X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2010

Thème de l'épreuve Lecteurs optiques numériques
Principaux outils utilisés optique géométrique, ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                            

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
                 

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE MP
Option Physique et Sciences de l'Ingénieur

CONCOURS D'ADMISSION 2010

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Lecteurs optiques numériques
Le lecteur optique de disques CD ou DVD (figure 1) est un objet très répandu 
dans l'équipement électronique. C'est un objet technologiquement complexe et 
dont le fonctionnement fait
intervenir des aspects logiciels et matériels élaborés : optique d'éclairement 
du disque, photodétection de la lumière en retour, asservissements de 
focalisation, de maintien de faisceau sur la
piste et de maintien de la vitesse de défilement, codage et correction 
d'erreurs. Cette épreuve
aborde, de manière élémentaire, quelques aspects des dispositifs optiques de 
lecture et des dispositifs mécaniques de contrôle de déplacements.

Figure 1 : Disques compacts et DVD.
Le disque compact se présente sous la forme d'un disque de diamètre 120 mm et 
d'épaisseur
1,2 mm, sur lequel est gravée l'information binaire, convenablement codée. 
Cette gravure est
constituée de micro cuvettes, de largeur constante et de longueur variable. La 
profondeur de ces
cuvettes est de l'ordre de quelques dizaines de nanomètres (figure 2).
Lors de la rotation du disque, les structures porteuses d'information binaire 
défilent dans le
plan focal d'un dispositif optique. Ces structures diffractent et réfléchissent 
le faisceau de lecture.
L'analyse des faisceaux en retour permet ainsi de remonter aux informations 
enregistrées.

1

Figure 2 : (a) Coupe des différentes couches d'un disque compact. (b) Vue au 
microscope à
force atomique des cuvettes permettant le codage numérique des informations.

La piste est codée le long d'une spirale (le rayon est une fonction affine de 
l'angle polaire)
dont le pas radial, noté p, est de 1, 6 µm pour les CD, 0, 74 µm pour les DVD 
et 0, 3 µm pour le
Blu-Ray (Figure 3). Cette réduction de pas de la spirale est due à la 
diminution des longueurs
d'onde respectives de lecture : 780 nm pour le CD, 650 nm pour le DVD et 405 nm 
pour
le Blu-Ray.

Figure 3 : Quelques caractéristiques des CD, DVD et Blu-ray. Les cercles 
indiquent la taille
approximative du spot laser. Le symbole NA est défini question 8 de la partie 
II.
Partie I. Aspects de la mécanique d'un lecteur de CD

La lecture des pistes se fait du rayon intérieur r0 vers le rayon extérieur r1 
. La vitesse de
défilement de la piste devant le spot, notée V , est constante (la vitesse de 
rotation des CD audio
par rapport au bâti n'est donc pas constante).

I.1. Caractéristiques cinématiques des éléments du lecteur

1. Exprimer la longueur L de la spirale en fonction des rayons extrêmes et du 
pas radial p.
Faire l'application numérique pour p = 1, 6 µm, r0 = 25 mm et r1 = 58 mm.

2. Quelle est alors la durée maximale T de lecture audio ? Faire l'application 
numérique pour
V = 1, 2 m · s-1 .

3. Comment évolue la vitesse de rotation (r) du disque par rapport au bâti ? 
Tracer l'allure
de cette évolution en fonction de la position r du spot et préciser les valeurs 
0 et 1 qui
correspondent aux rayons r0 et r1 . On exprimera ces vitesses en radian par 
seconde puis en tour
par minute.

4. Comment évolue la vitesse radiale u(r) du spot ? Préciser les valeurs u0 et 
u1 qui correspondent aux rayons r0 et r1 . On exprimera ces vitesses en 
micromètre par seconde.

I.2. Une solution technologique pour le déplacement du spot laser

Le déplacement radial du spot est réalisé de différentes manières suivant les 
modèles de
lecteur. Généralement, la lentille focalisatrice et son support sont installés 
sur un chariot qui se
translate radialement par rapport au carter du lecteur (figure 4) sur le 
domaine [r0 , r1 ].

Figure 4 : Le chariot support de lentille est guidé par une tige cylindrique 
latérale (côté droit du
chariot sur la photo) et un appui latéral (côté opposé du chariot). Le 
mouvement est donc radial.

La figure 5 décrit schématiquement le guidage en translation du chariot Ch par 
rapport au
bâti Ba. Pour chacun des 3 points A, B, C le comportement cinématique de la 
liaison est défini
par les torseurs des vitesses relatives respectifs :
{VLiaison A (Ch/Ba)} =
A

®

~ = ~x + ~y + ~z

-

VA = u~x

{VLiaison C (Ch/Ba)} =
C

´

; {VLiaison B (Ch/Ba)} =

®

~ = ~x + ~y + ~z

-

VC = u~x + v~y

B

´

~ = ~x + ~y + ~z

-

VB = u~x

®

.

a
y

A
(Ba)

x

B
b
(Ch)

O
C

(Ba)

Figure 5 : Détail du guidage en translation du chariot support de lentille.

´

5. Donner le nom de chacune des trois liaisons et faire un graphe de liaisons 
montrant
comment le chariot (Ch) est relié au bâti du lecteur (Ba).

6. Montrer que l'ensemble constitué des 3 liaisons en A, B et C est équivalent 
à une liaison
dont on précisera le nom et le torseur cinématique en A.
7. Préciser le degré d'hyperstatisme h de cette réalisation. Commentez le 
résultat.

I.3. Dynamique du déplacement radial du chariot

Le déplacement est commandé par un moteur rotatif dont la vitesse est réduite 
fortement de
telle sorte que la vitesse radiale du spot soit comprise dans la plage 
déterminée à la question 4.
Le moteur rotatif entraîne la vis d'un engrenage roue et vis sans fin à une 
vitesse de rotation 1 .
On note Im le moment d'inertie du moteur autour de son axe de rotation et Cm le 
couple que
le stator exerce sur le rotor de ce moteur. On note Kt la rigidité en torsion 
de l'axe qui relie le
moteur au train d'engrenages.

Le reste de la chaîne cinématique est supposé indéformable jusqu'au chariot 
support de lentille
(figure 6) de masse M . Un pignon est installé sur le même axe que la roue de 
l'engrenage roue et
vis sans fin. Il tourne avec celle-ci à une vitesse de rotation 2 . Ce pignon 
entraîne en translation
une crémaillère solidaire du chariot sur lequel est installé le support de 
lentille. La vitesse de
translation de la crémaillère est donc égale à u. La force de poussée que la 
crémaillère exerce sur
le chariot support de lentille est notée Fp . Le couple que le système 
élastique de torsion exerce
sur l'engrenage roue et vis sans fin est noté C1 .

Le déplacement du chariot a lieu dans un plan horizontal perpendiculaire à 
l'axe de la
pesanteur. L'angle de rotation 1 et la translation u sont liés par la relation 
u = Ke 1 où
Ke = 4 × 10-5 m. On admettra la relation C1 = Ke Fp .
8. Donner l'expression de C1 en fonction de Kt et des variables pertinentes.

9. Faire le bilan des actions mécaniques qui s'exercent sur le rotor et 
appliquer le théorème
du moment dynamique autour de l'axe de rotation. En déduire une relation entre 
Cm , m , 1 et
les paramètres pertinents.

Figure 6 : Chaîne de transmission du moteur au chariot support de lentille.

Figure 7 : Décomposition des éléments de la chaîne de transmission.

10. Faire le bilan des actions mécaniques qui s'exercent sur le chariot support 
de lentille et
appliquer le théorème de la résultante dynamique en projection sur l'axe de la 
translation du
chariot. En déduire une relation entre Fp , u et les paramètres pertinents.

11. Éliminer Fp , C1 et 1 des relations obtenues aux questions 8, 9, 10 ainsi 
que des deux
relations constitutives u = Ke 1 et C1 = Ke Fp . En déduire le système 
différentiel couplé relatif
aux variables m et u.
12. Écrire le système précédent sous la forme matricielle :
[M ]X + [K]X = F

avec X =

Ç

m (t)
u(t)

å

où [M ] et [K] sont des matrices 2 × 2 que l'on précisera sous forme littérale 
puis sous forme
numérique avec les valeurs suivantes :
M = 0, 5 × 10-3 kg
Kt = 0, 785 N · m · rd-1
Im = 0, 125 × 10-9 kg · m2 .

13. On cherche la réponse du système libre (i.e. lorsque F = 0) sous la forme :
X = A exp(it). Montrer que les valeurs possibles de  sont les racines d'un 
polynôme
que l'on déterminera numériquement. Montrer que le système est oscillant et 
préciser les deux
fréquences propres f1 et f2 .

I.4. Système de suivi de la piste spirale

Les bits d'information étant stockés sous la forme de cuvettes submicroniques, 
le lecteur
doit assurer le positionnement de la tête de lecture par rapport au disque avec 
une précision de
quelques centaines, voire quelques dizaines de nanomètres. Dans un tel 
dispositif, on retrouve
deux types de défauts que doivent corriger les lecteurs de CD.

D'une part, pour des raisons optiques explicitées en partie II, il faut 
contrôler la distance
entre le disque et l'objectif avec une précision inférieure au micromètre. Les 
défauts de l'axe du

disque, les défauts de planéité du disque, les vibrations de la monture de 
l'objectif modifient en
permanence la distance entre la lentille de focalisation et la surface 
d'enregistrement du disque :
le réglage nécessaire est possible grâce au petit déplacement zf visualisé sur 
la figure 8.
D'autre part, puisque les données sont arrangées le long d'une spirale dont le 
pas est de
1, 6 µm pour un CD et que l'excentrement de cette spirale par rapport à l'axe 
de rotation du
disque peut atteindre ±70 µm, il est nécessaire de compenser les mouvements 
transversaux du
centre des pistes devant l'objectif lorsque le disque tourne devant celui-ci 
(variable de position
xr sur la figure 8). On utilise souvent l'anglicisme « tracking » pour parler 
de l'excentrement et
de sa régulation.
La figure 8 montre comment le support de lentille est guidé en translation via 
des liaisons
souples réalisées par des parallélogrammes déformables au niveau des 
amincissements. L'amplitude angulaire des angles f et r reste très limitée car 
il s'agit de corrections de l'ordre de
quelques micromètres. Chaque amincissement réagit élastiquement par un couple 
de la forme
-c où c est la rigidité en rotation (en N · m · rd-1 ) de l'amincissement. La 
masse du support de
lentille est notée m.

Figure 8 : Architecture du réglage fin de la position du spot.
14. Donner la relation géométrique entre xr et r . En déduire la relation entre 
la force fr et
xr lorsque fr est constant et que le système est au repos.
15. Par analogie avec un système masse-ressort traditionnel, en déduire la 
raideur kr du
ressort équivalent au parallélogramme déformable.
Les défauts d'élasticité dans le matériau utilisé pour l'amincissement, 
combinés aux pertes
du moteur linéaire qui génère la force fr sont modélisés par une force 
d'amortissement visqueux
de la forme -µxr .
16. Faire le bilan mécanique du support de lentille et écrire une équation 
différentielle en xr .
En déduire l'expression de la fonction de transfert Hr définie par le rapport 
des transformées de
Laplace :
Hr (p) = Xr (p)/Fr (p) .
Xr (p) est la transformée de Laplace de xr (t) ; de même, Fr (p) est la 
transformée de fr (t).
6

u(t)

Transformateur
Kb

La force fr est générée par un actionneur électromagnétique linéaire dont la 
structure est
décrite sur la figure 9. Un transformateur fournit une tension ub (t) aux 
bornes du bobinage (de
longueur l) à partir de la tension de commande u(t). On note Kb le gain de ce 
transformateur.
Un courant d'intensité i(t) circule dans la bobine qui est équivalente à 
l'association en série d'une
résistance R et d'une inductance L. On note em la force électromotrice (f.é.m.) 
induite par le
déplacement de la bobine dans un champ magnétique B uniforme et constant.

ub(t)

R

fr(t)

L
i(t)

em(t)

Figure 9 : Schématisation du moteur linéaire de commande du déplacement radial 
xr .
Compte tenu de la disposition de la bobine par rapport au champ magnétique, la 
f.é.m.
induite s'exprime par :
em (t) = Blxr (t) .
17. Donner l'expression de la force fr (t) générée par la circulation du 
courant d'intensité i(t)
dans la bobine de longueur l.
18. Donner la relation différentielle entre la tension u, l'intensité i dans le 
circuit et la f.é.m.
induite em .
19. Exprimer la transformée de Laplace I(p) de l'intensité i(t) en fonction des 
transformées
de Laplace U (p) de u(t) et Xr (p) de xr (t) et des variables pertinentes. En 
déduire l'expression de
la transformée Fr (p) de la force fr (t) en fonction de U (p) et Xr (p) et des 
variables pertinentes.
20. Déduire de l'association entre la partie électromagnétique et la partie 
mécanique l'expression de la fonction de transfert :
Xr (p)/U (p) .
21. En pratique, compte tenu de la valeur de l'inductance L, le terme en p3 
dans l'expression précédente est sans influence sur le comportement du système 
électro-magnético-mécanique
étudié. Mettre alors la fonction de transfert ainsi obtenue sous forme 
canonique et déterminer
numériquement les caractéristiques de ce système du second ordre. Conclure sur 
la stabilité.
Pour les applications numériques on prendra :
Kb = 1, 65 × 106
kr
= 9, 79 × 104 s-2
m
Bl
= 0, 673 A · kg-1 · m-1 · s
mR
µ
(Bl)2
+
= 5, 87 s-1 .
m
mR

7

I.5. Asservissements du suivi de la piste spirale ou de focalisation
Les deux asservissements (focalisation et tracking) fonctionnent sur le même 
principe :
­ mesure de la perturbation géométrique, c'est-à-dire du défaut de position en 
focalisation
ou en excentrement,
­ régulation électronique ou asservissement,
­ déplacement électromécanique de l'objectif par rapport à l'échantillon pour 
compenser la
perturbation détectée.
Dans un cas général de régulation, l'asservissement peut être représenté par le 
diagramme de
la figure 10.

Perturbation X(p)

+
-

Erreur
 (p)

Position Y(p)
H(p)

Figure 10 : Représentation générale de la régulation.
22. Donner l'expression de la fonction de transfert du dispositif ainsi que 
celle de l'erreur.
Donner les critères de stabilité généraux d'un tel système.
La fonction de transfert H(p) est composée de trois fonctions de transfert de 
base : H1 (p)
est la fonction de transfert de la détection du défaut de focalisation ou de 
tracking, H2 (p) est
celle d'un amplificateur à marge de phase servant à stabiliser le système 
régulé et H3 (p) est la
fonction de transfert de la commande de déplacement du système 
électro-magnético-mécanique
(actuateur) étudiée à la partie précédente.
Nous allons, dans un premier temps, étudier H1 (p) la fonction de transfert de 
la détection
d'erreur. La figure 11 illustre le principe utilisé pour le tracking : de part 
et d'autre du spot
principal, deux faisceaux secondaires se situent à droite et à gauche de la 
piste. L'amplitude de
leur tache réfléchie varie suivant la position qu'ils occupent par rapport à la 
piste. Le chariot est
centré dès lors que le signal réfléchi par les deux spots est de même intensité.

Figure 11 : Principe du suivi de la piste (source J-P. Muller).
8

Chaque spot est assimilé à un disque de rayon Rs ; la largeur de la piste est 
notée h. Pour
chaque faisceau, le système optique délivre un signal proportionnel à l'aire a 
qui n'empiète pas
sur la piste (figure 12). La différence d'aire a entre a+ et a- est ensuite 
convertie en tension
par le contrôleur ; (on considèrera que cette transformation est linéaire u(t) 
= Kc a).

r

Figure 12 : Géométrie des faisceaux de suivi de pistes

23. Établir la relation géométrique entre a et l'écart r entre le spot et la 
piste. Peut-on
linéariser cette relation pour de « petites » valeurs du déplacement r ?

En pratique, pour que le système soit réactif et de bonne précision, Rs doit 
être le plus
petit possible. La linéarisation n'est plus possible et l'extraction de la 
fonction de transfert quasi
impossible.
Pour des raisons de simplicité de calcul, on s'intéresse plutôt à 
l'asservissement de focalisation
dans la suite. Pour la détection du défaut de focalisation, on mesure la courbe 
de réponse de
défocalisation d'un senseur astigmatique (figure 13).
u(V )

f (µm)

Figure 13 : Courbe de réponse de la mesure de défocalisation par senseur 
astigmatique :
f représente le décalage, dans le sens du rayon laser, entre la position 
effective du disque et
celle du spot focalisé ; en régime linéaire, la tension u aux bornes du 
détecteur est
proportionnelle à f .

24. Sachant que le système de détection d'erreur est indépendant du temps et 
fonctionne
dans sa zone linéaire, déterminer la fonction de transfert H1 (p).

Dans un second temps, on introduit un amplificateur à marge de phase dont la 
fonction de
transfert est donnée par :
1 + k p
H2 (p) =
p .
1+
k

25. Faire l'étude gain ­ phase de la fonction de transfert H2 (p). Donner alors 
la marge de
phase maximale ainsi que la valeur de p correspondante. On déterminera les 
valeurs de k et  à
l'issue de l'étude.
26. Par analogie avec la partie I.4, donner l'expression de la fonction de 
transfert H3 (p) pour
la partie « focalisation » de l'actuateur. Faire le schéma complet du 
dispositif régulé, étudier la
stabilité du système et déterminer alors les valeurs de k et  afin d'obtenir 
une marge de phase
de 85 . Les valeurs numériques des termes indicés « r » données en partie I.4 
sont égales à celles
indicées « f » et utilisées ici.

Partie II. Aspects de la partie optique d'un lecteur de CD
Quoique les idées et les méthodes de cette partie soient générales, les 
applications numériques
auront en vue l'ancêtre de la famille, le lecteur de CD audio, représenté 
symboliquement sur la
figure 14.

Figure 14 : Schéma du dispositif de lecture du CD.
Le faisceau lumineux provient d'une diode laser DL émettant un rayonnement 
monochromatique, polarisé, divergent et d'axe z. Ce faisceau est collimaté par 
une lentille L1 puis focalisé
par une lentille L2 sur la surface du disque compact CD. Entre DL et L1 est 
inséré un cube
séparateur de faisceau CS, dont le fonctionnement est décrit à la figure 15.
x

x

Figure 15 : Un cube séparateur est constitué de deux prismes à angle droit 
réunis
par leur hypoténuse. Un faisceau polarisé
selon x est transmis directement et un faisceau polarisé selon y est dévié à 90 
.

z
y

y

Entre les lentilles L1 et L2 , et en l'absence de l'objet LR qui sera décrit 
plus loin, le faisceau est modélisé par une onde plane dont le champ électrique 
s'écrit en notation complexe
~ t) = E0 exp i(t - k0 z)~ex , avec k0 = 2/0 , 0 étant la longueur d'onde dans 
le vide. La
E(z,
photodiode détectrice PD est placée à l'emplacement de l'image du CD à travers 
le système ; une
lentille cylindrique LC est située entre CS et PD.
10

II.1. Isolateur optique
Entre les lentilles L1 et L2 , on place sur le trajet optique une lame à retard 
LR, qui est une
lame à faces parallèles d'épaisseur d, optiquement anisotrope. Lorsque l'onde 
incidente est polarisée rectilignement, l'onde sortante en général ne l'est 
pas. Il existe cependant deux directions
incidentes de vibration du champ électrique pour lesquelles l'onde reste 
polarisée rectilignement.
Ces directions sont orthogonales et associées à des indices différents, donc à 
des vitesses de propagation différentes à l'intérieur de la lame. On les repère 
par les vecteurs unitaires ~eL et ~eR avec
les indices respectifs nL et nR . La lame est orientée de façon que ~eL et ~eR 
soient selon les deux

1 
1 
~ = EL~eL + ER~eR .
bissectrices de Ox et Oy : ~eL =  ~ex + ~ey et ~eR =  ~ex - ~ey . On pose E
2
2
1. Préciser l'expression du rapport ER /EL à l'entrée de la lame. Exprimer le 
chemin optique
correspondant à la traversée de la lame pour
 chacune
 de ces deux composantes. En déduire leur
rapport en sortie de lame en fonction de nL - nR , k0 et d.
2. Calculer la valeur du déphasage entre les deux composantes pour 0 = 780 nm,
nL - nR = 8, 90 × 10-3 et d = 1, 250 mm ; donner une valeur approchée de leur 
rapport ER /EL .
Pourquoi appelle-t-on une telle lame « quart-d'onde » ?

~ z0 , t dans le plan z = z0 . Quelle est la courbe
3. On représente graphiquement le vecteur E

engendrée par le point de coordonnées Ex , Ey après traversée de la lame ?
4. Le faisceau arrive ensuite sur la surface du CD, considéré comme un miroir 
plan métallique
de très grande conductivité. Quelle condition doit satisfaire le champ 
électrique à la surface de
ce miroir ? Quel est alors le facteur de phase introduit par la réflexion pour 
chaque composante,
ainsi que la valeur du rapport ER /EL des composantes de l'onde réfléchie ?
5. Le faisceau réfléchi retraverse la lame LR. En utilisant les résultats des 
questions précédentes, déterminer le rapport ER /EL après la nouvelle 
traversée. En déduire l'état de polarisation
de ce faisceau. Que devient-il en arrivant sur le cube ?
II.2. Focalisation
On assimile la diode laser à un point émetteur. La lentille L2 , convergente et 
de distance
focale image f2 , concentre le faisceau incident en un spot de petite taille 
dont le diamètre peut
être évalué par la théorie de la diffraction. La mise en oeuvre du principe de 
Huygens-Fresnel dans
le cas d'un diaphragme circulaire de rayon a conduit à une répartition 
angulaire de l'intensité
0, 610
sortante I() maximale pour  = 0 et s'annulant pour 1  sin 1 =
où 0 = 2/k0 est
a
la longueur d'onde du rayonnement et  l'angle formé avec la direction du 
faisceau incident ; le
cône correspondant contient 84% du flux énergétique total. On définit souvent 
le diamètre utile
de la tache de diffraction comme le diamètre  du premier anneau noir de cette 
tache ; c'est une
valeur excessive ; la moitié /2 est parfois utilisée mais elle sous-évalue 
l'effet.
6. Donner l'expression du diamètre  = D du premier anneau noir de la tache de 
diffraction
dans le plan focal image de L2 .

11

7. Calculer D pour a = 1, 25 mm, f2 = 2, 5 mm et 0 = 0, 780 µm. Les conditions 
de
l'approximation de Gauss sont-elles satisfaites par ce système optique ?
8. Notant n l'indice optique du milieu (n = 1 pour l'air) et u l'angle entre 
l'axe optique et le
rayon le plus incliné passant par le point de convergence, on définit 
l'ouverture numérique (NA)
par la relation (NA) = n sin u. Une analyse valable pour l'optique non 
paraxiale (NP) conduit

. Calculer l'ouverture numérique du système précédent, en
à l'expression  = N P = 1, 22
(NA)
déduire N P et comparer cette valeur au D de la question 7.
9. La surface réfléchissante du CD est protégée par un diélectrique transparent 
d'indice
n = 1, 55 ; l'épaisseur de la couche est e = 1, 2 mm. En utilisant les 
propriétés optiques du
dioptre plan dans l'approximation de Gauss, calculer la distance entre L2 et la 
face avant du CD.
10. Montrer que, dans le diélectrique, l'ouverture numérique au point de 
convergence est
inchangée. Quelle est la conséquence de ce fait pour le diamètre  du spot ? 
Est-ce cohérent avec
le grandissement associé au dioptre plan ?

II.3. Détection optique des défauts de focalisation
Le spot doit en permanence se situer sur la surface réfléchissante du CD. Or, 
la position de
la surface du disque fluctue. Un asservissement visant à maintenir la distance 
disque-lentille à
sa valeur idéale de focalisation est indispensable. Pour cela il est nécessaire 
d'obtenir un signal
d'erreur, fonction de l'écart entre le disque et le foyer F2 de L2 .
Les lentilles sphériques L1 et L2 ont une symétrie axiale. La section 
transverse d'un faisceau
lumineux focalisé par de telles lentilles est identique de part et d'autre du 
plan focal. Il n'est
donc pas possible de distinguer si le CD est en avant ou en arrière du premier 
plan focal et donc
de corriger simplement un défaut de focalisation. Pour pallier cette 
difficulté, le dispositif le plus
couramment employé utilise les propriétés d'un faisceau dont la surface d'onde 
est rendue non
sphérique. Pratiquement, on place une lentille planocylindrique LC entre CS et 
PD. La figure
16 représente une telle lentille, qu'on supposera mince. Ce sont les propriétés 
de ce dispositif qui
sont étudiées dans cette partie, dans le cadre de l'optique géométrique et dans 
l'approximation
de Gauss.
y

On choisit pour cette partie II.3 le nouveau repère
cartésien représenté sur la figure 16 ; l'origine O
de ce repère est au centre de la face plane de la lentille.

x

O

z

Figure 16 : La face convexe de la lentille cylindrique est
une portion de cylindre à base circulaire. Les propriétés de la lentille sont 
donc invariantes par translation
parallèle à l'axe de ce cylindre.

12

11. Quel est l'effet de la lentille cylindrique sur un ensemble de rayons 
parallèles à
l'axe z et contenus dans le plan xOz ? Quel est l'effet de la lentille 
cylindrique sur un ensemble
de rayons parallèles à Oz et contenus dans un plan parallèle au plan yOz ? Les 
réponses devront
s'appuyer sur des schémas 2D visualisant les effets décrits.
12. Le montage de lecture comprend en réalité une combinaison de lentilles 
conventionnelles
(équivalentes globalement à une lentille convergente unique) et d'une lentille 
cylindrique (ensemble dit sphérocylindrique). Quel est l'effet de l'ensemble 
sphérocylindrique sur un faisceau de
rayons parallèles à Oz et contenus dans le plan xOz ?
13. Rassemblant les résultats des questions précédentes, montrer en vous 
appuyant sur un
schéma comment les rayons émergents s'appuient sur deux segments (traits 
focaux) que l'on
déterminera.
La surface d'onde d'un faisceau convergent a la forme d'une calotte sphérique 
de centre O et
d'axe Oz ; elle est limitée par le cercle de rayon a et d'axe Oz. Les rayons 
associés convergent
sur l'axe au point C1 , avec OC1 = R1 . La mise en place en O de la lentille 
cylindrique mince
modifie la surface d'onde , son contour restant inchangé.
Les rayons A1 A1 et A2 A2 issus de deux points diamétralement opposés, A1 et A2 
, du contour
de  croisent l'axe Oz en C1 . Pour les points extrémités B1 et B2 du diamètre 
orthogonal, les
rayons B1 B1 et B2 B2 croisent l'axe au point C2 , avec OC2 = R2 . On suppose 
R2 < R1 .
14. Avec les conventions de la figure 16, préciser quels sont respectivement 
les plans A1 A2 C1
et B1 B2 C1 des couples de rayons définis ci-dessus.
15. Ces rayons sont représentés en figure 17, où leurs plans ont été 
superposés. Indiquer sur
une figure où sont situés les traits focaux introduits en question 13 et 
préciser leurs orientations
respectives par rapport aux plans des rayons.
À l'aide de similitudes appropriées, et en vous appuyant sur la figure 17, 
exprimer les longueurs
1 et 2 de ces traits focaux en fonction de a, R1 et R2 .
A1, B1
2

a
2

O
a

z
C2

C1

1
1

A2, B2

Figure 17 : Base pour la détermination des traits focaux.
16. Entre C1 et C2 il existe un plan d'équation z = zmc dans lequel le contour 
du faisceau
est un cercle, appelé « cercle de moindre confusion ». Déterminer zmc et le 
diamètre dmc de ce
cercle en fonction de a, R1 et R2 .

13

II.4. Étude pratique du faisceau réfléchi

Figure 18 : Construction de l'image paraxiale d'un objet par une lentille mince.

17. Les notations étant celles de la figure 18, on définit le grandissement 
transverse G de la

lentille (ou grandissement tout court) par G =

rapport des petites variations g =

d OA

A B 
et le grandissement linéaire axial g par le
AB

 . Établir la relation g = G2 .

d OA

La figure 19 représente un schéma optique équivalent pour le faisceau réfléchi. 
On étudie
d'abord le système sans la lentille cylindrique. Les lentilles L1 et L2 , de 
distances focales
respectives f1 et f2 , ont un foyer commun F.

Figure 19 : Schéma optique équivalent pour le faisceau réfléchi.

18. Exprimer, en fonction de f1 et de f2 , le grandissement G entre un objet 
placé au foyer
F2 et son image sur le photo-détecteur au foyer F1 .

19. La surface réfléchissante du disque se déplace de  vers L2 . De quelle 
valeur se déplace
le point source du faisceau réfléchi ? Montrer que son image, initialement en 
F1 se déplace de
 = 2G2 .

20. Soient nC l'indice du verre et RC le rayon de courbure de la face 
cylindrique de la lentille
plan-cylindrique LC. On admet que l'effet de cette dernière est de modifier la 
surface d'onde
1
1
nC - 1
de telle sorte que
=
+
. On convient des valeurs f1 = 17, 5 mm, f2 = 2, 5 mm,
R2
R1
RC
R1 = 10, 5 mm, R1 - R2 = 0, 4 mm et nC = 1, 50 ; le diamètre du faisceau au 
niveau de L1 est
de 2,5 mm. Calculer RC , les longueurs des traits focaux et le diamètre du 
cercle de moindre
confusion, tels que définis en II.3.

21. La source en F2 n'est plus ici considérée comme ponctuelle, mais comme une 
tache
dont l'extension a été évaluée à la question 8. Quelle influence cela a-t-il 
sur les dimensions des
« taches » calculées ? Pour les éventuelles évaluations numériques, on 
conviendra que le diamètre
de la tache est de 1, 4 µm.

22. Du fait de l'insertion de LC, le foyer F1 n'existe plus. Le photodétecteur 
PD est alors
positionné au cercle de moindre confusion, tel que défini dans la question 16. 
Décrire ce qui
se passe au niveau du PD lorsque le CD se rapproche de L2 en partant de F2 . 
Même question
lorsqu'il s'en éloigne.

23. À quelles valeurs de déplacement du CD correspondent les passages au niveau 
du PD des
deux taches focales ? On admettra que la relation  = 2G2  donnée en 19 est 
valable.

24. Pour assurer le suivi de la piste du CD, deux pinceaux lumineux auxiliaires 
sont envoyés
sur la surface réfléchissante du CD, en avant et en arrière du spot principal, 
et légèrement décalés
latéralement (figure 20). Pour obtenir ces faisceaux, un réseau par 
transmission est placé devant
la diode laser avec son plan orthogonal à l'axe z ; ce réseau est conçu de 
façon que, à part
le faisceau principal (ordre 0), seuls les ordres +1 et -1 soient d'une 
intensité significative. Il
comprend 10 traits par mm.
Figure 20 : Lorsque les faisceaux sont bien
positionnés, les spots latéraux recouvrent la
même surface de piste. Le cas représenté
ici montre un décalage r , ce qui produit
un signal d'erreur dont le signe (différence
des intensités lumineuses en réflexion des
spots latéraux) renseigne sur l'orientation
du décalage ; ici, vers notre droite.

r

Calculer les angles des deux faisceaux latéraux par rapport au faisceau 
central. En déduire
la distance de leurs spots avec le spot principal, puis celles de leurs images 
au niveau du PD.

25. La figure 21 représente le motif coté de la photodiode. Les résultats 
numériques des
questions 20 et 24 sont-ils compatibles avec ces dimensions ?

20

0

Y

D
C

12
0

X

Figure 21 : Motif de la diode détectrice, les
dimensions sont en micromètres.

X

A
30
50

B
50
30
12
0

Y

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2010
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Julien Dumont (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur l'étude de quelques aspects des lecteurs de CD. Il 
s'articule autour de deux grandes parties, orientées respectivement vers les 
sciences de l'ingénieur
et les sciences physiques.
· La partie sciences de l'ingénieur aborde tout d'abord la mécanique du 
déplacement du chariot qui supporte le laser, proposant une modélisation 
cinématique,
avec trois liaisons en parallèle. Ensuite, les questions sont centrées sur le 
système
de suivi de la piste et l'asservissement du spot. Après avoir établi les 
fonctions
de transfert de la commande en déplacement, on cherche à dimensionner un
correcteur à avance de phase.
· La deuxième partie traite de la partie optique du lecteur. Elle se décompose
en sous-parties relativement indépendantes, abordant de nombreux points du
cours. On suit d'abord le cheminement du faisceau lumineux, onde polarisée,
à travers une lame quart d'onde, un miroir et un cube séparateur. Ensuite, à
partir des lois de la diffraction, on détermine la taille du spot. Enfin, le 
coeur
de cette partie consiste en l'étude de la détection des défauts de focalisation,
avec de nombreuses questions qualitatives sur un système astigmate, nécessitant
beaucoup de recul sur l'optique géométrique.
Le sujet est très long et de difficulté inégale. Les deux parties sont 
complètement
indépendantes et peuvent être traitées séparément. Fait assez rare pour être 
signalé,
une large part de la première partie est abordable avec le seul programme de 
première année. Elle permet en outre de faire le point sur l'ensemble du cours 
de sciences
de l'ingénieur dont elle aborde tous les aspects : mécanique du solide 
indéformable
et asservissements. La seconde partie est plus originale. Les questions 
d'optique demandent de réfléchir, essentiellement de manière qualitative, sur 
des concepts hors
programme.

Indications
Partie I
I.1 Exprimer le rayon en fonction de l'angle polaire.
I.4 Dériver l'expression du rayon.
I.6 Le torseur cinématique équivalent et ceux des liaisons parallèles doivent 
être
tous égaux lorsqu'ils sont ramenés au même point.
I.8 Un couple de torsion est l'équivalent pour les rotations de la force de 
rappel
élastique exercée par un ressort pour les translations.
I.13 La solution non identiquement nulle de l'équation homogène est obtenue 
lorsque
le déterminant de la matrice est nul.
I.17 Traduire la conversion parfaite de puissance électromécanique pour écrire 
la
force de Laplace.
I.21 Quel est le signe des coefficients du dénominateur ?
I.23 Évaluer la différence d'aire entre le secteur circulaire dans son ensemble 
et le
triangle sous la piste.
I.26 Pour simplifier l'étude, considérer qu'à haute fréquence le dénominateur 
de la
fonction de transfert est équivalent à son terme de plus haut degré en . Il y a
vraisemblablement une erreur d'énoncé : considérer que K est positif.
Partie II
II.3 Exprimer la partie réelle de Ex et de Ey .
II.5 Étudier la légende de la figure 15.
II.9 Dessiner le dioptre plan, les rayons incident et réfracté et en déduire la 
nouvelle
position du point de focalisation.
II.11 Dessiner la lentille cylindrique en coupe dans les plans cités.
II.13 Les rayons dans le plan vertical sont courbés deux fois. Dans le plan 
horizontal,
ils ne sont courbés qu'une fois.
II.17 Différentier la formule de conjugaison de la lentille.
II.18 Calculer le grandissement pour des points quelconques puis passer à la 
limite
en plaçant la source sur le premier foyer.
II.24 Écrire la formule fondamentale des réseaux et en déduire l'angle de 
déviation.

Lecteurs optiques numériques
I. Aspects de la mécanique d'un lecteur de CD
I.1

Caractéristiques cinématiques des éléments du lecteur

I.1 Le rayon est une fonction affine de l'angle polaire. En outre, pour un tour,
le rayon croît du pas p. Notons r0 le rayon intérieur et fixons à  = 0 l'angle 
du début
de la piste. Le rayon s'écrit alors
p

r = r0 +
2
2
dr
p
et la longueur L de la piste est donnée par
Z
Z 1
2 r1
r dr
L=
r d =
p r0
0

On en déduit

d =

L=

(r1 2 - r0 2 ) = 5,4 km
p

Il est plus intéressant d'exprimer  en fonction de r, même si c'est moins 
intuitif, car ainsi l'intégrale s'exprime en fonction des rayons extrêmes, qui 
sont
donnés dans l'énoncé.
I.2 La vitesse de défilement du spot devant la piste étant constante, la durée 
maximale de lecture audio vaut
T=

L
= 75 min
V

La valeur usuellement retenue est 74 minutes. Le résultat calculé est 
légèrement inférieur à 75 minutes mais arrondi à 75 pour garder une cohérence
dans les chiffres significatifs. La rumeur voudrait que cette durée ait été 
choisie afin que la version la plus lente de la 9e symphonie de Beethoven tienne
sur un seul CD.

I.3 La vitesse angulaire s'exprime simplement
en fonction de la vitesse linéaire
(r) =

0

V
r

Les vitesses aux bords intérieur et extérieur du
disque valent
0 = 48 rad.s-1 = 460 tr.min-1
1 = 21 rad.s-1 = 200 tr.min-1

1

r0

r1

r

I.4 Reprenons et dérivons l'expression du rayon écrite à la question I.1 :
dr
p d
p
=
=

dt
2 dt
2
Ainsi, avec la vitesse angulaire trouvée à la question précédente,
u(r) =

u(r) =

pV
2 r

Les valeurs extrémales de cette vitesse radiale sont
u0 = 12 µm.s-1

I.2

et

u1 = 5,3 µm.s-1

Une solution technologique pour le déplacement du spot laser

I.5 Le chariot est relié au bâti du lecteur par trois liaisons en parallèle. 
Les liaisons A
et B sont de type sphère-cylindre. La liaison C est un contact ponctuel.
Liaison A
Ba

Liaison B

Ch

Liaison C

La liaison sphère-cylindre s'appelait autrefois liaison linéaire annulaire.
Le contact ponctuel est souvent dénommé liaison sphère-plan.
I.6 L'ajout d'une liaison sphère-cylindre en parallèle de la première bloque 
deux ro

tations, autour des axes (A, -
y ) et (A, -
z ) ; le chariot est lié par les deux points A et B

-
à l'axe (A, x ), ce qui correspond à une liaison pivot glissant. Le contact 
ponctuel

placé en parallèle annule la dernière rotation, autour de l'axe (A, -
x ).

La liaison équivalente est une glissière d'axe (A, -
x ).
Le torseur cinématique équivalent à ces trois liaisons parallèles est obtenu en
écrivant que les torseurs cinématiques de chaque liaison exprimés en un même 
point
sont égaux. Ainsi, on veut
{V Liaison A }A = {V Liaison B }A = {V Liaison C }A

-

-

 -

=
=

 - 
 - - -
 - - -
VA A
VB + AB  
VC + AC  
A
A

-
-
-
-
Avec AB = a 
x et AC = -b 
y , on a alors

u 
 u 

 -a 
=
=
 0

 0 A

 a 
A

u - b  

v

b 
A