X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2012

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2012

MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR ­ (X)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Pompe à chaleur
La pompe à chaleur est un dispositif qui, en mode "chauffage" puise l'énergie 
thermique dans
l'air, dans le sol ou dans l'eau des nappes phréatiques, pour la transférer 
vers le local à réchauffer.
Elle est constituée d'un circuit fermé dans lequel circule un fluide 
caloporteur à l'état liquide,
gazeux ou biphasé selon les éléments qu'il traverse. La circulation se fait en 
régime permanent ;
on néglige les variations d'énergies cinétique et de pesanteur.
Les trois parties de l'épreuve sont indépendantes et traitent successivement de 
la thermodynamique de la pompe à chaleur, d'une étude mécanique du compresseur 
et de la régulation
thermique de l'installation.

1

Thermodynamique de la pompe à chaleur

1.1

Diagramme de Mollier

Le diagramme de Mollier (figure 1) représente le logarithme de la pression p en 
fonction de
l'enthalpie massique h du fluide caloporteur et permet ainsi de représenter 
l'évolution de l'état
thermodynamique du fluide au cours du cycle de la pompe à chaleur.
1. Montrer qu'à pression constante, la température T est une fonction 
croissante de h. Est-elle
strictement croissante ?
2. Comment lit-on sur ce diagramme ce qui se nommait autrefois la chaleur 
latente massique
de vaporisation à la pression p ?
3. Cette question concerne les courbes isothermes dans le diagramme de Mollier.
1

" Point
ln(p) critique

Vapeur
humide
Zone de

changement d'état

Ligne
d'ébullition

Ligne de
vapeur saturée

h

FIG. 1: Diagramme de Mollier simplifié.

@) Quelle est a priori leur allure pour la phase liquide, supposée 
incompressible et
indilatable ?

b) Quelle est a priori leur allure pour la phase gazeuse, modélisée comme un 
gaz parfait ?
c) Quelle est a priori leur allure dans la zone de changement d'état ?

4. Rappeler l'expression de la différentielle de l'enthalpie massique h, 
considérée comme
fonction de l'entropie massique s et de la pression p. On notera U le volume 
massique.

5. Montrer que, dans le diagramme de Mollier, la pente des courbes 
isentropiques est positive.

6. Montrer que, sur une courbe isenthalpique du diagramme de Mollier, 
l'entropie est une
fonction décroissante de la pression.

7. On note hA et hB les enthalpies massiques du fluide aux points A et B du 
circuit. Le fluide
reçoit d'une part le travail massique utile, fourni par le compresseur, w (et 
qui ne comprend donc
pas le travail des forces de pression nécessaire pour faire entrer et sortir le 
fluide du volume de
contrôle), d'autre part l'énergie thermique q. Montrer que hB -- hA : w + q.

1.2 Cycle de la pompe à chaleur

Le cycle de la pompe à chaleur se compose de quatre étapes (figure 2), en 
dehors desquelles
les échanges thermiques ou mécaniques sont supposés nuls :

-- Compression : le gaz subit une compression adiabiatique et réversible qui 
l'amène de l'état
@ (p1,T1) à l'état @ (pg, T2). On note w le travail massique reçu par le fluide.

-- Condensation : le gaz se liquéfie totalement à pression constante pg jusqu'à 
la température
T3. Il cède de l'énergie à la source chaude, et l'on note (123 < 0 l'énergie massique échangée. -- Détente : le fluide traverse un tuyau indéformable et ne permettant pas les échanges ther-- miques. La pression du fluide redescend jusqu'à p1 et sa température vaut alors T4. P1 p2 191 T1 Compresseur T2 p2 C141 6123 :> Évaporateur Condenseur l:{>
p4 : p1 T4 T3 193 = p2

@ Détendeur @

FIG. 2: Cycle frigorifique d'une pompe à chaleur; les flèches épaisses 
indiquent le sens des trans-
ferts énergétiques.

-- Éuapomtion : le liquide s'évapore totalement a pression constante 101 
jusqu'à la température
T1. Il reçoit l'énergie massique 6141 > 0 de la source froide.

8. Montrer que la phase de détente est isenthalpique.

9. Représenter sur un diagramme de Mollier (ln p, h) les quatre étapes du 
cycle, ainsi que les
quantités (123, (141 et w.

10. Quelle est relation liant les quantités (123, (141 et w? Représenter ces 
quantités sur le
schéma de la question 9.

11. Justifier la définition de l'efficacité de la pompe a chaleur 77 : --q23/w 
et montrer que
77 > 1.

12. Le Document Réponse représente le diagramme de Mollier d'un fluide 
caloporteur cou--
rant. Dans la perspective de vos réponses a la question 3, la phase liquide y 
apparaît--elle incom--
pressible et indilatable ? La phase gazeuse y apparaît--elle comme un gaz 
parfait ?

13. On donne 101 = 0,3 MPa, pg : 1 MPa, T1 : 5°C et T3 : O°C. Représenter le 
cycle
correspondant dans le Document Réponse, à rendre avec votre copie. Pour chacun 
des points @ a
@ du cycle, indiquer dans un tableau les valeurs numériques respectives de 
l'enthalpie massique,
la pression et la température. Indiquer aussi l'état du fluide en chacun de ces 
points.

14. À partir du diagramme de Mollier, estimer numériquement l'efficacité de la 
pompe a
chaleur. Comparer la valeur trouvée a celle qui correspondrait a un cycle de 
Carnot fonctionnant
entre les mêmes températures.

15. Calculer le débit massique du fluide permettant d'assurer une puissance de 
chauffage de
4 kW.

1.3

Cycle du compresseur

Fig. 3: Schéma de principe d'un compresseur (ici, en phase d'aspiration). Les 
éléments constitutifs en sont le cylindre, le piston, le clapet d'aspiration 
(A), le clapet de refoulement (R), la
bielle et le volant.
Le compresseur, supposé parfaitement calorifugé, assure la circulation du 
fluide caloporteur
entre les circuits basse pression et haute pression (figure 3). Le cycle du 
compresseur, supposé
réversible, s'effectue en trois temps :
­ Aspiration : Le clapet (A) est ouvert et le clapet (R) fermé. Le piston, de 
section S, descend, le fluide pénètre dans le cylindre.
­ Compression : Les deux clapets sont fermés. Le piston monte. La pression du 
fluide augmente.
­ Refoulement : Lorsque la pression dans le cylindre atteint la pression p2 , 
(R) s'ouvre et
le fluide est évacué sous la pression p2 , jusqu'au moment ou le piston atteint 
la fin de sa
course. On suppose alors qu'il n'y a plus de fluide dans le cylindre (le volume 
dit mort est
nul).
Puis, le clapet de refoulement se ferme et un nouveau cycle commence.
On suppose que la fermeture de (R), l'ouverture de (A) et la chute de la 
pression de p2 à p1 sont
instantanées et simultanées.
16. En notant v1 et v2 les volumes massiques au début et à la fin de la phase 
de compression,
représenter dans un diagramme (p, v) les trois phases de fonctionnement du 
compresseur.
17. Comment détermine-t-on, sur ce diagramme, le travail massique fourni au 
cours d'un
cycle ?
18. La phase de compression est isentropique ; le fluide est considéré comme un 
gaz parfait
dont les capacités calorifiques massiques isobare cp et isochore cv sont 
constantes. Déterminer
4

le travail reçu par ce fluide pour un aller-retour du piston en fonction de p1 
, v1 , p2 , v2 et de
 = cp /cv .
19. On donne p1 = 0, 3 MPa, p2 = 1 MPa, T1 = 5  C et  = cp /cv = 1, 12. 
Calculer T2 .
Comparer avec la valeur déterminée graphiquement à la question 13.

2

Différentes technologies de compresseur

2.1

Dispositif bielle manivelle "classique"

La figure 4 présente certains éléments de la modélisation du système de 
compression : la
rotation autour de O du volant manivelle (1) par rapport au bâti (0) est 
paramétrée par l'angle
1 , celle autour de B de la bielle (2) est paramétrée par l'angle 2 que fait 
cette dernière avec l'axe
~x0 . En B se trouve une articulation entre la bielle et le piston (3) dont la 
translation rectiligne
est paramétrée par la distance OB, notée x3 . On pose OA = e, (c'est 
l'excentrique) et AB = .
On introduira au besoin les quantités sans dimension k =
piston est noté D. L'origine des temps t est telle que 1 (0) = 0.

e
x3
et X3 =
. Le diamètre du

Fig. 4: Schéma de compresseur classique.
20. Le volant (1) est animé d'un mouvement de rotation de vitesse angulaire 
constante .
a) Établir la relation, dite loi entrée sortie, qui relie x3 à 1 .
1
b) Tracer l'allure de x3 (1 ) sur un tour du volant pour k = .
2
c) Exprimer littéralement la cylindrée V de la pompe (volume balayé par le 
cylindre).
21. Exprimer la vitesse v3 du piston par rapport au bâti en fonction de 1 , de  
et des grandeurs géométriques pertinentes. En déduire l'expression du débit 
instantané q du fluide refoulé
par la pompe ; tracer l'allure de q (1 ) en précisant les phases de refoulement 
et d'aspiration.
22. Le volant est entraîné en rotation à une vitesse  = 1800 tr.mn-1 , générant 
un déplacement alternatif du piston à une fréquence élevée, ce qui ne va pas 
sans difficulté même pour
un piston de masse M = 640 g. La pression durant la phase de refoulement est p 
= 1 MPa.
5

L'excentrique e vaut 20 mm et le diamètre D du piston est de 40 mm.
a) En précisant chaque fois les hypothèses que vous serez conduit à formuler, 
faire le
bilan des actions mécaniques agissant sur le piston.
b) Évaluer numériquement les actions dues respectivement à la pression et à 
l'accélération. Conclure sur l'importance relative des forces de pression et 
des effets dynamiques.
c) Peut-on déterminer totalement l'action mécanique de la bielle sur le piston 
avec ce
seul bilan ? Proposer un isolement supplémentaire afin d'obtenir ce résultat.
23. Compte tenu de la valeur de rapport k, quelle est la valeur maximale de 
l'angle entre
la bielle et le piston ? Discuter les éventuels problèmes que l'action de 
contact "en biais" peut
engendrer.

2.2

Dispositif à piston oscillant

Le système à piston oscillant représenté figure 5 permet de réduire le problème 
dû à l'angle
résiduel entre la bielle et le piston (2). La rotation de l'ensemble oscillant 
{piston-cylindre} est
paramétrée par l'angle 2 de la figure. L'articulation entre le cylindre (3) et 
le bâti (0) se fait au
point B. La translation relative entre (2) et (3) est paramétrée par la 
distance AB notée x32 . La
e
longueur OA= e et la distance OB= h sont constantes. On pose q = .
h

Fig. 5: Schéma de compresseur à piston oscillant.

24. Établir la relation reliant x32 à 1 . Tracer l'allure de x32 (1 ) pour q =

2.3

1
et 0  1  2.
2

Comparaison des deux dispositifs

On note a3 l'accélération du piston classique et a32 l'accélération relative du 
piston oscillant
par rapport au cylindre ; cette dernière grandeur se réfère donc à un repère 
non galiléen. La
figure 6 représente a3 et a32 en unité adimensionnée et pour un tour de volant 
(0  1  2).
25. Commenter la figure 6. Le dispositif à piston oscillant est-il avantageux 
du point de
vue cinématique ? Sans développer aucun calcul, proposer une manière de 
quantifier l'intérêt du
6

FIG. 6: Gauche : accélération du piston par rapport au bâti ( en unité réduite 
) en fonction de 91.
Droite : accélération relative du piston par rapport au cylindre ( en unité 
réduite), en fonction

de 91.

système {piston et cylindre} oscillants du point de vue des actions mécaniques 
exercées sur le
cylindre.

3 Contrôle en température

Le local, de capacité calorifique constante CT, est chauffé par une pompe a 
chaleur dont la
puissance de chauflfe est notée PQ. La température extérieure est constante, on 
la note T0.

L'utilisation de la pompe nécessite une boucle d'asservissement du régime de 
fonctionnement
a la température du local. Il faut pour ce faire considérer le système de 
transfert thermique, le
système électrique qui pilote PQ et le couplage de ces deux systèmes.

Notations pour toute la suite. Les grandeurs temporelles et leurs transformées 
de La--
place seront désignées par le même symbole, ces dernières étant surmontées d'un 
tilde (...) : la
transformée de Laplace de Z (t) sera ainsi notée É (p) On supposera que les 
conditions initiales
des grandeurs temporelles sont nulles (Z (O) = 0), ce qui, sans nuire a la 
généralité du problème,
rend plus commode l'écriture des transformées de Laplace des diverses dérivées.

3.1 Première modélisation

26. La boucle d'asservissement est telle que la tension d'alimentation du 
moteur, VC, est
proportionnelle à e, écart entre la température cible, TC, et la température 
instantanée du local,
TL, supposée uniforme : VC : K C R (TC ---- TL) ; d'autre part, un modèle 
simplifié de moteur établit
que la puissance fournie au local par le condenseur de la pompe a chaleur 
s'écrit PQ : onC, de
sorte que, en posant 5 == dKCR,

PQ(É) =fi(Tc--Tt(t)) - (1)

La puissance des fuites thermiques, ®, est supposée être proportionnelle à 
l'écart entre TL et
T0; notant H (H > O) le coefficient de proportionnalité, on a donc @ : (TL -- 
T0).

a) Établir l'équationdifférentielle relative à TL(t) et représenter le 
schéma--bloc du

système faisant apparaître la contre-réaction. Préciser à quelle condition sur  
le système est
stable.
b) Exprimer l'erreur statique S du dispositif (réponse à une consigne échelon). 
Comment la réduire ? À quoi cela correspond-il physiquement ?
27. Quel élément correcteur insérer dans le schéma-bloc de la question 26, et à 
quel endroit,
pour ramener cette erreur statique à 0 ?

3.1.1

Deuxième modélisation

Convention. Dans tout ce qui suit, l'origine des températures sera T0 ; en 
d'autres termes,
ce que l'on nommera désormais température T sera en réalité la différence entre 
la température
vraie T et T0 ; on peut aussi bien dire que la température extérieure est fixée 
à 0  C. Avec cette
convention, la puissance des fuites thermiques s'écrit  = HTL .
Le moteur électrique alimentant le compresseur (figure 7) est caractérisé par 
quatre grandeurs : le couple moteur Cm (t) (valeur algébrique de la projection 
du moment des forces de
Laplace sur l'axe de rotation), la vitesse angulaire (t), la tension 
d'alimentation Vc (t) et le
courant i(t). Ce moteur est le siège d'une tension induite E (t). On note R la 
résistance électrique du circuit (comprenant notamment celle de l'induit), J le 
moment d'inertie des parties
mobiles ramené à l'axe de rotation et Cr (t) l'ensemble des couples exercés sur 
l'axe de rotation
par les éléments autres que le moteur. Aucun autre moment utile résistant 
n'interviendra dans
les équations écrites en variable de Laplace (en particulier, le moment utile 
Cu lié à l'action
de la pression dans le compresseur est considéré comme constant en moyenne sur 
un tour ; il
n'interviendra donc pas en variable de Laplace). On admet les relations 
constitutives suivantes,
où les constantes K et fr sont positives :
Vc (t) = E (t) + Ri (t)
E (t) = K (t)
Cm (t) = Ki (t)
Cr (t) = fr 
J

d
dt

= Cm - Cr (-Cu ) .

Fig. 7: Schéma électrique simplifié du moteur.
La puissance PQ du moteur est proportionnelle à la vitesse de rotation , ce que 
l'on note,

8

en introduisant la constante positive A,
(2)

PQ (t) = A(t) .
28. Établir l'expression de la fonction de transfert tension-vitesse sous la 
forme
ke
 (p)
,
=
1 + e p
Vc (p)

(3)

en exprimant ke et e en fonction des données. Que devient cette fonction de 
transfert dans la
limite R  0 ? Préciser alors la nature du modèle simplifié de la question 26.
29. Un correcteur (C) (cf. question 27), de fonction de transfert C (p), 
établit le lien
1
Vc (t) = Kc  (t) +
Ti

Zt

 (u) du ,

(4)

où Kc et Ti sont, à ce stade, des paramètres libres. Exprimer C (p).
30. Exprimer PQ (p) en fonction de Tc (p) et de TL (p).
31. Exprimer le bilan thermique de la question 26 a en termes de variable de 
Laplace.
32. En régime harmonique, le carré du module de la fonction de transfert du 
système en
boucle fermée est
TL (j)
|F (j)| =
Tc (j)
2

2

.

(5)

Calculer Kc et Ti de telle sorte que le dénominateur de cette grandeur soit (à 
une constante
Å ã4

multiplicative près) D() = 1 +
.
0
33. Exprimer 0 , préciser la réponse indicielle du système ainsi réglé et 
indiquer l'intérêt
d'un tel dénominateur pour la stabilité du système.

9

[fifi/m] "mm
099 0179 ou 009 0817 0917 01717 0z17 0017 08EUR 095 0175 cm 005 osz 0% 0% 0zz 
00z 081 091 0171

09'1 017'1 0z'1 00'1 = S
091 0171 %; 001 03 09 017 015 0 0257 0177 06'0 08'0 0L'0 09'0 os'0 010 050 oz'0 
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