CCP Maths 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Diagonalisation d'un endomorphisme de Mn(R) ; utilisation des polynômes annulateurs ; démonstration puis utilisation du théorème de Cayley- Hamilton
Principaux outils utilisés algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2000 PCOOS

A

CONCOURS (0IllllNS Î0lYÏECIINIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices ne sont pas autorisées et les parties 1 et Il sont 
indépendantes

Notations

Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Pour p entier supérieur ou égal à l, 
M...,,(R) désigne le R--
espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant n lignes et ;) 
colonnes et M ...,,(C) déSigne le
C--espace vectoriel des matrices à coefficients complexes ayant n lignes et p 
colonnes. On identifiera
M...(R) à R", que l'on supposera muni de son produit scalaire canonique noté ( 
- [ . )

Lorsque p = n, M...,(R) et M...,(C) sont notés plus simplement M,,(R) et M,,(C) 
et sont
munis de leur structure d'algèbre, I,, représentant la matrice identité.

Pour A appartenant à M...,,(C), tA désigne la matrice transposée de A : c'est 
un élément de
Mp,n(C). OW désigne la matrice nulle de M...,,(C).

Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n représenté par 
la matrice A
dans une base donnée, on note Sp( f) ou Sp(A) l'ensemble des valeurs propres de 
f, X f ou XA
son polynôme caractéristique et Tr( f ) ou Tr(A) sa trace. En outre, si A 
appartient à MAR), on
note SpC(A) l'ensemble des valeurs propres de A, lorsque A est considérée comme 
un élément de
M,,(C).

R[X] est le R--espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, C{X] est le 
C--espace vectoriel

des polynômes à coefficients complexes et N,, est l'ensemble {1,2, . . . ,n}.
Partie I
1.1 Soit A E M,,(R), B E M...,,(R), C EUR M,,(R) et M la matrice de Mn+p(R) 
donnée par:
A B
M -- (o.. c)

a) Si A est non inversible, montrer sans recourir au déterminant, que M est non 
inversible.

b) Si A est inversible, on pose P = ( A O"). Résoudre alors dans M,...,(R) 
l'équation

OM I,,
matricielle XP : M.
c) Retrouver le résultat connu : det M : det A - det C.
Dans toute la suite u désigne un endomorphisme de R".

1.2 Soit F un sous-espace vectoriel de R" stable par u. Si il désigne 
l'endomorphisme induit par
u sur F, montrer que X,, divise X...

Tournez la page S.V.P.

J. 0994

1.3 Pour tout ac élément de R", on définit l'ensemble FAoe) par :
FAæ) = {21 EUR R" | 3P EUR RW» 31 = P(U)(OE)l

Montrer que F Ax) est un sous--espace vectoriel de R" stable par u.
1.4 Dans cette question, on suppose que :c est un élément non nul de R".

3) Montrer l'existence d'un plus petit entier naturel q pour lequel la famille 
de vecteurs
(ac, u(:c), . .. , uq(æ)) est liée.
?
b) Soit (ao,a1, . . . ,a.,) une famille de nombres réels non tous nuls telle 
que 2 ajuj(oe) : 0

j=o
q

et S le polynôme de R[X] défini par S(X) : 2 anj. Montrer que (1,1 est non nul, 
puis que
j=0
(:::, u(æ), . .. ,uq'1(æ)) est une base de FAoe).
ai

c) Pour tout i EUR {O, 1, . . . ,q}, on pose a,-- = -- et on note ...) 
l'endomorphisme induit par u
a
'?

EUR!
sur FAæ). Montrer que Xuo(X) : (--l)'7 2 a.X', donner la valeur de xuo(U)(OE) 
et en déduire que
i=0
le polynôme caractéristique de u est un polynôme annulateur de u.

Partie II

[1.1 Vérifier les propriétés suivantes :
a) V(X,Y) e (M...(R))2 , VA EUR MAR), (AX | Y) = (X | tAY)
b) V' , mm = (X | Y)
c) v (X, Y, Z) EUR (M...(R))" , (XW)Z : (Y | Z)X
11.2 Soit Lp : MAR) >< MAR) --> R , (A, B) --> Tr('AB). Montrer que 99 définit 
un produit
scalaire sur MAR). Dans toute la suite ce produit scalaire sera noté (( - | - 
)).
11.3 A partir de cette question, r, 3, l, m désignent des entiers naturels 
inférieurs ou égaux à n.

" ) (f. o......)

b) Soit A E MAR) une matrice de rang r. Montrer qu'il existe B dans M...AR) et 
C dans
M...AR) telles que A : BC.

0) Montrer qu'une matrice A de MAR) est de rang 1 si et seulement s'il existe 
deux
matrices non nulles X et Y de M...AR) telles que A : X'Y.

d) Montrer que la décomposition A = X 'Y de la question précédente n'est pas 
unique et
déterminer les relations vérifiées par des matrices colonnes X , Y, Z , T 
telles que

a) Evaluer le produit par blocs (O

A=X'Y=Z'T

11.4 3) Soit (Z.-)1
de matrices (ZitTj)

. et (Tj)1îjîs deux familles libres de vecteurs de R". Montrer que la famille
,. est de rang égal à rs.

i

l/\l/\ l/\
|/\l/\ |/\

>-----

i
]

b) Soit (X,-)15i5n et (Yj)15an deux bases de R". Que peut--on dire de la 
famille de matrices
(Xith)l< SpC(BÛ)}

c) Montrer que A0 et BD sont diagonalisables dans MAR). En est-il de même de HO 
'?
Soit maintenant A et B quelconques dans MAR). On se propose d'étudier les liens 
existant

entre la diagonalisabilité de A et B et celle de hA,B.
1112 Soit (1 EUR SpC(A) et b EUR Sde). Montrer qu'il existe (V, W) EUR (M...i(© 
\ {0})2 tel que:

AV : aV , tWB : btW et VtW est vecteur propre de ËA_B

En déduire l'inclusion: {a -- b | (a,b) EUR SpC(A) >< Sde)} C Sp(hA,B).

Tournez la page S.V.P.

III.3 Montrer que si A et B sont diagonalisables dans MAR), il en est de même 
de hA,B.
Calculer dans ce cas Tr(hA,B).

III.4 On note a1,a2, . . . ,an les valeurs propres non nécessairement 
distinctes de A dans C. En
exprimant X A en fonction des a,-, montrer que la matrice X A(B) est inversible 
si et seulement si
SPC(A) () SPC(B) = @

1115 Soit A E Sp(hA,B) et M un vecteur propre associé.

3) Montrer que pour tout polynôme de < SpC(B)}.
III.6 Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe M non 
nulle dans MJC)
telle que AM : MB.

Dans toute la suite du problème, on suppose B = A et on considère 
l'endomorphisme h A' A que
l'on notera plus simplement hA.
III.7 On suppose A diagonalisable dans MAR) et on note (V1, V2, . . . , Vn) une 
base de vecteurs

propres de A, chaque vecteur Vi étant associé à la valeur propre /\i. Pour tout 
(z , j ) EUR Nâ, on définit
la matrice Mij de /\/ln(R) par:

VkEURNn, Miij=ôflçVi Où 5jk={à îî Ë;Ï_

a) Montrer que la famille de matrices (Mij)1îiSn est une base de MAR)
1San
b) Montrer que pour tout (i,j, I:) E NÎ; :

hA(ÎWZ')V]C = (À) -- /\j)Miij

et en déduire que les matrices Mii sont des vecteurs propres de h A.

c) On note ,u1,,u2, . . . ,;ip les valeurs propres distinctes de A, m1, 7712, . 
. . ,m,, leurs ordres
de multiplicité respectifs et J : {(i,j) EUR Nâ | Ài : /\j}. Montrer que:

P
Ker/... = Vect{MÜ | (...) EUR J} et dim Ker}... : E...3
i=1

d) Montrer que clim Ker hA 2 n et que l'égalité a lieu si et seulement si A 
admet n valeurs
propres distinctes.

e) On note lR[A] : {Q EUR MAR) \ HP EUR R[X], Q : P(A)}. Montrer que si les n 
valeurs
propres de A sont distinctes, {l... A, A2, . . . ,A"_1} constitue une base de 
R{A] et en déduire que

dans ce cas Ker hA : R[A].
III.8 On suppose hA diagonalisable et on note (Pij)1Siîn une base de vecteurs 
propres de f...,
15j5n _
chaque matrice Pij étant associée à la valeur propre /\ij. Montrer que 51 X est 
un vecteur propre de A

associé à la valeur propre À, la famille (Pin) 15157. est une famille 
génératrice de R" et en déduire
15j5n
que A est diagonalisable.

Fin de l'énoncé

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CCP Maths 1 PC 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Bruno Reyssat (ENS Lyon) ; il a été relu par Théo
Seffusatti (Mines Paris) et Mathieu Dutour (ENS Ulm).

L'épreuve se compose de trois parties ; les deux premières sont indépendantes
entre elles.
Dans la première partie, on établit quelques propriétés élémentaires des 
matrices carrées à coefficients réels, pour aboutir à une preuve du théorème de 
CayleyHamilton.
Dans la seconde partie, on s'intéresse en particulier au rang des matrices, aux
liens entre bases de Rn et bases de Mn (R), et on démontre quelques propriétés
particulières aux matrices de rang 1.
Dans la troisième partie, on étudie les endomorphismes de Mn (R) de type
hA,B : M 7- AM - MB
où A et B sont des matrices de Mn (R). En particulier, on cherche des liens 
entre la
diagonalisabilité de A, B et celle de hA,B . Le problème se termine par l'étude 
du cas
où A = B.

Indications
I.1.a Utiliser le rang de A.
I.1.b Écrire la matrice inconnue X par blocs.
I.1.c Développer les déterminants de X et de P.
I.2 Utiliser la question I.1.c.
I.4.b Utiliser la définition de q.
I.4.c Écrire le déterminant, le développer par rapport à la dernière colonne, et
utiliser la question I.2.
II.1.c Remarquer qu'un réel commute avec toute matrice.
II.3.b Utiliser le fait que toute matrice de rang r est équivalente à celle 
calculée à la
question précédente.
II.3.c Utiliser la question II.3.b.
II.4.a Montrer que la famille obtenue est libre.
II.4.b Utiliser la question II.4.a.
II.4.c Montrer que le rang de cette famille est exactement rs en utilisant la 
question
II.4.a.
II.5 Montrer par un contre-exemple que la réciproque est fausse.
II.6.a Utiliser la question II.3.c.
II.6.b Utiliser la question II.1.b, et la caractérisation par les polynômes 
annulateurs
des matrices diagonalisables.
II.7 Construire explicitement toute matrice de Mn (R) comme combinaison 
linéaire de matrices diagonalisables de rang 1. Utiliser la question II.6.b pour
montrer que les matrices utilisées sont diagonalisables.
III.1.c Utiliser la caractérisation des matrices diagonalisables par les 
polynômes annulateurs.
III.3 Utiliser les questions II.4.b et III.2.
III.5.b Utiliser les questions I.4.c et III.5.a.
III.5.c Calculer le spectre complexe de B +  Id n , puis utiliser la question 
III.2.
III.6 Utiliser la question III.5.c.
III.7.a Montrer que la famille (Mi,j ) 16i6n est libre.
16j6n

III.7.b Utiliser le fait que si j 6= k, alors jk = 0.
III.7.c Utiliser les questions III.3 et III.7.b.
III.7.e Montrer d'abord que le polynôme caractéristique de A est aussi son 
polynôme
minimal, puis utiliser la question III.7.d.
III.8 Pour déduire que A est diagonalisable, montrer que A admet effectivement
une valeur propre réelle en utilisant la question III.5.c.

Partie I
I.1.a Si A n'est pas inversible, alors son rang est strictement inférieur à n. 
Mais on
a les inégalités

B
B
rg M 6 rg A + rg
et
rg
6p
C
C
d'où on déduit qu'alors, rg M < n + p, c'est-à-dire que :
M n'est pas inversible.
Il est important de se souvenir que pour toute matrice N, rg N = rg ( t N),
donc en particulier pour N  Mn,k (R),
rg N 6 min(n, k)
On pouvait aussi écrire qu'il existe un vecteur non nul de Rn annulé par
A, et montrer qu'en le complétant par des zéros en un vecteur de Rn+p , on
obtient un vecteur non nul annulé par M.
I.1.b Pour résoudre l'équation XP = M, écrivons X selon la même décomposition
en blocs que M,

Q R
X=
S T
Cette équation équivaut alors aux quatre équations obtenues en effectuant le
produit par blocs :

QA = A

SA = 0
R=B

T=C

Puisque A est inversible, QA = A équivaut à Q = Id n , et SA = 0p,n équivaut à
S = 0p,n , d'où l'unique solution :

Idn B
X=
0p,n C

I.1.c Si A n'est pas inversible, le résultat est trivial, puisque la question 
I.1.a nous
assure que les deux termes sont nuls. Sinon, développons le déterminant de X par
rapport à la première colonne : un seul terme est non nul, celui correspondant 
au
mineur obtenu en supprimant la première ligne et la première colonne. Notons Bi 
la
matrice B privée de ses i premières lignes. En répétant n fois ce procédé, on 
obtient
det X =

Idn-1
0p,n-1

B1
Idn-2
=
C
0p,n-2

B2
1
= ··· =
0p,1
C

Bn-1
= det C
C

De la même manière, en développant p fois le déterminant de P par rapport à sa
dernière colonne, on obtient det P = det A.
Mais alors, puisque XP = M, on a det M = det X × det P, d'où
det M = det A × det C

I.2 Soient (e1 , . . . ep ) une base de F et Mv la matrice de v dans cette 
base. Le théorème de la base incomplète nous assure qu'il existe ep+1 , . . . , 
en tels que (e1 , . . . , en )
soit une base de Rn . Dans cette base, puisque F est stable par u, cette 
dernière a
pour matrice

Mv
B
Mu =
0n-p,p C
et par conséquent le polynôme caractéristique de u est
Mv - X Id p
0n-p,p

B
C - X Id n-p

soit d'après la question I.1.c,
u = v C
d'où

v divise u

I.3 L'espace Fu (x) contient 0 (le polynôme nul le montre). Si y et z sont dans 
Fu (x),
avec y = P(u)(x) et z = Q(u)(x), et si  est un réel quelconque, les polynômes P 
+ Q
et P donnent
et

y + z = (P + Q)(u)(x)  Fu (x)
donc

y = (P)(u)(x)  Fu (x)

Fu (x) est un sous-espace vectoriel de Rn .

De plus, pour tout P de R[X], u  (P(u)) = Q(u) avec Q(X) = P(X)X, et par
conséquent
Fu (x) est stable par u.
I.4.a Puisque Rn est de dimension n, la famille (x, u(x), . . . , un (x)) (qui 
comporte
n + 1 éléments) est liée.
Il existe un plus petit entier q tel que
(x, u(x), . . . , uq (x)) soit liée.
I.4.b Si aq = 0, alors puisque les ai sont non tous nuls, la combinaison 
linéaire
q
P

j=0

aj uj (x) =

q-1
P

aj uj (x) = 0

j=0

(non triviale) montre que la famille (x, u(x), . . . , uq-1 (x)) est liée, ce 
qui contredit la
minimalité de q. Par conséquent,
aq 6= 0
En posant pour tout i  {0, 1, . . . , q}, i =
uq (x) = -

q-1
P

ai
, on a
aq

i ui (x)

i=0

Puisque la famille (x, u(x), . . . , uq-1 (x)) est libre, il suffit de montrer 
qu'elle est
génératrice de Fu (x). Or il suffit pour cela de montrer qu'elle engendre tous 
les up (x),