CCP Maths 1 PC 2003

Thème de l'épreuve Quelques propriétés des matrices symétriques positives
Principaux outils utilisés diagonalisation, calcul matriciel, diagonalisation simultanée, variations autour du théorème spectral
Mots clefs théorème spectral, matrices positives, matrices définies positives

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2003 ' PCMIOO5

CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIF'IQUE -- F ILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

"_

Les calculatrices sont interdites

****

NB Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision 
et à la
concision de la redaction. _

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'noncé, il la signa-
lera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu 'il a
été amené à prendre.

****'

Notations

Soit 77. et p des entiers supérieurs ou égaux à 1. On note M...,,(R) le 
R-espace vectoriel des
matrices à coefficients dans R ayant n lignes et p colonnes. Lorsque p = n, 
M...,(R) est noté plus
simplement M,,(R) et est muni de sa structure d'algèbre, I,, représentant la 
matrice identité.

GL,,(R) désigne l'ensemble des matrices inversibles de M,,(R) et S,,(R) 
l'ensemble des ma-
trices symétriques de M,,(R). '

Tout vecteur oe : (oe,-- )1<,- et de la norme 
associée notée || -- ||

Une matrice symétrique S de S,,(R) est dite positive si et seulement si :
VX EUR Mn,1(R) , tXSX 2 0
et définie positive si et seulement si :

vx EUR M...(R) \ {0} , txsx > 0

On note 83 (R) l'ensemble des matrices symétriques réelles positives et S,Ï+(R) 
l'ensemble des
matrices symétriques réelles définies positives.

Partie I

1.1 Soit (X, Y) EUR (l\/ln,1(R))2 et S EUR S,,(R). Etablir les égalités :
a) tXY : tYX.
b) ('ÏXY)2 : tX(Y'Y)X = tY(X'X)Y.
c) tXSY =< X | SY >=< SX | Y >.
1.2 Démontrer les propriétés suivantes :
a) V(51,52) EUR (S;,ÿ(IR))2 , 51 + 52 EUR S,Ï(R).
b) V(Sl, 52) EUR SË(R) X 8,Ï+(R) , Sl + 52 EUR 8Ê+(R).
c) VA EUR M,,(R) , tAA EUR 8,Ï(R). _
1.3 3) Soit S EUR S,,(R) vérifiant: VX EUR M,...(R) , tX SX : 0. Montrer que 
tOute valeur
propre de S est nulle et en déduire S = 0.
b) Donner un exemple de matrice carrée M d'ordre 3, non nulle et vérifiant :

VXEURA@ARLCÙWX=O

1.4 3) Soit S EUR S,,(R). Montrer que S appartient à S,? (R) si et seulement si 
toutes ses valeurs
propres sont positives. _
b) Que peut--on dire d'une matrice symétrique réelle semblable à une matrice 
symétrique
réelle positive ? '
1.5 On munit S,,(R) des relations notées Z et >, définies respectivement par :

VOEÆÙH&OEWÆ&Z&Çàâ--&EOEOED

et
V(Sl, 52) EUR (8n(R))2 , (51 > S2 (: Sl -- S2 EUR 8:+(ÏR))

a) Montrer que la relation 2 est une relation d'ordre sur S,,(R).

b) Montrer que pour n _>_ 2, cet ordre n'est pas total sur S,,(R).

c) La relation > est--elle une relation d'0rdre ?

(1) Trouver un exemple dans &(R) montrant que 51 2 S2 et S1 # S2 n'implique pas
nécessairement 51 > S2. . ,

1.6 Soit u et 1) deux endomorphismes de R" diagonalisables et vérifiant u 0 v = 
v o u.

a) Démontrer que tout sous--espace propre de u est stable par v.

b) Soit /\1, /\2, . .. ,/\p les valeurs propres distinctes de u et EÀ,, E,... . 
.. ,E,\p les sous--
espaces propres de u} respectivement associés. Pour tout i EUR {l, 2, . . . , 
p}, on note v,-- l'endomor-
phisme de E,\" induit par v. Montrer que pour tout EUR EUR {1, 2, . . . , p} il 
existe une base B,- de EÀ,
formée de vecteurs propres de v. En déduire qu'il existe une base B deR" telle 
que les matrices de
u et v dans cette base soient toutes deux diagonales. '

1.7 3) Soit A et B deux matrices diagonalisables de M.....(R). Montrer que les 
matrices A et B
commutent si et seulement si elles sont diagonalisables au moyen d'une même 
matrice de passage.
b) On donne les matrices'A et B suivantes : .

1 1--1 2 1--1
A: 1 1--1 ; B: --2 5 --1
--1--1 1 --4 2 2

Montrer que A et B sont diagonalisables au moyen d'une même matrice de passage 
et déterminer
explicitement une telle matrice de passage.

1.8 Soit (S1,S2) EUR ($,Ï"(R))2 tel que S1S2 : S2S1. Montrer que S1S2 EUR 
S,Ï(R).

1.9 3) Soit (191,52) EUR (ét).(lRä))2 tel que S1S2 : 32:31. Montrer que:

1 1

à 0
_ 2 ' °
1 1) et S2 -- (O 3) verrfient S2 > S1 > 0.

b) Montrer que les matrices S1 = (

Vérifient-elles Sâ 2 SÏ '?

Partie II

On se propose dans cette partie de caractériser de diverses manières la définie 
positivité d'une
matrice symétrique réelle.
[1.1 Soit S E Sn (R). Montrer que les quatre propositions suivantes sont 
équivalentes :
a) S est définie positive.
b) Toutes les valeurs propres de S sont strictement positives.
c) Il existe M EUR GL..(R) telle que S : tMM.
(1) S est positive et inversible.
11.2 Soit An et B.. les matrices de S,.(R) données par :

0 1 0 0
1 0 1
B,.= ° 1 ,An=ZIn--Bn
' 1 0
0 1
0 '0 1 0

a) Montrer que pour tout vecteur X = ( OEi)l£z'$n de R" :

n--1
tXAnX : 56% + Z(a:z ---- æi+1)2 + 513%
i=1

b) En déduire que An est définie positive.
c) En cherchant une matrice Mn de la forme :

Mn: ; () ,ui,viEURR

: . ' ° ' un--1 vn--1
() . . . . . . 0 un
déterminer explicitement une matrice Mn inversible telle que An : 'Mn M...
11.3 Soit S EUR 8,Ï+(R) et M EUR GLn(R) telles que S = 'MM. On noteZl = (U1, 
U2, . ,Un) la
famille des vecteurs colonnes de M. Pour z' EUR {1,2, . . . ,n} et &: EUR IR", 
on note p.(æ) la projection
orthogonale de a: sur Vect(U1, U2, . . . ,U,--).

3) Justifier que L! est une base de R". _
b) On définit la famille de vecteurs V = (V1, V2, . . . , V,.) par les 
relations :

% =U1 EURt VZEUR{2,... ,TL}, %=Uz--pi_1(Uz)

Montrer que la famille V est orthogonale et que c'est une base de R".

1
c) Soit W = (W1,W2, . . . , W..) la famille de vecteurs définie par W.-- : 
||V'H % pour tout
z' EUR {1,2, . . . , n} W est alors une base orthonormale de R". Montrer que la 
matrice de passage de

la base W àla base U est triangulaire supérieure.

d) Soit P la matrice de passage de la base canonique de R" à la la base W. 
Montrer que
M peut s'écrire sous la forme M = PT où T est une matrice triangulaire 
supérieure inversible et

qu'alors S = 'TT.

4 ----2 --2
e) Montrer que la matrice S = --2 2 0 admet une décomposition de la forme
-----2 0 3

S = 'TT où T est une matrice triangulaire supérieure inversible et en déduire 
que S est symétrique
définie positive.
. 0 c
11.4 a) Son AO : (

c b

a C

h) Soit/l = (
c b

(TrA > 0 et det/l > 0) ce qui équivaut encore à (a > 0 et ab -- c2 > 0).
c) Soit S EUR SAR), n 2 2. On décompose S sous la forme

) EUR &(R). DéterminerX EUR M2,1(R) \ {0} tel que tXA0X = O.

) EUR SAR). Montrer que A est définie positive si et seulement si

t
S=('î ;) ,aEURR,VEMTL--L1(R),SIEUR8_1(R)

Cl?

En écrivantX EUR Mn,1(R) sous la forme ( X

a#0:

;) , 13 EUR R , X' EUR Mn_1,1(R),montrer que pour

2
txsx = a {($ + âtvx') + --15tX'(aS' -- VW)X' (1)
a

et en déduire que S est définie positive si et seulement si (a > 0 et aS' -- 
VtV est définie positive).
d) En gardant les notations de la question II.4 c) précédente, on peut alors 
construire par
récurrence une suite de nombres réels (ai)lsi_<_n et une suite de matrices 
(Si)1gign comme suit. On

pose d'abord: -
SI=S, a1=a, Vi=V, Sî=Sl, Sg:_OEISî--'/1t'/l

Si n 2 3, on décompose S2 sous la forme

t
52 = a2 V;2 ) a2 EUR Ra V2 EUR Mn--2,I(R) , 55 EUR Sn--2(R)
% 52

On pose à nouveau S3 = a2Sg ---- V2'V2 et on itère le processus précédent. On 
obtient ainsi une
suite de matrices symétriques réelles (S,--)1Si5n où Si est d'ordre n --- i + 1 
et une suites de réels
(ai)lsiSn liés par les relations :

ai tVz'

ViEUR{l,2,....,n--l}, Si= (V; S:

) , Si+1 = a,--S£ _ Vz'tVÂ'

Le processus s'arrête pour i = n car Sn est alors d'ordre 1 et on note Sn : 
(an).
Montrer que S est définie positive si et seulement si tous les réels de la 
suite (ai)1gign sont
strictement positifs.

et d e
e) Soit S = d 1) f EUR Sg(R). Selon les notations précédentes, déterminer 
explici-
e f 6

tement les réels al, @, % associés à cette matrice S et en déduire que S est 
définie positive si et

seulement si :
a

de
l>0et d b_f>O
fc

Fin de l'énoncé

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CCP Maths 1 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Walter
Appel (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce sujet propose une étude des matrices symétriques réelles. Il comporte deux
parties liées, des résultats généraux démontrés dans la première partie étant 
réutilisés
dans la seconde.
La première partie se propose de démontrer certains résultats classiques sur les
matrices, et en particulier sur les matrices symétriques, positives ou définies 
positives.
La seconde partie a pour objectif de caractériser de différentes manières une 
matrice symétrique réelle et définie positive, en particulier par le biais de 
différents
exemples calculatoires. Elle aboutit au résultat final suivant : une matrice 
symétrique
réelle d'ordre 3 est définie positive si, et seulement si, les déterminants des 
matrices
supérieures gauches d'ordre 1, 2 et 3 extraites de cette matrice sont 
strictement
positifs.
Peu de questions de ce problème sont vraiment difficiles, mais il utilise des 
techniques classiques d'algèbre bilinéaire et de diagonalisation, qu'il est 
nécessaire de bien
maîtriser. Il traite d'algèbre réelle, mais peut tout à fait être étendu à des 
espaces
vectoriels plus généraux. De plus, des exemples sont fréquemment demandés en 
petites dimensions, ce qui suppose d'avoir bien compris ce que l'on fait. En 
résumé,
c'est un bon problème de révision pour cette partie du programme.

Indications
Partie I

I.1 Faire les calculs directement, sans repasser par les coordonnées.
I.2 Utiliser la propriété rappelée au début de l'énoncé.
I.4.a Pour le sens direct, utiliser la propriété avec un vecteur propre.
Pour la réciproque, se placer dans une base de diagonalisation.
I.5.b Trouver deux matrices diagonales A et B telles que le spectre de A-B 
contienne
un élément positif et un négatif.
I.6.b Considérer, pour tout i, une base de diagonalisation de vi .
I.7.a Utiliser la question précédente pour le sens direct, et faire le calcul 
directement
pour la réciproque.
I.7.b Diagonaliser A et utiliser la question I.6.b pour trouver une base 
convenable.
I.8 Diagonaliser S1 et S2 dans la même base.
I.9.a Factoriser S2 2 - S1 2 et utiliser les propriétés démontrées aux 
questions I.2
et I.8.
Partie II

II.1 Démontrer par exemple a  b  c  d  a, en utilisant la question I.4.a.
II.2.c Faire le calcul et résoudre le système obtenu.
II.3.b Utiliser la caractérisation de la projection.
II.3.d Utiliser la formule du changement de base pour exprimer M à partir de T.
II.4.c Pour le sens direct, raisonner par contraposée.
II.4.d Construire un raisonnement par récurrence à partir de la question II.4.c.

Partie I
I.1.a Soient (X, Y)  (Mn,1 (R))2 . On a
t

X Y = hX | Yi = hY | Xi = t Y X

On pouvait aussi écrire que la matrice t X Y, d'ordre 1, est nécessairement
symétrique.
I.1.b On a ( t X Y)2 = ( t X Y)( t X Y). Pour obtenir la première égalité, on 
applique
le résultat de la question précédente au deuxième terme ; pour obtenir la 
seconde
égalité, on l'applique au premier terme. Par suite,
t

t

t

t

t

( X Y)2 = X(Y Y)X = Y(X X)Y
I.1.c Soit S  Sn (R). On a d'une part,
t

et d'autre part,

t

t

X SY = X(SY) = hX | SYi

X SY = t X t S Y = t (SX) Y = hSX | Yi

d'où

hX | SYi = hSX | Yi

I.2.a Soient (S1 , S2 )  (Sn+ (R))2 . Pour tout X  Mn,1 (R), on a
t

t

t

X(S1 + S2 )X = X S1 X + X S2 X > 0
S1 + S2  Sn+ (R)

donc

I.2.b Soient S1  Sn+ (R) et S2  Sn++ (R). Pour tout X  Mn,1 (R) non nul, on a
t

t

t

X(S1 + S2 )X = X S1 X + X S2 X > 0
| {z } | {z }
>0

>0

S1 + S2  Sn++ (R)

donc

I.2.c Soit A  Mn (R). Pour tout X  Mn,1 (R), on a
t

donc

t

t

X A AX = (AX) AX = kAXk2 > 0
t

A A  Sn+ (R)

I.3.a Soit S  Sn (R) telle que X  Mn,1 (R),
propre de S et X un vecteur propre associé. On a
t

t

0 = X SX = X X =  kXk2
| {z }

t

X SX = 0. Soient  une valeur

donc

=0

6=0

Par définition, un vecteur propre est toujours non nul. Le sous-espace propre
associé à une valeur propre est formé de l'union des vecteurs propres associés
et du singleton {0}, mais 0 n'est jamais un vecteur propre.
On en déduit que toutes les valeurs propres de S sont nulles. Or S est 
symétrique
réelle, donc diagonalisable, ce qui montre que S est semblable à la matrice 
nulle.
Par suite,
S=0
On a un résultat un peu plus fort que celui utilisé ici : toute matrice 
symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormale. En particulier,
ses sous-espaces propres propres sont orthogonaux deux à deux, ce qui peut
être utile pour déterminer une base propre en petite dimension. En effet,
en dimension 3 par exemple, si les trois valeurs propres sont distinctes et
que l'on a trouvé une base des deux premiers sous-espaces propres, le troisième 
vecteur de la base peut être pris comme étant le produit vectoriel des
deux autres (de même si les deux premiers vecteurs forment une base d'un
sous-espace propre de dimension 2).
I.3.b On cherche une matrice M non nulle, carrée et d'ordre 3 telle que
t

X  M3,1 (R)

X MX = 0
t

Une telle matrice est nécessairement antisymétrique. En effet, M +M
t
est symétrique et, pour tout vecteur X  M3,1 (R), 0 = X MX. On en déduit
t t

t

t

t

0 = X MX+ ( X MX) = X(M+ M)X, donc la question précédente montre
t
que M + M = 0, puis que M est antisymétrique.
De plus, n'importe quelle matrice antisymétrique convient. En effet,
si M est antisymétrique et si X est un vecteur,
t

t

X MX = ( t X MX) = t X t M X = - t X MX

t

donc X MX = 0. Il ne reste plus qu'à choisir une matrice antisymétrique.

On peut proposer la matrice

0 0
A = 0 0
0 1

0
-1
0

En effet, pour tout X  M3,1 (R),
t

X AX = x1

x2

= x1

x2

0
0
x1
x3
0 -1 x2 
1
0
x3

0

x3 -x3  = 0
x2

0
0
0