CCINP Maths 1 PC 2003

 

SESSION 2003 ' PCMIOO5

CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIF'IQUE -- F ILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

"_

Les calculatrices sont interdites

****

NB Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision 
et à la
concision de la redaction. _

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'noncé, il la signa-
lera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu 'il a
été amené à prendre.

****'

Notations

Soit 77. et p des entiers supérieurs ou égaux à 1. On note M...,,(R) le 
R-espace vectoriel des
matrices à coefficients dans R ayant n lignes et p colonnes. Lorsque p = n, 
M...,(R) est noté plus
simplement M,,(R) et est muni de sa structure d'algèbre, I,, représentant la 
matrice identité.

GL,,(R) désigne l'ensemble des matrices inversibles de M,,(R) et S,,(R) 
l'ensemble des ma-
trices symétriques de M,,(R). '

Tout vecteur oe : (oe,-- )1<,- et de la norme 
associée notée || -- ||

Une matrice symétrique S de S,,(R) est dite positive si et seulement si :
VX EUR Mn,1(R) , tXSX 2 0
et définie positive si et seulement si :

vx EUR M...(R) \ {0} , txsx > 0

On note 83 (R) l'ensemble des matrices symétriques réelles positives et S,Ï+(R) 
l'ensemble des
matrices symétriques réelles définies positives.

Partie I

1.1 Soit (X, Y) EUR (l\/ln,1(R))2 et S EUR S,,(R). Etablir les égalités :
a) tXY : tYX.
b) ('ÏXY)2 : tX(Y'Y)X = tY(X'X)Y.
c) tXSY =< X | SY >=< SX | Y >.
1.2 Démontrer les propriétés suivantes :
a) V(51,52) EUR (S;,ÿ(IR))2 , 51 + 52 EUR S,Ï(R).
b) V(Sl, 52) EUR SË(R) X 8,Ï+(R) , Sl + 52 EUR 8Ê+(R).
c) VA EUR M,,(R) , tAA EUR 8,Ï(R). _
1.3 3) Soit S EUR S,,(R) vérifiant: VX EUR M,...(R) , tX SX : 0. Montrer que 
tOute valeur
propre de S est nulle et en déduire S = 0.
b) Donner un exemple de matrice carrée M d'ordre 3, non nulle et vérifiant :

VXEURA@ARLCÙWX=O

1.4 3) Soit S EUR S,,(R). Montrer que S appartient à S,? (R) si et seulement si 
toutes ses valeurs
propres sont positives. _
b) Que peut--on dire d'une matrice symétrique réelle semblable à une matrice 
symétrique
réelle positive ? '
1.5 On munit S,,(R) des relations notées Z et >, définies respectivement par :

VOEÆÙH&OEWÆ&Z&Çàâ--&EOEOED

et
V(Sl, 52) EUR (8n(R))2 , (51 > S2 (: Sl -- S2 EUR 8:+(ÏR))

a) Montrer que la relation 2 est une relation d'ordre sur S,,(R).

b) Montrer que pour n _>_ 2, cet ordre n'est pas total sur S,,(R).

c) La relation > est--elle une relation d'0rdre ?

(1) Trouver un exemple dans &(R) montrant que 51 2 S2 et S1 # S2 n'implique pas
nécessairement 51 > S2. . ,

1.6 Soit u et 1) deux endomorphismes de R" diagonalisables et vérifiant u 0 v = 
v o u.

a) Démontrer que tout sous--espace propre de u est stable par v.

b) Soit /\1, /\2, . .. ,/\p les valeurs propres distinctes de u et EÀ,, E,... . 
.. ,E,\p les sous--
espaces propres de u} respectivement associés. Pour tout i EUR {l, 2, . . . , 
p}, on note v,-- l'endomor-
phisme de E,\" induit par v. Montrer que pour tout EUR EUR {1, 2, . . . , p} il 
existe une base B,- de EÀ,
formée de vecteurs propres de v. En déduire qu'il existe une base B deR" telle 
que les matrices de
u et v dans cette base soient toutes deux diagonales. '

1.7 3) Soit A et B deux matrices diagonalisables de M.....(R). Montrer que les 
matrices A et B
commutent si et seulement si elles sont diagonalisables au moyen d'une même 
matrice de passage.
b) On donne les matrices'A et B suivantes : .

1 1--1 2 1--1
A: 1 1--1 ; B: --2 5 --1
--1--1 1 --4 2 2

Montrer que A et B sont diagonalisables au moyen d'une même matrice de passage 
et déterminer
explicitement une telle matrice de passage.

1.8 Soit (S1,S2) EUR ($,Ï"(R))2 tel que S1S2 : S2S1. Montrer que S1S2 EUR 
S,Ï(R).

1.9 3) Soit (191,52) EUR (ét).(lRä))2 tel que S1S2 : 32:31. Montrer que:

1 1

à 0
_ 2 ' °
1 1) et S2 -- (O 3) verrfient S2 > S1 > 0.

b) Montrer que les matrices S1 = (

Vérifient-elles Sâ 2 SÏ '?

Partie II

On se propose dans cette partie de caractériser de diverses manières la définie 
positivité d'une
matrice symétrique réelle.
[1.1 Soit S E Sn (R). Montrer que les quatre propositions suivantes sont 
équivalentes :
a) S est définie positive.
b) Toutes les valeurs propres de S sont strictement positives.
c) Il existe M EUR GL..(R) telle que S : tMM.
(1) S est positive et inversible.
11.2 Soit An et B.. les matrices de S,.(R) données par :

0 1 0 0
1 0 1
B,.= ° 1 ,An=ZIn--Bn
' 1 0
0 1
0 '0 1 0

a) Montrer que pour tout vecteur X = ( OEi)l£z'$n de R" :

n--1
tXAnX : 56% + Z(a:z ---- æi+1)2 + 513%
i=1

b) En déduire que An est définie positive.
c) En cherchant une matrice Mn de la forme :

Mn: ; () ,ui,viEURR

: . ' ° ' un--1 vn--1
() . . . . . . 0 un
déterminer explicitement une matrice Mn inversible telle que An : 'Mn M...
11.3 Soit S EUR 8,Ï+(R) et M EUR GLn(R) telles que S = 'MM. On noteZl = (U1, 
U2, . ,Un) la
famille des vecteurs colonnes de M. Pour z' EUR {1,2, . . . ,n} et &: EUR IR", 
on note p.(æ) la projection
orthogonale de a: sur Vect(U1, U2, . . . ,U,--).

3) Justifier que L! est une base de R". _
b) On définit la famille de vecteurs V = (V1, V2, . . . , V,.) par les 
relations :

% =U1 EURt VZEUR{2,... ,TL}, %=Uz--pi_1(Uz)

Montrer que la famille V est orthogonale et que c'est une base de R".

1
c) Soit W = (W1,W2, . . . , W..) la famille de vecteurs définie par W.-- : 
||V'H % pour tout
z' EUR {1,2, . . . , n} W est alors une base orthonormale de R". Montrer que la 
matrice de passage de

la base W àla base U est triangulaire supérieure.

d) Soit P la matrice de passage de la base canonique de R" à la la base W. 
Montrer que
M peut s'écrire sous la forme M = PT où T est une matrice triangulaire 
supérieure inversible et

qu'alors S = 'TT.

4 ----2 --2
e) Montrer que la matrice S = --2 2 0 admet une décomposition de la forme
-----2 0 3

S = 'TT où T est une matrice triangulaire supérieure inversible et en déduire 
que S est symétrique
définie positive.
. 0 c
11.4 a) Son AO : (

c b

a C

h) Soit/l = (
c b

(TrA > 0 et det/l > 0) ce qui équivaut encore à (a > 0 et ab -- c2 > 0).
c) Soit S EUR SAR), n 2 2. On décompose S sous la forme

) EUR &(R). DéterminerX EUR M2,1(R) \ {0} tel que tXA0X = O.

) EUR SAR). Montrer que A est définie positive si et seulement si

t
S=('î ;) ,aEURR,VEMTL--L1(R),SIEUR8_1(R)

Cl?

En écrivantX EUR Mn,1(R) sous la forme ( X

a#0:

;) , 13 EUR R , X' EUR Mn_1,1(R),montrer que pour

2
txsx = a {($ + âtvx') + --15tX'(aS' -- VW)X' (1)
a

et en déduire que S est définie positive si et seulement si (a > 0 et aS' -- 
VtV est définie positive).
d) En gardant les notations de la question II.4 c) précédente, on peut alors 
construire par
récurrence une suite de nombres réels (ai)lsi_<_n et une suite de matrices (Si)1gign comme suit. On pose d'abord: - SI=S, a1=a, Vi=V, Sî=Sl, Sg:_OEISî--'/1t'/l Si n 2 3, on décompose S2 sous la forme t 52 = a2 V;2 ) a2 EUR Ra V2 EUR Mn--2,I(R) , 55 EUR Sn--2(R) % 52 On pose à nouveau S3 = a2Sg ---- V2'V2 et on itère le processus précédent. On obtient ainsi une suite de matrices symétriques réelles (S,--)1Si5n où Si est d'ordre n --- i + 1 et une suites de réels (ai)lsiSn liés par les relations : ai tVz' ViEUR{l,2,....,n--l}, Si= (V; S: ) , Si+1 = a,--S£ _ Vz'tVÂ' Le processus s'arrête pour i = n car Sn est alors d'ordre 1 et on note Sn : (an). Montrer que S est définie positive si et seulement si tous les réels de la suite (ai)1gign sont strictement positifs. et d e e) Soit S = d 1) f EUR Sg(R). Selon les notations précédentes, déterminer explici- e f 6 tement les réels al, @, % associés à cette matrice S et en déduire que S est définie positive si et seulement si : a de l>0et d b_f>O
fc

Fin de l'énoncé