X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2007

Thème de l'épreuve Optique adaptative
Principaux outils utilisés optique ondulatoire et géométrique, asservissements
Mots clefs optique adaptative, diffraction, télescope

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
Option Physique et Sciences de l'Ingénieur

CONCOURS D'ADMISSION 2007

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Optique adaptative

L'optique adaptative est une technique qui permet de corriger en temps réel les 
dégradations
des images des astres dues a la propagation a travers la turbulence 
atmosphérique. Cette pro--
pagation introduit des différences de marche spatiales et temporelles 
aléatoires sur les faisceaux
optiques. Les ondes incidentes sur le télescope, issues d'une source lointaine, 
ne sont donc plus
des ondes planes et les dimensions des images formées au foyer ne sont plus 
déterminées par la
diffraction de l'ouverture du télescope.

Un système d'optique adaptative (figure 1) est constitué d'un analyseur de 
front d'onde qui
est en charge de la mesure en temps réel des perturbations du faisceau 
lumineux, d'un miroir
déformable permettant d'introduire sur le faisceau des différences de marche 
opposées a celles de
la turbulence pour en assurer la correction en temps réel et enfin d'un 
calculateur effectuant le
traitement du signal de l'analyseur pour le calcul de la correction et 
l'application des commandes
au miroir déformable.

La première partie traite de la formation d'une image, et présente quelques 
caractéristiques de
la turbulence, pour estimer la dégradation de l'image due a cet effet 
perturbateur. Les propriétés
du modèle de comportement d'un miroir modulable, élément de la chaîne d'optique 
adaptative
pour corriger le front d'onde perturbé, sont développées en deuxième partie. La 
troisième partie
expose deux techniques pour évaluer les déformations du front d'onde. La boucle 
de régulation
d'un système d'optique adaptative est enfin décrite dans son environnement.

Constantes physiques

célérité de la lumière dans le vide (: = 3,00 >< 108 m - s--1
constante du gaz parfait RGP = 8, 31 J - K_1 -mol_1

Lumière du

Miroir télescope
déformable
Front d'onde
déformé
{___
| Lame
| Ü séparatrice

Système
de controle Front d'onde

| corrigé

+

|

| ,

!

|

| Image haute

|___ résolution
Analyseur de
surface d'onde

Figure ]. Chaîne d'optique adaptative

1. Formation d'image et turbulence

1.1. On considère une fente de largeur a et de longueur grande devant sa 
largeur; elle est
éclairée7 sous une incidence voisine de la normale7 par une onde plane 
monochromatique de
longueur d'onde À. On suppose de plus a >> À.

1.1.1. Donner un énoncé qualitatif du principe de Huygens--Fresnel.

1.1.2. Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse de la figure de 
diffraction << à l'infini >>)
en fonction de l'angle & que fait la direction d'observation avec la direction 
de l'onde incidente.
On désignera par 10 la valeur du maximum d'intensité.

1.1.3. Exprimer la position angulaire de la première frange noire en fonction 
de la longueur
d'onde À et de la largeur a.

Dans tout le problème7 on ne s'intéressera qu'à une description 
monodimensionnelle de la
tache de diffraction d'un dispositif optique. On considérera que l'expression 
trouvée dimensionne
convenablement le rayon du premier anneau sombre de la figure de diffraction à 
l'infini créée par
un diaphragme circulaire.

1.2. L'étude suivante a pour but de mettre en évidence l'un des aspects de la 
dégradation de
l'image d'une source ponctuelle par la turbulence.

On considère deux fentes, de largeur &, séparées de la distance 19. On 
s'intéresse a la figure de
diffraction << a l'infini >> de ce système. Les dimensions & et b sont très 
grandes devant la longueur
d'onde À du rayonnement considéré.

1.2.1. On suppose que les fentes sont éclairées par une source monochromatique, 
donnant un
front d'onde plan parallèle au plan des fentes.

@) Donner l'amplitude puis l'intensité diffractées a l'infini dans une 
direction formant l'angle
& avec la direction de l'onde incidente.

b) Préciser le rôle des deux dimensions caractéristiques & et 19.

1.2.2. On suppose maintenant que la partie de l'onde arrivant sur l'une des 
fentes possède un
décalage de phase @.

Quelle influence ce déphasage induit--il sur la figure de diffraction?

1.2.3. Oe déphasage @ varie au cours du temps. Quelle condition sur @ assure la 
visibilité des
franges (déplacement très inférieur a la largeur d'une frange d'interférence) ?

1.2.4. On suppose que le déphasage @ varie rapidement, en induisant des 
variations sur le
front d'onde plus grandes qu'une longueur d'onde. Un détecteur plan placé a 
grande distance
enregistre le rayonnement diffracté durant un certain laps de temps (temps de 
pose).

Quelle est l'allure de l'image obtenue avec un temps de pose plus court que le 
temps carac--
téristique des variations de w ?

Même question avec un temps de pose long devant ce temps caractéristique

1.3. L'étude précédente est complétée ici par une analyse plus fine. À 
l'abscisse a:, la phase
de l'onde, qui fluctue rapidement, est considérée comme une variable aléatoire 
de valeur 90 (a:, t)
a l'instant t, on suppose sa valeur moyenne temporelle nulle, soit  : 
0. On pose
@ (a: + 5, a:, t) = 90 (a: + 5, t) -- 90 (a:, t). Oe déphasage est aussi une 
variable aléatoire, sa variance
D.{) (5) :  est supposée stationnaire et 
uniquement fonction de l'écart 5
(invariance par translations temporelle et spatiale).

1.3.1. Reprendre le calcul effectué en 1.2.1.a avec deux fentes séparées de b 
pour obtenir
l'amplitude, puis l'intensité [ (oz, 15).

1.3.2. Pour une variable aléatoire f (15) dont la statistique est donnée par 
une gaussienne et
de valeur moyenne nulle, on montre que  : exp {--% ]. 
Les fluctuations de
phase étant dues a un très grand nombre de paramètres, on admettra qu'elles 
obéissent a ce type
de statistique.

En déduire l'intensité moyenne 1 (a) = <] (oz, t)) en fonction de D@(b).

Im x _ [min
1.3.3. On suppose & << 19. On définit un facteur de visibilité des franges F 
par F : Iaî
max min

où [max et [min sont les intensités d'un maximum et d'un minimum voisins. 
Exprimer F a l'aide

de Dfi(b).

1.3.4. Une analyse théorique des fluctuations prévoit une variance de la forme

5/3
D./) (5) = ((S--) où 50 est une dimension caractéristique. Calculer en fonction 
de 50 la va--

leur Æ de b pour laquelle F = 0,1. Quel est l'intérêt de la comparaison de 
cette valeur avec le
diamètre du miroir du télescope ?

1.4. Les perturbations dues a la turbulence sont liées aux variations d'indice 
de réfraction de
l'air. Cet indice dépend de sa masse volumique p, via la relation empirique de 
Gladstone :

n--1=Kp.

1.4.1. Exprimer n en fonction de la température T et de la pression p; on 
suppose que l'air,
de masse molaire M, obéit a l'équation d'état du gaz parfait.

Déterminer numériquement la constante K, sachant que, dans les conditions 
normales de
pression et température (1, 013 >< 105 Pa, 293 K), 77. = 1, 00029.

1.4.2. Par rapport a une situation d'équilibre de l'atmosphère décrite par T(z) 
et p(z), des
fluctuations de température et de pression se manifestent respectivement par 
des écarts (ST et
539. Exprimer la relation entre ces fluctuations et celles 577. de l'indice 
qu'elles induisent.

A.N. On admet que l'équilibre en pression est, au regard des phénomènes 
étudiés, quasiment
instantané. Quelle fluctuation d'indice découle d'une fluctuation de 
température 5T de 0,1 K
d'une part au niveau de la mer (20°C), d'autre part a l'altitude correspondant 
a une pression de

100 hPa (--50°C) ?

Pourquoi les couches les plus basses de l'atmosphère apportent-elles la plus 
forte contribution
aux fluctuations d'indice ?

1.4.3. On suppose que l'essentiel de la perturbation d'indice (5n) provient 
d'une seule couche
turbulente, de faible épaisseur h a l'altitude z0b3. Etablir l'expression de 
5£, surcroît de chemin
optique dû a 577. lors d'une traversée verticale.

A.N. On mesure un décalage (% de l'ordre de 1 nm pour une perturbation limitée 
a une
couche localisée près du sol de hauteur 30 m. En déduire la fluctuation 
relative de température
associée a cette perturbation.

1.5. L'analyse effectuée en 1.3 permet de modéliser la couche turbulente par 
une juxtaposition
de zones, appelées cellules, de taille caractéristique EUR (figure 2). On 
s'intéresse a la propagation
d'une onde initialement plane, monochromatique de longueur d'onde À. Chaque 
cellule intro--
duit lors de la propagation un déphasage (par rapport au vide) fluctuant et 
incohérent avec les
déphasages des cellules voisines. L'observation a lieu a une distance L de la 
couche turbulente.

front d'onde cellules de la zone
plan de perturbat10n

F Zgure 2. Modélisation d'une couche turbulente

1.5.1. Quel étalement angulaire la diffraction par la cellule de taille 
caractéristique EUR va--t--elle
provoquer ?

1.5.2. Montrer qu'aux distances plus grandes qu'une longueur de l'ordre de 
Æ2/À, il y a
superposition des fronts d'onde issus de cellules voisines.

A.N. Calculer cette longueur pour À : O, 5um et EUR = O, 1 m.

1.5.3. Le temps caractéristique T de l'évolution de la turbulence est lié a la 
vitesse @ des vents
en altitude. Exprimer T en fonction des grandeurs pertinentes.

A.N. Évaluer T pour une vitesse @ de l'ordre de 20 m - s_1.

1.6. Les observations réalisées au télescope CFHT, a Hawaï, de diamètre du 
miroir primaire
(miroir collecteur) D = 3,6 m, montrent un étalement de l'image d'un objet 
ponctuel (une
étoile) de l'ordre de 0,5" dans les meilleures conditions, en lumière visible a 
la longueur d'onde
À : O, 5 nm.

1.6.1. Quelle est l'origine physique de cet étalement ? En déduire une 
estimation de EUR.
1.6.2. Pour un télesc0pe de miroir primaire de diamètre D et dans des 
conditions de tur--

bulences caractérisées par EUR, quelle amélioration en résolution angulaire 
peut--on attendre si on
équipe le télescope d'une optique adaptative ?

Figure 3. Image stellaire d'une même source
( a gauche, temps de pose très court; a droite, temps de pose long)

1.6.3. La figure 3 montre une tache image stellaire enregistrée dans deux 
situations distinctes ;
la première image résulte d'une pose très courte, plus brève que T ; la 
deuxième correspond a une
pose très longue par rapport a r. Expliquer l'allure de chacune des images, et 
leur différence.

2. Fonction de transfert d'un miroir déformable

Le miroir déformable nécessaire a la correction du front d'onde perturbé est 
composé d'une
membrane mince, réfléchissante sur sa partie supérieure (le miroir lui-même) a 
l'arrière de laquelle
sont fixés des actionneurs qui viennent pousser ou tirer sur celle--ci (figure 
4). On peut prévoir la
réponse temporelle du miroir déformable d'une optique adaptative en étudiant le 
comportement
d'une cellule élémentaire de ce miroir considérée comme découplée des autres et 
composée de la
portion circulaire de la membrane comprise entre les actionneurs les plus 
proches autour d'un
actionneur central (figure 4). De plus, ici nous réduirons le problème a une 
seule dimension : le
déplacement a:(t) de la membrane selon l'axe perpendiculaire a celle--ci au 
droit de l'actionneur
central.

Figure 4. Photographie et schéma de principe de la membrane et des actionneurs
( le cercle représente une cellule élémentaire )

2.1. Modélisation de la membrane

Du point de vue mécanique, le comportement de la membrane de la cellule 
élémentaire peut
être simplement modélisé par un système constitué d'une masse m, d'un ressort 
de raideur k et
d'un amortisseur de coefficient visqueux ,u (figure 5). L'action mécanique de 
l'actionneur central

--»

sur le système est modélisée par un glisseur d'axe (0, a?) de résultante f (15) 
L'objet de l'étude est

--»

de déterminer le déplacement a:(t) par rapport a la position d'équilibre 5170, 
en fonction de f (15)

m
T--> X(t)
f(t)
XO _ 0
Figure 5. Modèle de la membrane du miroir

2.1.1. Écrire l'équation du mouvement du système.

2.1.2. À partir de cette équation, exprimer la fonction de transfert du système
D(p) : X (p) / F(p) Mettre cette expression sous forme canonique; donner son 
ordre et l'ex--
pression des paramètres caractéristiques.

La raideur de la membrane est de la forme : k : 4E e3/R2 où e est l'épaisseur 
de la mem--
brane, R la distance entre deux actionneurs proches et E le module d'Young du 
matériau.

Pour une membrane en nickel : E = 2,1 >< 1011 N - m_2 et sa masse volumique :
p= 8,9 >< 103 kg- m--3.

On considère deux configurations différentes :

-- la configuration numéro 1 pour laquelle : e = 1 mm, R = 0,8 cm et ,u = 10 N 
m_1 s

-- la configuration numéro 2 pour laquelle : e = 0,08 mm, R = 1, 5 cm et ,u = 
0,5 N m_1 s.

2.1.3. Pour les deux configurations, représenter sur un même graphe, le 
diagramme asymp--
totique de Bode de la fonction de transfert D(p), en précisant les valeurs 
numériques caractéris--
tiques. Donner l'allure des courbes réelles. Déterminer, le cas échéant, le 
coefficient de qualité.
Commenter les différentes zones en pulsation de ces diagrammes. Quelle zone 
retenir pour le
système ?

2 14. Quelle membrane choisir pour pouvoir commander le miroir jusqu'à des 
fréquences d'au
moins 1 kHz ?

Afin d'atténuer la résonance de ce miroir, on se propose de placer un filtre du 
deuxième
ordre H (p) au sein de la boucle de commande en force de l'actionneur : donner 
l'expression de

la fonction de transfert globale du nouveau système. Trouver les paramètres 
caractéristiques du
filtre (de gain statique égal a 1) a choisir pour obtenir une atténuation de la 
résonance d'au
moins 40 dB tout en conservant les moyens d'atteindre une commande jusqu'à 1 
kHz.

2.2. Modélisation de l'association actionneurs--membrane
Pour tenir compte de l'influence des actionneurs périphériques, le comportement 
de la cellule
est maintenant modélisé par un système constitué d'une masse m, d'un ressort de 
raideur k, et de

quatre actionneurs en parallèle modélisés chacun par un amortisseur de 
coefficient visqueux ua
en série avec un ressort de raideur ka (figure 6). L'action mécanique de 
l'actionneur central sur

--»

le système est modélisée par un glisseur d'axe (0, a?) de résultante f (15) Les 
quatre actionneurs
périphériques sont passifs.

On s'intéresse toujours au déplacement de la membrane au droit de l'actionneur 
central a la

cellule.
A _4 actionneurs
X3(t)jÎ passifs
X30 actionneur
A 8Ctlf
X2(Û __
A
k
X20 . . .
descr1pt1on des act10nneurs
m

Êt)T X1(Ü ;:_

X10

_»
XA

Ma
ka

0

F igure 6. Modèle de l'association actionneurs-membrane

2.2.1. Écrire le système de trois équations décrivant le mouvement des trois 
abscisses : a:1(t),
51305) et 51305) définies par rapport aux positions d'équilibre, respectivement 
cr..., 51720 et 51:30.
Exprimer ces équations dans le domaine de Laplace. En déduire la fonction de 
transfert du
miroir D(p) avec D(p) : X1(p)/F(p).

Montrer que D(p) peut s'écrire sous la forme canonique :

1 1 + T1}?
T7; p (Tâp2 --l-- 2Z'7'2P + 1)

D(p) =

Identifier les différentes constantes en fonction des caractéristiques du 
modèle.

2.2.2. Pour les deux cas limites de la valeur du coefficient visqueux (,ua --> 
0 et ua --> oo),
exprimer la fonction de transfert, interpréter le résultat et donner 
l'expression de la raideur
équivalente du modèle étudié.

2.2.3. La raideur de la membrane est donnée) comme précédemment) par la relation
k : 4E eB/R2 et la raideur d'un actionneur par l'expression :

avec da : 5mm et La : 40 mm.

On considère la membrane de dimensions : e = 1 mm et R = 0, 8 cm et on retient 
comme
matériau pour l'actionneur, le PZT qui a comme caractéristiques : Ea : 5 >< 
1010 N - m_2. Le
coefficient visqueux pour la liaison membrane actionneur est égal a : ,ua : 
1000 N - m_1 s.

Calculer les différents paramètres caractérisant la fonction de transfert D(p).

Tracer le diagramme asymptotique de Bode en notant les grandeurs 
caractéristiques. Com--
ment évolue ce diagramme si l'on augmente la valeur du coefficient visqueux?

3. Analyse du front d'onde perturbé

La boucle d'optique adaptative inclut un analyseur de front d'onde qui en 
mesure les défauts.
Deux modes de mesure des défauts sont analysés dans cette partie.

Mesure de pentes sur le profil du front d'onde

Le principe de l'analyseur de front d'onde de type Shack--Hartman est 
représenté par la figure
7. Une fraction du signal optique est prélevée et traverse une galette de N 
microlentilles. Chaque
microlentille est de taille carrée, de côté a... de distance focale f. Les N 
microlentilles pavent un

cercle de diamètre q : a.../4N/7r.

F igure 7. Dispositif de Shaok-Hartman

3.1. Pour éclairer la galette de microlentilles7 le faisceau incident collecté 
par le miroir pri--
maire du télescope a été mis en forme par une optique secondaire. L'ensemble 
primaire + secon--
daire est modélisé par un montage afocal équivalent constitué de deux lentilles 
minces conver--
gentes, formant une lunette de grandissement angulaire G ; soit D le diamètre 
de la première
lentille (égal au diamètre du miroir primaire). On suppose le diamètre de la 
seconde suffisamment
grand pour n'intercepter aucun rayon ayant traversé la premiére.

3.1.1. La galette de microlentilles est placée dans le plan conjugué de la 
première lentille a
travers la seconde. Justifier ce choix.

3.1.2. L'onde incidente étant inclinée d'un angle io, que devient l'inclinaison 
@ en sortie du
montage afocal? Faire un schéma.

3.1.3. Quelle relation nécessaire et suffisante doit vérifier le grandissement 
G du montage
afocal, pour un éclairement total de la galette, sans perte de lumière ? Faire 
un schéma.

A.N. La turbulence est caractérisée par i0 : 0,8". L'optique adaptative 
alimente une galette
de 200 microlentilles, chacune de côté au : 1 mm. Le miroir collecteur a un 
diamètre D = 3, 6
m. Calculer G et i.

3.2. On suppose qu'une microlentille analysant une fraction du front d'onde 
perturbé reste
éclairée par une onde localement plane.

3.2.1. Montrer sur un schéma les différentes positions possibles de l'image 
dans le plan focal
de la galette de microlentilles, générées par un front d'onde plan initialement 
orthogonal a l'axe,
puis localement incliné d'un angle @ suite a la turbulence. En déduire le 
principe de la mesure.

3.2.2. Pour une longueur d'onde de 2um, comparer la dispersion angulaire de 
diffraction
associée a une microlentille et celle due a la turbulence caractérisée par 
l'angle i, en utilisant les
valeurs numériques de 3.1.3.

En déduire la valeur maximale de la focale f,, des microlentilles, qui évite la 
confusion entre
l'information donnée par deux microlentilles adjacentes, et la calculer.

Mesure de courbure du profil du front d'onde

Le dispositif présenté a la figure 8 permet de mesurer directement la courbure 
du front d'onde
incident. Lorsqu'il est non perturbé, le front d'onde plan incident est 
focalisé au foyer F de la
lentille. Un détecteur plan intercepte le faisceau alternativement en amont et 
en aval du foyer,
sa position étant rapidement modulée d'un pas d de part et d'autre de F.

V

Figure 8. Capteur de courbure

10

3.3. Le faisceau incident, perturbé, n'est plus localement plan, il possède au 
niveau de la
lentille une courbure C analogue a celle d'une calotte sphérique de rayon }) : 
C : 1/3), p étant
algébrique et compté du sommet de la calotte vers le centre.

3.3.1. En quelle position p' , comptée a partir de la lentille, le faisceau 
converge--t--il ?
Par la suite, on notera Ap' : p' -- f' , f' étant la distance focale image de 
la lentille.

3.3.2 . Le faisceau incident illumine en totalité la lentille d'aire A0. On 
néglige dans un premier
temps tout effet diffractif. En déduire dans ce cas que les aires éclairées 
pour les deux positions
du détecteur valent respectivement :

dïAp' 2
Ai = A°(f+--Ap) '

3.3.3. On ne néglige plus la diffraction. Montrer qu'alors il faut un pas de 
modulation suffi--
sament grand pour avoir un effet sensible.

Déterminer la valeur d* de d en deçà de laquelle le rôle de la diffraction 
devient prépondérant,
pour le cas Ap' : O. L'exprimer en fonction de la longueur d'onde À et du 
nombre d'ouverture
NO : f'/a0, où dg est le diamètre de la lentille.

A.N. Calculer d* dans le cas d'un nombre d'ouverture de 10 a la longueur d'onde 
de 2,0 ,um.
Dans la suite, on suppose être dans le cas d >> d*.

3.3.4. Pour un éclairement uniforme, comment le flux collecté par unité de 
surface du détec--
teur, Î, varie--t--il en fonction de Ai ?

3.3.5. On note A : (+ -- _)/(CI>+ + CIL) la différence relative entre 
les flux collectés par
unité de surface. Exprimer A en fonction de d et Ap' .

3.3.6. La courbure mesurée est toujours très faible. Simplifier l'expression 
précédemment
obtenue et l'exprimer en fonction de C , conclure.

4. Boucle d'asservissement de l'optique adaptative

4.1. Fonction de transfert des principaux éléments de la boucle

Le schéma de la boucle d'optique adaptative est donné a la figure 9. L'entrée 
Xt(p) est le
front d'onde turbulent arrivant sur l'instrument, la sortie Xr(p) est le front 
d'onde résiduel aprés
la correction effectuée par le miroir déformable. En effet, ce front d'onde 
résiduel est la variable
pertinente pour déterminer la qualité de l'image qui sera observée au foyer de 
l'instrument. Les
fonctions de transfert de l'analyseur du front d'onde, du calculateur et du 
miroir déformable sont
notées repectivement A(p), C(p) et D(p).

11

Nous ne nous intéresserons ici qu'à un cas mono--variable, c'est--à--dire a un 
seul des degrés de
liberté du système d'optique adaptative. Pour chaque degré de liberté, une 
fonction de transfert
pourrait être établie, en négligeant le couplage éventuel entre les degrés de 
liberté.

Xt(p) X,(p)

Xl(p' F) %>) A(p)

Figure 9. Schéma de principe d'une boucle fermée d'optique adaptative

4.1.1. En analysant le schéma de la figure 9, expliquer pourquoi la mesure de 
l'erreur par
l'analyseur du front d'onde est pertinente pour l'objectif de l'optique 
adaptative.

4.1.2. Quelle fonction de transfert inclure dans le calculateur pour assurer 
une correction par
le miroir déformable représentative de la turbulence ?

4.2. Analyseur de front d'onde

Du point de vue temporel, l'analyseur doit tenir compte de l'effet du temps de 
pose nécessaire
pour enregistrer sur le détecteur la répartition de l'intensité lumineuse 
permettant la mesure du
front d'onde. Il réalise donc la moyenne du signal d'entrée entre l'instant t 
-- Ta de début de la
pose et l'instant t de fin de la pose.

4.2.1. Montrer que, dans ces conditions, la mesure faite par l'analyseur u(t) 
est un produit
de convolution entre la grandeur instantanée a:,(t) et une fonction porte H(t 
), avec H(t ) : 1/Ta
pour t E]O,Ta ] et H(t) -- --0 en dehors. On rappelle que la valeur moyenne sur 
Ta de e(t ) est

donnée par : (( )Ta =T--a --/ÎTae

4.2.2. Calculer la transformée de Laplace U (p) de u(t) et en déduire la 
fonction de transfert
de l'analyseur A(p) : U(p)/XT (p)

4.2.3. Mettre A(jw) sous la forme a(wTa) exp(--jçb(wTa)). Montrer que pour les 
pulsations
petites devant 2 / T... A(p) se réduit a un terme proportionnel a un retard 
pur. Montrer que ce
retard vaut Ta / 2.

4.2.4. Calculateur temps réel

Le calculateur permet d'implanter un correcteur dans la boucle. Le correcteur 
le plus simple,
retenu ici est un intégrateur pur multiplié par un gain K / Ta. De plus, en 
raison du volume de
calculs a effectuer, le calculateur numérique introduit un retard 
supplémentaire TC dans la boucle,
dû aux pas de calcul. Donner l'expression de la fonction de transfert 
équivalente du calculateur

C(r)-

12

4.2.5. Miroir déformable

Nous avons vu dans 2.1.4 que la fonction de transfert du miroir D(p) est 
modélisée par
une fonction du quatrième ordre. Cependant le modèle de comportement sur la 
bande passante
souhaitée peut être assimilé a un second ordre. Exprimer cette fonction de 
transfert dans sa
forme canonique avec un gain statique unitaire et préciser la fréquence de 
coupure. Montrer que,
quand la pulsation du signal d'entrée est faible devant la pulsation propre, on 
peut simplifier
considérablement l'expression de la fonction de transfert du miroir D(p).

4.3. Fonction de transfert de la boucle

4.3.1. Donner l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte H (p) 
du système
représenté figure 9. En déduire la fonction de transfert T(p) : X,(p)/Xäp).

4.3.2. Dans le cas des faibles pulsations, montrer que l'expression de H (p) 
peut s'écrire :

K T
H = l-- (--" T.) 1 -
(}?) Tap exp 2 + }?
Identifier les deux paramètres de H (p) Tracer l'allure du diagramme de Bode de 
H (p) dans le
cas TC : Ta. Dans le cas général, donner l'expression de K en fonction de TC et 
Ta pour que le
système soit stable. Trouver la valeur du gain K qui assure la stabilité de la 
boucle avec une
marge de phase de 45°.

4.3.3. Dans le cas des faibles pulsations, donner l'expression de T (p) Tracer 
l'allure générale de
son amplitude. Déterminer la pulsation de cassure en fonction des paramètres de 
H (p) Comment
faire varier K pour minimiser les résidus de front d'onde en sortie? Est--ce 
compatible avec la
stabilité ?

Quelle valeur de K choisir pour un fonctionnement optimal ? Donner la valeur de 
la pulsation
de cassure de T(p) en considérant le gain statique K trouvé pour assurer la 
stabilité.

Comment choisir T a pour minimiser l'erreur.

4.3.4. Quelle est la valeur de la pulsation de coupure wc a 0 dB en fonction 
des paramètres
de H (p) dans le cas des faibles pulsations? Faire l'application numérique pour 
Ta : 1 ms et
les deux cas TC : Ta et TC : 0, en prenant en compte le gain assurant la 
stabilité. Comment
maximiser la bande passante ?

4.3.5. Calculer l'erreur statique pour une entrée indicielle. Le résultat 
trouvé semble--t--il
conforme a l'objectif fixé a une optique adaptative? Quel élément de la boucle 
permet d'as--

surer ce résultat ?

4.3.6. Quel correcteur ajouter dans le calculateur pour accroître la bande 
passante tout en
assurant la stabilité de la boucle ? Le justifier et donner son expression.

13

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2007
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet propose d'étudier quelques aspects de l'optique adaptative. Cette 
technique est devenue indispensable, depuis son émergence il y a vingt ans, 
pour tous
les grands systèmes terrestres d'observation. Les aberrations dues aux 
turbulences
atmosphériques limitent la résolution des grands télescopes et doivent donc 
être compensées pour profiter au mieux de la taille des instruments.
· Le problème débute par l'étude de la formation des images. Les questions 
soulevées sont la diffraction et les variations d'indice inhérentes aux couches 
atmosphériques turbulentes. Il apparaît des variations de phase aléatoires sur 
le
front d'onde, à l'origine des tavelures observées sans correction.
· La deuxième partie est l'occasion de modéliser le miroir déformable et son
actionneur pour obtenir la fonction de transfert qui lie la force appliquée au
déplacement de la membrane. La modélisation se fait en deux temps, à partir
de ressorts et d'amortisseurs. Elle conduit à deux fonctions de transfert, selon
les caractéristiques géométriques précisées, dont une est à retenir après 
l'étude
des diagrammes de Bode.
· L'élément clef de l'optique adaptative est l'analyseur de front d'onde. La 
troisième partie propose l'étude de deux de ces dispositifs optiques : le 
ShackHartman et le capteur de courbure. Les questions portent surtout sur de 
l'optique géométrique.
· Dans la quatrième partie, on examine la boucle d'asservissement dans son 
ensemble en modélisant essentiellement l'analyseur de front d'onde et un 
correcteur proportionnel intégral avec retard. On termine par la caractérisation
de la fonction de transfert de la boucle, de sa stabilité et de l'erreur 
statique
résiduelle.
La première partie est très longue et traite de problèmes variés, largement 
indépendants les uns des autres. La modélisation de la membrane dans la deuxième
partie est l'occasion de calculs et de diagrammes de Bode fastidieux qui ne sont
peut-être pas très rentables en termes de points. La troisième partie traite 
d'optique
géométrique et doit être faite rapidement. En dehors des question 4.3.3 et 
4.3.4 qui
sont assez confuses au premier abord, l'étude de la boucle d'asservissement est 
assez
simple et ne requiert pas la maîtrise du cours correspondant. Le sujet est 
plutôt long
et de difficulté inégale ; il peut permettre de faire le point sur l'optique.

Indications
Partie 1
1.2.1.a Utiliser à nouveau la formule de Huygens-Fresnel avec une pupille 
ouverte
de -a/2 à +a/2 puis de (b - a/2) à (b + a/2).
1.3.1 Considérer que les variations de phase sont négligeables à l'échelle de a.
1.3.2 Exprimer la moyenne du cosinus, décomposé en exponentielles.
1.4.1 La masse molaire de l'air vaut 29 g.mol-1 .
1.4.2 Calculer la dérivée logarithmique de l'expression obtenue à la question 
1.4.2.
1.5.2 Faire un dessin.
1.6.1 1 degré correspond à 3 600 secondes d'arc.
Partie 2
2.1.3 La zone à retenir est celle pour laquelle le déplacement de la membrane 
est
proportionnel à la force appliquée.
2.1.4 La fonction de transfert présente une résonance aux environs de 14 kHz et 
le
système doit rester commandable jusqu'à 1 kHz. Comme le filtre atténuateur
doit atténuer correctement la résonance, sa fréquence de coupure doit être
une décade en dessous.
Partie 3
3.1.2 Un montage constitué de deux lentilles minces convergentes est afocal 
lorsque
le foyer image de la première coïncide avec le foyer objet de la seconde.
3.3.1 Chercher d'où semble provenir le faisceau.
3.3.2 Faire un dessin précis et utiliser le théorème de Thalès.
Partie 4
4.2.1 On rappelle la définition du produit de convolution,
Z +
(u  v)(t) =
u(t ) v(t - t ) dt
-

4.2.2 La transformée de Laplace d'un produit de convolution de deux fonctions 
est
le produit simple des transformées
Z de ces deux fonctions. Calculer ensuite la
+

(t) e -p t dt.

transformée de Laplace (p) =

0

4.3.2 La stabilité d'un système est assurée si le gain est inférieur à l'unité 
lorsque
la phase atteint -180. Pour obtenir une marge de phase de 45 , il suffit de
remplacer le -180 précédent par -135.
4.3.3 La valeur optimale de K est choisie pour une marge de phase de 45 . 
Trouver
alors la pulsation pour laquelle la phase est égale à +135.
4.3.4 Chercher la pulsation de transition, pour laquelle |T()| = 1, au lieu de 
la
pulsation de coupure à 0 dB, ce qui est une notion confuse.
4.3.5 Utiliser le théorème de la valeur finale.

Optique adaptative
1. Formation d'image et turbulence
1.1.1 Selon le principe de Huygens-Fresnel, chaque point d'une surface atteinte 
par
une onde lumineuse peut être considéré comme une source ponctuelle secondaire de
même fréquence que la source primaire, d'amplitude complexe proportionnelle à 
celle
de l'onde incidente et à l'élément de surface en ce point. Les ondes issues des 
sources
secondaires situées sur une même surface d'onde primaire sont cohérentes entre 
elles.
1.1.2 On considère une fente F de largeur a et de longueur grande devant sa 
largeur,
éclairée sous une incidence voisine de la normale.
x

-

ki

M

a/2

O
F

-

k

-a/2

Traduisons mathématiquement le principe de Huygens-Fresnel pour exprimer 
l'amplitude complexe émise par la fente
ZZ
 -
-
 --
A() = K
exp[i( k i - k ) · OM] dM
F

Avec une longueur de fente grande devant sa largeur, on peut considérer que 
l'onde

ne sera diffractée que dans le plan perpendiculaire à -
ey . En outre, l'onde incidente est
 -
-
 --
quasiment normale à la fente, ce qui implique ( k i - k )· OM = -k x sin . 
Considérons
enfin  suffisamment petit pour que sin  = , on obtient alors, avec k = 2/,

Z a/2
2
A() = K
exp -i x  dx

-a/2

exp -i a  - exp i a 

soit
A() = K
2
-i

Ainsi, en introduisant la fonction sinus cardinal définie par sinc (u) = 
(sin(u))/u,
 
A() = K a sinc
a

2

L'intensité est définie par I() = |A()| , avec I0 la valeur du maximum 
d'intensité,
ce qui conduit à
 
I() = I0 sinc 2
a

I/I0
1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

-2/a

/a

0

-/a

2/a

1.1.3 La première frange noire est obtenue lorsque  a / = +
-  et donc pour
=+
-

a

D'après l'énoncé, cette expression dimensionne convenablement le rayon du
premier anneau sombre de la figure de diffraction à l'infini créée par un
diaphragme circulaire. En réalité, le calcul de l'intégrale pour une pupille
circulaire est plus compliqué et fait intervenir les fonctions de Bessel. Le 
rayon
réel est ainsi égal à 1,22/D, où D est le diamètre du diaphragme. Le facteur,
proche de 1, n'a aucune influence qualitative et l'approximation est justifiée.
1.2.1.a On considère à présent deux fentes larges de a et distantes de O1 O2 = b
x

b + a/2 -
k

-

ki

O2
F2

b - a/2

a/2

-

ki

-

k

O1
F1

-a/2

En toute rigueur, l'énoncé stipule que les fentes sont séparées de la distance 
b.
Considérons que b est la distance entre les centres des fentes, ce qui ne 
modifie
pas les résultats, d'autant plus que dans la suite on estime que b est très
supérieur à a.