X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2011

Thème de l'épreuve Quelques aspects de la mesure du temps
Principaux outils utilisés asservissements, mécanique, électronique, équations différentielles non linéaires

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2011 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR -- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
***

Quelques aspects de la mesure du temps

Ce problème est constitué de cinq parties largement indépendantes. La première 
partie modé--
lise sommairement une horloge a eau, ou clepsydre. La deuxième partie 
s'intéresse a l'entretien
du mouvement et a la stabilité d'une montre mécanique. La troisième et la 
quatrième partie
concernent respectivement le schéma électrique équivalent et l'asservissement 
d'une montre a
quartz. La cinquième partie modélise l'entretien du balancier par un circuit 
électronique non
linéaire.

I Clepsydre

Le fonctionnement des premières horloges présentant une précision satisfaisante 
repose sur l'écou--
lement d'un fluide a débit massique constant. La détermination de la masse 
totale obtenue donne
ainsi une mesure du temps écoulé. Les clepsgdres étudiées dans cette partie 
(figures 1 et 2) uti--
lisent l'écoulement de l'eau.

R | À

0 z(t)

Figure ] Gauche : Clepsgdre grecque reconstituée (fin du Ve siècle au. JO.). 
Droite : Le modèle.
L'aæe z est orienté vers le haut. L'orifice a un profil convenable et une 
longueur adéquate pour
que l'accélération due a la surpression se termine a la sortie, ou la pression 
est PO.

Réservoir A
rempli
périodiquement ;;...

Orifice /l

calibré

Règle

Flotteur graduee

Figure 2 : Clcpsydrc de Ctésibios.

On considère (figure 1) un récipient cylindrique de hauteur H et de section 
circulaire de rayon
R, percé au fond d'une ouverture circulaire de rayon 7" en son point le plus 
bas et rempli d'eau de
masse volumique uniforme et constante ,a. On note z(t) la cote de l'eau a 
l'instant t. L'intensité
du champ de pesanteur, localement uniforme, est notée g.

Nous nous intéressons dans ce qui suit au système constitué par tout le fluide, 
entre les
instants t et t + dt correspondant a l'écoulement d'une masse dm.

1. Sous l'hypothèse que la quantité d'eau de masse dm ayant disparu de 
l'altitude de surface
z(t) est sortie par l'orifice, d'altitude nulle, donner le travail des forces 
de pesanteur.

2. Les parois du récipient sont rigides, l'écoulement se fait sans frottement 
au niveau des
parois. Que vaut le travail des forces exercées par les parois du récipient ?

3. Le fluide est incompressible, a la surface libre, où la pression 
atmosphérique P0 est
constante et uniforme, le déplacement volumique est noté dV. Exprimer le 
travail élémentaire des
forces de pression a ce niveau. Sous l'hypothèse que la pression en sortie est 
aussi Po, exprimer
le travail total des forces de pression.

4. En notant Un la vitesse en surface de la tranche de masse dm et US la 
vitesse en sortie du
même élément, calculer la variation d'énergie cinétique associée a cet 
écoulement.

5. En admettant que la variation calculée a la question 4 est la contribution 
essentielle a
la variation d'énergie cinétique (ce qui revient a supposer que l'accélération 
de l'écoulement est

suffisamment petite), montrer que, sous l'hypothèse d'un débit en sortie 
constant, la forme de la
Å ã4
z
r
= 1-
clepsydre devrait être donnée par la relation
. Exprimer z0 en fonction de vs et
z0
R
de g.
6. Ce modèle trouve rapidement ses limites : tracer rapidement l'allure de la 
relation z(R)
établie à la question 5, estimer une valeur numérique plausible de z0 et 
calculer la durée de
l'écoulement associé. Commenter ces résultats et expliquer brièvement le rôle 
des trois récipients
du montage de Ctésibios (figure 2).
II Mouvement horloger mécanique
Le temps se mesure ici par le nombre d'oscillations accomplies par un 
oscillateur mécanique
régulé. Dans une montre mécanique bracelet, l'énergie est fournie au mécanisme 
(figure 3) par
un ressort appelé ressort de barillet, ou ressort moteur. Ce ressort, contraint 
lors du remontage
de la montre, constitue la réserve d'énergie du mécanisme. Au fur et à mesure 
que ce ressort
se détend, le couple qu'il exerce sur les autres parties du mécanisme diminue, 
de sorte que des
précautions sont nécessaires pour assurer l'isochronisme des oscillations.

Figure 3 : Éléments d'une montre mécanique :
1 Barillet (le ressort de barillet, réservoir d'énergie, est caché).
2 Rouage, transmettant la puissance.
Échappement : {3 Roue d'ancre, transmettant les impulsions au balancier + 4 
Ancre}.
5 Ressort spiral. 6 Balancier oscillant, divisant le temps en parties égales.
Le rouage est constitué d'une série de roues dentées engrenant les unes avec 
les autres. Le
mouvement d'ensemble est réglé par les oscillations de la masse de 
l'oscillateur régulateur, ou
balancier. La liaison entre cette roue et le régulateur s'appelle 
l'échappement. Le rôle de l'échappement est double : d'une part faire avancer 
la dernière roue à chaque demi-oscillation du balancier,
d'autre part restituer au balancier l'énergie dissipée par les diverses sources 
d'amortissement et
garantir de ce fait au régulateur une amplitude oscillatoire constante.
L'échappement libre à ancre (figure 4) est constitué d'une roue à dents évidée 
solidaire de
la dernière roue du rouage et d'une ancre mobile autour d'un axe lié au pendule 
par une pièce
intermédiaire nommée fourchette. L'ancre est mobile autour d'un axe passant par 
son centre
de masse ; son mouvement est commandé par l'action sur sa fourche du goujon 
porté par le
3

balancier. Dans la figure 4, la dent D1 échappe et, par pression sur l'incliné, 
donne a l'ancre
une impulsion, qui va être transmise au balancier : lorsque l'ancre a tourné de 
quelques degrés,
elle est arrêtée par la dent D2, qui vient appuyer sur la palette. Le balancier 
tourne alors d'une
vingtaine de degrés et le goujon sort de sa fourche. Dès lors, le balancier 
oscille librement, le
goujon vient heurter le bec de la fourche et le mouvement qu'il communique 
ainsi a l'ancre fait
échapper la dent D2.

Ancre

Roue d'ancre

Incliné :

Figure 4 : Vue d'ensemble du système fourchette-ancre-roue d 'ancre.

Le balancier (figure 5) oscille sous l'action d'un ressort spiral. Il est 
constitué d'une couronne
circulaire de masse m0 et de rayon moyen r0. Cette couronne est lestée de 
quatre masselottes
identiques cylindriques de masse ml. La distance r1 du centre de gravité des 
masselottes au
centre O de la couronne est réglable.

Figure 5 Gauche : Schéma du balancier. Les rayons partant du centre 0 sont 
considérés comme
étant de masse nulle. Droite : Un eæemple de réalisation de balancier, équipé 
de son ressort spiral.

Le ressort spiral, (figure 6), encastré en un point B, est composé d'un ruban 
de longueur L, de
largeur EUR et d'épaisseur e; son autre extrémité, voisine de O, est mobile 
uniquement en rotation
d'angle 9 selon un axe ?: perpendiculaire a la spirale et passant par O.

F figure 6 : Ressort spiral & spires non jointives.

Dans la position de repos du ressort, prise comme référence angulaire, aucun 
couple n'est
exercé sur l'axe. Le ressort spiral est fixé à une extrémité sur l'axe central 
du balancier et a
l'autre extrémité sur la platine supportant le mouvement. Les rayons (figure 5) 
sont de masse
négligeable. Les frottements avec l'air et le support de l'axe sont négligés.

On note C la valeur du moment exercé par le ressort sur l'axe ?: en O pour une 
rotation de
. . . C 1 Ele3 _
son axe d'un angle 9 par rapport a sa position de repos. La relation /<: : ? : 
E L définit
/<:, constante de raideur du ressort. Le coefficient E caractérise l'élasticité 
du matériau en régime
linéaire.

Données numériques : f = 4 Hz pour un aller--retour, d'une amplitude totale de 
300 de--
grés (150 degrés pour l'aller et 150 pour le retour), m0 = 15 >< 10_6 kg, m1 = 
3 >< 10_6 kg,
...=5>< 10-3 m, r1=4>< 10-3 m, e=50>< 10-6 m,l=200>< 10-6 metE=2>< 1011 Nul--?.

7. On souhaite ajuster la fréquence d'oscillati0n du balancier sur un multiple 
entier du Hertz.
Sur quels paramètres mécaniques peut--en agir pour ce réglage ?

8. Par rapport a un fonctionnement idéal, la déviation de l'heure indiquée par 
la montre
au bout d'une journée est 515 = 5 s. Calculer le déplacement or... à appliquer 
sur les quatre
masselottes pour corriger cette déviation. Expliquer alors pourquoi l'horloger 
ne règle pas la
fréquence par les masselottes mais par l'ajustement de la longueur utile du 
ressort spiral.

9. La température du balancier et de son ressort augmente de AT : 10 degrés. Le 
balancier et
ses masselottes sont en laiton et le ressort spiral en acier. Les coefficients 
de dilatation linéaire de
ces deux matériaux sont respectivement {laiton : 18, 5 >< 10_6 K_1 et {acier : 
12, 0 >< 10_6 K_1.
En supposant que cette dilatation est le principal responsable du dérèglement 
de l'horloge,
exprimer le changement relatif de fréquence d'oscillati0n du balancier en 
fonction de ces deux
coefficients. Calculer numériquement la variation relative de fréquence 
correspondante et la dérive
temporelle, définie comme la déviation de la montre au bout d'une journée.

10. Quelle est la nature de la liaison entre l'ancre et la roue d'ancre lors de 
l'impulsion ?

III Horloge à quartz
Lorsqu'il est placé dans un champ électrique, un cristal de quartz 
convenablement taillé se déforme ; réciproquement, si un cristal de quartz est 
soumis à des efforts mécaniques, une différence
de potentiel apparaît entre deux de ses faces. Ce couplage électromécanique, 
dit piézoélectrique,
est à la base des horloges à quartz.
Dans le cadre d'une application horlogère, l'application d'une tension variable 
aux bornes
du composant va provoquer une vibration mécanique qui va conduire à 
l'apparition de charges
et donc d'un courant. À une résonance mécanique du système est ainsi associée 
une résonance
d'intensité. Un diviseur de fréquence permet enfin d'obtenir la fréquence de 
base de 1 Hz.
Un circuit électrique équivalent au cristal de quartz est représenté figure 7. 
Le condensateur
C0 est la capacité du composant et les éléments C1 , L1 et R1 sont la 
représentation sous forme
d'une impédance électrique des effets piézoélectriques associés à la vibration 
du quartz. Les
éléments et leurs valeurs sont notés de la même manière, par exemple, la valeur 
de la capacité
1
L1  s
.
du condensateur C0 est notée elle aussi C0 . On pose s = 
et Q =
R1
L1 C1
C0
C1

L1

R1

Figure 7 : Schéma électrique équivalent d'un oscillateur à quartz.
11. Adoptant les valeurs C1 = 3, 00 × 10-15 F, L1 = 7, 86 × 103 H, R1 = 32 × 
103  et
1
C1
C0 = 1, 50 × 10-12 F. Calculer s = 
, p = 1 +
s et les fréquences associées fs
C0
L1 C1
L1  s
.
et fp ; calculer Q =
R1
12. Dans cette question seulement, la résistance R1 est nulle ; l'impédance 
complexe du circuit
1
1 - x2

C1
se met alors sous la forme Z =
, où x =
et a = 1 +
; tracer l'allure de
2
2
jC0 s x a - x
s
C0
la réactance X(x) = Im [Z(x)]. Dans quels domaines de fréquences le quartz, 
dans ce modèle, se
comporte-t-il comme un condensateur ? Comme une inductance ?
13. Au début des calculs conduisant à l'impédance complexe de la question 12, 
l'on opère
R1
formellement la substitution L1  L1 +
. Quel circuit électrique décrit-on ainsi ?
j
14. Identifier et commenter les courbes de la figure 8, qui représentent les 
composantes de
l'impédance complexe au voisinage de la pulsation de résonance parallèle p . On 
admettra les
R-1
C1
Q
R1
relations Z(s ) =
et Z(p ) 

.
j C0
C0 (C1 + C0 )s
(R1 C0 s )2
1+
Q C1

6

u

Figure 8 : Parties réelle et imaginaire de l'impédance électrique du quartz au 
voisinage de la
résonance parallèle. Les ordonnées sont normalisées
de la courbe en pointillés, soit
Å au maximum
ã

p
à 3, 27 × 108  = 327 M ; en abscisse, u = Q
-
= Q(x - a). La longueur réelle du
s s
1
trait épais sur l'axe des abscisses est .
Q
Ç

å

Z(x)

15. La figure 9 représente log
en fonction de
. Pourquoi, pratiquement, opèreZ(1)
s
t-on à la fréquence fs ? Justifier le choix de la valeur numérique fs = 32768 
Hz pour la fréquence
de travail des cristaux de quartz dans les montres.
Å

ã

Z(x)
Z(1)

x
Figure 9 : Module de l'impédance équivalente du cristal de quartz utilisé.
16. Au voisinage de la température T0 = 300 K, la fréquence de résonance du 
quartz utilisé,
f0
= -4 × 10-8 (T - T0 )2 . Calculer
notée f0 , varie en fonction de la température selon la loi
f0
la dérive d'une montre à quartz sur un an pour un écart T - T0 de température 
constant, égal à
10 . La montre avancera ou retardera-t-elle ?
IV Asservissement d'une horloge à quartz à un signal de référence
La stabilité à long terme d'une horloge portable à quartz en milieu non 
contrôlé est impossible
à garantir. Il est alors nécessaire de recourir à sa synchronisation avec une 
horloge de référence.
7

L'utilisation conjointe d'un oscillateur à quartz ayant une excellente 
stabilité à court terme et
d'un signal GPS qui possède une dérive de quelques 10-5 s · an-1 permet de 
réaliser un système
peu coûteux, autonome, précis et stable à l'aide d'une boucle à verrouillage de 
phase.
Une boucle à verrouillage de phase est un système bouclé dans lequel la 
grandeur asservie est
la phase (t) d'un signal de la forme A(t) = A cos[(t)]. La pulsation 
instantanée de ce signal est
d
définie par (t) =
. La boucle asservit la pulsation d'un oscillateur, ici l'oscillateur à quartz,
dt
sur celle d'un signal dit de référence, ici le signal GPS.
Les éléments de ce circuit sont, d'une part un comparateur de phase, constitué 
d'un multiplieur et d'un filtre passe-bas, d'autre part un oscillateur contrôlé 
en tension, ou OCT. Cet
élément est un circuit dont la fréquence d'oscillation  est commandée par une 
tension électrique
u(t) ; pour des signaux suffisamment petits, (t) = 0 + K0 u(t), avec K0 > 0 ; 
la pulsation 0
est la pulsation dite libre de l'oscillateur.
En régime dit verrouillé, les fréquences des signaux appliqués sur les deux 
entrées du comparateur de phase sont identiques, les phases de ces deux signaux 
pouvant être différentes.
17. Pourquoi, si le but est d'obtenir des fréquences identiques, asservir une 
phase et non pas
une fréquence ?
Le multiplieur représenté sur la figure 10 par le symbole , attaqué 
simultanément par
la tension de référence vr (t) = Vr cos(r t + r ) et par la tension issue de 
l'oscillateur à
quartz vQ (t) = VQ cos[Q t + Q (t)], donne en sortie le signal v1 (t) = 2kVr 
(t)VQ (t), où k
est une constante positive. L'asservissement est réalisé lorsque, 
simultanément, Q = r et
 = r - Q est constant. Après filtrage, seule subsiste la composante basse 
fréquence du
produit, soit u(t) = kVr VQ cos[r (t) - Q (t)]. C'est la tension de commande 
appliquée à l'OCT.

v1 (t) = 2k vr (t)vQ (t)
Filtre passe-bas

vr (t) = Vr cos[r (t)]
= Vr cos(r t + r )

vQ (t) = VQ cos[Q (t)]
= VQ cos(Q t + Q )

u(t)
OCT

Sortie en fréquence
(t) = 0 + K0 u(t)
Figure 10 : Boucle à verrouillage de phase.
u
. En régime linéaire d'asservissement, Q = r ,
(r - Q )
la valeur commune étant 0 ; justifier que le point d'accrochage est alors l'un 
des points A ou B
de la figure 11 et identifier le point stable du fonctionnement.
18. Exprimer la sensibilité  =

8

-/2

/2

A

B

r -Q

Figure 11 : Représentation de cos(r - Q ).
On suppose à présent que la pulsation de référence n'est pas constante, mais 
qu'elle évolue
dr
lentement et l'on pose (t) = r (t) - 0 =
- 0 . La fonction de transfert du filtre est, en
dt
1
. On rappelle enfin les notations et les relations générales
coordonnées de Laplace, F (p) =
1 + p
vr (t) = Vr cos[r (t)] = Vr cos[r t + r ]
vQ (t) = VQ cos[Q (t)] = VQ cos[Q t + Q ]
err (t) = r (t) - Q (t)
u(t) = kVr VQ cos[err (t)]
Q (t) =

dQ
= 0 + K0 u(t)
dt

r (t) =

dr
dt

19. Que faut-il supposer sur la valeur de r  pour justifier la relation 
approximative
du
u+
= kVr VQ cos[err (t)] ?
dt
20. On pose K = kK0 Vr VQ . Établir l'équation différentielle

d2 err derr
d
+
+ K cos err = (t) + 
.
dt2
dt
dt

Plage de verrouillage, plage de capture
Pour faciliter le traitement des questions 21 et 22 on pourra, dans un premier 
temps, considérer que le filtre passe-bas est de gain unitaire pour les 
fréquences inférieures à une fréquence
fc et de gain nul pour les fréquences supérieures à fc .
21. Que devient chacun des termes de l'équation donnée à la question 20 en 
situation de
verrouillage ? En admettant que, une fois verrouillée, la boucle peut suivre 
les variations lentes
de la pulsation d'entrée, montrer que ce suivi ne peut se faire que dans une 
plage de pulsation,
que l'on déterminera.
22. Pour t < 0, vr (t) = 0, la tension au sortir du multiplieur est nulle et 
l'OCT oscille à
sa fréquence libre 0 . Au temps t = 0, le signal vr (t) = Vr cos[(0 + )t] est 
appliqué à l'une
des entrées du multiplieur. On suppose satisfaite l'inégalité | |  1 ; on 
constate que la boucle
9

se verrouille. Montrer que ce verrouillage peut s'effectuer sur une bande de 
pulsations que l'on
caractérisera qualitativement.
Fonction de transfert en régime linéaire
La figure 12 représente le schéma fonctionnel de la boucle et indique les lois 
de comportement
des trois éléments, en fonction de la coordonnée de Laplace p : le comparateur 
de phase, représenté
par un cercle, le filtre, dont la fonction de transfert est noté F et 
l'oscillateur contrôlé en tension.
Ce dernier réalise donc une intégration entre la tension appliquée à son entrée 
et sa phase de
sortie.
r (p)

verr (p) = KD err (p)

F (p)

err (p) = r (p) - Q (p)
u(p) = F (p)verr (p)

Q (p)
Q (p) = K0

OCT

u(p)
p

Figure 12 : Schéma fonctionnel de la boucle à verrouillage de phase.
u(p)
N (p)
sous la forme
, en déterminant
r (p)
1 + (p)N (p)
N (p) et (p). En déduire que la fonction de transfert entre la fréquence 
d'entrée r (p) et la
u(p)
KD F (p)
tension de sortie u(p) est
=
. Comment nomme-t-on un tel système ?
r (p)
p + KD K0 F (p)
23. Exprimer la fonction de transfert

24. Le filtre utilisé est un filtre passif comportant un pôle, dont la fonction 
de transfert est
1
Q (p)
F (p) =
. Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte G0 (p) =
en fonction
1 + p
r (p)
de F (p) et de KT = K0 KD . Représenter rapidement le diagramme de Bode 
correspondant.
25. Rappeler le sens pratique de la marge de phase et de la marge de gain.
26. Sous quelle condition sur  KT la marge de phase est-elle de 45 ? Déterminer 
la pulsation
pour laquelle le gain en boucle ouverte est unitaire, puis la valeur de  KT 
telle que, pour cette
fréquence, la marge de phase soit de 45 .
c2
p2 + 2c p + c2
et donner les expressions de c et de  en fonction de KT et de  . Pour quelle 
valeur de  KT la
marge de phase est-elle égale à 45 ? Vérifier que, pour cette valeur,   0, 4.
27. Mettre la fonction de transfert en boucle fermée sous la forme G(p) =

Réponse de la boucle à une perturbation soudaine
On étudie ici la réponse d'une boucle à des variations de la grandeur d'entrée, 
soudaines,
mais suffisamment petites pour que cette dernière reste verrouillée. En se 
référant à la figure 12,

10

on admettra la relation

err (p)
p
=
, valable en boucle fermée et qui servira de cadre
r (p)
p + KT F (p)

pour cette l'étude.
Réponse à un saut brusque de phase
28. Tant que t < 0, la boucle est verrouillée. La phase d'entrée subit à 
l'instant initial un
saut brusque de valeur r , tel que représenté figure 12. Montrer que l'erreur 
de phase en sortie
finit par s'annuler.

r (t)
r

Pente = r

t
0
Figure 13 : Saut brusque de phase.
Réponse à un saut brusque de pulsation
29. La boucle étant verrouillée, la pulsation d'entrée subit à l'instant 
initial un saut brusque
de valeur r . Quelle est la valeur de l'erreur de phase au bout d'un temps 
infini ?
30. Quel est l'avantage d'un tel asservissement en cas de perte du signal GPS ?
31. Pourquoi réaliser une boucle à verrouillage de phase ? N'est-il pas plus 
simple de relier
directement le signal GPS à l'OCT ?
V Oscillateur non linéaire entretenu ; modèle électrique du balancier
Le fonctionnement permanent d'un oscillateur exige la mise en oeuvre d'une 
source d'énergie qui,
à chaque oscillation, compense les pertes. L'échappement à ancre de la partie 
II est un exemple
de système d'entretien.
La figure 14 illustre un principe de l'entretien électrique d'un résonateur : 
ce résonateur
est associé à une conductance non linéaire dont la relation courant-tension est 
modélisée par
la loi i = -Gv + v 3 , où G et  sont des constantes positives ; on remarque 
que, lorsque la
tension est suffisamment faible, la conductance est négative. Le but de cette 
partie est de montrer
l'établissement d'un régime stable dans un tel système,

11

v

L

C

G0

i = -Gv + bv 3

Figure 14 : Entretien d'un oscillateur par conductance négative et non 
linéarité.
3
32. Montrer que avec l'entrée en tension sinusoïdale v = V sin(t), i  -G + V 2 
v ; on
4
rappelle l'identité sin(3u) = 3 sin u - 4 sin3 (u). Pourquoi est-il en général 
réaliste de négliger le
terme à la pulsation 3 ?
Å

ã

33. En effectuant l'analyse du système en régime sinusoïdal de pulsation , 
donner l'expression de son admittance complexe Y = g1 + jx1 en fonction de L, 
C, G0 , G,  et V . En déduire que, en régime d'oscillation entretenue, la 
pulsation et l'amplitude du régime sont fixées :
1
4 G - G0
4 g
 = 0 = 
et V = V0 =
=
(ce qui définit g = G - G0 ).
3

3
LC
34. Expliquer pourquoi, en régime de petits signaux, l'oscillateur démarre.
35. Pour l'analyse du régime transitoire, on pose v(t) = V (t) sin(0 t) où 
l'amplitude V (t),
que l'on supposera toujours positive, varie très lentement par rapport à sin(0 
t).
Admettant les relations caractérisant le facteur de qualité Q =
Q = 2

W (t)
Ä

W t+

2
0

ä

- W (t)

1
g1

C
4C0
=
et
L
3(V02 - V 2 )

, où W (t) est l'énergie accumulée à l'instant t, établir l'équation

différentielle (que l'on ne cherchera pas à résoudre)

1 dV
3  2
=
(V - V 2 ).
V dt
8C 0

Retrouver ce résultat à partir de l'expression de la valeur moyenne temporelle 
de l'énergie
dW
3
accumulée dans le système LC et de la relation, que l'on établira,
= -(G0 - G + V 2 )v 2 .
dt
4
dV
36. On note V1 la valeur initiale de V (t). Quel est le signe de
? Montrer, sans
dt t=0
intégrer l'équation différentielle établie à la question 35, que lim V (t) = V0 
.
Å

ã

t

37. Montrer que le circuit de la figure 14 est décrit par l'équation 
différentielle non linéaire
2
v - (1 - 2 v 2 )v + 02 v = 0 : exprimer 0 ,  et  en fonction de L, C, g et  ; 
vérifier que  =
.
V0
Reprenons la description de l'échappement à ancre (figure 4). Le ressort fait 
tourner une
roue dentée. L'ancre bloque la roue par un de ses bras qui frotte sur une dent. 
Ce blocage
accroit l'amortissement. Au passage par une certaine position, la dent 
s'échappe, la roue tourne
12

un peu et aussitôt une autre dent est bloquée par l'autre bras ; lors du 
glissement, la dent a
poussé l'ancre, fournissant ainsi au balancier de l'énergie pendant un bref 
instant. Le circuit de
la figure 15 modélise un tel système mécanique, en faisant intervenir une 
conductance dont le
signe change, comme indiqué sur la partie droite de la figure 15. Remarquer 
que, dans cette
figure, la conductance G0 de la figure 14 a été intégrée dans le bloc Pertes + 
entretien.

i

i
Pente = p0
v

L

Pertes +
entretien

C

-

v
Pente = p0

Figure 15 : Vers une modélisation du balancier.
Le temps de basculement est 2. Nous simplifierons l'étude en considérant la 
limite  = 0. La
figure 16 montre comment la cubique d'équation i = -g v +  v 3 (en pointillés) 
est remplacée par
deux segments de droite parallèles, avec une discontinuité en v = 0. Segments 
et cubique coupent
l'axe des abscisses aux mêmes points. La pente 
p des segments est déterminée de manière que

les aires grisées soient égales :

Z 0

g/

|

{z

-

i dv =

g/

i dv .

0

Cubique

1
Dans ces conditions, i(0) = ± g
2

Z

}

|

{z

Segment

}

g
= ±I0 , ce qui définit I0 .

in

vn

Figure 16 : Modèle simplifié de relation courant-tension. En abscisse, la 
tension normalisée
Å ã1/2
Å ã
g
3 3 1/2
vn =
v, en ordonnée l'intensité normalisée in =
i. La pente des segments

2g g
3
g
de droite est, dans ce diagramme,
3, correspondant à en unités ordinaires.
4
2
38. Montrer, en identifiant les paramètres  et 0 que l'équation différentielle 
satisfaite par
v pour 0 6 |i| < I0 est v + 2v + 02 v = 0.
13

39. On considère la solution satisfaisant v(0) = 0 et
Å v(0)
ã = S0 , (S0 > 0). Exprimer v(t) pour

0 6 t 6 , avec 2 = 02 - 2 . Quel est le signe de v
, dérivée de v juste avant t = ?

40. Considérant que l'intensité est continue dans l'inductance
dans
Å mais
ã pas Ånécessairement
ã

I0
le condensateur, montrer que la discontinuité de v est (v) = v
- v
= -2 .
 +
 -
C
41. À partir de l'instant t =
v

Å

ã

= 0 et v

Å

ã

+

Å

Å

ã

, les deux nouvelles conditions initiales sont donc

+

= S1 = -S0 exp -

I0
- 2 et ainsi de suite.

C
ã

Établir la relation de récurrence entre Sn+1 et Sn , valeurs de la dérivée de 
la tension aux
points de discontinuité.
42. Vérifier que l'amplitude du régime permanent est S =

2I0
1
Å
ã.
C 1 - exp - 

43. Représenter la trajectoire de l'oscillateur dans le plan (v, v).

14

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2011
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école 
d'ingénieur) ;
il a été relu par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et 
Julien Dumont (Professeur en CPGE).

Ce sujet aborde la mesure du temps. La recherche d'une précision temporelle
toujours meilleure a conduit à de nombreuses découvertes et inventions, depuis 
la
naissance de l'astronomie jusqu'à l'horloge atomique en passant par la 
clepsydre et
l'horloge mécanique.
· La partie I est consacrée à l'étude énergétique d'une clepsydre, qui est une
horloge à eau. On détermine notamment la forme qui assure un débit constant.
· Dans la partie II, des questions de mécanique font réfléchir à la précision 
d'une
horloge mécanique. Sa dérive temporelle est reliée aux dimensions des éléments
dont est constitué le mécanisme.
· La partie III, très courte, passe en revue les principales propriétés 
électriques
qui permettent au quartz d'une montre d'agir comme stabilisateur de fréquence.
· L'asservissement du signal du quartz sur une horloge de référence est abordé
dans la partie IV. Il met en oeuvre une boucle à verrouillage de phase dont
le fonctionnement est étudié de manière approfondie. Cette partie est assez
longue, mais classique. Elle requiert d'avoir déjà rencontré ce type de boucle
pour bien aborder les questions, car l'énoncé ne donne aucun indice sur les
méthodes à appliquer pour les résoudre.
· Dans la dernière partie, on modélise, à l'aide d'équations différentielles non
linéaires, le régime transitoire d'un oscillateur entretenu du même type que
celui de la partie II.
Le sujet est d'un abord délicat : certaines questions sont déconcertantes de 
facilité tandis que d'autres demandent des développements assez fastidieux. 
Beaucoup
nécessitent une réflexion qualitative approfondie avant d'être résolues. Les 
concepts
propres aux sciences de l'ingénieur, peu développés dans ce sujet, ne posent 
guère de
difficulté.
Cette épreuve s'apparente à une juxtaposition d'exercices, ce qui nuit à la 
cohérence de l'ensemble mais évite de rester bloqué. Signalons enfin que la 
rédaction de
l'énoncé n'est pas toujours limpide ni suffisamment précise, ce qui pouvait 
certainement déstabiliser le jour de l'épreuve.

Indications
Partie I
5 Montrer que le débit s'écrit q = S v. Exprimer v n en fonction de v s .
6 Sommer les volumes élémentaires compris dans des tranches d'épaisseur dz, 
entre
les hauteurs 0 et z0 .
Partie II
7 Approcher le mouvement du balancier par celui d'un oscillateur harmonique, 
dont
on exprimera la période en fonction de J et .
8 Penser à utiliser la différentielle logarithmique.
9 Regarder l'unité du coefficient de dilatation linéaire pour retrouver son 
expression
en fonction des éléments géométriques. Utiliser la différentielle logarithmique 
de 
et simple de J pour trouver la variation relative de fréquence.
Partie IV
18 Que vaut la tension u lorsque la boucle est verrouillée ? Comment évoluent 
les
différentes grandeurs si on s'éloigne de A ou de B ?
21 En régime permanent, toutes les consignes  peuvent-elles être atteintes ?
22 Que vaut la tension u lorsque la boucle est verrouillée ?
23 Ne pas oublier le gain KD présent dans le comparateur.
28 Utiliser le théorème de la valeur finale.
Partie V
33 Pour que le système oscille, il faut que son admittance complexe soit nulle.
35 Utiliser la forme canonique de l'équation différentielle d'un système 
instable du
second ordre et y injecter l'expression de v proposée. Pour la suite, effectuer 
un
bilan d'énergie à partir de la loi des noeuds, considérer l'équipartition de 
l'énergie
entre l'inductance et la capacité puis prendre la moyenne de cette relation, en
dV
constants sur la durée de calcul de la moyenne.
considérant V et
dt
40 Étudier la figure 16. Si v décroît et est positif, on décrit la partie 
droite de la
courbe. En déduire le signe de la discontinuité.
41 Que vaut S2 ?
42 La suite Sn n'est pas convergente mais on peut trouver deux sous-suites 
convergentes, de nature arithmético-géométrique.

Quelques aspects de la mesure du temps
I. Clepsydre
1 Le travail des forces de pesanteur entre
les instants t et t + dt est égal à la différence
d'énergie potentielle de pesanteur entre les
deux parties hachurées ci-contre. Sous l'hypothèse que la quantité d'eau de 
masse dm
ayant disparu de la surface est sortie par
l'orifice, le travail des forces de pesanteur sur
la masse d'eau dm vaut donc

instant t

instant t + dt
z

0

WG = dm g z(t)

-

-
2 Le travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement  s'écrit

 -
-
W = F · 
L'écoulement, sans frottement au niveau des parois, implique une réaction du 
récipient sur le fluide orthogonale aux parois. Le fluide s'écoulant le long du 
cylindre,
le produit scalaire de la réaction par le déplacement élémentaire est donc nul.
Le travail des forces exercées par les parois du récipient est nul.
3 Le travail élémentaire des forces de pression à la surface libre s'écrit

-
 -
) · (dz -
)
WP = FP ·  = (-P0 S -
u
u
z
z
d'où

WP+ = -P0 dV

avec dV = S dz

Le travail des forces de pression à la surface est bien moteur (WP+ > 0) car
dz et donc dV sont négatifs.
L'incompressibilité du fluide implique que le volume déplacé est le même en 
surface et en sortie. Par suite,
WP- = P0 dV
La pression s'oppose au mouvement dans ce sens, d'où le signe de WP- ,
avec dV encore une fois négatif.
On en déduit la nullité du travail total des forces de pression :
WP = WP+ + WP- = 0
4 Le bilan d'énergie cinétique entre les instants t et t + dt donne
1
dE c = dm(v s 2 - v n 2 )
2
Le théorème de l'énergie cinétique dans cet intervalle s'écrit, compte-tenu des 
travaux
calculés dans les questions précédentes,
dE c = WG
et par conséquent

dE c =

1
dm(v s 2 - v n 2 ) = dm g z
2

5 Du théorème de l'énergie cinétique exprimé précédemment, on obtient
vs 2 - vn 2 = 2 g z
Or, le débit s'écrit en fonction de la vitesse d'écoulement
dV
dz
=S
= Sv
dt
dt
De par la conservation du débit, on obtient alors la relation
q=

R2 v n = r2 v s = Cte
et

vs

2

 r 4 
1-
= 2gz
R

 r 4
z
=1-
z0
R

ce qui mène à

avec

z0 =

vs 2
2g

6 L'allure de la relation établie à la question précédente est représentée 
ci-contre z
pour R > r, seul domaine de définition z0
ayant un sens. L'eau ne peut pas dépasser
la hauteur z0 , on peut donc considérer que
r
c'est une longueur de l'ordre de grandeur
de la taille du vase. Pour une clepsydre de taille raisonnable, on choisit

R

z0 = 1 m
Sous l'hypothèse d'un débit constant
t =

V
q

avec

q =  r2 vs =  r2

2 g z0

Pour calculer le volume à vidanger, correspondant à la surface grisée sur la 
figure,
on intègre l'espace à l'intérieur de la clepsydre, sur des cylindres 
élémentaires de
hauteur dz dont le volume s'écrit
-1/2

z
dz
dV =  R2 dz =  r2 1 -
z0
soit

V = r

2

Z

0

z0

-1/2
 r
z
z
z 0
2
1-
dz = 2  r z0 - 1 -
= 2  r 2 z0
z0
z0 0

Le temps de vidange vaut alors
t =

V
=
q

r

2 z0
= 0,45 s
g

La forme de cette clepsydre assure un débit constant mais induit une vidange
trop rapide pour qu'elle soit utilisable. La vitesse et le temps correspondent 
à une
chute libre de hauteur z0 .
Le montage de Ctésibios permet de s'affranchir de l'altitude de la surface 
libre.
Puisque le récipient central est toujours plein à ras bord, le débit de sortie 
est constant
et le temps est une fonction linéaire de la hauteur d'eau dans le troisième 
cylindre.