CCINP Maths 1 PC 2005

 

GOO--...ËOOE

me.--52-- v " 0...ü:Q

... mm:@...æ<äoeææ<ä o...... ...ËËAE - mom...äoËoe mË...ËÈ ......=o.z=u...-->dooe ":::--Eau moe=ouzou

'

DOON ZO--OEoeüoe

PCMIOO4
SESSION 2005

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la conci-
sion de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il la si--

gnalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

****
Objectifs, notations et définitions

Les objectifs de ce problème sont les suivants :

-- étendre la notion d'exponentielle à une matrice sans faire appel aux séries, 
mais par analogie
avec l'introduction de la fonction réelle de variable réelle : s +----> c'" 
comme solution du problème
de Cauchy : y' : ay, y(0) : 1.

-- établir quelques propriétés de cette exponentielle.

- résoudre dans R3 une équation différentielle du type a:' = u /\ a: que l'on 
rencontre en particulier
en mécanique du solide.

Soit N l'ensemble des entiers naturels, N* = N \ {O} et pour n dans N*, Nn : 
{l, 2, . . . ,n}.

Si n est un entier supérieur ou égal à l, onnote MAC) le C--espace vectoriel 
des matrices carrées
d'ordre n à coefficients dans (C et M...(C) le C--espace vectoriel des matrices 
colonnes à n lignes
à coefficients dans C. In est la matrice identité dont les coefficients sont 
donnés par le symbole de

Kronecker défini par
6-- _ 1 si i = j
" _ 0 si i # j

Pour A : (dij)1Ëg C sont dérivables
sur I et qu'alors : '

Vs EUR I , A'(s) : (a' (s))1gz'gn

ij .
1< 'Com M. c) Déterminer le polynôme caractéristique XM de M. (1) Calculer (13 + M)(213 -- M), puis la matrice XM(M)- 1.2 Soit A = (a,--,) E M,,(C), (,81,,82, . . . ,fln) E C" et B la matrice déduite de A en remplaçant la jème colonne de A par la colonne formée des coefficients 51,52, . . . , ,6,,. 3) Montrer que det B = 2 ,5kAkj. k=I n h) En déduire les égalités : V(l,j) EUR NÎ, , z OEkJAkj : (det A)5,,--. k=1 n c) Montrer de même les égalités : V(l, @) EUR Nâ , z a...A,--k : (det A)6;,--. k=1 d) En déduire les formules : A >< ('Com A) : (det A)I,, et ("Com A) >< A : (det A)],, 1.3 3) Soit (G,j)1Ë,- Mn,1(C) , 3 +----> Y(s). On notera 
(yi(3))1 M,,(C) , s +------> z yk(s)Ck. Montrer que:
k=l

n--l

Vs & R. Ej.(a) = 2 y.(s)[A.0. + C...] + yn(s)Ancn

k=l

En déduire que E A est solution du problème (1).
b) Montrer que E A est aussi solution du problème (2) ci-dessous :

V3 5 R , E'(s) = E(s)A et E(O) = 1, (2)

c) Soit go : R ----> M,,(C) , 5 r--> EA(3)EA(--s). Montrer que la fonction cp 
est constante
égale à I,,. En déduire que pour tout 3 E R, E A(3) est inversible et donner 
son inverse.

(1) Soit F une solution du problème (1) et gb la fonction de IR dans M,,(C) 
définie pour
tout 3 réel par v,b(s) : E A(--s)F (3). Montrer que la fonction zb est 
constante et en déduire que le
problème (1) admet E A pour unique solution.

e) Montrer que E A est aussi l'unique solution du problème (2).

Désormais, on note pour tout 3 réel : E A(3) : e". La matrice EA(1) : eA est 
appelée exponen-
tielle de la matrice A. Cette notation et cette définition seront justifiées 
par les diverses propriétés
étudiées dans la suite du problème.

11.3 A l'aide de l'algorithme décrit dans les questions précédentes, déterminer 
explicitement les
coefficients de eSM , où M est la matrice donnée àla question 1.1.

11.4 Soit le problème de Cauchy dans M,... ((C) donné par :

VS EUR R, Z,(S) : AZ(S) et Z(Û) : ZQ, Zo EUR M...1(C)
Montrer que sa solution est donnée par Z (8) : 6" Z0.

PARTIE 111

III.] Montrer que pour tout 5 réel, la matrice EUR" est un polynôme en A.
III.2 Soit A et B deux matrices de MAC) telles que AB : BA.
3) Montrer que pour tout s réel, A et 633 commutent.

b) Montrer que pour tout 3 réel, @" et 633 commutent.

c) Montrer que les fonctions

il : R--> Mn(C) , s t--> es(A+B) et 1/ : R--> Mn((C) , 3 l--> e"'e'B

+B A B

vérifient une même équation différentielle et en déduire eA : @ >< e . III.3 On considère les matrices A = (1 1) et B = (1 _1). 0 0 0 0 Calculer eA, eB, eA+B et eAeB. Quelle conclusion en tirez--vous '? III.4 Soit A dans Mn(C) . 3) Montrer que si P est une matrice inversible de MAC), on a pour tout 3 réel : ...1 _ esP AP___P lesAP b) Montrer que pour tout s réel : EUR"... : t(e"). PARTIE IV On se place désormais dans l'espace vectoriel euclidien orienté R3 muni de son produit scalaire canonique. B = (61, (32, 63) est la base canonique de R3 et u = (a, b, c) est un vecteur unitaire de R3. Soit 330 un vecteur de R3 et a: l'application de IR dans R3 solution du problème de Cauchy : VsEURR,d--=uAæ et oe(0)=oeo (3) 3 IV.1 Si X (3) et X0 sont les matrices colonnes respectives des coordonnées de :13(3) et % dans la base B, montrer que le problème (3) s'écrit encore : dX VSER,--d----=AX EURtX(O)=XÜ (4) 3 où A est une matrice que l'on précisera. IV.2 Déterminer le polynôme caractéristique de A et montrer que A3 = --A. IV.3 Montrer que 6" = 13 + (sin 5)A + (1 -- cos s)A2 et donner l'expression de la solution du problème (4). IV.4 On note f et 9 respectivement les endomorphismes de R3 canoniquement associés aux matrices A et e"'. 3) Montrer qu'il existe une base orthonormale BO telle que la matrice de f dans cette base soit : 0 0 0 B = 0 0 --l 0 1 0 b) Déterminer l'image par g de la base 50, puis caractériser géométriquement l'endomor- phisme g. c) Calculer 6388. Fin de l'énoncé