CCP Maths 1 PC 2001

Thème de l'épreuve Construction d'un pseudo-inverse pour des matrices n × p; étude de la décomposition singulière d'une matrice de ce type
Principaux outils utilisés calcul matriciel, groupe orthogonal, structure euclidienne de Rn

Corrigé

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SESSION 2001 PCOO4

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices ne sont pas autorisées

Notations

Soit n et p des entiers supérieurs ou égaux à 1. Mn,p(R) désigne le R--espace 
vectoriel des
matrices à coefficients réels ayant n lignes et p colonnes. On identifiera 
Mn,1(R) et M p,1(R) res-
pectivement à R" et R7", que l'on supposera munis de leurs produits scalaires 
canoniques notés
respectivement < - | - >,. et < - | - >p. Les normes associées à ces produits 
scalaires seront notées

respectivement || - ||n et || - ||p.
On notera (Ei)lsi5p la base canonique de Mp,1(R) et (FJ--)1Sjsn celle de 
M...(R).
Lorsque }) = n, M.... (R) est noté plus simplement MAR) et est muni de sa 
structure d'algèbre,

In représentant la matrice identité.
On,p désigne la matrice nulle de M MUR) et On la matrice nulle de MAR).
Pour A appartenant à Mn,p(R), 'A désigne la matrice transposée de A : c'est un 
élément de

Mp,n(R).
Ker A est le noyau de A défini par

KerA : {X EUR Mp,1(R) | AX : O}
Im A est l'image de A définie par
ImA = {AX | X EUR Mp,l(R)}

Enfin, on adopte la notation FJ-- pour désigner l'orthogonal d'un sous-espace 
vectoriel F d'un
espace euclidien. '

Partie 1

Soit A EUR Mn,p(R).

I.1 Montrer que 'AA est nulle si et seulement si A est nulle.

Dans toute la suite du problème A sera supposée non nulle.

I.2 Montrer que les matrices ltAA et A'A sont diagonalisables au moyen de 
matrices orthogonales.

1.3 a) X, Y désignant deux éléments de M... (R), exprimer le produit scalaire < 
X | Y >n sous
la forme d'un produit matriciel.

Tournez la page S.V.P.

b) Si W est un vecteur propre de tAA associé à la valeur propre À, exprimer 
||AW|IÏ, en
fonction de A et ||W||,,.
c) En déduire que les valeurs propres de tAA sont réelles, positives ou nulles.
1.4 a) Pour 3: réel, calculer les produits matriciels par blocs suivants :

221" A --I,, O...,, et fil,, A --L, A
tA.- I,, 1*A Ip % Ip Op,n --a:I,,

b) En déduire que les matrices tAA et AtA ont les mêmes valeurs propres non 
nulles avec le
même ordre de multiplicité.
c) En déduire également que les matrices 1*AA et AtA ont même rang.
15 Montrer que si n > p, 0 est valeur propre de AM et que si n < p, 0 est 
valeur propre de 1MA.

1.6 On note À1,À2, . . . , A,, les valeurs propres de tAA, chaque valeur propre 
apparaissant dans
cette liste un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité et on pose ,a,-- 
= \/Î,- pour tout z' élément
de {1,2,.... ,p}.

Les réels 11,-- sont appelés valeurs singulières de A.
On suppose les réels À,-- ordonnés tels que Al 2 & 2 . . . 2 À,, 2 0.
3) Montrer que À1 est non nul.

On définit alors un unique entier naturel r appartenant à {1,2, . . . ,p} comme 
suit : si toutes les
valeurs propres de tAA sont non nulles, r = p, sinon r est tel que pour tout i 
5 r, À,-- > 0 et pour
tOllti > ?",À,' =().

Soit (V1, V2, . . . , V,,) une base orthonormale de vecteurs propres de tAA 
respectivement associés
aux valeurs propres /\1, &, . . . ,À,, ; V1, V2, . . . ,V,. désignent les 
vecteurs propres associés aux va--
leurs propres non nulles et lorsque r est strictement inférieur à p, V,.+I, . . 
. , V,, désignent les vecteurs
propres associés à la valeur propre 0.

b) Montrer que T 5 n et que la dimension de Ker AtA est égale à n -- r.

. 1 . , .
Pour toutz EUR {1,2, . .. ,r}, on pose U,-- : -----AV,-- et Si n > r, on 
des1gne par (Ur+1, . .. ,Un) une
#z'

base orthonormale de Ker AtA.

0) Montrer que pour touti EUR {1, 2, . . . ,r}, AV,-- : u,--U,-- et que si T 
est strictement inférieur
àp,p0urt0uti EUR {r+1,.... ,p},AV,-- : 0.

(1) Montrer que pour toutz' EUR {1,2, . .. ,r}, tAU,-- : ,u,--V,--.

e) Montrer que si n > r, pour toutz' EUR {T + l,. . . ,n}, tAU, : 0.

f) En déduire que le système de vecteurs (U 1, U 2, . . . , Un) constitue une 
base orthonormale
de vecteurs propres de AM et préciser la valeur propre associée à chaque 
vecteur U,.

I. 7 On note V la matrice carrée réelle d'ordre p dont le ième vecteur colonne 
est le vecteur V,, U
la matrice carrée réelle d'ordre n dont le jèmô vecteur colonne est le vecteur 
U et (UAV),,-- l'élément
de la ième ligne, jème colonne de la matrice tU AV

a) Montrer que:

1 si z'=j

V(Zaj) EUR {1727°°° an} X {1727°°° ap} 7 (tUAV)Ü =Njôij Où (Sii: {0 Si Zî£j

b) On note A la matrice appartenant à Mn,p(R) dont tous les éléments AÜ sont 
nuls sauf

A... A22, . . . , A...... respectivement égaux à ..., ,u2, . . . ,,u,.... 
Montrer que A : MAV.
La factorisation de A ainsi obtenue est dite décomposition de A en valeurs 
singulières.
c) Trouver une décomposition en valeurs singulières de chacune des matrices :

1 --1 ' 1
AO : 1 1 et Bo : (_1>
0 2

1.8 Montrer que le rang de A est égal à r.
P
1.9 3) Montrer que V = z VÏE..
i=1
b) En déduire :

A = ÊHiUitÏ/z' , tAA = Î /\z'VltVi , AtA [= Ë ÀiUiWi
i=1 i=1 i=1

c) Déterminer les sous--espaces vectoriels suivants : Ker A, Ker 1'A, Im A, Im 
%.
(1) Montrer que Ker tAA : Ker A et Ker AtA : Ker tA

Partie II

Avec les notations de la partie I, pour A E Mn,p(R) admettant une décomposition 
en valeurs

singulières A = U AW, on appelle A+ la matrice de Mp,n(R) dont tous les 
éléments A;Ë- sont nuls

1 1 1
sauf AÎ1,A'{2, . . . ,Aj; respectivement égaux à --------, -----, . . . , ---- 
et on pose A+ : V(A+)tU
#1 H2 /--Lr
A+ (resp. A+ ) est appelée pseudo--inverse de A (resp. de A). A priori, la 
matrice A+ ainsi

définie dépend de la décomposition en valeurs singulières choisie pour la 
matrice A, mais il sera
montré à la question II.9 qu'il n 'en est rien et que A+ est uniquement 
déterminée à partir de A.
11.1 Déterminer les matrices A3 , A0Ag,+ , A3 A0, A0A3"AO et A5" A0A3L .
II.2 Déterminer (Aä )+ .
II.3 Evaluer A+A et AA+.
11.4 Montrer que si A est une matrice carrée inversible (n = p = r), alors A+ : 
A"1.
II.5 Montrer que :

7' 1 ?" ?"
A+ : Z--WU. , AA+ = YU.iU. , A+A= EV.'V.
M '.--" «< .
z=1 z=1 z=1
11.6 a) Evaluer AA+ U j pour tout J' E {l, 2, . . . , n} et en déduire que AA+ 
est la matrice dans la

base canonique de R'" de la projection orthogonale de R" sur Im A.
' b) Montrer de même que A+A est la matrice dans la base canonique de RP de la 
projection

orthogonale de RP sur (Ker A)l.

Tournez la pageS.V.P.

11.7 Etablir les identités suivantes :
AA+ : '(AA+) , A+A : '(A+A) , AA+A = A, A+AA+ : A+ (1)

11.8 Etablir les résultats suivants :
i) ImA : ImAA+ , Ker A+ : KerAA+ , ImA+ : ImA+A , Ker/i : KerA+A.
ii) R" : ImA EB Ker/l+ , R" : ImA+ EB KerA.

II.9 Soit B une matrice de M MUR) vérifiant :

AB='(AB), BA='(BA), ABA=A, BAB= B

a) Montrer que B vérifie les identités suivantes :
i) B : B'B'A : 'A'BB
ii) A : A'A'B : 'B'AA
iii) 'A : 'AAB : BA'A
b) En déduire que B : A+ , autrement dit que A+ est l'unique matrice de M MUR) 
vérifiant
les relations (1).
11.10 Montrer que (A+)+ : A et '(A+) : ('A)+.
11.11 Evaluer (AOBO)+ et BäASr . A--t-on l'égalité ? »
11.12 Soit H EUR M,...(R) et H = A+H . On note d(H,Im A) la distance de H au 
sous--espace
vectoriel Im A.
3) Montrer que pour tout X EUR Mp,1(R), AX ---- AA+H et H -- AA+H sont 
orthogonaux et

en déduire: __
VX EUR Mp,1(R),HAH-- HHn < ||AX -- Hlln

Que vaut alors d(H , Im A) ? ...
b) Montrer que s'il existe H EUR Mp,1(R) tel que ||AH ---- H||n : ||AH-- HHn 
avec H # H,
alors llHllp < HHIIP--

1
c) Si H = 1 ,déterminer inf HAOX ----- H||3.
1 X @@

Fin de l'énoncé

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CCP Maths 1 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alexander Gewirtz (ENS Lyon) et Thomas Chomette
(ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît Chevalier (ENS Ulm) et David Lecomte (ENS
Cachan).

Ce problème d'algèbre linéaire comporte deux parties.
· La première partie commence par des rappels et des questions sur les matrices
symétriques réelles. Ensuite, on cherche à déterminer, pour A  Mn,p (R) donnée, 
une décomposition en valeurs singulières. On démontre également des relations 
classiques entre les noyaux et images de A et de t A.
· La deuxième partie de ce sujet introduit la notion de pseudo-inverse d'une
matrice. Le but de cette partie est d'étudier ce pseudo-inverse et de montrer
que celui-ci est bien défini. Enfin, pour finir, on illustre l'intérêt du 
pseudoinverse d'une matrice sur un problème d'optimisation dans R2 : on peut 
calculer
facilement le projeté orthogonal d'un vecteur sur l'image de la matrice.

Indications

Partie I
I.2 Utiliser le théorème de réduction des matrices symétriques réelles.
I.3.b Utiliser le fait que hAx, yin = hx, t A yip .
I.4.a Attention à l'erreur dans l'énoncé. Pour le produit par blocs, il faut 
lire -xIp
dans la deuxième matrice, et non Ip .
I.4.b Le déterminant est invariant par transposition.
I.5 Utiliser la relation entre les polynômes caractéristiques obtenue à la 
question
I.4.b.
I.6.a A est supposée non nulle.
t

I.6.b Constater que r = rg ( A A) et utiliser le théorème du rang.
I.6.c Calculer kAVi k2 .
t

I.6.d Remplacer Ui par µ-1
i AVi . Vi est un vecteur propre de A A.
t

I.6.e Calculer k A Ui k2 .
I.6.f Regarder d'abord (U1 , . . . , Ur ) puis montrer que les deux familles 
sont orthogonales.
I.7.b Les matrices U et V sont orthogonales.
I.9.a Vérifier que les applications linéaires coïncident sur la base de Rp .
I.9.b Utiliser la décomposition de A obtenue à la question I.7.b et celle de V 
obtenue
à la question I.9.a.
I.9.c Utiliser les questions I.6.d, e et f. (U1 , . . . , Un ) et (V1 , . . . , 
Vp ) sont des bases
orthonormales.

Partie II
II.3 Calculer l'image des bases canoniques.
II.4 U et V sont orthogonales.
II.5 Imiter la méthode des questions I.9.a et I.9.b.
II.6.a Utiliser la décomposition de AA+ obtenue à la question II.5.
II.6.b Combiner les résultats des questions II.5 et I.9.c.
II.7 Utiliser les résultats des questions II.6.b et II.5.
II.9.b Utiliser la question II.5 et montrer que B et A+ coïncident sur la base
(U1 , . . . , Un ) : distinguer les cas i 6 r et i > r.
II.10 Utiliser les questions I.9.b et II.5 puis substituer A+ à A.
II.12.a Pour un projecteur p, Im (p - id ) = Ker (p) puis utiliser les 
résultats de la
question II.8 ainsi que Pythagore.
II.12.b Évaluer l'expression du théorème de Pythagore en X = H .
II.12.c La borne inférieure est atteinte en H.

Partie I
t

I.1 Soit A  Mn,p (R). Montrons que A A est nulle si et seulement si A est nulle.
t

· Supposons A nulle. Alors il est clair que A A est nulle.
· Réciproquement, si la matrice t A A est nulle, ses coefficients diagonaux sont
en particulier nuls. Or si l'on désigne par ai,j le terme général de la matrice 
A,
t
le coefficient diagonal (i, i) de la matrice A A n'est autre que :
n
P

ak,i 2

k=1

Leur nullité implique donc la nullité de tous les termes ak,i . A est alors la
matrice nulle.
t

Ainsi

A A = 0  A = 0

Nous n'avons utilisé pour montrer que A est nulle que les coefficients 
diagonaux de t A A. Une hypothèse en apparence plus faible serait de supposer
t
simplement que la matrice A A est de trace nulle. Cela suffit bien entendu
pour conclure, vu que :

 P
p
n P
t
Tr A A =
a2i,j
i=1 j=1

Une autre preuve, utilisant la structure euclidienne de Rp , consiste à dire
t
t
que : si A A est nulle, alors pour tout x  Rp , A Ax = 0.
t t
p
Donc pour tout x  R , x A Ax = 0, soit pour tout x  Rp ,
t
(Ax) Ax = 0.
C'est-à-dire

kAxk2 = 0

x  Rp

Soit encore pour tout x  Rp , Ax = 0 et donc A = 0.
Cette preuve, quoique plus élegante que celle mettant en oeuvre le calcul
t
des coefficients de A A, utilise cependant le résultat demandé à la question
I.3.a. C'est pourquoi nous ne la présentons qu'en remarque.
I.2 Dans toute la suite on suppose A non nulle.
t
t
Les matrices A A et A A sont toutes deux des matrices symétriques réelles. Par
conséquent :
t

A A et A t A sont diagonalisables au moyen de matrices orthogonales.

I.3.a Soient X, Y deux éléments de Mn,1 (R).
Soient (x1 , . . . , xn ) et (y1 , . . . , yn ) les coordonnées respectives de 
X et Y dans la
base canonique de Rn . On a alors par définition du produit scalaire sur Rn :
n
P
hX, Yin =
xk yk
k=1
t

Or, en identifiant M1 (R) et R, il vient X Y =

n
P

xk yk . Ainsi, on a

k=1

hX, Yin = t X Y
t

I.3.b Soit W un vecteur propre de A A associé à la valeur propre . On a :
t

kAWk2 = hAW, AWin = hW, A AWip = hW, Wip = kWk2
kAWk2 = kWk2

Par conséquent,

t

I.3.c Soient  une valeur propre de A A et W un vecteur propre non nul associé
à la valeur propre .
D'après la question I.3.b, on a kAWk2 = kWk2 . Or W est non nul, donc kWk 6= 0.
Par suite,

=

kAWk2
kWk2

Donc  est un réel positif.
t

  sp( A A)   R+

Ainsi
I.4.a Soit x un réel. Alors :

xIn
t
A

A
Ip

xIn
t
A

A
Ip

 t
A A -xIn
=
0

=

-In
t
A

0
-xIp

-In
0

A
-xIp

-xA
-xIp

De même, on a :

-xIn
- tA

0
t
A A - xIp

I.4.b On constate que :

-In
t
A

0
-xIp

t

=

-In
0

A
-xIp

Par conséquent, ces deux matrices carrées ont même déterminant. Ainsi :

xIn A
-In
0
xIn A
-In
A
=
t
t
t
0 -xIp
A Ip
A -xIp
A Ip
A t A -xIn
0

Soit

-xIn
-xA
=
t
-xIp
- A

p

Par conséquent

t

0
A A - xIp

n

(-X) A t A (X) = (-X)  t A A (X)

où  est le polynôme caractéristique.
Soit

p

(-X)

t

sp(A

(X - )
A)

= (-X)

n

t

sp(

(X - )

A A)