédaction et sur la rigueur
du raisonnement : bien utiliser le raisonnement par récurrence, savoir bien
démontrer qu'une famille est une base orthonormale, etc., sont des outils à
maîtriser parfaitement. Comme l'évoque le jury : « Le symbole de double 
implication est trop souvent utilisé de manière systématique sans justification.
[...] Il est fréquent de voir affirmer qu'un vecteur est un vecteur propre sans
s'assurer qu'il est non nul. »
Un raisonnement rigoureux est également un moyen d'éviter les erreurs
d'étourderie, en particulier dans les calculs (numériques ou matriciels). Le
jury a ainsi reproché à l'ensemble des candidats des calculs « mal présentés,
mal expliqués », une mauvaise « manipulation des inégalités », des difficultés 
dans le « calcul du polynôme caractéristique » et dans « la maîtrise des
opérations élémentaires laissant un déterminant invariant ».
En somme, rien de tout cela n'est insurmontable et une pratique régulière de ce 
type d'épreuve permettra de gagner très rapidement en assurance.
Le jour J, il ne faut pas hésiter à dépenser un petit peu de temps (de façon
raisonnable) en début d'épreuve pour assurer le plus de points dans la première 
partie ou dans les deux premières parties. En effet, c'est un moyen de
gagner la confiance du correcteur et d'améliorer sa compréhension du sujet.

PARTIE I
I.1 Étant donnés n réels positifs ou nuls (1 , 2 , . . . , n ), soit la matrice 
diagonale S

définie par

0 ··· 0
1

.. 
. 

..
. 0
0 · · · 0 n
Puisque S est diagonale, elle est symétrique. Or, les réels (1 , 2 , . . . , n 
) étant
positifs ou nuls, il s'agit d'une matrice à coefficients positifs. Enfin, elle 
admet les
n réels (1 , 2 , . . . , n ) comme valeurs propres comptées avec multiplicité. 
Ainsi,

0
S=
.
 ..

2
..
.

..

.

La matrice S est une matrice symétrique et positive et elle admet 1 , . . . , n 
comme valeurs propres comptées avec multiplicité.
I.2.a Si M est une matrice carrée réelle d'ordre 2 admettant 1 et -1 comme 
valeurs
propres, alors son polynôme caractéristique est donné par
P(X) = (1 - X)(-1 - X)
P(X) = X2 - 1
Il est indispensable de suivre les conventions (en particulier de signe) 
adoptées
par l'énoncé quand bien même elles ne correspondent pas exactement à celles
vues en cours. Ainsi comme le rappelle le jury de l'épreuve : « La définition
du polynôme caractéristique est majoritairement erronée par omission du
coefficient dominant (-1)n , alors que cette définition était indiquée dans le
préambule de l'énoncé. »

0
I.2.b Soit la matrice définie par S =
1

1
0

On vérifie tout d'abord que S est une matrice symétrique d'ordre 2 à 
coefficients
positifs. Par ailleurs, son polynôme caractéristique est donné par
-X
1
P(X) =
1
-X
ou encore

P(X) = X2 - 1
La matrice S d'ordre 2 est symétrique et positive
et elle admet 1 et -1 comme valeurs propres.

Si M est une matrice carrée d'ordre 2, le polynôme caractéristique de M
s'exprime simplement à l'aide des invariants de la matrice
P(X) = X2 - Tr (M)X + det(M)
où Tr (M) et det(M) sont respectivement la trace et le déterminant de la
matrice M. Cette formule redonne bien sûr le résultat de la question.
Cette identité, très utile en pratique, est à connaître. Elle n'est valable
qu'en dimension 2.
On peut aussi procéder par coefficients indéterminés et prouver l'unicité
de la solution au problème posé. En effet soit S une matrice symétrique
et positive admettant 1 et-1 comme valeurs propres. D'après la question
précédente son polynôme caractéristique est donné par
P(X) = X2 - 1
En utilisant l'identité rappelée dans la remarque prédédente et par 
identification des coefficients du polynôme on en déduit
Tr (S) = 0
et
det(S) = -1
On cherche une matrice S positive et symétrique vérifiant une telle condition 
sous la forme

a b
S=
b c
où a,b,c sont trois réels positifs. On sait alors que
Tr (S) = a + c = 0
d'où
a=c=0
puis
det(S) = ac - b2 = -b2 = -1
On vérifie alors que la matrice S définie par

0 1
S=
1 0
convient et que c'est la seule.

d'où

b=1

Pour cette question, le jury a relevé dans les copies des candidats que
« l'exemple est très souvent obtenu par conditions nécessaires, mais le fait que
réciproquement il convienne n'est pas toujours établi. » En début d'épreuve,
il est important de prendre un peu de temps pour éviter les erreurs 
d'étourderie de ce type et vérifier ainsi que l'on répond bien à l'intégralité 
des questions
(même si cela conduit à faire quelques vérifications triviales).