X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2009

Thème de l'épreuve Propulsion et sustentation magnétiques
Principaux outils utilisés induction, asservissements
Mots clefs lévitation, maglev

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE MP
Option Physique et Sciences de l'Ingénieur

CONCOURS D'ADMISSION 2009

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Propulsion et sustentation magnétiques
Projets futuristes dans les années 1970, la propulsion et la sustentation 
magnétiques sont
aujourd'hui une réalité (figure 1). Le train à lévitation magnétique, ou 
Maglev, utilise les
forces magnétiques pour assurer sa sustentation, son guidage et sa propulsion. 
En régime de
croisière, il n'y a pas de roues en contact avec des rails, ce qui permet de 
réduire les frottements et d'atteindre des vitesses élevées. Le record de 
vitesse actuel, établi en 2003, est
de 581 km/h.

Figure 1 : Le Transrapid rejoint l'aéroport au coeur de Shanghaï en moins de 8 
minutes,
à 250 km/h en moyenne, avec une vitesse maximale de 400 km/h.
Ce problème aborde successivement une modélisation historique de la 
sustentation électromagnétique (partie I) et quelques aspects de la commande de 
la lévitation d'un Maglev
(partie II).
Dans l'ensemble du problème, l'axe vertical ascendant est représenté par le 
vecteur unitaire ~z
et z est sa coordonnée associée. Les vecteurs horizontaux ~x et ~y complètent 
la base orthonormée
directe (~x, ~y , ~z).

1

I. L'expérience d'Elihu Thomson

Figure 2 : Une réalisation de
l'expérience d'Elihu Thomson

Un solénoïde (S), de section circulaire, d'axe vertical
ascendant O~z, de rayon b et comprenant n spires jointives par unité de 
longueur est parcouru par un courant, d'intensité instantanée iS (t) = IS 
cos(t). On
note RS la résistance électrique de l'enroulement et
LS son inductance propre (le rôle du cylindre central,
nommé noyau et représenté en grisé dans la figure 2,
sera précisé ultérieurement). L'origine O de l'axe O~z
est au centre de la face supérieure du solénoïde, qui est
donc situé dans la région z < 0. Un anneau métallique
indéformable circulaire (A), de masse m, de rayon a,
d'épaisseur négligeable et d'axe O~z, est initialement
maintenu en z = 0. Cet anneau est mobile sans frottement et sans jeu, 
parallèlement au plan horizontal et
en restant centré sur l'axe. Il comprend selon les expériences N = 1 ou 2 
spires toujours identiques, en série
et parcourues par un courant instantané noté iA (t).

L'ensemble du dispositif jouit donc de la symétrie cylindrique autour de l'axe 
O~z ; les conventions d'orientation des deux circuits sont les mêmes. La masse 
volumique du matériau constituant
l'anneau est notée µM , sa conductivité électrique M ; on a donc m  N µM , où 
le symbole «  »
signifie « est, toutes choses égales par ailleurs, proportionnel à . . . ». La 
résistance d'une spire
N
.
est notée rA et son inductance propre A ; la résistance de l'anneau est donc RA 
= N rA 
M
L'inductance mutuelle entre (S) et (A), notée M , dépend de z et bien sûr de N 
. On dispose de
divers anneaux, en cuivre ou en aluminium, avec µCu  3µA et Cu  1, 7A . On note 
 le flux
magnétique envoyé par le solénoïde à travers un anneau donné.
Données numériques : l'anneau est constitué d'une spire unique de cuivre, de 
masse
m1 = 12 × 10-3 kg, avec rA = 1, 0 × 10-4 , A = 1, 0 × 10-7 H, l'intensité de la 
pesanteur
est g = 10 m · s-2 ; pour simplifier le traitement, on conviendra que le 
diamètre du noyau est
D = 2a = 4 × 10-2 m.
Dans une première série d'expériences, le noyau n'a pas de propriété 
électromagnétique particulière, il ne sert qu'à guider le mouvement de l'anneau 
et tout se passe comme si ce dernier
évoluait dans le vide. Dans une seconde série d'expériences, le noyau en fer 
doux, aura un rôle
supplémentaire qui sera précisé le moment venu.
~ z; t) = B(r,
~ z) cos(t) le
Dans tout le problème, on note, en coordonnées cylindriques, B(r,
~ z) = B
~ 0 (z) = B0 (z)~z définit
champ créé en un point P (r, , z) par le solénoïde. La relation B(0,
la fonction B0 (z), champ sur l'axe O~z.
À l'instant initial, l'anneau est libéré. On constate les faits suivants :
F1 L'anneau (A), projeté vers le haut, se stabilise à une certaine hauteur z0 . 
La position
d'équilibre est stable.
2

F2 Un anneau constitué de deux spires identiques (masse totale m = m2 = 2m1 ) 
se stabilise
plus haut qu'un anneau constitué d'une seule spire, identique aux deux 
premières.
F3 Les cotes d'équilibre pour deux anneaux géométriquement identiques, mais 
constitués l'un
en aluminium l'autre en cuivre sont différentes : z0 (A) > z0 (Cu).
I.1 Considérations générales
~ à travers un cylindre élémentaire
1. En considérant le flux du champ magnétique (vecteur B)
d'axe O~z, de rayon r et de hauteur dz, montrer que le champ radial en un point 
P (r, , z)
~ r (r, z; t) = - 1 r dB0 cos(t) ~er , où ~er est, en coordonnées
au voisinage immédiat de l'axe est B
2 dz
cylindriques, le vecteur unitaire radial.
2. L'anneau est maintenu à une cote constante. On admet que la composante 
parallèle
à O~z de la force électromagnétique à laquelle l'anneau est soumis s'exprime 
par la relation
d
dM
. Vérifier que F (z, t) = iA (t) , où  est le flux du champ magnétique
F (z, t) = iA (t)iS (t)
dz
dz
du solénoïde (S) à travers l'anneau (A).
3. Donner l'expression générale de la force électromotrice (fém) induite par 
(S) dans (A), en
fonction de iS (t) et de M .
4. Expliciter la réponse, en fonction de , 0 (z) = a2 B0 (z) et sin(t) lorsque 
l'inégalité
a << b est satisfaite.
5. Notant iA (t) le courant qui circule dans l'anneau (A), maintenu à la cote 
z, exprimer la
résultante instantanée des forces de Laplace qui s'exercent sur cet objet.
6. Montrer que l'inductance propre de (A) est LA = N 2 A et que l'inductance 
mutuelle, M ,
varie linéairement avec N ; on notera M = N M1 , ce qui définit M1 .
I.2 Modélisations de la première série d'expériences
Le but de cette partie est d'interpréter les observations F1-F3.
On suppose que l'anneau n'est sensible qu'à la valeur moyenne dans le temps de 
la résultante
des forces de Laplace, hF~L it . On relaxe l'hypothèse a << b ; on n'explicite 
plus la forme du
~ seuls interviendront les inductances et les autres paramètres des circuits. 
On impose
champ B,
toujours iS (t) = IS cos(t) et l'on suppose que l'anneau est fixe (il n'y a pas 
de variation de flux,
et donc de fém associée à un mouvement).
7. On suppose provisoirement que A est nulle. Montrer que hF~L it = ~0.
8. On suppose que A n'est pas nulle, mais que rA est nulle. Calculer hF~L it 
dans ce cas.
9. La modélisation de la question 8 est-elle compatible avec les faits 
expérimentaux observés ?
10. Aucune des grandeurs RS , LS , rA et A n'est supposée désormais nulle. La 
tension aux
3

bornes du solénoïde est notée uS (t) = U0 cos(t). Exprimer la loi des mailles 
pour le solénoïde
et pour l'anneau.
11. On note en représentation complexe IA et IS les amplitudes complexes des 
intensités
iA (t) et iS (t), ZA = RA + jLA  = |ZA | exp(jA ), ZS = RS + jLS  = |ZS | 
exp(jS ),
ZAS = jM  et D 2 = ZA ZS + M 2  2 = |D|2 exp(2jD ). Exprimer IA et IS en 
fonction de
ZA , D, U0 et ZAS . En déduire les expressions de iS (t) et de iA (t).
12. Établir la relation suivante pour la force moyenne subie par un anneau 
constitué de N
spires :
N2
.
hF it  h
i2
2
2
2
2
rA RS + N  (M1 - A LS ) +  (rA LS + N A RS )
F (2)
, rapport des forces magnétiques agissant resF (1)
pectivement sur un anneau constitué de deux spires et sur un anneau d'une spire 
pour RS = 2 ,
A = 1, 0 × 10-7 H, LS = 0, 1 H, M1 = 5, 0 × 10-5 H et  = 100  rad · s-1 (50 Hz).
13. Application numérique : Calculer

14. Interpréter F2.
15. Interpréter F3.
I.3 Modélisations de la deuxième série d'expériences
Cette série concerne une spire unique (rA , A , M1 ). On garde le même 
dispositif expérimental,
à ceci près que le matériau du noyau, de hauteur H = 0, 5 m, est 
ferromagnétique, et provisoirement supposé isolant. En plus de son rôle de 
guidage de l'anneau, le noyau canalise et augmente
sensiblement le champ produit par la bobine. Dans ces conditions, l'inductance 
A de l'anneau
est influencée par le noyau et devient A qui dépend de l'altitude. Pour 
simplifier les calculs,
on remplacera A par sa valeur moyenne spatiale . Numériquement, la spire est 
choisie de telle
manière que  = 1, 0 × 10-7 H. On garde l'hypothèse que l'anneau n'est sensible 
qu'à la valeur
moyenne dans le temps de la résultante des forces de Laplace, hF~L it .
Le champ magnétique dans le noyau diminue au fur et à mesure que l'on s'éloigne 
de la
bobine pour s'annuler au-delà de z = H. Le flux du champ dans le noyau est 
alors modélisé par
la relation

z
(z) cos(t) = 0 1 - 
cos(t), avec  = 0, 6 pour 0 6 z 6 H
H
(z, t) =

0
pour z > H .

Pour 0 6 z 6 H, on établit que la force électromotrice induite dans l'anneau 
positionné à la
cote z est e(z, t) = -d/dt = (z) sin(t), que le courant induit en régime 
permanent est

iA (t) = (z)

rA
Ä

2 + 
rA

ä2 sin(t) -

Ä

2 + 
rA

ä2 cos(t)

et que l'expression du champ radial à la surface du noyau est Br =
4

0
cos(t).
DH

16. Établir l'expression suivante de la composante Fz selon O~z de la 
résultante des forces de
Laplace s'exerçant sur l'anneau :
Fz = -

0

H

(z)

rA
Ä

2 + 
rA

ä2 sin(t) cos(t) -

Ä

2 + 
rA

2
ä2 cos (t) .

17. Montrer que la moyenne temporelle hFz it se met sous la forme hFz it = F0 1 
- 

préciser F0 . Donner l'équation du mouvement de (A), sous l'action de hFz it .

z
et
H

18. Quelle inégalité doit être satisfaite entre F0 , m et g pour que l'anneau, 
positionné initialement en z = 0, décolle ? Cette condition étant satisfaite, à 
quelle cote z0 l'anneau se stabiliserat-il ?
19. Application numérique : Calculer z0 pour  = 100  rad · s-1 et 0 = 5 × 10-4 
Wb.
20. Donner la solution de l'équation du mouvement obtenue en 15, avec les 
conditions
initiales z(0) = 0 et z(0) = 0.
21. L'inégalité établie à la question 18 étant satisfaite, quel est l'effet, 
négligé dans la
modélisation, qui provoque l'amortissement du mouvement et permet d'atteindre 
la position
d'équilibre ?
22. À partir de maintenant, l'anneau, avant d'être positionné, est refroidi de 
telle sorte que sa
résistance soit abaissée d'un facteur 10 (on le trempe dans de l'azote liquide, 
dont la température
d'ébullition est de 77 K). Calculer numériquement z0 . Est-ce une position 
d'équilibre ?
23. Dans les conditions expérimentales de la question 22, l'inégalité de la 
question 18 étant
satisfaite et les conditions initiales étant celles de la question 20, calculer 
numériquement la
vitesse de l'anneau lorsqu'il arrive à l'extrémité du noyau et la durée  pour y 
parvenir.
24. Dans quelle mesure l'utilisation d'une force moyennée temporellement 
est-elle dans ce
cas justifiée ?
25. On suppose que, une fois séparé du noyau, l'anneau n'est soumis qu'à la 
pesanteur. Quelle
est l'altitude maximale qu'il atteint ?
26. Dans la réalité, le noyau conducteur, est le siège de courants ; pour avoir 
une idée grossière
~ uniforme dans le matériau : B(r,
~ z; t) = B0 cos(t)~z et admettons
des pertes Joule, supposons B
~ z; t) = 1 B0 r sin(t) ~e (~e est le
sous cette hypothèse que le champ électrique associé soit E(r,
2
vecteur unitaire pour la coordonnée ). Expliquer alors pourquoi il est 
avantageux de remplacer
a
le cylindre de rayon a par p cylindres identiques de rayon  avec p aussi élevé 
que possible, et
p
séparés par de l'isolant (les cylindres, d'axes parallèles à O~z, sont disposés 
de manière compacte
à l'intérieur du cylindre de rayon a ; cette substitution conserve 
approximativement le volume de
~ qui reste uniforme au sein du noyau).
matière et ne modifie pas le champ B,

5

II. Commande en lévitation
Il existe deux technologies de trains à lévitation magnétique (figure 3) : la 
lévitation par
répulsion (EDS) et la lévitation par attraction (EMS).
EDS

EMS

Figure 3 : Technologies EDS (répulsion) et EMS (attraction) de trains à 
lévitation magnétique.
· Dans le type à sustentation électrodynamique (ou EDS) des bobines 
supraconductrices sont
placées dans le train et des électroaimants sont placés le long de la voie. 
Lorsque le train
se déplace, un courant est induit dans la voie. La force répulsive de Laplace 
résultante fait
léviter le train. Le déplacement du train engendre un freinage 
électromagnétique important,
d'où une consommation énergétique élevée. La lévitation ne se produisant 
qu'au-delà d'une
certaine vitesse, les trains sont munis de roues.
· Dans le type à suspension électromagnétique (ou EMS), le train, contenant des 
électroaimants, est en suspension au-dessus d'un rail et à une distance 
centimétrique de ce dernier.
Le freinage électromagnétique est ici très faible. La position d'équilibre 
entre la pesanteur
et les forces électromagnétiques attractives est instable et la distance entre 
le véhicule et
le rail de guidage est contrôlée électroniquement.
L'axe vertical ascendant est représenté par le vecteur ~z et z est sa 
coordonnée associée. L'axe
du train, considéré comme rectiligne, est noté ~x dirigé de l'arrière vers 
l'avant du train. x est la
coordonnée associée. L'axe ~y complète la base orthonormée directe (~x, ~y , 
~z).
II.1 Modélisation et stabilité du système EDS
Le rail « porteur » contient des aimants permanents ou des électroaimants. 
L'interaction
entre les aimants à bord du train (bobines supraconductrices) et des aimants 
disposés le long de
la voie (bobines ordinaires) génère une force magnétique répulsive qui compense 
la pesanteur et
crée la lévitation. Ces aimants assurent l'existence d'une garde suffisante 
entre le « rail » et le
train, ce qui affranchit le véhicule de toute perte due à la friction.

z
Rame de masse m

O

z(t)

Rail
Figure 4 : Modélisation élémentaire de la rame.
6

La rame de train est modélisée par une
masse m pouvant se déplacer suivant l'axe
O~z vertical. Cette masse est soumise aux
actions de pesanteur et à la force magnétique F~ (z) dirigée selon l'axe O~z 
(figure 4).
Le point O, origine des cotes z, appartient
au rail de guidage.

Propriétés de la lévitation électrodynamique
L'inductance mutuelle entre les bobines de la voie de guidage et les bobines à 
bord du train
az
est modélisée par la relation : M (z) = M1 exp -
, où a > 0. La grandeur « 1/a » est une
2
estimation de la portée des effets magnétiques. L'inductance des bobines de la 
voie de guidage
est notée A et celle des bobines à bord du train L0 . Un courant I circule dans 
ces dernières.
Dans ces conditions, on montre que l'interaction électromagnétique génère une 
force magnétique
1
induite : F (z) = F0 exp(-az), avec F0 = aL1 I 2 .
2
27. Valeurs numériques : m = 1, 0 × 104 kg, g = 10 m · s-2 ,
L1 I 2 = 105 kJ. Tracer l'allure de F (z) et calculer la valeur de F (0).

1/a = 0, 1 m et

28. À partir du théorème de la résultante dynamique appliqué
Å à la
ã masse m (figure 4), vérifier
1
F0
que la cote d'équilibre du véhicule, si elle existe, est z0 = ln
. Calculer z0 .
a
mg
29. Dans la suite, on travaillera sur un modèle de comportement du système. 
Pour cela on
s'intéresse aux petites variations autour de la position d'équilibre z0 et l'on 
pose : z = z - z0 avec
z  1/a. Établir l'équation différentielle linéaire satisfaite par z. Montrer 
l'équivalence entre
le système étudié et un oscillateur non amorti, dont on précisera la pulsation 
propre 0 et la
fréquence propre f0 . Calculer numériquement 0 et f0 .
30. On souhaite identifier le modèle de comportement. Pour ce faire, lors d'un 
essai de vitesse,
on relève une fréquence f0 de 1,65 Hz. En déduire la valeur numérique réelle de 
la distance
caractéristique 1/a. Corriger les évaluations précédentes de F0 et de z0 . 
C'est cette valeur de 1/a
qui sera utilisée dans la suite.
31. Quelles forces supplémentaires, négligées jusqu'ici, pourrait-on prendre en 
considération
dans la modélisation du système afin d'améliorer la stabilité du mouvement ?
Contrôle de la lévitation électrodynamique
Pour réduire les oscillations décrites par le modèle de comportement précédent, 
il est nécessaire de mettre au point une loi de commande. L'étude de sa mise au 
point constitue l'objectif de
cette section. Les forces supplémentaires évoquées à la question 31 constituent 
des perturbations
que l'on rend nulles dans l'étude qui suit.
On complète le modèle de comportement avec une force de commande mfc~z d'origine
magnétique qui s'exerce sur le train. La force massique fc (t) est homogène à 
une accélération et
sa transformée de Laplace est notée Fc (p).
32. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la fonction du transfert liant la 
variation de
la position verticale et la force de commande est
HEDS (p) =

1
Z(p)
= 2
.
Fc (p)
p + ag

33. Tracer le diagramme asymptotique de Bode en précisant la pulsation 
caractéristique.
7

Préciser l'influence du paramètre « a » sur le gain statique et la pulsation 
caractéristique.
La stabilisation de la lévitation se fait en réalisant un asservissement de la 
position via la
commande fc suivant le schéma fonctionnel de la figure 5. La fonction de 
transfert du correcteur
p2 + ag
est de la forme : C(p) = K 2
, où K, b et c sont des paramètres à déterminer au regard
p + bp + c
du cahier des charges : bonne précision et amortissement des oscillations.

Figure 5 : Système d'asservissement de la position verticale d'une rame de 
train EDS.
BO

34. Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte : HEDS (p) =

Z(p)
.
(p)

Z(p)
. Mettre cette
Zref (p)
fonction sous forme canonique et préciser les paramètres caractéristiques. 
Justifier le choix d'une
telle structure pour le correcteur.
BF

35. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée HEDS (p) =

36. On souhaite que l'erreur statique pour une entrée en échelon unitaire soit 
nulle ; le gain
BF
statique est alors unitaire. À partir de l'expression de HEDS (p), donner la 
valeur du paramètre c
du correcteur C(p) permettant de satisfaire cette spécification.
37. Préciser l'inconvénient de la structure choisie pour le correcteur si la 
valeur de « a » est
mal connue. Comment choisir « a » pour se prémunir d'un tel inconvénient ?
38. L'erreur statique pour un échelon en entrée est toujours nulle. On souhaite 
que le temps de
réponse du système soit de l'ordre de 1 seconde et qu'il possède les marges de 
stabilité suivantes :
6 dB pour la marge de gain et 45 pour la marge de phase. En s'appuyant sur les 
propriétés des
diagrammes de Bode, calculer les gains K et b du correcteur pour satisfaire le 
cahier des charges.
Limitation de la lévitation électrodynamique
Dans l'étude qui précède, la force électromagnétique de lévitation est 
indépendante de la
vitesse du train. Une modélisation plus fine, prenant en compte la variation de 
l'induction des
exp(-az)
, où F0 est
bobines avec la vitesse v du train par rapport au sol, donne F (z, v) = F0
1 + (v0 /v)2
la grandeur donnée à la question 27 et v0 une vitesse de référence, évaluée ici 
à 12 m · s-1 , soit
environ 43 km/h.
39. À partir du théorème de la résultante appliqué au train en projection sur 
l'axe ~z, exprimer
la position d'équilibre z0 (v).

8

40. Quelle est la vitesse minimale vmin du train pour que la lévitation soit 
possible ? Commenter l'inconvénient d'une telle limitation. Quelle solution est 
adoptée pour permettre néanmoins
l'utilisation du système EDS ?
II.2 Train à suspension électromagnétique (EMS)
La technologie EMS utilise des forces électromagnétiques attractives pour 
assurer la lévitation
du train, comme schématisé par la figure 6. Cette partie concerne la 
modélisation du système
d'asservissement et la réalisation de la loi de commande.

Figure 6 : Rame de train à lévitation EMS. Remarque : z < 0.
Le système de suspension (figure 6a) est constitué d'un électro-aimant 
solidaire de la rame
du train. La culasse de l'électro-aimant (en forme de U ) est entourée d'une 
bobine de N spires.
L'enroulement est parcouru par un courant variable, noté i, ce qui génère une 
force électromagnétique dans l'entrefer. Un circuit électrique réalise 
l'asservissement de la position relative
train/rail (entrefer) à une valeur constante, en régulant le courant qui 
parcourt la bobine.
Propriétés de la force de suspension électromagnétique
La rame de train est toujours assimilée à une masse m pouvant se déplacer 
suivant l'axe O~z.
On note S/2 la surface utile de chaque électro-aimant (un par rail), µ0 la 
perméabilité magnétique
du milieu constituant l'entrefer, z la valeur de l'entrefer (remarque : 
l'origine étant liée au « rail »
et le train étant « suspendu » les valeurs de z sont négatives), i le courant 
dans l'électro-aimant,
N le nombre de spires et g l'accélération de la pesanteur. La norme de 
l'induction magnétique
µ0 N i
dans l'entrefer est B (z) =
et on admet que la force électromagnétique qui s'applique sur
2|z|
Å ã
µ0 N S i 2
le train, est donnée par la relation F (z) =
.
4
z
41. Établir l'équation différentielle relative à la cote z.
42. On considère la position d'équilibre de la rame, caractérisée par un 
entrefer |z0 | et
un courant d'équilibre d'intensité i0 . Montrer que ce courant est 
proportionnel à la valeur
d'entrefer d'équilibre |z0 |. On exprimera la constante de proportionnalité en 
fonction de S, µ0
et N . En déduire l'expression de l'induction magnétique Beq nécessaire à la 
suspension du
train. Pour l'application numérique, on prendra : m = 1, 0 × 104 kg, S = 0, 5 
m2 , N = 400
et µ0 = 4 × 10-7 H · m-1 .

9

Stabilité de la suspension électromagnétique
On recherche un modèle de comportement du système. Pour cela on s'intéresse aux 
petites
variations autour de la position d'équilibre et on pose z = -|z0 | + z, i = i0 
+ i avec |z|  |z0 |
et |i|  i0 .
L'asservissement de l'entrefer est réalisé selon le principe du schéma 
fonctionnel de la figure 7, où l'on indique les notations adoptées pour 
modéliser chaque composant de la chaîne
d'asservissement.

Figure 7 : (a) Schéma fonctionnel de l'asservissement de l'entrefer (b) 
notations pour les blocs
du schéma fonctionnel à force perturbatrice nulle.
~
43. Donner la fonction de transfert H(p) = Z(p)/I(p).
Étudier la stabilité de cette fonction
et justifier la nécessité d'une boucle d'asservissement.
44. Représenter les diagrammes asymptotiques de Bode, en module et en phase, de 
la fonction
de transfert H(p), en précisant la pulsation caractéristique.
45. Le capteur de position délivre une tension proportionnelle à la position. 
Son gain est de
20 V/mm. Donner la valeur de la fonction de transfert M (p). Transformer le 
schéma de la figure
7(b) en un schéma fonctionnel avec retour unitaire.

i(t)
46. La conversion tension/courant en sortie
du correcteur est réalisée par le circuit RL série
de la figure 8.
~
I(p)
puis celle
Établir l'expression de G(p) =
U (p)
de la fonction de transfert en boucle ouverte :
HBO (p) = Vz (p)/(p) sans prendre en compte le
correcteur (C = 1).

u(t)

Le

Re

Figure 8 : Schéma électrique de l'actionneur.

10

On donne Re = 1 k  et Le = 1 mH ; compte tenu de la faible valeur de Le /Re 
devant les
temps caractéristiques du système, simplifier HBO (p) sous la forme d'une 
fonction de transfert du
second ordre et calculer numériquement ses différents coefficients, pour i0 = 
44 A et z0 = 20 mm.
Synthèse de la loi de commande
Le cahier des charges pour la suspension précise les points suivants :
Stabilité : marge de gain 6 dB, marge de phase 45 ,
Précision : erreur statique nulle pour une entrée en échelon,
Rapidité : temps de réponse de l'ordre de 1 ms.
47. On considère le correcteur proportionnel intégral C(p) = KP I
diagramme de Bode de ce correcteur et présenter son intérêt.

1 + Ti p
. Tracer l'allure du
Ti p

48. Calculer la fonction de transfert de la boucle fermée pour le système 
corrigé. À partir du
critère de Routh, conclure quant à la stabilité du système ainsi corrigé.
49. On considère la nouvelle chaîne d'asservissement représentée à la figure 9. 
Calculer la
fonction de transfert en boucle fermée : HBF (p) = Z(p)/Zref (p). Calculer son 
gain statique et
conclure quant au respect de la spécification sur la précision.
50. Montrer que le cahier des charges entraîne que la fonction de transfert 
entre la sortie et la
Z(p)
02
. Préciser les valeurs numériques
 H BF (p) = 2
consigne est de la forme
p + 20 p + 02
Zref (p)
de  et de 0 .
51. En comparant les fonctions de transfert des deux questions précédentes, 
montrer que la
forme souhaitée de la fonction de transfert en boucle fermée est obtenue par la 
mise en série avec
H BF (p) d'une fonction de transfert supplémentaire dont on précisera l'ordre. 
Comment choisir les
coefficients de cette fonction complémentaire, notée Hc (p), pour satisfaire le 
cahier des charges ?

~
Z ref (p) +

~
I(p)

+
K3 /p

_

~
Z(p)
HBO (p)

_
K1 +K2 p
Figure 9 : Nouveau schéma de commande.

52. Comparant les coefficients des dénominateurs de HBF (p) = Hc (p)·H BF (p) 
et de HBF (p),
déterminer les coefficients K1 , K2 , et K3 , indiqués figure 9, pour que le 
cahier des charges soit
respecté.
11

53. Finalement, comparer les deux technologies EMD et EDS et donner les 
avantages et
inconvénients de chacune au regard des résultats des parties II.1 et II.2.

Figure 10 : Train à
technologie EDS (Japon).

Figure 11 : Train à technologie EMS (Chine).

12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2009
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Antoine Bréhier (Professeur en CPGE) et Julien Dumont (Professeur en CPGE).

Ce sujet propose d'examiner quelques aspects de la sustentation magnétique,
à travers l'étude des trains à lévitation magnétique. Les interactions entre 
deux bobinages sont à l'origine de forces magnétiques mal maîtrisées du fait 
des intrications
entre les différentes grandeurs. L'énoncé est scindé en deux parties de même 
longueur
et complètement indépendantes, centrées respectivement sur la physique et sur 
les
sciences de l'ingénieur.
· Le problème commence par l'étude d'expériences de lévitation d'un anneau
constitué d'une ou de deux spires, guidé par un cylindre central au-dessus d'un
solénoïde. Le but est d'appréhender l'influence de paramètres tels que le nombre
de spires ou le matériau de l'anneau. Pour cela, on évalue la force de Laplace
moyenne qui se développe sur l'anneau.
· La deuxième partie aborde le problème de la commande en lévitation de deux
types de trains à lévitation magnétique, l'un à répulsion, l'autre à attraction.
La finalité de cette partie est l'étude de la stabilité et de la commande des 
deux
types de systèmes, afin de comparer les technologies.
Ce sujet, très long, peut paraître obscur sur de nombreuses questions. La partie
de physique pure est originale mais ne surprendra pas ceux qui maîtrisent le 
cours
sur l'induction. La partie de sciences de l'ingénieur traite exclusivement 
d'asservissements et ne demande aucune connaissance en mécanique du solide 
indéformable.
Des difficultés sont à prévoir dans les calculs, notamment pour l'établissement 
des
fonctions de transfert. Les questions de cours sur les correcteurs permettent 
de faire
le point sur le sujet.
Remarquons que les trains à lévitation magnétique font l'objet de recherches et
d'essais industriels depuis une quarantaine d'années. Des prototypes grandeur 
nature
ont été construits, notamment le Transrapid en Allemagne et le Maglev au Japon.
Toutefois, une seule ligne est actuellement en service, le Transrapid 
(technologie
allemande) qui relie le centre-ville de Shanghai à son aéroport. Un autre 
projet de
grande envergure est à l'étude pour relier les principales villes de Suisse.

Indications
1 Le flux du champ magnétique est conservatif.
3 Utiliser la loi de Faraday.
4 Le flux à travers l'anneau est uniquement dû au champ axial, qui peut être 
considéré comme uniforme si a  b.
5 Intégrer la force élémentaire de Laplace le long d'une spire.
6 Exprimer le champ magnétique créé par une spire en son centre puis calculer le
flux de ce champ à travers la spire.
7 Utiliser la force de Laplace donnée à la question 2.
11 Réécrire la loi des mailles en utilisant la notation complexe. Calculer le 
module et
l'argument de IA puis IS pour obtenir les valeurs instantanées. La référence des
phases est fixée par uS (t). Attention, A n'est pas la phase à l'origine de iA .
12 Utiliser hiA (t) iS (t)i = Re (IA IS )/2.
20 Erreur d'énoncé : l'équation du mouvement a été obtenue à la question 17.
23 Exprimer d'abord le temps  au bout duquel l'anneau atteint l'altitude H puis
calculer la vitesse.
26 Utiliser la loi d'Ohm locale.
29 Effectuer un développement limité autour de la position d'équilibre.
38 La marge de gain est le gain du système lorsqu'il atteint la phase critique 
de 180 ,
ce qui n'arrive jamais pour un second ordre. En outre, pour un système du second
ordre pseudo-oscillant, le temps de réponse est approché par tr5%  3/( 0 ).
43 Ne conserver que les termes d'ordre 1 en ei/i0 et en ze/ |z0 |.

49 Erreur d'énoncé : le bloc HBO (p) de la figure 9 est à remplacer par la fonce
eI(p) calculée à la question 43.
tion H(p) = Z(p)/

51 Choisir les paramètre de Hc (p) de façon à ne pas dégrader les performances
de HBF (p). En l'occurrence, Hc (p) doit être plus rapide que HBF (p) et son 
gain
ne doit pas entraîner une augmentation de l'erreur statique.

I. L'expérience d'Elihu Thomson
I.1

Considérations générales

-
1 L'équation de Maxwell div B = 0 permet d'affirmer que le flux du champ 
magnétique est conservatif.
Considérons un cylindre élémentaire C d'axe (Oz), de
rayon r très faible devant le rayon de la bobine, compris entre les hauteurs z 
et z + dz. Le théorème de
Green-Ostrogradsky et l'équation de Maxwell précédente permettent d'écrire
ZZ
ZZZ
-
 -

-
B · dS =
div B d = 0
C

z
-

d S haut
r
-

d S cote
dz

C

-

d S bas

Ceci traduit le bilan de flux suivant

dbas + dhaut + dcôté = 0
L'ensemble du système jouissant de la symétrie cylindrique, le champ magnétique
est invariant par rotation autour de l'axe (Oz). En outre, on prend dz 
suffisamment
petit pour pouvoir considérer, à des termes du second ordre près, que le champ 
ne
varie pas sur la hauteur du cylindre élémentaire. Ainsi,

-

-
dcôté = B (r, z; t) · d S côté = Br (r, z; t) 2 r dz
Comme le rayon r est faible devant le rayon du solénoïde, on peut également 
considérer que le champ axial est uniforme sur toute la base du cylindre, ce 
qui permet
d'écrire
Bz (r, z; t) = Bz (0, z; t) = B0 (z) cos t
Sachant que le vecteur surface élémentaire est toujours orienté vers 
l'extérieur de la
surface fermée, on a alors

-
-

 dbas = -
B (0, z; t) · d S bas = B(0, z; t) 
ez · (- r2 -
ez ) = - r2 B(0, z; t)

-

-
dhaut = B (0, z + dz; t) · d S haut =  r2 B(0, z + dz; t)
Le bilan de flux devient
- r2 B(0, z; t) +  r2 B(0, z + dz; t) + Br (r, z; t) 2 r dz = 0

soit
Ainsi,
et finalement

2 Br (r, z; t) dz = -r[B(0, z + dz; t) - B(0, z; t)]
1 dB(0, z; t)
Br (r, z; t) = - r
2
dz
-

1 dB0

Br (r, z; t) = - r
cos t -
er
2 dz

2 Par définition de l'inductance mutuelle, le flux du champ magnétique du 
solénoïde (S) à travers l'anneau (A) vaut, avec iS (t) l'intensité qui circule 
dans l'anneau,
 = M iS (t)
Ainsi,

F(z, t) = iA (t) iS (t)

dM
d
= iA (t)
dz
dz

puisque l'intensité iS ne dépend pas de l'altitude de l'anneau.

3 D'après la loi de Faraday, la force électromotrice e induite par le solénoïde 
dans
l'anneau s'exprime selon
e=-

d
dM iS (t)
diS (t)
=-
= -M
dt
dt
dt

4 Le rayon de l'anneau étant très inférieur à celui du solénoïde, on retrouve 
le cadre
de la question 1 ; la composante selon (Oz) du champ magnétique a alors la même
valeur que sur l'axe :
Bz (r, z; t) = B0 (z) cos t
Le flux du champ magnétique du solénoïde à travers l'anneau vaut
ZZ

-

-
(0, z; t) =
B (r, z; t) · d S = N  a2 B0 (z) cos t = 0 (z) cos t
D'après la loi de Faraday, l'expression de la force électromotrice obtenue à la 
question
précédente s'écrit également
e=-

d
= 0 (z)  sin t
dt

5 La force élémentaire de Laplace qui s'exerce sur l'anneau (A), maintenu à la

-
cote z, parcouru par le courant iA (t) et soumis au champ magnétique B (a, z; 
t), est
 -
-
-

dFL ((z, t)) = iA d   B (a, z; t)

-

où d  = a d -
e est l'élément de spire de l'anneau (A) en coordonnées cylindriques.

Le produit vectoriel précédent a ainsi pour expression
0
Br (a, z; t)
iA a Bz (a, z; t) d
iA a d  B (a, z; t) =
0
0
Bz (a, z; t)
-iA a Br (a, z; t) d
Z 2
Z 2

-

-
Or,
er d = 0
et
ez d = 2
0

donc

0

-

FL (z, t) =

Z

2N

-

iA a -
e  B d

0

-
= -2 N  a iA Br (a, z; t) 
ez
= N  a2 i A
= iA

d -

ez
dz

dB0

cos t -
ez
dz

d'après la question 1
d'après la question 4

-

dM -

FL (z, t) = iA (t) iS (t)
ez
dz
On retrouve l'expression donnée à la question 2.
6 Le champ magnétique BA créé par l'anneau seul en son centre s'exprime selon
µ0 N
BA (t) =
iA (t)
2a
Le flux A créé par l'anneau à travers une de ses propres spires s'écrit alors
µ0 N
A (t) =  a2
iA (t)
2a