X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2015

Thème de l'épreuve Ralentissements et freinages
Principaux outils utilisés mécanique du point, mécanique du solide, régimes transitoires

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2015 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR -- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

RALENTISSEMENTS et FREINAGES

Les deux parties de ce problème sont indépendantes; on les traitera dans 
l'ordre de son choix.

1 Partie I : Marées et synchronisations d'oscillateurs

Les forces gravitationnelles s'exerçant entre deux corps célestes en mouvement 
sont a l'origine
d'ejÏets de marée, analogues aux marées océaniques : les effets inertiels et 
les forces de gravitation
s'exerçant sur un corps sont variables d'un point a un autre et la force de 
marée est le bilan des
écarts entre ces différentes forces. Dans cette étude, on négligera, en raison 
de leur faible importance,
les effets inertiels associés aux rotations propres des divers corps. Un objet 
-- par exemple la Lune --
réputé homogène, sphérique, de masse 2m, de centre O et de rayon RL est en 
orbite circulaire de
rayon d >> RL autour d'un objet ponctuel (T) -- par exemple la Terre -- réputé 
fixe et de masse M.
Pour simplifier l'étude, le satellite (Figure la) est décomposé par la pensée 
en deux hémisphères
identiques (Figure lb), modélisés chacun par son centre de masse, situé sur 
l'axe de l'hémisphère a

la distance 19 : --RL de O et portant la masse m. Le système Terre -- Lune sera 
considéré comme

isolé; par symétrie, il pourra être traité comme un système plan. Le 
référentiel d'étude de la Figure
lc, Oa3y, est en translation circulaire autour de (T) : les axes gardent des 
directions fixes par rapport

GM
aux étoiles lointaines et la vitesse angulaire de révolution Q,. est constante, 
QT : Î'
. On trouvera page 4 les données numériques nécessaires.
et
(a) , % y (o)
O
_ I T // (ll GZ x

FIGURE 1 -- Le satellite en (a) est modélisé en (b) par deuæ points massiques 
situés auoe centres de
masse respectifs, G1 et G2, de dear hémisphères. La situation initiale est 
représentée en (c).

1 . 1 Étude qualitative

1.1.1 Cas statique

R
1. La force totale subie par le satellite est développable en série de ÎL ; le 
terme d'ordre zéro

correspond au modèle ponctuel : masse 2m localisée en O. Les termes suivants 
correspondent
aux effets de marée. La configuration initiale étant représentée à la figure 
1(c), déterminer, au

19
premier ordre en ä' l'expression de la force subie par G1 de la part de la 
Terre.

2. En considérant les forces gravitationnelles subies par G1, montrer qu'il 
existe une limite d... a
d, en deçà de laquelle le satellite se brise (limite de Roche).

3. Calculer d... pour le système Terre--Lune. Le résultat pourrait--il inciter 
à penser que la Lune
s'est détachée de la Terre, ou au contraire montrer que cette hypothèse est peu 
plausible ?

1.1.2 Déformation de la planète pendant sa révolution

Le satellite est constitué d'un noyau rigide entouré d'un manteau déformable 
qui peut glisser
avec frottement sur ce noyau. Un point P de la surface du satellite, de masse 
m' , est repéré dans le

plan Ooey par OP : r et (OE, O?) = 9 (Figure 2).

4. Montrer que, au premier ordre en r / d, la force de marée en P, appelée 
force de marée interne,
? _ GMm'
_ d3
respectivement par Oa: et Oy.

s'exprime par (2rî: cos9 -- rÿ sin 9), où î: et ÿ sont les vecteurs unitaires 
portés

<--d-->

@
T,o x

"ñ// >

FIGURE 2 -- Notations pour l'effet de marée; seuls les centres des planètes ont 
été représentés.

5. Indiquer sur un schéma le sens des forces de marée en P et en P' , 
diamétralement opposé a
P. On notera r le vecteur unitaire porté par OP. Expliquer l'apparition d'un << 
bourrelet >> à
la surface du satellite et déterminer qualitativement la forme d'équilibre du 
satellite a deux
instants différents de la révolution orbitale. Quelle est la conséquence de 
cette déformation sur
son mouvement ?

2 Synchronisation des périodes

2.1 Considérations énergétiques

6. Si l'orbite lunaire était circulaire avec son axe de rotation 
perpendiculaire au plan de révolution,
on observerait de la Terre, a la même heure, toujours la même surface lunaire; 
en réalité, 59%
de la surface de la Lune peut être observée depuis la Terre. Comment cela se 
peut--il ?

2M m

M + 2m

et l'on rappelle la relation M (GT)2 + (2m) (GO)2 : ud2. On conviendra que, 
dans le référentiel

galiléen barycentrique, la planète et le satellite décrivent des cercles 
centrés sur C, avec la même

Le centre de masse du système isolé Terre -- Lune est noté C; on note ,a : sa 
masse réduite

vitesse angulaire Q(t). La période de rotation propre de la Terre est d'environ 
86 400s; la vitesse
angulaire correspondante est notée w(t) ; la période de rotation de la Lune est 
de vingt--sept jours, on
note Q(t) la vitesse angulaire correspondante : les vitesses angulaires de 
rotation et de révolution de
la Lune sont, a chaque instant, quasiment identiques; on admet que les vecteurs 
rotation &) et Ô
sont colinéaires et de même sens (voir Figure 3) ; la grandeur d peut elle 
aussi dépendre du temps.

FIGURE 3 -- Schématîsatîons de la rotation et de la révolution de la Terre

7. Établir l'expression de l'énergie cinétique de révolution du système Terre 
-- Lune.

8. Admettant que l'énergie cinétique de rotation d'une boule de rayon r' et de 
masse m' , en

1
rotation (w' ) autour d'un axe de direction fixe passant par son centre, est EC 
: --m' r'2 w'2,

montrer que, avec une approximation que l'on précisera, l'énergie cinétique du 
système Terre --
Lune est EC oe ÈJ\ÆR2 w2 + âud2 (22.

9. Montrer que, avec la même approximation, la norme du moment cinétique 
barycentrique du
système est 0G oe ,u d2 0 --l-- ËM R2 ou. Donner, à l'ordre 0 en %, l'énergie 
mécanique du système.

10. Considérant l'équilibre des forces s'exerçant sur la Terre et sur la Lune, 
établir la relation liant
d, 9, M et m (on obtient une relation ressemblant à une loi de Kepler). En 
déduire le lien entre

. . . . 5d
les petites variations relatives -- et --.

0 d

11. Considérant a présent le moment cinétique barycentrique du système isolé 
Terre -- Lune, établir

&)
le lien entre les petites variations éco et 5d et en déduire l'expression de -- 
en fonction de

59

m, M, d et R. La valeur numérique de ce rapport est 35, 6.

12. Déduire des considérations précédentes que l'expression de la petite 
variation d'énergie méca--

nique associée a une petite variation de ou est dE : ËM (w -- Q) R2 5 w.

2.1.1 Stabilité du système Terre - Lune

Le frottement associé aux marées dissipe de l'énergie. La Lune s'éloigne de la 
Terre a raison de 3
a 4cm par an. L'étude des anneaux de croissance de coraux fossiles montre qu'il 
y a 500 millions
d'années la durée du jour était de 21 heures.

13. Quels sont les signes, aujourd'hui, de duo, 50 et 5d ? Quelle sera la durée 
du jour dans un siècle ?

14. Le résultat calculé a la question 13 est--il en accord avec les données du 
préambule de ce
paragraphe 2.1.1 ? L'intervalle de temps séparant deux nouvelles lunes 
(lunaison) augmente--t--il
ou diminue--t--il ? Sa variation est--elle plus rapide ou plus lente que celle 
de la durée du jour ?

15. Montrer que la dissipation d'énergie finit par ne plus avoir lieu. Calculer 
la durée du jour et la
distance Terre -- Lune au terme du processus de dissipation.

16. Estimer la durée du processus de synchronisation et la comparer a l'âge de 
l'Univers, soit

010 années.

environ 1
17. Calculer E D M, énergie dissipée par effet de marée entre la période 
actuelle et la fin du processus.

Le Soleil dissipe 4 >< 1026 W; combien de secondes lui faudrait--il pour 
dissiper ED M ?

Quelques symboles et données numériques relatifs à la première partie

Symbole et valeur Sens et occurrence

d = 380 >< 106 m Distance Terre -- Lune

G = 6, 67 >< 1(Î11 m3 - l< 1024 kg Masse de la Terre

M

2m = 8--1 Masse de la Lune

RL = 1750 >< 103 m Rayon de la Lune

R = 6400 >< 103 m Rayon de la Terre

3 Partie II : Freinage sur un pont

Le pont présenté dans la Figure 4 comprend trois travées (parties du pont 
comprises entre deux
piles successives). Afin d'atténuer les contraintes créées par le blocage des 
mouvements saisonniers de
dilatation thermique, chaque travée est posée sur des appuis a élastomère, « 
matériau macromoléculaire
qui reprend sa forme et sa dimension initiale après avoir subi une importante 
déformation sous l'effet
d'une faible variation de contrainte » (Norme NF EN 1337--3, 53.1). Chaque bloc 
en élastomère
vulcanisé, renforcé intérieurement par des frettes en acier, est modélisé par 
une raideur k: selon l'axe
longitudinal du pont et correspondant a la raideur de cisaillement de l'appui. 
Ces appuis bloquent
le déplacement vertical; leur rigidité en rotation est négligeable. On 
s'intéresse au comportement
dynamique dans la direction longitudinale du pont, dont un modèle simplifié est 
présenté sur la
partie droite de la Figure 4 : les trois tabliers rigides, de masse identique 
m, sont reliés par des
ressorts de raideur k. Les piles sur lesquelles sont posés les appuis (sauf 
ceux aux deux extrémités)
sont modélisées par des ressorts de masse négligée et de raideur kg.

Tablier

FIGURE 4 * Pont a trois travées. À gauche, schéma du pont réel (non a 
l'échelle}; le tablier est la
structure qui supporte les charges et les transmet aux appuis ou aux éléments 
de suspension. À droite
modélisation pour la réponse longitudinale. Les trois masses sont identiques. 
La raideur des ressorts
en traits fins est notée k: et celle des autres ressorts, en traits gras, est 
notée kg.

3.1 Influence des variations de température sur un ouvrage d'art

Le pont considéré ici est constitué principalement de béton armé, qui est un 
matériau composite
(Figure 5). On s'intéresse ici au comportement statique d'un tel ouvrage, sous 
l'influence de variations
thermiques, dont l'amplitude est donnée dans le tableau 1 ci--après.

FIGURE 5 f Le béton armé est constitué de béton B précontraint par des tiges 
d'acier T.

18. Déterminer les variations maximales de longueur des éléments d'acier et des 
éléments de béton
du tablier d'un pont monolithique long de 1 km; les coefficients de dilatation 
de l'acier et du

béton sont respectivement aA : 1, 2 >< 10_5 K_1 et 043 = 1,1 >< 10_5 K_1.

Te,min Te,max
Béton Acier Béton Acier
Bretagne -- Côte d'Azur --10 °C --20 °C
Centre -- Nord -- Sud--Ouest --15 °C --25 °C 40 °C 55 °C
Est -- Alpes --20 °C --30 °C

TABLE 1 -- Variations annuelles de température des matériauæ du tablier. Les 
symboles T 67m... et T e,maX,
nommés respectivement composante de température uniforme minimale et maximale, 
sont les tempé--
ratures qui conditionnent la contraction ou la dilatation d'un élément de pont 
{Norme NF EN 1991 -
1 - 5}. D'après http ://dtrf.setra.fr/pdf/pj/Dtrf/ÛÛÛ4/Dtrf--0004265/DT4265.pdf 
?0penerPage=notioe.

19. En déduire les conséquences possibles de ces variations sur l'ouvrage d'art 
et justifier la nécessité
de la mise en place d'appuis et de séparateurs en élastomère.

3.2 Modes propres

L'analyse dynamique de la structure se fera sous l'hypothèse que cette dernière 
est assimilée a un
ensemble d'oscillateurs harmoniques couplés; on note a:, l'abscisse du tablier 
n° i; dans cette partie
3.2, on néglige tout frottement.

20. On s'intéresse au sous--système situé au sommet A de la pile de gauche du 
pont, représenté
Figure 6, en introduisant le déplacement horizontal, noté X A, du sommet de la 
pile. Exprimer
l'énergie potentielle élastique associée à ce sous--système comprenant trois 
ressorts liés.

ko

FIGURE 6 -- Modélisation et grandeurs pertinentes pour un sous-système pile et 
tabliers.

21. Justifier que l'on puisse poser que la valeur de la somme des forces au 
point de jonction des
ressorts A est nulle (condition dite d'équilibre statique) et en déduire 
l'expression de X A en

fonction de 3171 et de 3172. On posera 04 = et wâ : 2--.
m

213 + ko
22. Déduire de vos réponses aux questions 20 et 21 l'expression de l'énergie 
potentielle du sous--
système en fonction de 3171 et 3172.

23. Vérifier que l'expression (1) ci--après de Ep, énergie potentielle 
élastique totale du pont est
compatible avec votre réponse a la question 22 et qu'elle est compatible avec 
la limite lc0 infini.

mgâl(1--g) (OEÎ+OEË)_OE(OE1+OE3)OE2+(l_aloeâ' ...

Ep: 2

24.

25.

26.

Écrire sous forme matricielle les équations de mouvement du système des trois 
masses constituant
le pont. Il sera commode d'introduire, pour toute variable u dépendant 
harmoniquement du
temps avec la pulsation au, la grandeur complexe associée Q , avec u(t) : % [Q 
exp (jwt)] et
j2 = --1. La matrice symétrique ainsi introduite incite à introduire les 
variables généralisées
s = 551 + 5133 et d = 551 -- 5173. Donner le système différentiel relatif à s, 
d et 552.

Il résulte de la question 24 que d est mode propre du système, avec le vecteur 
propre (1,0, --1)
pour le triplet (551, 552, 553) ; on notera tel la pulsation propre associée. 
Montrer que les carrés

30z
des deux autres pulsations propres du système sont respectivement wâ et wâ : (l 
-- --) wâ.

2
Identifier dans les cartouches de la Figure 7 un mode symétrique et un mode 
antisymétrique.
Associer ces modes a leurs pulsations respectives. Représenter graphiquement le 
troisième mode.

(a) @ (b)
1 --1 1/2 1 1/2

FIGURE 7 -- Deuoe modes de vibration; les amplitudes vibratoires sont indiquées 
en unités relatives.

3.3

Freinage d'un véhicule

On suppose dans cette partie 3.3 que tous les modes ont le même taux 
d'amortissement 0 < EUR < 1,
c'est--à--dire qu'ils sont régis par l'équation différentielle ej,-- + 
2EURw,çÿ,-- + w,--2qi : O.

27.

28.

29.
30.

3.4

Les éléments du pont sont initialement (t = O_) immobiles. Un véhicule rigide, 
de masse Mo et
animé d'une vitesse V0, freine sur le premier tablier. Il atteint une vitesse 
relative nulle par
rapport au tablier en un temps petit devant le temps de réponse de la structure 
(freinage dit
instantané). Quelles sont alors les conditions à t : 0+, relatives à chacun des 
tabliers ?

On suppose que le pont ne répond que suivant le mode de pulsation @@ ; 
Déterminer l'expression
du déplacement du deuxième tablier. Si le formalisme de la transformation de 
Laplace est
w\/ 1 -- 2
utilisé, on rappelle la relation TL {exp (--EURwt) sin (un/ 1 -- ? t)} = 2 EUR 
2.
p + 230}? + au
Donner l'expression générale du déplacement du deuxième tablier en fonction du 
temps.

Un calcul au premier ordre montre que, lorsque 04 << 1, 5132 (t) % aF (EUR,w0, 
t), où F est une
fonction bornée du temps. Justifier qualitativement cette forme, en la mettant 
en perspective
d'un commentaire éventuel dans votre réponse a la question (22).

Discussion de quelques hypothèses

3.4.1 Transfert de charge

Un véhicule de masse Mo et de vitesse initiale V0 est en situation de freinage 
instantané sur une
route horizontale, avec une décélération constante. Pour simplifier l'étude, on 
suppose que toutes les
roues sont a la limite du glissement et l'on note f le coefficient de 
frottement roue -- sol. Le frottement
de roulement est négligeable devant celui de glissement; Les notations étant 
précisées a la Figure 8,

on note A1 : T1 + Nl la résultante des actions mécaniques du sol sur les roues 
avant, A2 la même

chose pour les roues arrière et WG la norme de la décélération supposée 
constante. Le transfert de

charges de l'arrière vers l'avant signifie que les actions mécaniques du sol 
sur les roues avant sont,

comme on le verra, plus importantes que les actions mécaniques du sol sur les 
roues arrière. En dépit
de ce phénomène, on considèrera h constant, comme s'il n'y avait pas de 
basculement vers l'avant.

31. En effectuant le bilan des actions mécaniques et en négligeant la 
résistance de l'air, exprimer les
composantes normales et tangentielles de A1 et de A2 en fonction des paramètres 
du système
représenté Figure 8. Comment, à la lumière de ces résultats, répartir les 
efforts de freinage sur
les roues avant et arrière pour freiner le véhicule dans de bonnes conditions ?

G 0 l'--
<--iF-G "1
n__ :: P=M0g
NZ h ir __
T
' l: :
ï2 < a * 04 b ... > î
e .

FIGURE 8 -- Paramétrage pour le calcul des actions mécaniques; le roulement 
n'est pas pris en compte.

3.4.2 Hypothèse discutée : le freinage est instantané

Un modèle fruste : Une roue « ponctuelle »

32. Calculer la distance et le temps d'arrêt du véhicule en fonction de %, g et 
f.

Un modèle moins fruste : Analyses statique et dynamique d'une roue équilibrée

33. Rappeler les conditions d'équilibrage statique et dynamique d'un solide. 
Indiquer les éléments
nuls et les éléments liés de la matrice d'inertie (Figure 9) d'une roue d'axe 
de rotation (0, ?).

%> My

Y

Châssis

_: ................

A --F --E

IO,Roue : "F B "D
--E --D C ----à
x,y,z

FIGURE 9 -- Paramétrage pour l'analyse dynamique d'une roue. La matrice [ est 
ici eaprimée sous sa
forme générale, dont la simplification est demandée dans la question 33.

Le paramétrage d'un frein a disque est défini Figure 10 : chaque disque est 
freiné par deux plaquettes

plaquées de part et d'autre de ce dernier sous l'effet des efforts 1 et 2 
générés par un dispositif non
F1 + F 2

(92 -- 91) (RË -- RÎ)

étudié ici et transmettant la pression uniforme pg : . On note f1 le coefficient

de frottement plaquette -- disque. On suppose enfin, ce qui n'est pas le cas 
dans la réalité, que les
quatre roues freinent de la même façon.

Plaquette î

Disque

FIGURE 10 -- Paramétrage d'un disque de frein en phase de freinage.

34. Déterminer, dans le cas symétrique (F 1 = F2 = F) le couple de freinage 
généré par les plaquettes
4 R3 -- R3
de frein sur une roue et vérifier qu'il s'exprime sous la forme Cf = g f1 F %.
2 _ 1

35. Exprimer la puissance de frottement en fonction de MO, g, f et la vitesse U 
= R...} pour les
quatre roues. Exprimer de la même manière la puissance de freinage.

36. Donner l'expression de l'énergie cinétique du véhicule; en déduire, 
considérant aussi les réponses
à la question (35) l'expression de l'accélération angulaire des roues.

37. Le tableau ci--après précise les sens et les valeurs numériques des 
grandeurs pertinentes. Calculer
la valeur numérique du temps d'arrêt du véhicule. Comment se compare--t--il au 
résultat de la
question 32 ?

Symbole et valeur Sens et occurrence

I(o,7) = 0, 75 kg - m_2 Moment d'inertie d'une roue par rapport à l'axe (0,7)

M0 = 1600 kg Masse du véhicule

V0 = 130 km - h_1 Vitesse initiale du véhicule

g = 9, 81 m -- s_2 Accélération de la pesanteur

R1 = 100 mm Voir Figure 10

R2 = 150 mm Rayon de disque de frein; voir Figure 10

R7» = 300 mm Rayon de la roue représentée Figure 9

a = 1000 mm voir Figure 8

b = 1800 mm voir Figure 8; a + b = e

h = 700 mm Altitude du centre de masse; voir Figure 8

F1 = F2 = F = 2500 N Efforts sur les plaquettes de frein; voir Figure 10

f = 0, 8 Coefficient de frottement roue -- sol; voir préambule du paragraphe 
3.4.1
f1 = 0, 4 Coefficient de frottement plaquette -- disque; voir préambule de 3.4.2

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2015
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école 
d'ingénieurs) ; il a été relu par Julien Dumont (Professeur en CPGE) et 
Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE).

Ce sujet comporte deux problèmes indépendants sur le thème du freinage.
· Les parties 1 et 2 traitent des marées et de la synchronisation des périodes 
de
la Terre et de la Lune. On présente d'abord la cause du freinage du système
Terre-Lune en évaluant la force de marée qui s'exerce sur la Lune. Le problème
se poursuit par des calculs différentiels qui ont pour but d'évaluer, à la fin 
de la
synchronisation, la période de rotation, la distance Terre-Lune et la durée du
processus.
· La partie 3 aborde différents aspects du freinage d'un véhicule sur un pont.
Au début, elle s'intéresse au régime transitoire oscillant d'un pont constitué
de trois tabliers reliés par des joints élastiques modélisés par des ressorts.
Il s'agit d'identifier les modes propres de vibration de la structure. La fin 
propose d'évaluer la distance de freinage d'une voiture et de comparer un modèle
de roue ponctuel à un modèle en trois dimensions. Cette partie traite 
essentiellement de mécanique du solide.
Ce sujet plutôt varié fait appel aussi bien au programme de physique qu'à celui 
de
sciences de l'ingénieur. Il est long mais pas trop ; il nécessite une bonne 
compréhension du cours et de l'aisance dans les calculs. La première partie 
pose des questions
qualitatives qui testent le sens physique.
Signalons que la première partie est reprise quasiment à l'identique d'un sujet
posé au concours Mines-Ponts en 1989. Ceci explique peut-être que les questions 
7,
9, 10 et 18 utilisent des notions hors programme.

Indications
Partie 1
1 Exprimer les forces gravitationnelle et d'inertie subies par G1 .
2 La cohésion du satellite est liée à la différence d'intensité entre la force 
de marée
et la force gravitationnelle, attractive, entre G1 et G2 .
-
4 Exprimer la force gravitationnelle en fonction du vecteur TP et de la 
distance TP
puis développer TP au premier ordre en r/d.
5 Évaluer rapidement la direction de la force en prenant un angle au hasard (45 
).
Partie 2
6 L'énoncé indique la réponse.
8 Comparer les termes cinétiques en utilisant les masses et distances données.
9 Le moment cinétique d'une masse m ponctuelle, située à la distance d de G et
tournant à la vitesse , vaut LG = m d2 .
10 Une seule force s'applique sur la Terre, en mouvement de rotation autour du
point G. Projeter la relation fondamentale de la dynamique sur rb.
11 Le moment cinétique d'un système isolé est constant. Différentier celui du 
couple
Terre-Lune.
12 Réécrire l'énergie potentielle grâce à la question 10 pour obtenir une 
expression
simplifiée de l'énergie mécanique. Différentier celle-ci.
15 La troisième loi de Kepler et le moment cinétique permettent d'obtenir des 
relations entre les distances et vitesses de rotation initiales et finales. 
Effectuer une
résolution approchée de l'équation obtenue en évaluant l'ordre de grandeur de
chacun de ses termes.
Partie 3
1 d
.
 dT
La quantité xi est l'écart à la position d'équilibre du tablier numéro i.
À l'équilibre, la somme des forces est nulle.
Utiliser les symétries du problème pour gagner du temps. Des combinaisons
linéaires des lignes du système permettent de faire ressortir s = x1 + x3 et
d = x1 - x3 .
Une valeur propre est évidente. Il reste une matrice 2×2 associée au couple (x2 
, s).
On peut obtenir ses valeurs propres à l'aide de sa trace et son déterminant.
Si le freinage est instantané, le véhicule et le tablier constituent un système 
isolé
dans un référentiel galiléen.
Transposer l'équation différentielle dans le domaine de Laplace.
Montrer qualitativement qu'il n'y a pas de terme d'ordre 0 en  en analysant le
mouvement du deuxième tablier lorsque  tend vers 0.
Exprimer l'équilibre vertical et celui des moments de force au point G puisque 
le
véhicule ne bascule pas. En limite de glissement, T = f N.
La décélération est constante.
Appliquer le théorème de l'énergie cinétique.

18 La définition du coefficient  ne figure pas au programme :  =
20
21
24

25
27
28
30
31
32
36

1. Marées et synchronisations d'oscillateurs
1 Soient x
b et yb les vecteurs unitaires portés respectivement par Ox et Oy, représentés
sur la figure 1c de l'énoncé, qui sont les axes du référentiel d'étude, en 
translation
circulaire autour de T. Le point G1 subit de la part de la Terre la force 
gravitationnelle
-
GMm
FG = -
x
b
(d - b)2

Puisqu'on néglige, en raison de leur faible importance, les effets inertiels 
associés
à la rotation propre, la force d'inertie se résume aux effets d'entraînement du 
centre O
de la Lune. Elle a pour expression

-
FI = m r 2 d x
b
Développons au premier ordre en b/d la force FG

-
1
GMm
FG = -
x
b
2
d
(1 - b/d)2
G M m
b
=-
1
+
2
x
b
d2
d

Avec r 2 = GM/d3 , la force d'inertie devient quant à elle

-
Ainsi, la force totale F T1

-

GMm
FI =
x
b
d2
- -

= FG + FI , subie par G1 , s'écrit
-

2bGMm
F T1 = -
x
b
d3

Le terme d'ordre 0 est nul : dans le référentiel tournant, la Lune est
immobile.
L'expression r 2 = GM/d3 est fournie par l'énoncé. Pour la retrouver,
on peut utiliser le principe fondamental de la dynamique à la Lune, réduite
à son centre. Comme la Lune est animée d'un mouvement circulaire uniforme,
son accélération se résume à
2

v
-

a = - rb = -d r 2 rb
(avec v = d )
d
La seule force qui s'exerce sur la Lune est l'attraction terrestre :
-

GMm
F =-
rb
d2

-

Avec m-
a = F , on conclut immédiatement que r 2 = GM/d3 .
2 Le point G1 subit l'attraction de G2 , ce qui contribue à la cohésion de la 
Lune :
- G m2
F21 =
x
b
(2b)2

La force de marée, bilan de l'écart entre les forces gravitationnelle et 
d'inertie sur le
point G1 , est responsable de l'étirement de la Lune et de sa décohésion. Le 
satellite
se brise si la force de cohésion est plus faible que la force de marée, soit 
lorsque
F21 < FT1

puis
et donc

G m2
2bGMm
<
2
(2b)
d3
m
M
< 3
(2b)3
d

Il existe par conséquent une limite en deçà de laquelle le satellite se brise :
d < dm = 2b

M
m

3 Calculons pour le système Terre-Lune,
dm = 7,15.106 m
Cette distance limite est très inférieure à la distance Terre-Lune (d = 380.106 
m) et
donc compatible avec l'existence de la Lune.
L'hypothèse d'une Lune détachée de la Terre est incompatible avec ce modèle.
En effet, au moment de la séparation, la distance Terre-Lune aurait été 
inférieure
à dm , aboutissant à la dislocation de la Lune et à la formation d'un anneau, 
comme
ceux qui existent en orbite de Saturne par exemple.
4 Exprimons la force de marée qui s'exerce au point P, somme de la force de
gravitation et de la force d'inertie d'entraînement,

Or,
donc

-

G M m - G M m
TP +
x
b
F =-
TP3
d2
- - -
TP = TO + OP = d x
b + r cos  x
b + r sin  yb
TP3 = [(d + r cos )2 + (r sin )2 ]3/2

Un développement au premier ordre en r/d conduit à
TP3  (d2 + 2r cos )3/2

1
1
3r
et donc

cos

1
-
TP3
d3
d
Par conséquent, en ne conservant que les termes du premier ordre en r/d,

-
G M m 
r
r
3r
F =
-
x
b
-
cos

x
b
-
sin

y
b
1
-
cos

+
x
b
d2
d
d
d

G M m 
r
r
3r
=
-x
b - cos  x
b - sin  yb +
cos  x
b+x
b
2
d
d
d
d
-

G M m
F =
(2r cos  x
b - r sin  yb)
d3

5 La force qui s'exerce sur le point P possède deux composantes, qui dépendent 
de l'angle . Elle est toujours dirigée
vers l'axe (Ob
x) et s'éloigne de l'axe (Ob
y ). La conséquence
de cette force est la déformation de la Lune, le manteau
déformable étant attiré vers l'axe Terre-Lune. Un bourrelet équatorial 
apparaît. Deux points opposés correspondent
à une différence d'angle de  dans la force exprimée à la
question 4 et donc à deux forces opposées en P et P .

y

-

F (P)
P

P
-

F (P')

x