X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2014

Thème de l'épreuve À propos de l'émission de lumière
Principaux outils utilisés électrocinétique, physique des lasers, diffusion
Mots clefs photoluminescence, détection synchrone, conversion analogique numérique, semi-conducteurs, traitement du signal, conversion numérique analogique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR -- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

A propos de l'émission de lumière

Présentation

L'objet de ce problème est une étude de la photoluminescence, qui est la 
radiation émise, en plus
de l'émission thermique, par un système physique soumis a une excitation 
optique.
L'excitation optique proviendra ici d'un laser fonctionnant en régime continu, 
de longueur d'onde

dans le vide ÀO : --, où V0 est la fréquence du rayonnement et c est la 
célérité de la lumière ; l'énergie
y

d'un photon (constituant élémentaire du rayonnement) est EO : hy0, où h est la 
constante de Planck.
Le système physique considéré ici est un semi--conducteur, qui, pour 
l'eoecitation, est modélisé par
un système électronique a deux niveaux, dont la différence d'énergie, notée Eg, 
est nommée largeur
de bande interdite; cela signifie, d'une part que l'énergie minimale a fournir 
a un électron pour son
excitation est Eg, d'autre part que les mécanismes considérés seront 
strictement électroniques; les
noyaux n'y interviendront donc pas explicitement. On pose que, a l'équilibre 
thermodynamique, le
niveau haut contient des électrons en densité volumique uniforme no et le 
niveau bas contient des
places libres en densité volumique uniforme pg, que l'on nommera trous. On 
admettra que les trous
se comportent comme des particules fictives de charge positive qui rendent 
compte des places laissées
vacantes par les électrons.

La Figure 1 montre comment les divers processus conduisant de l'excitation a la 
photoluminescence,
peuvent être décomposés.

("O) @
h V0 " h V
/\/\I /\/V
(190) @
. . Génération de Divers Émission et
Exc1tat10n , . , .
porteurs de charge mecamsmes detect10n

FIGURE ] -- De l'eoecitation a la détection : le photon absorbé, d'énergie hm, 
(Excitation) crée
une paire électron-trou (Génération de porteurs de charge) qui, après quelques 
péripéties (Divers
mécanismes) se recombine en émettant un photon d'énergie hu < hV0 (Emission et 
détection).

-- Chaque photon d'énergie hu0 est absorbé en créant dans le matériau une paire 
électron--trou
excédentaire par rapport à l'équilibre thermodynamique.
-- Cette paire électron--trou se recombine selon divers processus; certains de 
ces processus, dits
radiatifs, donnent lieu a une émission de lumière.
-- Le rayonnement de photoluminescence, d'énergie hu < Eg est partiellement 
réabsorbé a
l'intérieur du matériau avant de sortir de ce dernier. Il est ensuite détecté 
et analysé.
La Figure 2 schématise la configuration expérimentale standard et montre un 
spectre de photolumi--
nescence à basse température; chaque raie est associée à un processus 
caractéristique du matériau.

"[" = 4 [{ a.u. : unités arbitraires

lv ». .

I
1512 1.513 1-514 1.515- 1.51E
phûtùn enagy ïeU}

.,
.sî
phalfilumM--EEEEHOE (a u}

FIGURE 2 -- À gauche : Divers fluoe optiques (décalés verticalement pour une 
meilleure lisibilité) :
le laser ercitateur (F,-), partiellement réfléchi (Fr), pénètre dans le 
matériau (Ft) et y crée des
paires électron-trou qui, en se recombinant, émettent de la lumière; on détecte 
le signal de photo--
luminescence (FP/;) émis par la face avant de l'échantillon ; dans le modèle de 
ce problème, tous
les faisceauoe se propagent le long du même are, de vecteur unitaire u}. À 
droite : Photolumi--
nescence d'un échantillon de GaAs. L'abscisse est en électron volt; d'après 
Ulbrich et Weisbuch,
http .//www. sciencedirect. com/scienee/article/pii/SÛÛQQQ3] 399001 94 5.

1 Partie I : production du signal

Le faisceau excitateur, qui provient d'un laser Hélium--Néon, pénètre en a: = 0 
dans le matériau,
où il est absorbé au fur et a mesure de sa propagation dans le demi--espace 
illimité 313 > 0; en raison
de cette absorption, l'intensité lumineuse n'est pas uniforme dans 
l'échantillon et il en va donc de
même des concentrations de porteurs de charge. À l'abscisse a: et au temps t, 
les concentrations
locales d'électrons et de trous sont notées respectivement n* = no + n(oe,t) et 
p* : po + p(oe,t).
Conformément aux schémas de la Figure 1, n(oe,t) : p(oe,t). On note N la 
densité de photons
(nombre de photons par unité de volume; la densité volumique d'énergie est donc 
U (hu) : N (hu))
et F le flux de photons (nombre de photons traversant l'unité de surface dans 
l'unité de temps) ; ce
sont des fonctions de a: et de t : (a:,t) |--> N(oe,t) et F(a:, t) .

Notations et valeurs numériques

Caractéristiques du laser Symbole Valeur
Longueur d'onde À0 0, 6 mn
Puissance PO 5 mW
Section droite du faisceau o 1000 (um)2

1.1

Caractéristiques du matériau (GaAs) Symbole Valeur
Largeur de bande interdite E9 1, 52 eV
Coefficient d'absorption a À0 6 105 cm--1
Coefficient de réflexion a À0 ?" 0,2

Caractérisation de l'excitation

. Calculer la densité surfacique de puissance de l'excitation et la densité 
surfacique de puissance

correspondant au rayonnement du corps noir a 4K . La valeur numérique de la 
constante de Stefan
est oSt % 5, 7 >< 10_8 W - m_2 - K _4. Montrer que, au vu de ces résultats et 
sous des hypothèses
plausibles, il est légitime de négliger l'émission thermique devant la 
photoluminescence. C'est
ce que nous ferons dans la suite.

Exprimer le flux énergétique 3 en fonction de F, bug et du vecteur unitaire 
Ü... normal a la
face d'entrée de l'échantillon et dirigé vers l'intérieur (voir Figure 2).

L'identité de Poynting pour le rayonnement électromagnétique dans un milieu 
isolant s'écrit

@ E2 32 É /\
(avec les notations standard) -- 60-- + -- + div
315 2 ZA... #0

termes du membre de gauche et en déduire une relation différentielle entre F 
(a:, t) et N (a:, t).

) = O. lnterpréter chacun des

Génération de porteurs

Vérifier que l'onde laser est effectivement susceptible de créer des paires 
électron--trou. La
hc
relation hu : î se traduit numériquement par (hu)eV : 1, 24/(À),... (1 eV % 1, 
6 >< 10_19 J).

Le coefficient d'absorption du faisceau excitateur est le taux de déclin de F 
en régime sta--

1 dF
tionnaire, dans la direction de propagation : 6 = ----d--. En supposant la 
section droite
a:

o constante, exprimer F (a:) a l'intérieur de l'échantillon en fonction de PO, 
a, bug, 6 et 7". On
notera F0 : F (O_) le flux à l'extérieur de l'échantillon. Comment pourrait--on 
définir une
profondeur de pénétration des photons dans le matériau ?

F
Quelle devrait être, en centimètre, l'épaisseur D d'un échantillon pour que F 
((O+)) : 10_3 ?

En considérant un bilan entre flux photonique excitateur et création de paires 
électron--trou

dans l'intervalle a:, a: + da: entre les instants t et t + dt, montrer que le 
taux de génération
d'électrons photoexcités par le laser (taux de génération eoeterne) est

Fo
Ge = fi(1 -- 7")h--V0 exp(--fiæ) = Go exp(--fiæ)- (1)
La relation (1), qui définit Gg, entraînerait une augmentation linéaire de n 
avec le temps; le
régime stationnaire n'est possible que si un processus de désexcitation limite 
cette croissance.

Déduire de la relation (1) que, NT désignant la quantité totale de paires 
photocréées dans

l'échantillon, on a
dNT _ GQO'

Ê_ @- <2)

1.3 Temps de vie des porteurs

9. Le bilan algébrique de génération-recombinaison (gr) de paires est 
caractérisé par la relation

n* 3 *
phénoménologique ( ) = ( p ) : --B (n*p* -- nopo), qui définit la constante
Ôt g_,,, 315 g_,,,
positive B. Quelle est la dimension de B ?
1 1 dn
10. On définit T(n) par fi : __OE° Expliquer pourquoi, si l'excitation est, 
dans un sens que
7' n n

l'on précisera, suffisamment faible (approximation des petits signaux, ou 
linéaire), T(n) peut
être considéré comme indépendant de n. Dans toute la suite, on supposera que 
T(n) : "7",
indépendant de n; justifier qu'on le nomme dans ce cas temps de ...le.

1.4 Diffusion de porteurs

Les électrons et les trous photocréés diffusent a partir de l'endroit où ils 
ont été produits; leur
concentration est donc différente du profil d'intensité de la lumière dans le 
matériau. On ne s'intéresse
dans ce qui suit qu'à la diffusion des électrons, en admettant que la densité 
locale de courant de
diffusion, J (A - m_2), est proportionnelle à chaque instant au gradient de 
concentration, selon

Ôn
la relation J : --qDÔ--. Dans cette relation le coefiîcz'ent de difiusz'on, D, 
est lié a la mobilité
55
[EUR T
,a par la relation par la relation d'Einstein D = La, où kB est la constante de 
Boltzmann
Q

(kB : 1, 38 >< 10_23J - K_1). La mobilité ,a d'une particule est définie par 17 
: ,uÊ, où 17 est la vitesse
moyenne acquise par cette particule sous l'action d'un champ électrique E.

Notations, valeurs numériques et relations de base pour les électrons

Caractéristique Symbole Valeur
Charge q = --c --1, 6 >< 10_19 C
Mobilité ,u --0, 9 rn2 - V_1 - s--1
Temps de vie 7' 0,3 - 10_9 s

11. En effectuant un bilan du nombre d'électrons photocréés, établir l'équation 
de diffusion

Ôn 8271 n
--=D------+Gex --a:. 3
815 Ôoe2 T 0 p( 5 ) ( )
12. Résoudre l'équation (3) lorsque le régime est stationnaire, en introduisant 
la longueur de
diffusion L = \/ DT. Une constante d'intégration se détermine en exprimant la 
continuité du
courant de diffusion en a: = 0, ou en remarquant que chaque photon crée une 
paire électron--trou
et en utilisant la relation (2) : établir l'expression

n<æ> = % lfiL exp (--Î) -- exp<--fiæ>l . (4)

13. Calculer les valeurs numériques de L, 6--1 et de \/E (rappel : T = 4, 2 K). 
Justifier que l'on
préfère généralement détecter la luminescence sortant par la face avant de 
l'échantillon, plutôt
que celle qui émergerait par la face arrière. Les valeurs numériques 
justifient--elles le modèle
unidimensionnel de cette étude ?

1.5 Recombinaison en surface

Les propriétés de surface et de volume des matériaux ne sont pas les mêmes. En 
particulier,
les propriétés de recombinaison en surface et au coeur du semi--conducteur 
diffèrent. Un modèle
phénoménologique, dû a Shockley, caractérise ce phénomène en termes d'un 
coefficient S tel que a
la surface de l'échantillon, et en raison de recombinaisons non radiatives en 
surface, le courant de
diffusion dans un matériau où pg >> no, dirigé vers la surface de l'échantillon 
et discontinu en a: = O,
vérifie la relation î : (O) = --q S n(0) u_æ> , où S est une constante positive 
et uÎË le vecteur défini a
la question 2 et représenté dans la partie gauche de la Figure 2. On a donc 
maintenant

--qD (Ê_Ï)OE=O = --an<0>. (5)

14. Quelle est la dimension de S ?
15. Interpréter la relation (5) en termes de source surfacique de recombinaison 
non radiative.

16. Exprimer la solution de l'équation stationnaire de diffusion (3) en 
introduisant la vitesse de
recombinaison réduite EUR = ST / L. Retrouver la relation (4) pour EUR = O.

n
17. Discuter l'allure des courbes n(a:), préciser en particulier n(O), (ci--) 
et l'abscisse du
SC oe-O

maximum de n selon les valeurs de EUR pour 0 $ EUR < oo.

1.6 Réabsorption de la lumière émise

Avant d'être détectés a l'extérieur de l'échantillon, les photons émis dans le 
matériau parcourent
une certaine distance jusqu'à la surface, en étant partiellement réabsorbés 
pendant leur propagation.
Une conséquence de cette réabsorption est que le spectre détecté peut avoir une 
forme différente
des raies d'émission dans le matériau (on admet cependant que cette 
réabsorption n'altère pas le
profil des porteurs photocréés). Si le coefficient d'absorption donne des 
indications directes sur les
phénomènes électroniques dans le matériau, sa mesure directe est difficile pour 
les transitions intenses
(voir question 6). Les considérations ci--dessous visent a contourner cette 
difficulté expérimentale.

18. On note 04 le coefficient d'absorption correspondant à l'énergie hu. 
Montrer que le flux de photons

OO
générés dans l'échantillon à l'énergie hu est proportionnel à la quantité / 
n(a:) exp(--ozoe) ClSC.
0

19. La considération de l'équilibre thermodynamique du matériau et du 
rayonnement montre que,
] désignant une quantité proportionnelle a la puissance optique détectée,

hu

[(hu) oc (hu)3a(hy) exp (--ÎÇB--T) /ÛOO n(a:) exp(--ozoe) da:. (6)

h
Considérer le produit A(hu) : [(hu) exp (lg--VT) et montrer que, pour les 
faibles coefficients
B

d'absorption, dans un sens a préciser, en se référant à l'expression trouvée 
pour n(a:) a la
question 16, A(hu) reproduit avec une bonne approximation la forme du 
coefficient d'absorption
d'une raie suffisamment fine.

20. La Figure 3 montre quelques spectres d'intensité de photoluminescence et 
les fonctions A qui
s'en déduisent, réputées ici représenter le spectre d'absorption et donc 
l'intensité des transitions
dans le matériau; commenter ces figures, en indiquant les éventuelles erreurs 
d'interprétation
associées a une lecture directe des spectres de photoluminescence.

11.21.

A(yh V)

..............

A(hv) : I(h v) exp(hv/IaT)lu

'

11 v h v

FIGURE 3 -- Trois eæemples de traitement de spectre. Les courbes sont 
recalibrées et données en unité
arbitraires (u.a.) Les courbes en pointillés sont des spectres typiques de 
photoluminescence et les
courbes en trait plein les fonction A(fw).

2 Partie II : détection du signal

La lumière sortant par la face avant de l'échantillon est envoyée dans un 
monochromateur, qui
sélectionne en sortie la gamme la plus étroite possible de longueurs d'onde au 
voisinage d'une longueur
d'onde donnée, À. Cette longueur d'onde est déterminée par la position 
angulaire d'un système
dispersif, H(t), laquelle varie lentement dans le temps. Après détection, le 
signal est donc représenté
par une tension lentement variable, s(t), d'où l'on déduit facilement 
l'intensité émise a une longueur
d'onde donnée, I(À). La détection directe de ce signal présente des 
inconvénients, aux premiers rangs
desquels on peut citer le bruit et la dérive des divers appareils. Le signal 
doit donc être traité.

2.1 Détection synchrone (analogique)
2.1.1 Principe de la détection synchrone

La détection synchrone pallie partiellement ces problèmes. Dans cette méthode, 
le phénomène
physique représenté par s(t) est modulé sinusoïdalement en amplitude a la 
fréquence angulaire wo
choisie de telle manière que 3 peut être considéré comme constant sur la durée 
TO : 27r/w0 ; le signal
de sortie s'exprime alors par S (t) = F s(t) cos(wot) + b(t), où F est un réel 
positif et b(t) est un bruit.
Pour extraire s de S, on produit électroniquement le produit P(t) : S (t) 
cos(wot -- go), où go est le
déphasage accordable d'un générateur pilote. Le signal P traverse ensuite un 
filtre sélectif, qui donne

t
en sortie le signal rn (t, T,) = / P(u) du.
t--T,

S(t) P(t} : Sortie
s[tj + bruit I _ P(_u)da --*

":."

F cos{ OEüf,l cos(oeÛ: -- çzr)

FIGURE 4 -- Schématisation d'un détecteur synchrone.

21. Justifier qualitativement que, dans un domaine fréquentiel donné, l'on 
puisse assimiler un filtre
passe--bas a un intégrateur. Exprimer rn (t, T,) sous forme de la somme de deux 
intégrales, l'une
faisant intervenir s(t) et l'autre, notée B (t), faisant intervenir b(t); on 
rappelle la relation

1
cospcos q = 5 [cos(p + q) + cos(p -- q)]. Que peut--on dire de B (t, T,) ?
22. La figure 5 représente les spectres fréquentiels de s(t), du bruit b(t) et 
de S (t) Représenter

qualitativement les spectres fréquentiels du signal après passage dans le 
filtre sélectif puis après
l'intégrateur.

|A...«;(æ)| " | AS((O) |

.*-- Sigm1 [\ [\

|
| \

--w...--.Ql 'l--(oU+Q (oO--Q ,! '. am+Q

.* « " ; \l.'.../ \.../
_Q_/VOVLQ --(00 0 (ou (b

Bruit

V

00

FIGURE 5 -- Le spectre fréquentiel d'un signal u(t) est défini par A(w) : / 
u(t) exp(iwt) dt. Le
--00

module du spectre de s, [As(w)l, est représenté à gauche; on lui a donné une 
forme symétrique sur la

bande étroite, centrée en 0, [--Q, Q]. Le spectre du bruit est « plat ». La 
figure de droite représente le
spectre de la partie utile de S(t) : le bruit n'y est pas représenté.

23. Quel compromis réaliser sur T,- pour que m (t,T,) reproduise le plus 
fidèlement possible la
forme de s(t) ? Exprimer m (t, T,) dans ces conditions, en fonction de F, s(t) 
et go, en supposant
B (t, T,) négligeable. Comment choisir go ?

2.1.2 Réalisation d'une détection synchrone

Pratiquement, la modulation est réalisée en utilisant un hacheur mécanique, tel 
que la roue
ajourée représentée Figure 6, interposée entre le laser et l'échantillon.

. l\
Largeur max1male des ouvertures u(t)

Dai)

Q>Oâ

: : : To --H t

Ajustement et largeur des ouvertures

...q
_(_'1
-4

FIGURE 6 -- La roue du modulateur mécanique est percée de p quadrants 
identiques régulièrement
répartis et de largeur ajustable; une photodiode et un photorécepteur placés de 
part et d'autre de cette

roue produisent le signal rectangulaire de référence, symbolisé dans la partie 
droite de la figure. Si cor
7T 27r

est la vitesse angulaire de rotation, on note TO : = --.
pwr QO

Ce dispositif permet d'obtenir électriquement le signal rectangulaire 
périodique u(t), nommé signal de
00 'ÏL

£ (_1) cos {27r (2n + 1) i} .

7T n=O 2n --|-- 1 T 0

Le signal de photoluminescence s, d'amplitude positive, est ainsi haché 
périodiquement, avec une

période TO. On note S (t) le produit (obtenu électroniquement) du signal 
périodique u et du signal 3,

porteur de l'information a traiter. La démodulation consiste à extraire ce 
dernier de S .

référence dont la décomposition en série de Fourier est u(t) :

24. Montrer que tout se passe comme si le signal 3 était modulé par une 
infinité de porteuses
sinusoïdales, dont on donnera les fréquences respectives.

277%(J'OE)

25. Quelle est la nature du filtre de transmittance complexe fi ( jar) : A _ 2 
_ ,
1 --l-- (327) --l-- 2m(goe)

oùA

/ ° . w / / 0 a .
et rn sont reels pos1t1fs et a: = -- une frequence redu1te ? Esqu1sser, pour rn 
< 1, le d1agramme

wc
de Bode, en amplitude et en phase, de cette transmittance.

%

FIGURE 7 -- Filtre de Sallen-Kay. L'AO, supposé parfait, fonctionne en régime 
linéaire. La transmit-
Vs jRCC«J \ R1
==K _ _ 2,ouK=1--l----.
& 1+ (3--K)3RCw+ (3R0w) R2

tance est alors fi(jw) =

26. La transmittance complexe du Filtre de Sallen--Kay de la Figure 7 est du 
type de celui de la

1
question 25. Exprimer A, Q = 2-- et wc en fonction des composants R1, R2, R et 
C de ce filtre.
rn

27. Le filtre de la Figure 7 est alimenté par le signal rectangulaire 
représenté dans la partie droite
de la Figure 6. Comment choisir les composants pour une utilisation optimale du 
filtre ?

2.2 Échantillonneur bloqueur (numérique)

Un signal numérique est moins sensible aux perturbations qu'un signal 
analogique et surtout, il
se prête bien plus facilement au traitement (numérique !). Pour ces raisons, on 
choisit de convertir
le signal analogique issu du détecteur en signal numérique binaire. La chaîne 
de transmission des
données est représentée Figure 8.

@-- Ûaptt"r " CAN Traitement CNA _ Utilisatinn
analugmue -- _

FIGURE 8 -- Chaine de traitement de signal. CAN : Convertisseur Analogique 
Numérique. La boite
Capteur analogique peut contenir des éléments de traitement analogique.

2.2. 1 Échantillonnage

La conversion analogique numérique commence par l'échantillonnage, 
transformation du signal
continu analogique en signal discontinu. L'élément réalisant cette 
transformation (Figure 9) est
essentiellement un interrupteur commandé par une tension périodique e(t) de 
fréquence FEUR : 1/TEUR
(T8 est la période de fermeture de l'interrupteur). La durée de fermeture est 
très petite devant T6.

Le signal de commande e(t) est modélisé par une suite périodique de pics 
d'amplitude constante
et de largeur temporelle & très petite devant TEUR (voir Figure 10) ; le pic 
centré sur l'instant t : nTEUR

00
étant noté 5 (t -- nTe), la tension de commande s'exprime alors par e(t) : Z 5 
(t -- nTe).
n-O

28. Exprimer la tension de sortie ue(t).

EUR(t) V Ru i--/ E l i
[Fe] ° © . i V(t) E

FIGURE 9 -- Principe d'un échantillonneur; le commutateur KC est un multiplieur 
commandé de
gain KO entre e(t) et le signal V(t). Le circuit d'utilisation est modélisé par 
la résistance Ru.

" V(t) ve(t) Signal
.. numérisé
t:
t: A {l ..............................................
e(t) % , _____ %Â1W\ JllΣ ll _)Lg
deux ics consécutifs
ll|llll||lllllllg||g|lll||r ' ll l .L ,
""'" nTe (n + l)Te

FIGURE 10 -- Échantillonnage. Le cartouche en haut a droite donne l'allure de 
ue(t), tension aux
bornes de Ru ; l'allure de la courbe originale est préservée, mais le pointé du 
sommet est imprécis.

Le convertisseur analogique numérique doit conserver (bloquer) la valeur a 
convertir pendant
le temps nécessaire a cette conversion. On transforme pour cela le circuit de 
la Figure 9 en circuit
de mémorisation formant ainsi un échantillonneur bloqueur. Le schéma électrique 
de principe du
dispositif est représenté sur dans la partie gauche de la Figure 11.

TDM @

K

v(t) C :: vu(t) Ru

W ,
% /

FIGURE 1] -- À gauche : Échantillonneur bloqueur; la résistance Ru modélise le 
circuit d'utilisation.
A droite : Echantillonneur blogueur avec AO parfait. La résistance R représente 
l'ensemble des
résistances en amont, lorsque l'interrupteur est fermé.

29. En position fermée, la résistance de sortie du générateur fournissant la 
tension V(t) (à laquelle
s'ajoute celle de l'interrupteur de commande) est assimilable a une résistance 
de valeur RS.
Donner l'expression du temps au bout duquel la tension aux bornes du 
condensateur atteint
95% de sa valeur limite, supposée constante pendant la charge.

30. Que se passe--t--il lorsque l'interrupteur K bascule en position ouverte ?

31.

32.

2.3

Quel est l'intérêt d'intercaler entre la charge Ru et l'échantillonneur 
bloqueur un étage à
Amplificateur Opérationnel (AO), tel que représenté dans la partie droite de la 
Figure 11 ?

Représenter l'allure du signal obtenu à la sortie de l'échantillonneur 
bloqueur. On notera ta le
temps d'acquisition et th le temps de maintien de la charge du condensateur.

Restitution du signal après traitement

On suppose a présent disposer du signal traité numériquement, que l'on veut 
remettre sous forme
analogique. Le Convertisseur Numérique Analogique (CNA) réalise cette 
opération. Le principe d'un
CNA est représenté Figure 12; les impédances des divers générateurs e;.EUR sont 
nulles.

FIGURE 12 -- Un CNA dit a échelle comprend autant de sources qu'il y a de bits 
dans le signal
numérique; par convention, l'état de fermeture d'une commutateur (borne reliée 
au générateur de
tension) correspond a la valeur binaire ek : 1 du générateur correspondant et 
l'état d 'ouuerture
(borne reliée à la masse} a la valeur ek : 0. Le circuit à A0 dans le cadre en 
pointillés fournit en
sortie la grandeur analogique étudiée.

33.
34.
35.

36.
37.

38.
39.

Quelle est la résistance de l'ensemble du circuit a la droite du point A1 de la 
figure 12 ?
En déduire que le courant immédiatement a droite de ce point est égal au i1 de 
la figure 12.

Toujours avec les notations de la figure 12, montrer que

. Vref 60 61 en_1 en
28: R (2--otz--1+"'+zn--ltz--n)- ")

Quel est, écrit en base 2, le nombre représenté en base 10 dans la relation 7?

Quelle doit--être la valeur minimale de n si l'on veut obtenir au moins 250 
valeurs différentes de
la tension de sortie ?

Quelle est la fonction du circuit encadré en pointillés dans la Figure 12 ?

Le signal analogique de sortie reste, en réalité, quantifié (Figure 13). Par 
quel genre de traitement
électronique pourrait-on, a partir de ce signal constant par morceaux, obtenir 
une courbe
continûment dérivable ?

10

Vsa(t)
1 1 1

110
101
100
011
010
001

t

FIGURE 13 -- Un eæemple de conversion pour n = 3 du spectre de la Figure 10. On 
obtient en sortie le
signal constant par morceaur représenté en trait gras. Cet discrétisation est 
caricaturalement fruste :
on perd a priori la structure a deuæ bosses de l'original, représenté en 
pointillés.

2.4 Quelques aspects pratiques
2.4.1 Bruit de quantification

La quantification linéaire par défaut réalise la codification du signal e(t) 
EUR [ng ; (n + 1)q] l--> ng.

La quantité 6 : e(t) -- ng est supposée être uniformément répartie entre 0 et g 
: 0 S EUR < g. Tout se

passe donc comme si l'on substituait au signal e le signal ng + &, somme du 
signal déterministe ng

et d'un signal aléatoire, d'où le nom de bruit de quantification donné a e. La 
valeur moyenne d'une

_ 1 q _ 2

fonction F(e) est par définition ici F = -- / F(e)de; l'écart type 0 est donné 
par 02 = (F -- F) .
Q 0

40. Après avoir vérifié le résultat évident EUR = q / 2, calculer l'écart--type 
de e

41. Dans la quantification linéaire centrée, on codifie par e(t) EUR [(2n -- 
1)q/2 ; (2n + 1)q/2] l--> ng;
le bruit de quantification est uniformément réparti entre --q/ 2 et q/ 2. 
Calculer la valeur
moyenne et l'écart type du bruit de quantification.

42. Lequel de ces deux modes de quantification vous apparait--il plus 
avantageux que l'autre ?

2.4.2 Bruits d'origine physique

Il ne saurait y avoir de signal sans fluctuations aléatoires, que l'on nomme 
bruit. La valeur moyenne
de ce bruit est nulle ; son écart type ne l'est pas. Un filtre passe bas (ou un 
passe--bande) a pour effet de
couper les hautes fréquences, éliminant une partie du bruit et diminuant sa 
valeur efficace. Il est donc
nécessaire d'indiquer la bande passante d'analyse du signal. Un concept utile 
de ce point de vue est la

00
bande passante équivalente, Beg, d'un filtre de transmittance fi ( jw) : Beq : 
1 fi ( jw)12 dau,

27T1fiM12 /0
où lfiMl est le maximum de \fil ; voir Figure 14.

43. Interpréter le sens physique de Beg.
1
1 + jwr'
°° a:2 da: 71"
45. Sachant que / 2 = --, calculer Beq pour le filtre de Sallen--Kay de la
0 (1 -- 372) + 4rn2a:2 4rn
question 25. Pour rn << 1, comparer Beq a la largeur a mi hauteur de ce filtre.

44. Calculer Beq pour fi(jw) :

Le détecteur de lumière est un photomultiplicateur (Figure 15) dont la surface 
sensible (cathode),
lorsqu'elle est éclairée, libère des électrons ; ces électrons, constituant un 
courant, (valeur typique pour

11

h..--o--..-...-.----- ----------

[ A A A A
1 : 3 --' 5 Ù Ü Ü.5 l.Ü ] ."

FIGURE 14 -- Bandes passantes équivalentes : a gauche d'un filtre passe bas, a 
droite d'un filtre passe
bande. Les graduations des ares sont linéaires.

un signal de photolumineseenee : i K % 10_12 A) sont focalisés par un 
dispositif d'optique électronique
sur des plaques multiplicatrices d'électrons (dynodes) : le gain G de la chaîne 
est de l'ordre de 106, de
sorte que le courant de signal au niveau de l'anode (iA % Gi K = 10_6 A) est 
finalement recueilli sur
une résistance de charge (Ra oe 103 Q). La tension aux bornes de cette 
résistance est ainsi e % 1mV.

Ü}-'nudes
I'llllli-'Ùnl |"r "------- "ll
% --"'/?\ ä -!'- {T:-'
H '-- ..-ç=" _ *
. ."=ËË \\
ML ï & l:lff_ Enrtie
' ES
. .L: . |||. # H ;.-
r "= " =|-* r:|.__ E _ | | . l=l
"' . J
._ + _ *

Fhfltüûflï.hüdü

FIGURE 15 -- Photomultiplicateur. Un photoélectron arraché de la cathode 
photosensible est démultiplié
par une batterie de dynodes polarisées. La résistance de charge Ra recueille le 
courant anodique
d'électrons secondaires (ES). Source : wikimedia.org/wiki/File :Photomultiplier 
schema de.png.

En réalité, s'ajoutent à cette dernière tension un certain nombre de signaux de 
bruit, parmi
lesquels : d'une part un bruit dit de scintillation, isc, qui existe en 
l'absence de signal et qui est dû a
des émissions d'électrons << dans le noir >> : isc : G (2eidBeq)1/2, où id oe 
10--15A, d'autre part une
tension aléatoire aux bornes de la résistance de charge, VJ : 
(41EURngRaBEURq)1/2 (bruit de Johnson).

46. Vérifier l'homogénéité des relations de définition de iso et de VJ.
4lEUR3TBEURCI

1/2
) , comparer isc et i J a la
Ra

47. Le courant associé au bruit de Johnson étant i J = (
température ambiante.
48. Au signal de photocathode i K est associé le bruit ib : G (2eiKBeq)1/2. 
Calculer le rapport
Signal _ i K
- _ . . . 1 2
BN...  /
donnant une valeur raisonnable de Beg.

et commenter le résultat obtenu, en se

signal sur bruit défini par

12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2014
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école 
d'ingénieur) ;
il a été relu par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) et Julien Dumont 
(Professeur
en CPGE).

Le thème de ce sujet est la photoluminescence et le traitement du signal 
spécifique
qui lui est appliqué. Rappelons que la photoluminescence est l'émission de 
lumière
par un dispositif préalablement excité, ce dernier pouvant revêtir plusieurs 
formes.
Ici, l'excitation est réalisée par un rayon laser. La photoluminescence se 
décompose
en fluorescence et phosphorescence, selon le délai entre excitation et 
réémission. Deux
grandes parties sont proposées.
· La partie 1 cherche à quantifier le nombre de photons réémis. Si elle aborde
la théorie des semi-conducteurs, aucune notion dans ce domaine n'est supposé
connue. Il s'agit de savoir faire des bilans de particules, en utilisant les 
résultats
habituels du cours sur la diffusion, et de raisonner par homogénéité. Cette 
partie
est assez peu classique et teste le sens physique.
· Dans la partie 2, on s'intéresse au traitement du signal, étudié en trois 
sousparties. Tout d'abord, on considère un dispositif de détection synchrone, 
dont le
but est de distinguer le signal du bruit, par un traitement analogique. Ensuite,
on travaille sur un traitement numérique du signal : conversion 
analogiquenumérique par échantillonneur-bloqueur puis conversion 
numérique-analogique
par réseau R-2R. Enfin, le sujet s'achève sur la comparaison de différentes
sources de bruit. En dépit de quelques modélisations hasardeuses, cette partie
est abordable.
Ce sujet est assez atypique. La partie physique reste limitée et s'attache 
surtout
aux principes les plus simples. Elle évalue essentiellement le sens physique et 
la capacité de compréhension. La deuxième partie ne relève pas des sciences de 
l'ingénieur
mais plutôt de la physique appliquée. Les questions y sont relativement bien 
guidées,
mais certaines sont mal posées ou comportent des erreurs. À l'exception des 
questions
faisant appel à un amplificateur opérationnel, ce sujet est conforme à l'esprit 
(et au
contenu) du programme en vigueur depuis la rentrée 2014.

Indications
Partie 1
4 Se demander si les photons incidents ont une énergie supérieure à la largeur 
de
bande interdite.
5 Supposer  constant, résoudre l'équation différentielle constituée par sa 
définition.
7 Considérer l'évolution des photons qui entrent dans un volume infinitésimal.
Le nombre de paires électrons-trous créés par unité de temps est égal au taux
de génération d'électrons photoexcités. Erreur d'énoncé : le facteur 1/h0 ne 
devrait pas être présent dans l'expression (1).
10 Simplifier l'expression fournie à la question 9 en supposant n  n0 + p0 .
11 La variation du nombre d'électrons dans un volume infinitésimal résulte de 
l'entrée
et de la sortie d'électrons par diffusion, de la génération et des 
recombinaisons.
14 Le coefficient de diffusion a la dimension d'une surface par unité de temps.
16 Le flux n'est plus continu en x = 0 : les électrons sont consommés en 
surface.
18 Raisonner de la même manière que dans la question 5 afin de calculer le flux
élémentaire créé par une tranche infinitésimale de matériau. Sommer ensuite tous
ces flux élémentaires au niveau du détecteur.
19 Utiliser l'expression de n(x) obtenue à la question 16.
Partie 2
21 Pour obtenir une moyenne, on calcule une intégrale.
22 L'effet de la modulation est de répliquer les spectres autour de la porteuse.
25 Étudier le comportement asymptotique du module de la transmittance.
33 Éteindre les générateurs et partir du dernier noeud An pour calculer les 
résistances
équivalentes.
35 Erreur d'énoncé : il manque un facteur 2 au dénominateur. Exprimer in en 
fonction de i0 puis utiliser la loi des noeuds à la borne moins de 
l'amplificateur opérationnel monté en additionneur.
43 Penser à la définition de la valeur efficace sous forme intégrale.
45 Pour calculer la largeur à mi-hauteur du filtre, utiliser le fait que 
l'amortissement
est très faible (m  1) pour considérer la bande passante relative x très faible
devant 1 et ainsi effectuer des développements limités.

1. Production du signal
1 Supposons que la puissance P0 émise par le laser se répartisse uniformément 
sur
la section du faisceau. La densité surfacique de puissance de l'excitation vaut 
alors
P0
= 5.106 W.m-2

La loi de Stefan-Boltzmann donne la valeur maximale de la densité surfacique de
puissance PS émise par un corps noir porté à la température T :
PS =  St T4 = 1,5.10-5 W.m-2
Il est légitime de négliger l'émission thermique devant la photoluminescence.
2 Soit F le nombre de photons frappant la face d'entrée de l'échantillon par 
unité
de temps. Chacun de ces photons porte l'énergie h0 . Le flux énergétique 
s'écrit alors
-

 = F h 0 -
u
x
3 L'identité de Poynting est un bilan local de puissance électromagnétique. Le 
terme
E2
B2
+
2
2µ0
est la densité volumique d'énergie électromagnétique dans le vide, milieu 
considéré
ici, et s'exprime en J.m-3 . Notée U dans ce problème, elle vaut N h 0 . Sa 
dérivée est
la densité volumique de puissance. Le vecteur de Poynting s'écrit, par 
définition,
 -
-

-
EB
R =
µ0
Il s'agit du vecteur densité surfacique de puissance sortante. Sa norme 
s'exprime en

-
W.m-2 . Il est noté ici  et a été exprimé à la question précédente. La 
divergence

-
div  a pour unité des W.m-3 et représente la densité volumique de puissance
sortant d'un volume élémentaire. D'après la question précédente,
 (F h 0 )
-
div  =
x
En remplaçant les termes de l'identité de Poynting, on aboutit alors à
0

(N h 0 ) (F h 0 )
+
=0
t
x
et

N F
+
=0
t
x
Cette relation traduit localement la conservation des charges.

4 Comparons l'énergie d'un photon incident à la largeur de bande interdite :
(h 0 )eV = 2 eV > Eg = 1,52 eV
Les photons ont suffisamment d'énergie pour promouvoir un électron du
niveau bas au niveau haut, ce qui permet la création d'une paire électron-trou.

5 Supposons le coefficient d'absorption  uniforme dans le matériau, ce que 
suggère
l'énoncé en fixant sa valeur à 105 cm-1 . Par définition,
=-
d'où

1 dF
d ln(F)
=-
F dx
dx

F(x) = F(0+ ) exp(- x)

Le flux de photons juste après l'entrée dans le matériau est précisement F(0+ 
). Par
définition du coefficient de réflexion, si F0 = F(0- ) représente le flux de 
photons juste
avant réflexion,
F(0+ ) = (1 - r)F0
Comme la puissance incidente vaut P0 = F0 h 0 ,
F(x) = (1 - r)F0 exp(- x)
Remplaçons F0 par son expression :
F(x) = (1 - r)

P0
exp(- x)
h 0 

La grandeur 1/ est homogène à une longueur et représente la profondeur
caractéristique de pénétration des photons dans le matériau.
6 D'après ce qui précède,

F(D)
= exp(- D) = 10-3
F(0+ )

soit

D=

3
ln 10 = 0,7 µm

7 Effectuons un bilan de photons dans un volume élémentaire
dS
dS
sur un intervalle de temps dt. Les
= F(x + dx, t)
photons entrant en x peuvent soit F(x, t) =
Ge
sortir en x + dx, soit disparaître
en créant une paire électron-trou.
x
x + dx
Le flux de photons est noté F. Le
taux de génération de paires électron-trou Ge correspond au nombre de photons
absorbés par unité de volume et de temps. Dès lors, traduisons qu'une partie des
photons qui entrent ressortent et que l'autre partie est absorbée :
F(x) dS dt = F(x + dx) dS dt + Ge dx dS dt
soit

0=

F
dx dS dt + Ge dx dS dt
x

d'où

F
+ Ge = 0
x

Or,

F
= - F = -(1 - r) F0 exp(- x)
x

et par conséquent Ge =  F0 (1 - r) exp(- x) = G0 exp(- x)

(1)

Le facteur 1/h0 présent dans l'expression (1) fournie par l'énoncé est en trop. 
Sa présence rend cette expression inhomogène.