X Informatique MP/PC 2010

Thème de l'épreuve Échangeurs de polynômes
Principaux outils utilisés boucles for et while, parcours de tableaux
Mots clefs polynômes, permutations

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2010

FILIÈRE

MP - OPTION PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR

FILIÈRE

PC

COMPOSITION D'INFORMATIQUE
(Durée : 2 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Le langage de programmation choisi par le candidat doit être spécifié en tête 
de la copie.

Échangeurs de Polynômes
Dans ce problème on s'intéresse à des polynômes à coefficients réels qui 
s'annulent en 0. Un tel
polynôme P s'écrit donc P (x) = a1 x + a2 x2 + · · · + am xm . Le but de ce 
problème est d'étudier
la position relative autour de l'origine de plusieurs polynômes de ce type.
Dans tout le problème, les polynômes sont représentés par des tableaux de 
nombres flottants
de la forme [a1 ; a2 ; · · · ; am ]. Le nombre am peut être nul, par conséquent 
un polynôme donné
admet plusieurs représentations sous forme de tableau. Ces tableaux sont 
indexés à partir de 1
et les éléments d'un tableau de taille m sont donc indexés de 1 à m. On suppose 
qu'il existe
également une primitive allouer(m) pour créer un tableau de m cases. La taille 
m d'un tableau
t est renvoyée par la primitive taille(t). L'accès à la ième case d'un tableau 
t est noté t[i].
Par ailleurs, on suppose que les tableaux peuvent être passés en argument ou 
renvoyés comme
résultat de fonction, quel que soit le langage utilisé par le candidat pour 
composer. Enfin, les
booléens vrai et faux sont utilisés dans certaines questions de ce problème. Le 
candidat est libre
d'utiliser les notations propres à ces booléens dans le langage dans lequel il 
compose.
Le problème est découpé en deux parties qui peuvent être traitées de manière 
indépendante.
Cependant, la partie II utilise les notions et notations introduites dans la 
partie I.
I. Permutation de n polynômes
Question 1 Afin de se familiariser avec cette représentation, écrire une 
fonction evaluation
qui prend en arguments un polynôme P , représenté par un tableau, et un nombre 
flottant v, et
qui renvoie la valeur de P (v).
Nous commençons notre étude par quelques observations. Voici des exemples de 
graphes de
polynômes autour de l'axe des abscisses.
1

2x2 + x4

-2x3 + 2x5

y=0

y=0

x + 3x4

-3x4 + 2x5

y=0

y=0

On remarque que le comportement au voisinage de l'origine est décrit par le 
premier monôme
ak xk dont le coefficient ak est non nul (les coefficients a1 , . . . , ak-1 
étant donc tous nuls). En
effet, quand x est petit, le terme ak+1 xk+1 + . . . + am xm est négligeable 
devant le terme ak xk .
Cet entier k est la valuation du polynôme à l'origine. Par exemple, la 
valuation du polynôme
-2x3 - 3x5 + 4x7 est 3. On remarque alors les deux règles suivantes au 
voisinage de l'origine :
­ Si la valuation k est paire, le graphe du polynôme reste du même côté de 
l'axe des abscisses.
­ Si la valuation k est impaire, le graphe du polynôme traverse l'axe des 
abscisses.
Question 2 Écrire une fonction valuation qui prend en argument un polynôme P et 
renvoie
sa valuation. Par définition, cette fonction renverra 0 si P est le polynôme 
nul.
On s'intéresse maintenant aux positions relatives autour de l'origine des 
graphes de deux
polynômes P1 et P2 . La figure suivante montre les graphes de polynômes autour 
de l'origine.

x2
2

x2 + 6x4

x

x2 + 3x3

On remarque que le comportement de ces graphes dépend de la parité de la 
valuation de la
différence P1 - P2 :
­ Si la valuation de P1 - P2 est paire, les deux graphes se touchent mais ne se 
traversent pas
à l'origine.
­ Si la valuation de P1 - P2 est impaire, les deux graphes se traversent à 
l'origine.
Question 3 Écrire une fonction difference qui prend en arguments deux polynômes 
P1 et P2
(dont les tailles peuvent être différentes) et qui renvoie la différence des 
polynômes P1 - P2 .
Question 4 Écrire une fonction compare_neg qui prend en arguments deux 
polynômes P1 et
P2 et qui renvoie :
­ un entier strictement négatif si P1 (x) est plus petit que P2 (x), pour x 
négatif assez petit
­ 0 si les deux polynômes P1 et P2 sont égaux
­ un entier strictement positif si P1 (x) est plus grand que P2 (x), pour x 
négatif assez petit.
On admettra sans démonstration que la fonction compare_neg définit une relation 
d'ordre.
Enfin, passons à l'étude des graphes de trois polynômes. Les figures ci-après 
montrent les
positions relatives de trois polynômes P1 , P2 et P3 autour de l'origine, avec 
la légende suivante :

P1 (x)

P2 (x)

2

P3 (x)

P1 (x) = x2

P2 (x) = 0 P3 (x) = -x2

P1 (x) = 0 P2 (x) = x3

P3 (x) = -x2

P1 (x) = x2

P2 (x) = -x3

P1 (x) = -x P2 (x) = x2

P1 (x) = x2

P1 (x) = -x P2 (x) = 0 P3 (x) = x

P2 (x) = -x2

P3 (x) = 0

P3 (x) = -x2

P3 (x) = x

Le choix de ces polynômes est fait pour qu'à chaque fois les inégalités P1 (x) 
> P2 (x) > P3 (x)
soient vérifiées pour x légèrement négatif. Maintenant, observons les positions 
relatives de ces
graphes pour x légèrement positif. On remarque que l'ordre des courbes est 
permuté : on passe
de l'ordre P1 (x) > P2 (x) > P3 (x) à un autre ordre. La donnée des trois 
polynômes P1 , P2 et P3
définit donc une unique permutation  de {1, 2, 3} telle que P(1) (x) > P(2) (x) 
> P(3) (x), pour
x positif et assez petit. On note que les six permutations de {1, 2, 3} sont 
possibles, comme le
montrent les six exemples ci-dessus.
De manière générale, on dit qu'une permutation  de {1, 2, . . . , n} permute 
les polynômes
P1 , P2 , . . . , Pn si et seulement si :
pour x négatif assez petit

P1 (x) > P2 (x) > . . . > Pn (x)

et P(1) (x) > P(2) (x) > . . . > P(n) (x) pour x positif assez petit
Ce qui était vrai pour trois polynômes ne l'est plus à partir de quatre 
polynômes : il existe des
permutations qui ne permutent aucun ensemble de polynômes P1 , P2 , . . . , Pn .
Dans la suite, les permutations de {1, 2, . . . , n} seront représentées par 
des tableaux d'entiers
de taille n, indexés à partir de 1 et contenant tous les entiers entre 1 et n.
Question 5 Écrire une fonction tri qui prend en argument un tableau t contenant 
n polynômes
et qui le trie en utilisant la fonction compare_neg, de telle sorte que l'on 
ait t[1](x) > t[2](x) >
· · · > t[n](x) pour x négatif et assez petit. Le candidat ne pourra pas 
utiliser pour cette question
de fonction de tri prédéfinie dans la bibliothèque du langage qu'il utilise 
pour composer.
Question 6 Écrire une fonction verifier_permute qui prend en argument une 
permutation
 de {1, 2, . . . , n} et un tableau t de même taille supposé trié par la 
fonction tri, et renvoie
vrai si  permute les n polynômes t[1], t[2], . . ., t[n] contenus dans t, et 
faux sinon. On pourra
s'aider d'une fonction compare_pos, similaire à la fonction compare_neg, pour 
comparer deux
polynômes pour x positif assez petit.
3

II. Échangeurs de n polynômes
Dans la suite, nous dirons qu'une permutation  de {1, 2, . . . , n} est un 
échangeur s'il existe
n polynômes P1 , P2 , . . . , Pn tels que  permute ces polynômes. Nous allons 
maintenant écrire
des fonctions qui répondent aux questions suivantes : Une permutation  est-elle 
un échangeur ?
Peut-on dénombrer les échangeurs ? Peut-on énumérer les échangeurs ?
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une permutation soit un 
échangeur est la
suivante : une permutation  de {1, 2, . . . , n} est un échangeur si et 
seulement si il n'existe aucun
entiers a, b, c, d tels que n  a > b > c > d  1 et
(b) > (d) > (a) > (c)

ou (c) > (a) > (d) > (b)

(1)

Question 7 Écrire une fonction est_echangeur_aux qui prend en argument une 
permutation
 de {1, 2, . . . n} et un entier d tel que 1  d  n et qui renvoie vrai s'il 
n'existe aucun entier
a, b et c tels que n  a > b > c > d et vérifiant (1), et faux sinon.
Question 8 En utilisant la fonction est_echangeur_aux, écrire une fonction 
est_echangeur
qui prend en argument une permutation  de {1, 2, . . . , n} et renvoie vrai si  
est un échangeur,
et faux sinon.
On admet sans démonstration que la relation de récurrence suivante permet de 
compter le
nombre a(n) de permutations de {1, 2, . . . , n} qui sont des échangeurs :
a(1) = 1,

a(n) = a(n - 1) +

n-1
X

a(i) × a(n - i)

i=1

Question 9 Écrire une fonction nombre_echangeurs qui prend un entier n en 
argument et
renvoie le nombre d'échangeurs a(n). Enfin, les deux questions suivantes ont 
pour but d'énumérer
tous les échangeurs de {1, 2, . . . , n}.
Question 10 Écrire une fonction decaler qui prend en arguments un tableau t de 
taille n et
un entier v, et renvoie un nouveau tableau u de taille n + 1 tel que

 u[1] = v

u[i] = t[i - 1]

 u[i] = 1 + t[i - 1]

si t[i - 1] < v et 2  i  n + 1
si t[i - 1]  v et 2  i  n + 1

L'algorithme que nous allons utiliser pour énumérer les échangeurs de {1, 2, . 
. . , n} consiste
à énumérer successivement les échangeurs de {1, 2, . . . , k}, pour tout k de 1 
à n, dans un tableau
t de taille a(n). Si on suppose qu'un tableau t contient les m échangeurs de 
{1, . . . , k} entre les
cases t[1] et t[m], on peut en déduire les échangeurs de {1, . . . , k + 1} de 
la manière suivante :
pour tout entier v entre 1 et k + 1 et tout entier i entre 1 et m, on décale (à 
l'aide de la fonction
decaler) l'échangeur t[i] avec v puis on teste si le résultat est un échangeur 
(avec la fonction
est_echangeur_aux).
Question 11 Écrire une fonction enumerer_echangeurs qui prend un entier n en 
argument et
renvoie un tableau contenant les a(n) échangeurs de {1, 2, . . . , n}. On 
pourra utiliser un second
tableau pour stocker temporairement les nouveaux échangeurs.

4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Informatique MP/PC 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par
Guillaume Batog (ENS Cachan) et Arnaud Borde (École Polytechnique).

Ce sujet s'intéresse à une famille de permutations. Pour les définir, on part 
d'une
famille finie de polynômes deux à deux distincts. Au voisinage de 0+ d'une part,
de 0- d'autre part, ces polynômes peuvent être ordonnés selon les positions 
relatives
de leurs courbes. L'ordre des polynômes à gauche et à droite de 0 est le même 
si,
par exemple, tous les polynômes de la famille sont pairs. Dans le cas général, 
on passe
du classement en 0- au classement en 0+ par une permutation sur les polynômes ;
une telle permutation est appelée un échangeur.
Le problème est divisé en deux parties relativement indépendantes, dans le sens
où la seconde utilise les notions et notations de la première, mais pas ses 
résultats.
· La première partie, plus facile, a pour objectif de tester si une permutation
est un échangeur pour une famille de polynômes donnée. Les polynômes sont
représentés ici par des tableaux indicés de 1 à m, ce qui est bien adapté aux
notations de Maple. La première question permet de se familiariser avec les
notations, et les trois suivantes calculent la valuation de polynômes afin de
comparer deux polynômes au voisinage de l'origine. Ceci permet alors de trier
un tableau de polynômes, puis de vérifier si une permutation donnée est un
échangeur pour ces derniers.
· La seconde partie a pour objectif d'énumérer les échangeurs. Grâce à une
caractérisation admise par l'énoncé, les deux premières questions permettent
de tester si une permutation est effectivement un échangeur. L'énoncé admet
alors la formule donnant le nombre de ces échangeurs, et la question suivante le
calcule. Enfin, les deux dernières questions énumèrent la totalité des 
échangeurs
parmi les permutations de {1, . . . , m}.
Hormis la dernière question, ce problème ne présente pas de réelle difficulté 
mais
permet d'aborder tous les thèmes classiques de l'épreuve (tableaux, boucles 
itératives
et conditionnelles, tests) et constitue donc un bon sujet de révision.

Indications
Partie I
1 Si le polynôme P(X) = a1 X + a2 X2 + · · · + am Xm est représenté par le 
tableau t,
chaque réel ai est représenté par t[i]. Il suffit d'effectuer une boucle 
ajoutant
à chaque itération la valeur t[i] * v^i.
2 La fonction valuation parcourt le tableau représentant le polynôme P et 
renvoie
l'indice du premier élément non nul.
4 Le polynôme P1 - P2 se comporte comme un certain monôme ak xk . Distinguer
suivant la parité de la valuation de P1 - P2 .
5 On peut utiliser ici le tri à bulles, qui parcourt le tableau en échangeant 
deux
éléments consécutifs s'ils sont dans le mauvais ordre. En cas d'échange, le 
parcours
du tableau recommence à l'indice précédent.
6 Si la permutation est représentée par un tableau p, la fonction 
verifier_permute
compare, pour tout i, t[p[i]] et t[p[i+1]] à l'aide de compare_pos et renvoie
vrai si tous ces polynômes sont dans le bon ordre.
Partie II
7 Tester la relation (1) sur tous les triplets (a, b, c) et renvoyer faux si 
elle n'est pas
vérifiée pour l'un d'entre eux. Renvoyer vrai sinon.
8 Essayer la fonction de la question 7 pour tout entier d et renvoyer faux si 
cette
dernière renvoie faux pour l'un d'entre eux. Renvoyer vrai sinon.
9 Exploiter la relation de récurrence donnée en stockant au fur et à mesure les
valeurs a(i) dans un tableau a pour éviter de les recalculer.
11 À chaque itération sur k, décaler chaque échangeur du tableau t (qui vaut [1]
initialement) d'une valeur v de 1 à k + 1 et regarder si la permutation obtenue
est un échangeur. Si oui, la stocker dans un tableau temp. À la fin de 
l'itération,
donner à t la valeur de temp.

I. Permutation de n polynômes
Le sujet demande d'utiliser des tableaux, et propose d'admettre qu'il
existe une fonction allouer dans le langage utilisé afin de les déclarer.
Sous Maple, il est possible d'implémenter ces tableaux par des objets de type
list, qui se manipulent à l'aide de l'instruction t[i] pour accéder au i-ième
élément du tableau t. Le type list évite les complications du type array
(appels de procédures à l'intérieur de procédures, par exemple). La fonction
allouer n'est pas indispensable en Maple ; elle est ici utilisée pour respecter
l'énoncé. On peut en donner l'implémentation suivante :
allouer := proc(m)
local i;
RETURN([seq(0,i=1..m)]);
end;
Quant à la fonction taille, on peut proposer le code suivant :
taille := proc(t)
RETURN(nops(t));
end;
Enfin, les booléens sous Maple sont les variables true et false.
1 La fonction evaluation prend en argument un tableau [a1 ; . . . ; an ] 
représentant un polynôme P et un nombre flottant v. Le calcul de P(v) utilise 
une variable
temporaire resultat pour stocker la réponse, et s'effectue à l'aide d'une 
boucle for
pour ajouter ai v i à cette variable à chaque itération. Par souci 
d'efficacité, utilisons
une variable temporaire w pour stocker les valeurs successives v i sans les 
recalculer
à chaque fois. On obtient le code suivant :
evaluation := proc(t,v)
local resultat,w,i;
resultat := 0;
w := 1;
for i from 1 to taille(t) do
w := w * v;
resultat := resultat + t[i] * w;
od;
RETURN(resultat);
end;
L'évaluation proposée ici est facile mais non optimale. Pour diminuer
le nombre de multiplications,
une solution serait d'utiliser

 l'algorithme

de Hörner : P(v) = v a1 + v a2 + v · · · + v(an-1 + van )
.
2 La fonction valuation prend en argument un tableau [a1 ; . . . ; an ] 
représentant
un polynôme P. Elle parcourt ce tableau et s'arrête à la première valeur non 
nulle
rencontrée : l'indice correspondant est alors la valuation de P. Si le 
programme sort
de la boucle while avant de rencontrer une telle valeur, c'est que le tableau 
(et le
polynôme) est nul : il renvoie alors 0 comme indiqué par l'énoncé.

valuation := proc(P)
local m,i;
i:=1;
m := taille(P);
while (i <= m and P[i]=0) do
i := i+1;
od;
if i = m+1 then RETURN(0) else RETURN(i) fi;
end;
3 La fonction difference prend en argument deux tableaux t1 et t2 représentant
deux polynômes P1 et P2 . Puisque le degré d'une différence de polynômes est 
inférieur
ou égal au plus grand des degrés de ces polynômes, elle alloue un tableau t de 
taille
égale à la plus grande des tailles de ces deux tableaux pour représenter le 
polynôme
différence. Elle parcourt alors ces trois tableaux en effectuant à chaque 
itération de
la boucle for l'opération de différence t[i] := t1[i] - t2[i] lorsque c'est 
possible
(c'est-à-dire si les indices sont compatibles).
difference := proc(t1,t2)
local m,n,p,i,t;
m := taille(t1);
n := taille(t2);
p := max(m,n);
t := allouer(p);
for i from 1 to p do
if (i <= m and i <= n) then
t[i] := t1[i] - t2[i];
elif i <= m then
t[i] := t1[i];
else t[i] := -t2[i];
fi;
od;
RETURN(t);
end;
Il faut faire attention dans cette question au fait que les tableaux n'ont
aucune raison d'être de même taille. S'ils ne le sont pas, on les complète
implicitement par des zéros pour faire la différence : c'est la raison du test
conditionnel, indispensable sous peine d'obtenir une erreur d'indice inexistant
à la compilation.
En outre, remarquons que la condition elif i <= m signifie en fait elif
(i <= m and i > n) puisque Maple n'évalue pas cette deuxième condition
(elif) si la première (celle du if) est vérifiée.
4 Soit k la valuation de la différence P1 - P2 et ak le coefficient 
correspondant.
Alors le polynôme P1 - P2 se comporte comme le monôme ak xk au voisinage de 0.
On en déduit que P1 (x) - P2 (x) est du signe de ak si k est pair, et de -ak si 
k est
impair. La fonction compare_neg effectue ce test utilisant la fonction a mod b 
qui
retourne le reste de la division euclidienne de a par b.