CCP Maths 1 PC 2005

Thème de l'épreuve Construction de l'exponentielle de matrice à l'aide de méthodes différentielles
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires à coefficients constants, calcul matriciel, déterminant

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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GOO--...ËOOE

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DOON ZO--OEoeüoe

PCMIOO4
SESSION 2005

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la conci-
sion de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il la si--

gnalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

****
Objectifs, notations et définitions

Les objectifs de ce problème sont les suivants :

-- étendre la notion d'exponentielle à une matrice sans faire appel aux séries, 
mais par analogie
avec l'introduction de la fonction réelle de variable réelle : s +----> c'" 
comme solution du problème
de Cauchy : y' : ay, y(0) : 1.

-- établir quelques propriétés de cette exponentielle.

- résoudre dans R3 une équation différentielle du type a:' = u /\ a: que l'on 
rencontre en particulier
en mécanique du solide.

Soit N l'ensemble des entiers naturels, N* = N \ {O} et pour n dans N*, Nn : 
{l, 2, . . . ,n}.

Si n est un entier supérieur ou égal à l, onnote MAC) le C--espace vectoriel 
des matrices carrées
d'ordre n à coefficients dans (C et M...(C) le C--espace vectoriel des matrices 
colonnes à n lignes
à coefficients dans C. In est la matrice identité dont les coefficients sont 
donnés par le symbole de

Kronecker défini par
6-- _ 1 si i = j
" _ 0 si i # j

Pour A : (dij)1Ëg C sont dérivables
sur I et qu'alors : '

Vs EUR I , A'(s) : (a' (s))1gz'gn

ij .
1< 'Com M.
c) Déterminer le polynôme caractéristique XM de M.
(1) Calculer (13 + M)(213 -- M), puis la matrice XM(M)-
1.2 Soit A = (a,--,) E M,,(C), (,81,,82, . . . ,fln) E C" et B la matrice 
déduite de A en remplaçant
la jème colonne de A par la colonne formée des coefficients 51,52, . . . , ,6,,.

3) Montrer que det B = 2 ,5kAkj.
k=I

n

h) En déduire les égalités : V(l,j) EUR NÎ, , z OEkJAkj : (det A)5,,--.

k=1
n

c) Montrer de même les égalités : V(l, @) EUR Nâ , z a...A,--k : (det A)6;,--.

k=1
d) En déduire les formules :

A >< ('Com A) : (det A)I,, et ("Com A) >< A : (det A)],,

1.3 3) Soit (G,j)1Ë,- Mn,1(C) , 3 +----> Y(s). On notera 
(yi(3))1 M,,(C) , s +------> z yk(s)Ck. Montrer que:
k=l

n--l

Vs & R. Ej.(a) = 2 y.(s)[A.0. + C...] + yn(s)Ancn

k=l

En déduire que E A est solution du problème (1).
b) Montrer que E A est aussi solution du problème (2) ci-dessous :

V3 5 R , E'(s) = E(s)A et E(O) = 1, (2)

c) Soit go : R ----> M,,(C) , 5 r--> EA(3)EA(--s). Montrer que la fonction cp 
est constante
égale à I,,. En déduire que pour tout 3 E R, E A(3) est inversible et donner 
son inverse.

(1) Soit F une solution du problème (1) et gb la fonction de IR dans M,,(C) 
définie pour
tout 3 réel par v,b(s) : E A(--s)F (3). Montrer que la fonction zb est 
constante et en déduire que le
problème (1) admet E A pour unique solution.

e) Montrer que E A est aussi l'unique solution du problème (2).

Désormais, on note pour tout 3 réel : E A(3) : e". La matrice EA(1) : eA est 
appelée exponen-
tielle de la matrice A. Cette notation et cette définition seront justifiées 
par les diverses propriétés
étudiées dans la suite du problème.

11.3 A l'aide de l'algorithme décrit dans les questions précédentes, déterminer 
explicitement les
coefficients de eSM , où M est la matrice donnée àla question 1.1.

11.4 Soit le problème de Cauchy dans M,... ((C) donné par :

VS EUR R, Z,(S) : AZ(S) et Z(Û) : ZQ, Zo EUR M...1(C)
Montrer que sa solution est donnée par Z (8) : 6" Z0.

PARTIE 111

III.] Montrer que pour tout 5 réel, la matrice EUR" est un polynôme en A.
III.2 Soit A et B deux matrices de MAC) telles que AB : BA.
3) Montrer que pour tout s réel, A et 633 commutent.

b) Montrer que pour tout 3 réel, @" et 633 commutent.

c) Montrer que les fonctions

il : R--> Mn(C) , s t--> es(A+B) et 1/ : R--> Mn((C) , 3 l--> e"'e'B

+B A B

vérifient une même équation différentielle et en déduire eA : @ >< e .

III.3 On considère les matrices A = (1 1) et B = (1 _1).

0 0 0 0
Calculer eA, eB, eA+B et eAeB. Quelle conclusion en tirez--vous '?

III.4 Soit A dans Mn(C) .
3) Montrer que si P est une matrice inversible de MAC), on a pour tout 3 réel :

...1 _
esP AP___P lesAP

b) Montrer que pour tout s réel : EUR"... : t(e").

PARTIE IV

On se place désormais dans l'espace vectoriel euclidien orienté R3 muni de son 
produit scalaire
canonique. B = (61, (32, 63) est la base canonique de R3 et u = (a, b, c) est 
un vecteur unitaire de R3.
Soit 330 un vecteur de R3 et a: l'application de IR dans R3 solution du 
problème de Cauchy :

VsEURR,d--=uAæ et oe(0)=oeo (3)
3

IV.1 Si X (3) et X0 sont les matrices colonnes respectives des coordonnées de 
:13(3) et % dans la
base B, montrer que le problème (3) s'écrit encore :

dX
VSER,--d----=AX EURtX(O)=XÜ (4)
3
où A est une matrice que l'on précisera.
IV.2 Déterminer le polynôme caractéristique de A et montrer que A3 = --A.
IV.3 Montrer que 6" = 13 + (sin 5)A + (1 -- cos s)A2 et donner l'expression de 
la solution du

problème (4).
IV.4 On note f et 9 respectivement les endomorphismes de R3 canoniquement 
associés aux
matrices A et e"'.
3) Montrer qu'il existe une base orthonormale BO telle que la matrice de f dans 
cette base

soit :
0 0 0
B = 0 0 --l
0 1 0
b) Déterminer l'image par g de la base 50, puis caractériser géométriquement 
l'endomor-
phisme g.

c) Calculer 6388.

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Denis Ravaille (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Sattisvar
Tandabany (ENS Lyon) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

L'épreuve se compose de quatre parties qui s'enchaînent logiquement. Son 
objectif
est de redéfinir l'exponentielle des matrices carrées complexes sans utiliser 
la série
classique ; à la place, on se sert de l'équation différentielle spécifique de 
l'exponentielle.
Cette définition, inhabituelle dans ce contexte, s'avère intéressante et 
puissante car
elle fournit une méthode de calcul de l'exponentielle de matrice, dite méthode 
de
Putzer. Elle ne fait appel qu'à des résolutions d'équations différentielles 
linéaires
d'ordre 1 à coefficients constants et à second membre de la forme t  P(t)e t où 
P
est un polynôme. Plus précisément :
· Dans la première partie, il est d'abord demandé d'étudier une matrice carrée
d'ordre 3, puis d'établir deux résultats importants sur les matrices carrées :
­ la formule d'inversion d'une matrice
t

t

A × Com(A) = Com(A) ×A = det(A)In
­ l'annulation des matrices carrées par leur polynôme caractéristique.
· La deuxième partie est le coeur du problème : en utilisant les résultats de 
la partie précédente et des arguments relatifs à la théorie des équations 
différentielles,
le problème fait prouver et utiliser un algorithme pour construire 
l'exponentielle
des matrices carrées complexes.
· Le problème s'attache dans la troisième partie à utiliser cet algorithme pour
démontrer les résultats habituels sur l'exponentielle, notamment la formule de
l'exponentielle de A + B en fonction de celle de A et de celle de B quand A et
B commutent.
· Enfin, le problème se termine par l'application de cette méthode pour obtenir 
les
solutions d'une équation différentielle dans R3 définie par un produit 
vectoriel.

Indications
Partie I
I.1.a Appliquer la règle de Sarrus.
I.1.d Factoriser l'expression (I3 + M) dans M (M).
I.2.a Développer le déterminant suivant la j e colonne.
I.2.c Mener le même raisonnement que dans les questions précédentes en 
substituant un vecteur quelconque à la ie ligne de la matrice A.
I.2.d Calculer explicitement les termes des matrices produits.
I.3.a Pour l'hérédité, développer le déterminant à calculer suivant une ligne ou
une colonne et remarquer que les cofacteurs sont des déterminants d'ordre
inférieur.
I.3.b Montrer que tous les termes de chaque matrice sont nuls.
I.4.a Appliquer à chaque élément de la comatrice le résultat de la question 
I.3.a.
I.4.b Utiliser le résultat de la question I.2.d pour exprimer le polynôme 
caractéristique de A en fonction des Bk .
I.4.c Remplacer les expressions des k obtenues dans la question précédente dans
la formule définissant A (A).
Partie II
II.2.a Dériver EA et utiliser l'équation différentielle pour obtenir les 
expressions des
yk  (s). Calculer ensuite les termes k Ck + Ck+1 .
II.2.c Dériver  et utiliser le fait que EA est solution de (1) et de (2).
II.3 Choisir de travailler sur la matrice

-1 0
HM =  1 2
0 1

0
0
-1

Partie III
III.1 Montrer que pour tout k entier, Ck est un polynôme en A.
III.2.c Montrer que  vérifie l'équation différentielle qui définit µ et 
conclure d'après
l'unicité du problème de Cauchy associé.
III.4.a Vérifier que s 7 Pe sP

-1

AP

P-1 vérifie l'équation différentielle (1).

t

t

III.4.b Vérifier que s 7 (e sA ) vérifie l'équation (2) où l'on a substitué A à 
A.
Partie IV
IV.1 Utiliser la règle de calcul d'un produit vectoriel.
IV.2 Calculer le déterminant définissant A et appliquer la question I.4.c.
IV.4.a Compléter (u) en une base orthonormée.
IV.4.b Utiliser la question IV.1 en donnant des valeurs particulières à a, b et 
c.
IV.4.c Utiliser, au choix, la question précédente ou la question III.4.a.

PARTIE I
I.1.a La matrice M est une matrice carrée d'ordre 3 dont le déterminant peut se
calculer grâce à la règle de Sarrus. On obtient alors
5
0
3
det M = -6 -1 -3
-6 0 -4
= 5 × 4 × 1 + 0 × 3 × 6 - 3 × 6 × 0 - (3 × 6 × 1 + 0 × 6 × 4 - 5 × 3 × 0)
d'où

det M = 2

Il peut être astucieux, ici, de calculer ce déterminant en le développant 
suivant
sa deuxième colonne car elle contient deux zéros.

I.1.b Commençons par calculer l'expression de la comatrice de A avant de 
chercher
à trouver l'expression du produit.
Tout le problème requiert l'utilisation des cofacteurs. Il est primordial, ici 
et
en général, de bien connaître leur définition : le cofacteur Aij d'un élément 
aij
d'une matrice A est, par définition, le produit de (-1)i+j et du déterminant
de la matrice extraite de A dans laquelle ont été supprimées la ligne i et la
colonne j.
Par exemple, le cofacteur M11 est obtenu de la manière suivante :
M11 = (-1)2

Il vient alors

-1 -3
=4
0 -4

0
3
-2 -3
0 -5

4
t
Com(M) = -6
-6

Le produit des matrices donne ensuite

2
t
M × Com(M) = 0
0
Soit, finalement,

0 0
2 0
0 2

t

M × Com(M) = 2 I3

I.1.c Par définition, le polynôme caractéristique de M est le déterminant de la
matrice M-X I3 et un développement de ce déterminant suivant la deuxième colonne
permet d'écrire
M (X) = det(M - X I3 )

=

5-X
0
3
-6
-1 - X
-3
-6
0
-4 - X

= -(1 + X)

5-X
3
-6
-4 - X

= -(1 + X)(18 - (4 + X)(5 - X))
M (X) = -(X + 1)(X2 - X - 2)
Et, en factorisant le second membre, il vient
M (X) = -(X + 1)2 (X - 2)
I.1.d Pour calculer (I3 + M) (2 I3 - M), on commence par calculer chacune des
matrices du produit :

6 0 3
-3 0 -3
I3 + M = -6 0 -3
2 I3 - M =  6 3 3 
-6 0 -3
6 0 6
Puis, en multipliant ces deux matrices, on trouve
(I3 + M) (2 I3 - M) = 0
L'expression du polynôme caractéristique de M, obtenu à la question précédente,
appliqué à la matrice M peut alors s'écrire
M (M) = (M + I3 )(M + I3 )(2I3 - M)
Par conséquent, le calcul précédent assure que
M (M) = 0

Il est aussi possible de remarquer immédiatement que le rang de la matrice I3 + 
M vaut 1 et, donc, que le noyau de cette matrice est de dimension 2
comme la multiplicité de -1. De même, le noyau de M - 2I3 est de dimension 1 ; 
la somme des dimensions de ces deux sous-espaces propres étant égal
à 3, un résultat fondamental du cours assure que M est diagonalisable. Il est
alors aisé de montrer que M est un polynôme annulateur de M.
En effet, si l'on diagonalise M sous la forme P-1 TP, où T est la matrice
diagonale diag(-1, -1, 2), on vérifie que M (M) = P-1 M (T) P. Or

M (-1)
0
0
M (T) =  0
M (-1)
0 =0
0
0
M (2)
Donc M (M) = 0.