X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2006

Thème de l'épreuve La balance du watt
Principaux outils utilisés électromagnétisme, hyperstatisme, mécanique et asservissement (SI)

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
Option Physique et Sciences de l'Ingénieur

CONCOURS D'ADMISSION 2006

COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

La balance du watt

La masse est la seule grandeur de base du système international d'unités qui 
soit encore définie
à partir d'un étalon matériel. Or, les différentes campagnes de comparaison des 
étalons nationaux
entre eux montrent une augmentation des différences ainsi qu'une dérive globale 
bien supérieure
aux incertitudes de mesure; de telles comparaisons peuvent être réalisée à un 
microgramme près
(10"9 kg). Les interrogations portent sur la stabilité à long terme des étalons 
en platine iridié,
de l'effet du nettoyage, celui de la pollution. Ce constat a conduit la 
communauté scientifique à
réfléchir à une nouvelle définition du kilogramme de référence. Un vaste 
programme international
a engendré l'exploration de plusieurs voies expérimentales, chacune d'elles 
ayant pour objectif
de relier le kilogramme a une constante physique fondamentale : la balance du 
volt, la lévitation
magnétique ou encore l'accumulation d'ions et le monocristal de silicium.

La méthode la plus prometteuse est la << balance du watt » proposée par 
l'anglais B.P. Kibble
en 1976. Son principe repose sur la comparaison d'une puissance mécanique avec 
une puissance
électrique et fait l'objet de la partie II de ce sujet. Etant donné le niveau 
de précision souhaité,
le montage expérimental doit satisfaire des conditions sévères et c'est a deux 
d'entre elles que
l'on s'intéresse dans les parties III et IV, en présentant les solutions mises 
en oeuvre dans un
prototype. La partie I de ce sujet est consacrée à. l'analyse de divers 
problèmes rencontrés lors des
<< pesages » de haute exactitude des étalons de masse et permet d'en 
appréhender la complexité.
Enfin la partie V montre les perspectives d'évolution de la métrologie 
apportées par ce dispositif.

I. Etalons de masse; quelques problèmes de leur comparaison

Dans cette partie, les différentes perturbations a la mesure sont étudiées 
séparément les unes
des autres.

1 . 1 . Aspects géométriques
1.1.1. Pour des raisons pratiques, la forme retenue pour le prototype 
international actuel et

pour les étalons secondaires est celle d'un cylindre droit, homogène, de masse 
volumique p, a
base circulaire de rayon R et de hauteur H. Déterminer le volume V de ce 
cylindre, et sa surface

extérieure Sext. À quelle condition portant sur H et R la surface est--elle 
minimale, a masse (donc
à volume) fixée ?

1.1.2. Application numérique : ppt : 21 500 kg - m_3 pour un étalon en alliage 
Pt-Ir (platine
90%, iridium 10%), pInOX : 7860 kg-m_3 pour un alliage d'acier inoxydable 
(Inox). Dans chacun
des cas, déterminer R et H pour obtenir une masse de 1 kg; déterminer V et Sext 
correspondant.

1.1.3. Une forme différente permettrait--elle de minimiser encore davantage, à 
masse identique,
la surface extérieure ? Laquelle ? (aucune démonstration n'est demandée).

1.2. Influence de l'air

1.2.1. Les pesées réalisées à l'aide des étalons décrits au 1.1. sont en 
pratique réalisées dans
l'air. Donner l'expression de la poussée d'Archimède exercée par ce fluide sur 
un étalon cylindrique
et la variation apparente de la masse qui en résulte.

1.2.2. Application numérique. Déterminer les variations apparentes obtenues 
dans le cas d'un
étalon en platine iridié, puis dans le cas d'un étalon en inox. Déterminer 
l'erreur algébrique 5ma
effectuée lors de l'étalonnage de la masse en Inox (comparaison de l'étalon en 
Inox avec l'étalon
en platine) si l'on ne tient pas compte de la différence observée ici. On 
prendra Pair = 1, 3 kg-m_3.

1.2.3. Commenter ce résultat.
1.3. Adsorption à la surface des étalons

1.3.1. Les interactions entre une molécule d'un gaz et la surface peuvent être 
décrites à l'aide
d'une énergie potentielle d'interaction de la forme Wp(z) : -- p/z3, Kp > 0, ne 
dépendant
que de la cote 21 de la molécule par rapport a la paroi. S'agit-il d'une 
interaction répulsive ou
attractive ? Quelle peut être son origine ?

On suppose que le gaz dans le demi--espace ?: > 0 est à l'équilibre 
thermodynamique a
la température uniforme T. On note p(z) la pression du gaz a la cote z, et pOO 
la pres--
sion du gaz, supposé parfait, très loin de la paroi. Ces pressions sont reliées 
par la relation
p(z) = pOO exp(--Wp(z) / k3T ), où kB désigne la constante de Boltzmann.

1.3.2. Soit ps (T) la pression de vapeur saturante du gaz a la température T. 
Montrer qu'on
attend au voisinage de la paroi la formation d'une couche de liquide, d'une 
épaisseur dliq au

moins égale à. : dhq : {Kp/[kBTLn(pS(T)/poe)l}1/3.
1.3.3. On utilise ce modèle pour l'eau.

&) Évaluer dhq pour un degré d'humidité pOO /pS(T ) de 25%, a la température de 
25°C, en
prenant K,, = 3 >< 10-50 J - m3, et kB : 1,38 >< 10-23 J -- K--1.

b) On assimile la molécule d'eau a une sphère d'environ 150 pm de rayon. A 
combien de
couches moléculaires correspond la valeur obtenue de cinq ? Évaluer alors la 
masse adsorbée en
surface d'un étalon d'un kilogramme en Pt--Ir, en supposant hexagonal le pavage 
de la surface.

c) En déduire l'erreur ômp commise en ignorant cet effet d'adsorption.
1.4. Effet du champ de pesanteur

* 1.4.1. Lorsqu'on effectue, par pesée, l'étalonnage d'une masse de référence 
cylindrique en Inox,
de géométrie déterminée ci-dessus, a partir d'un étalon en platine iridié, on 
place successivement
les deux masses sur le même plateau P d'une balance, ramené dans la même 
position (figure 1).
A quelle hauteur au--dessus du plateau les centres de masse de chacun des deux 
cylindres sont--ils
situés ? Exprimer la différence de hauteur 5h obtenue.

1.4.2. On se propose d'évaluer l'effet de la variation avec l'altitude du champ 
de pesanteur
terrestre g sur le résultat de cet étalonnage. En négligeant le terme de 
rotation de la Terre, dont
on note le rayon RT, comment g varie--t-il avec l'altitude ? Déterminer la 
variation relative ôg/g
correspondant a la différence de hauteur 5h.

1.4.3. Application numérique. Déterminer l'erreur algébrique ômg effectuée lors 
de l'étalon-
nage de la masse de référence en Inox si l'on ne tient pas compte de cette 
différence. On donne

RT : 6400 km. Commenter le résultat.

P' O Q'

aimants
fixes/QQ'

F igure 1

1.5. Principe d'une comparaison de haute précision

On place successivement les deux masses à comparer sur le plateau P (figure 1). 
Une tare T,
placée sur le plateau Q, permet de faire contrepoids. Les plateaux sont 
suspendus en P' et Q'
a un fléau rigide susceptible de tourner autour de l'axe horizontal passant par 
0. L'utilisation
d'une tare est indispensable pour s'affranchir complètement des erreurs 
géométriques, en main-
tenant la balance utilisée dans des conditions strictement identiques lors de 
la pesée successive
des deux étalons à comparer. L'ajustement du fléau P'Q' en position horizontale 
est réalisé en
superposant au poids de la tare une force complémentaire d'origine 
électromagnétique, réglable
par l'intermédiaire d'un courant.

A partir des valeurs de l'intensité de ce courant permettant de réaliser 
l'équilibre pour chacune
des deux masses, on déduit l'écart ôm entre les masses.

1.5.1. On considère une bobine circulaire plane CA fixe par rapport au sol, de 
centre A et
d'axe vertical ascendant Az, composée de n A spires jointives de rayon R A 
(figure 1). Cette bobine
est parcourue par un courant continu IA.

Déterminer le champ magnétique B_Â(z) créé par CA en un point H de son axe de 
révolution,
ÔBAZ

Ôz

en fonction de L4 et R A et 2, avec ÂË : zë'z. Calculer

1. 5. 2. Sur l'axe de la bobine a la distance 20 > O de A, on place un aimant 
que l'on assimilera
a un dipôle magnétique << ponctuel » de moment M orienté selon Az. L énergÊie 
d'interaction
W... du dipôle magnétique M et d' un champ B est donnée par W... -- --M 
.Montrer que
l'aimant subit une force, selon Az, pouvant s'exprimer sous la forme .

FZ(ZO,IA) : ----u0nARAIAM--2-------- .

1.5.3. On ajoute sur l'axe, a la cote --20, un aimant identique au précédent 
mais orienté en
sens opposé. A quelle force est-il soumis ?

1.5.4. La bobine CA étant fixe, l'ensemble des deux aimants est déplacé en 
translation de
11 selon Az, leur distance restant égale à 220. Justifier que la position u = 0 
correspond a un
extremum de la force F Z(u) subie par le système des deux aimants.

1.5.5. Le système est orienté de sorte que l'axe Az de la bobine CA coïncide 
avec la verticale
ascendante QQ' (figure 1). On suppose que la bobine est fixe, et que l'ensemble 
des deux aimants,
distants de 2a, est solidaire du plateau Q de la balance; la bobine est 
positionnée de telle manière
que, lorsque le fléau est parfaitement horizontal, les aimants sont placés 
symétriquement par
rapport a son plan. On place un étalon de masse m sur le plateau P. On note mT 
la masse de
la tare. Montrer que, dans ces conditions, on peut réaliser l'équilibre de la 
balance en position
strictement horizontale par un simple ajustement du courant IA.

Il. Principe de la balance du watt

La balance est composée de deux bras dont le premier porte la masse m à mesurer 
ainsi
qu'une bobine plongée dans un champ magnétique produit par un aimant et le 
second une tare.
L'expérience se déroule en deux phases : une première phase dite statique et 
une seconde dite
dynamique. La masse de la tare est ajustée pour compenser, en l'absence de m, 
celle de la bobine
et des suspensions (figure 2).

P' O Q'

A Z
masse m :
|
C |
C EW ; |

_). (_
(_B d.] B __) _» +_Brad1al
(___ ra la | "U
' Q
Phase statique Phase dynamique

2. 1. Phase statique

La bobine comporte N spires horizontales, circulaires et concentriques de 
diamètre d; on
oriente son circuit C positivement par rapport à la verticale ascendante. Elle 
est placée dans
l'entrefer d'un aimant où le champ magnétique est radial, orthogonal à l'axe de 
révolution vertical
commun au système et dirigé vers cet axe (figure 3).

2.1.1. La bobine est parcourue par un courant continu IW. Montrer que la force 
Ê' exercée
par le champ sur la bobine est dirigée selon l'axe 02. En supposant la valeur 
(ou norme) B du
champ magnétique la même en tout point des spires, exprimer F Z = 13 - é} en 
fonction de B, IW
et de la longueur totale l des spires.

2.1.2. L'ensemble du système est suspendu en P' au fléau d'une balance ainsi 
que la masse
étalon m sans modifier la tare. On règle l'intensité de façon à. rétablir 
l'équilibre. Écrire la relation
liant alors m et IW.

2.2. Phase dynamique

2.2.1. La masse m est retirée et le circuit C de la bobine est ouvert. La 
bobine est alors animée
d'un mouvement vertical d'ensemble à la vitesse 17 : fuzë'Z dans le même champ 
magnétique qu'en
2.1. Il apparaît dans C une force électromotrice d'induction EW. Exprimer EW en 
fonction de

B,l et 'vz.

2.2.2. Montrer que, dans ces conditions, on peut écrire mgvZ + EWIW : 0. 
Justifier le nom
de << balance du watt >> donné à cette expérience.

F figure 3

2.3. Dispositif expérimental
2.3.1. La bobine comporte 600 spires de diamètre moyen égal à 260 mm, la 
composante radiale
du champ est de 1 T. Calculer l'intensité IW nécessaire pour équilibrer une 
masse étalon de

0,500 kg, en prenant g = 9, 8 m - 8--2.

Dans la phase dynamique, la vitesse de déplacement vertical de la bobine est de 
2 mm / s sur
une longueur de 40 mm; calculer la valeur absolue |EW| de la f.é.m. induite.

2.3.2. En réalité, le champ magnétique de l'aimant comporte une composante 
verticale BZ,

non uniforme mais de valeur maximale |lemax : 1 >< 10'4 T. Un déplacement 
horizontal de la
bobine, de vitesse va,--, entraîne une fém induite parasite AEW. Donner une 
valeur maximale de
log, /'UZ| qui assure que |AEW /EW| reste inférieur à. 1 >< 10"8 ? En déduire 
la contrainte géométrique
latérale imposée au mécanisme de déplacement de la bobine.

2.3.3. En pratique, on décompose la phase statique en deux. Un premier 
équilibre est réalisé
sans la masse m, mais en ajoutant à la tare une masse m' voisine de m / 2; 
l'équilibre est rétabli
pour une intensité Il ; le second avec m l'est pour une intensité I 2. Montrer 
que ces deux intensités
sont de sens opposés et écrire la relation qui remplace celle de 2.2.2. Quel 
est l'intérêt de ce mode

opératoire?
2.4. Généralisation à une bobine rigide, de forme géométrique quelconque

2.4.1. Lors de la phase statique, exprimer, pour un tel circuit C orienté, la 
force Ê' sous la
forme d'une intégrale curviligne le long de C , en fonction de IW et B, a 
priori non uniforme.
Exprimer de même la composante F Z.

2.4.2. Lors de la phase dynamique, exprimer EW sous la forme d'une intégrale 
curviligne le
long de C, en fonction de 17 : 0252 et B.

2.4.3. On choisit la géométrie de la bobine et du champ pour avoir Ê' : Fzê'2. 
Montrer que
la relation écrite au 2.2.2. est toujours valable.

2.4.4. Que peut-on dire de sa validité lorsque la vitesse 6 n'est plus 
parallèle à e} ? lorsque la
force F possède une composante horizontale non nulle ?

III. La réalisation de la balance du watt

L'objet de cette partie est la validation de la pertinence du guidage en 
translation.

Une réalisation de la balance du watt est montrée sur la figure 4. En partie 
supérieure, les
deux plateaux qui supportent les bras de guidage de la colonne centrale sont 
liés à un bâti non
représenté sur la figure. Le fléau est suspendu à la colonne par une 
articulation sans jeu et sans
frottement et un capteur en mesure la position angulaire. À l'extrémité de 
chacun de ses deux
bras est accroché un plateau qui permet de poser les masses. L'un d'eux est lié 
a la bobine qui
plonge dans l'aimant placé en partie basse sur un plateau de mesure par 
interférométrie.

Le cahier des charges du système exige de réaliser un guidage en translation 
avec une précision
de l'ordre du micromètre, sur une course de 80 mm décomposée en 20 mm de phase 
d'accélération
puis 40 mm de déplacement à vitesse constante pendant laquelle se déroule la 
mesure et enfin
20 mm de décélération jusqu'à l'arrêt.

Le guidage de la colonne est réalisé par deux étages de trois bras articulés 
par des liaisons
élastiques et disposés a 1200 autour de l'axe de translation (figure 5). L'un 
des six ensembles
qui le réalisent est représenté, en vue de côté sur la figure 6. Une réduction 
localisée de matière,
appelée col, permet une déformation élastique du matériau qui se concrétise par 
un mouvement

relatif des deux parties du bras.

Guidage en translation

deux
plateaux

F léau

\\

-
--
' .
-

\ -
: _ 4 '.
v » '3'
' \ '. '
A ' A
1 , _ .|.
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'A

-----" '---

Masse étalon

(C'
m-(-
l\ '

'\
. îr %
?

"b""@i

" Bobine
Aimant
Interfêromëtre

\ .
'Col d'épaisseur constante 0,6mml

Col de forme pseudo-elliptique
épaisseur mini O,8mm

F igure 5 -- Système de guidage en translation Figure 6 - Réalisation d'un bras

Le modèle retenu pour l'analyse de ce mouvement est une rotation centrée sur le 
col.
Il est donné sur la figure 7. Pendant la flexion, la longueur de l'arc est 
supposée constante

et égale à. L.

Figure 7 - Modélisation d'un col

Bras articulé

Figure 8 -- Modélisation d'un bras

3.1. Exprimer les longueurs ca et cb en fonction de L et 9. Linéariser ces 
expressions pour 0

petit.

3.2. Justifier la modélisation de cette liaison par une liaison pivot de centre 
c. Cette modéli--
sation reste--t--elle pertinente pour un angle d'utilisation 9 de 17° et L = 15 
mm ?

3.3. On considère un seul bras (figure 8) et on note les longueurs AB, BO et CD 
respecti--
vement l1, l2, l3. Donner le graphe des liaisons associé à la modélisation 
décrite dans cette figure.
Proposer une liaison équivalente entre la pièce 3 et le bâti 0.

Figure 9 - Modélisation de 3 bras

( vue de dessus )

Figure 10 - Modélisation du déplacement
d'un bras (2 positions montrées }

3.4. Calculer le degré d'hyperstatisme de ce modèle. Commenter ce résultat.

3.5. Un modèle de l'assemblage des trois bras positionnés a 1200 est donné sur 
la figure 9
(vue de dessus). Déterminer la liaison équivalente entre la pièce 3 et le bâti 
0.

3.6. Donner le graphe des liaisons de cet ensemble. Calculer le degré 
d'hyperstatisme de ce
modèle. Préciser l'influence de la longueur des différents bras.

3.7. À partir de l'étude sur les plans de référence des bras élémentaires, 
proposer un cas
où l'assemblage du système ne sera pas possible et un cas où il sera bloqué 
dans une position
unique. Expliquer pourquoi en réalité l'assemblage est toujours possible. 
Préciser les inconvénients
engendrés par les conditions de montage.

3.8. À partir de la liaison équivalente d'un étage déterminée plus haut, 
justifier l'utilisation
d'un deuxième étage identique.

3.9. Expliquer la pertinence de ce choix de réalisation de guidage par rapport 
à des solutions
classiques de réalisation de liaison glissière.

Les liaisons élastiques sont modélisées par des liaisons pivots avec des 
éléments de longueur
constante. Les angles oz, 0 et fy sont définis par le paramétrage de la figure 
10.

3.10. Exprimer 0 en fonction de o: et fy.

3.11. La position du point D lorsque le système est au repos (oz = 5 = 'y = 0) 
est noté D0
et la distance DgD, appelée course, est notée d. Ecrire la fermeture 
géométrique de ce système
et en déduire les relations d = f (04) et d = g(*y).

3.12. La course maximale est de 3:40 mm et les longueurs 11 et lg 
respectivement de 140 mm
et 210 mm. Calculer approximativement les valeurs extrêmes de oz, 5 et 7.

3.13. En déduire le domaine de validité de l'hypothèse faite dans la question 
3.1 sur les
longueurs ca et cb.

3.14. En linéarisant au second ordre les équations de la fermeture géométrique, 
déduire que
a est négligeable devant fy et que d est sensiblement proportionnel à y : d : K 
fy où K est une
constante à déterminer.

3.15. Calculer l'erreur relative commise sur la course pour les valeurs 
extrêmes de &, fl et 7
trouvées dans la question 3.12.

3.16. Dans ces conditions, justifier la nécessité de maintenir la liaison pivot 
supplémentaire
entre la pièce 1 d'un bras et le bâti 0. La solution qui consisterait à mettre 
une liaison pivot entre
la pièce 2 et le bâti 0 était--elle envisageable ?

IV. La commande en position

L'objet de cette partie est d'analyser l'asservissement en position de la 
bobine pendant la
phase statique ( figure 2).

Pendant la phase statique, la balance est équilibrée par l'effet du courant 
dans la bobine. Il
s'agit d'obtenir la position d'équilibre de manière précise et rapide.

Une modélisation et des notations classiques permettent d'établir les relations 
suivantes.
L'axe 5 est vertical, orienté vers le haut. Meq est la masse inertielle de 
l'ensemble mobile (masse

+ fléau + suspensions). Ke est un coefficient de couplage électromagnétique et 
U;, la tension aux
bornes de la bobine.

(1) Meqä = KeIW -- mg

(2) E = Keà
dIW --
.(3) Ub=L--dt-- +RIW+E.

Pendant la phase statique de fonctionnement, le système est asservi à une 
référence, notée
z,.... Le modèle retenu est représenté par le schéma bloc ci--dessous. Le bloc 
C (p) est assimilé dans
un premier temps a un gain K h. '

F igure 11 - Schéma bloc de l'asservissement de position

4.1- Exprimer les différents blocs de la figure 11 en fonction des données du 
problème, en
supposant que les conditions initiales sont nulles.

4.2. Exprimer la sortie Z (p) du système, en boucle ouverte et notée Z BO; sous 
la forme :

ZBo(p) = FTB01 (p)Zr (19) -- F TBO2 (19)P (19)

avec P(p) = mgH (p) (où H est la fonction de Heavyside).

4.3. Exprimer la sortie Z (p) du système, en boucle fermée et notée Z 3 F, sous 
la forme :
ZBF(p) = F TBF1 (p)Zr (p) -- F TBF2 (}?)P (19) -

4.4. Calculer l'erreur statique de la sortie Z (p), en boucle fermée, due a un 
échelon en entrée,
et celle due a la perturbation. En déduire l'intérêt d'un correcteur.

Pour obtenir la rapidité, la précision et la stabilité exigées par le cahier 
des charges on choisit
de calculer un correcteur permettant de mettre la fonction de transfert F T BF1 
(p), en régime

harmonique, sous la forme :

Kn
H 3 =
ca
avec 3 = j;Û--, j2 = --1, et Bn(s) étant les polynômes de Butterworth définis 
ci--dessous pour
C

n=1,2,3.

4.5. Calculer G,,(w) = 'Hn (jf--) pour n = 1, 2 et 3. Commenter la forme de 
G,,(w).
w

C

4.6. On note wc," la pulsation de coupure (atténuation a ----3 dB) de Hn(s) 
pour l'ordre n.
Calculer ses valeurs pour n = 1, 2 et 3. Commenter la forme de wc,n.

4.7. Tracer le diagramme asymptotique de Bode en gain pour H1, H2, H3. Conclure 
sur la
fonction attendue du filtre.

Pour assurer la précision et la rapidité attendues, on retient un polynôme de 
Butterworth
d'ordre 4 (n = 4). En effet plus l'ordre est élevé, plus la coupure est nette, 
ce qui permet de
choisir wc plus proche de la pulsation propre du système non corrigé et donc 
d'avoir une bande
passante la plus large possible.

4.8. Les polynômes de Butterworth d'ordre n admettent comme zéro ceux de 
l'équation
82" + (--1)" = 0 possédant une partie réelle négative. Exprimer le polynôme de 
Butterworth
pour n = 4, sous la forme B4(3) = (1 + als + 32)(1 + 1918 + 32) où ... et b1 
sont des constantes
positives à calculer.

4.9. Donner la valeur de K,, qui permet d'assurer un gain statique unitaire 
pour F T BF1 (p)

KC

Top + ac
compatible avec une annulation de l'erreur statique sur la position due a un 
échelon en entrée.

Ce correcteur permet--il d'annuler l'erreur en régime permanent due a la 
perturbation ?

4.10. On cherche le correcteur sous la forme C(p) = . Justifier que ce 
correcteur est

4.11. Exprimer les différentes conditions sur les paramètres du correcteur et 
la pulsation wc
pour assurer que F T BF1 (p) s'écrive a l'aide d'un polynôme de Butterworth 
d'ordre 4 (le calcul
des paramètres n'est pas demandé).

Dans ce qui précède, seule l'inertie de l'ensemble mobile a été prise en 
compte. Or cet ensemble
possède une certaine élasticité qui génère un effort résistant s'opposant au 
déplacement et dont
l'effet sur le pilotage ne peut être négligé. Le modèle retenu est basé sur le 
concept d'une raideur

équivalente des six bras ramenée sur l'axe.

Il en résulte une modification de l'équation (1) qui devient :

Meqä = KJW --- mg -- keqz où keq est la raideur équivalente ,

dl
et l'on conserve : E = Kez° ainsi que Ub = LÎËV_ + RIW + E.

4.12. Quel(s) changement(s) du schéma de la figure 11 résulte(nt) de cette 
modification de
la dynamique, en supposant que le correcteur C (p) est celui donné en 4.10 ?

4.13. Exprimer la sortie Z (p) du système, en boucle fermée, en reprenant la 
démarche suivie
en 4.2 et 4.3.

4.14. Calculer l'erreur statique sur la sortie Z (p), due a la perturbation et 
a une entrée en
échelon. Modifier le correcteur C(p), si nécessaire, pour obtenir une erreur 
statique nulle.

V. Vers une nouvelle définition de l'unité de masse

Les grandeurs électriques sont actuellement mesurées par comparaison avec des 
étalons de
tension et de résistance utilisant des phénomènes quantiques (respectivement 
l'effet Josephson
et l'effet Hall quantique) avec des incertitudes relatives de l'ordre de 
quelques 10--9. Soient h la
constante de Planck et e la charge élémentaire; la mesure d'une tension U se 
ramène à celle de

h

la fréquence f d'un courant telle que U = fä_3 la mesure d'une résistance R se 
ramène à la
c

comparaison avec la valeur << quantique » RK = h/62, ce qui donne R = pRK où p 
est le facteur
numérique, résultat de la mesure.

5.1. Dans la phase statique, l'intensité [W est obtenue par la mesure de la 
tension Ust aux
bornes d'une résistance R traversée par IW; le << résultat >> pour Ust est la 
fréquence fst; la
mesure préalable de R a donné le facteur p. Dans la phase dynamique, la 
détermination de EW
se traduit par la fréquence fdyn. Exprimer le produit |EWIW| a l'aide des 
fréquences fst et fdyn
et du facteur p.

5.2. Les déterminations expérimentales des grandeurs << mécaniques » sont 
effectuées avec
des incertitudes relatives de l'ordre de 10--8; celle des fréquences et de p 
avec des incertitudes
de quelques 10--9. Quelle constante physique fondamentale la balance du watt 
permet-elle de

déterminer avec précision ?

5.3. Inversement, montrer qu'en fixant a priori la valeur de cette constante la 
balance du
watt permet de définir une unité de masse en s'affranchissant de tout étalon 
matériel.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2006
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Julien Tailleur (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).

Ce sujet propose d'étudier quelques aspects de l'expérience de la balance du 
watt,
qui doit relier le kilogramme à la constante de Planck. Le but est de 
s'affranchir de
tout étalon matériel, source de nombreux problèmes en métrologie.
· Dans la première partie, on touche à la complexité des problèmes de pesage de
haute précision à travers l'étude de quelques sources d'erreur.
· Le principe de la balance du watt est abordé dans la deuxième partie. La
comparaison entre une puissance mécanique et une puissance électrique permet
de redéfinir la référence du kilogramme.
· La précision requise pour la mesure nécessite l'utilisation d'un système 
mécanique fiable. Les contraintes mécaniques de réalisation du dispositif 
expérimental sont l'objet de la troisième partie.
· La quatrième partie est l'occasion d'étudier les asservissements qui 
permettent
d'atteindre une bonne précision de mesure. Un correcteur sera dimensionné
moyennant quelques détours plus calculatoires que physiques.
· Enfin, la cinquième partie conclut le problème en reliant l'unité de masse à 
la
constante de Planck en trois questions.
Les deux premières parties se traitent assez rapidement, en se consacrant à des
problèmes de physique générale et d'induction magnétique. La troisième aborde de
front la partie mécanique du cours de sciences de l'ingénieur, ce qui est une 
certaine innovation pour la troisième apparition de la nouvelle formule de 
l'épreuve.
Cette partie nécessite d'avoir beaucoup de recul sur le cours de mécanique. 
L'étude
de l'asservissement en position de la bobine ne pose pas de réel problème.

Indications
1.1.1 Pour trouver l'extremum de la surface du cylindre, l'exprimer en fonction
d'une seule variable (R ou H) et du volume V, constant, et la dériver.
1.3.1 Relier l'énergie d'interaction à la force qui lui est associée.
1.3.2 Écrire l'égalité des pressions à l'interface liquide-vapeur.
1.3.3.b Pour calculer le nombre de molécules d'eau sur la surface du cylindre, 
il faut
calculer le nombre d'hexagones nécessaires au pavage de Sext . On sait ensuite
que la masse volumique de l'eau vaut 103 kg.m-3 et on connaît le volume
d'une molécule assimilée à une sphère.
1.5.1 Utiliser la loi de Biot et Savart.
1.5.4 Écrire la force totale comme la somme de deux forces, un peu à la manière
de la physique des ondes.
2.1.1 Écrire la force de Laplace.
2.2.1 Intégrer le champ électromoteur sur le circuit C.
2.3.2 Réécrire le champ électromoteur.
3.3 Quand des liaisons sont en série, pour trouver la liaison équivalente, on 
ajoute
les torseurs cinématiques. Exprimer alors la vitesse du point D par rapport
-
 -

au repère (X0 , Y0 ) et la vitesse de rotation de la pièce 3 par rapport au 
bâti 0
pour trouver les degrés de liberté du mouvement relatif de ces deux pièces.
3.4 Rappelons la formule h = m + NS - 6p où h est le degré d'hyperstatisme, m
la mobilité du système, NS le nombre d'inconnues de liaison et p le nombre
de pièces (bâti exclu).
3.6 Quand des liaisons sont en parallèle, pour trouver la liaison équivalente, 
on
ajoute les torseurs statiques. Exprimer alors la forme des torseurs statiques
liés à chaque bras et les ajouter, en ayant pris soin de les exprimer dans un
même repère.
3.10 Utiliser la figure 10 de l'énoncé et la reproduire en plaçant tous les 
axes en
un même point d'application.
4.1 Faire le lien entre les équations, passées dans le domaine de Laplace, et le
schéma-bloc.
4.4 Exprimer l'erreur et utiliser le théorème de la valeur finale.
4.8 Calculer les racines complexes sk de l'équation s8 + 1 = 0, ne garder que
celles dont la partie réelle est négative et associer les (s - sk ) 
intelligemment
deux par deux pour calculer B4 (s).

La balance du watt
I. Étalons de masse ;
quelques problèmes de leur comparaison
1.1.1 Le volume du cylindre vaut
V = R2 H
La surface du cylindre est la somme de la surface des bases et de celle du fût :
Sext = 2R2 + 2RH
Si on fixe le volume, H et R sont liées. On peut alors exprimer la surface du
cylindre en fonction de la seule variable R et du volume V constant,
Sext = 2R2 +

2V
R

dont l'extremum est atteint pour
Sext
2V
= 4R - 2 = 0
R V
R
Cet extremum est un minimum car
4V
 2 Sext
= 4 + 3 > 0
R2 V
R
Ainsi, pour obtenir une surface minimale à volume fixé, on doit avoir
r
r
V
3
3 4V
R=
et
H=
2

Pour minimiser la surface d'un cylindre, le rapport hauteur sur rayon doit
être égal à deux.
M
et des résultats ci-dessus, on tire les rayons et hauteurs

(
(
RPt = 19, 5 mm
RInox = 27, 3 mm
et
HPt = 39, 0 mm
HInox = 54, 5 mm

1.1.2 De V =

et les volumes et surfaces correspondants
(
VPt = 4, 65.10-5 m3
et
Sext Pt = 7, 16.10-3 m2

(

VInox = 12, 7.10-5 m3
Sext Inox = 14, 0.10-3 m2

1.1.3 La sphère est la forme de surface minimale à volume donné et permet donc
de minimiser encore davantage, à masse identique, la surface extérieure.

Démontrons que pour un volume V donné, la surface de la sphère est
4
moindre que celle du cube. Pour la sphère, on a V = R3 et Ssphère = 4R2 ,
3
soit
 2/3
3
Ssphère = 4
V2/3
4
Pour le cube, V = C3 et Scube = 6C2 , soit
Scube = 6V2/3
En conclusion

Ssphère /Scube = 0, 8

La surface de la sphère est donc bien inférieure à la surface d'un cube de
volume identique.
Pour minimiser les forces de tension superficielle à la surface d'un liquide,
il faut que cette surface soit minimale. C'est pour cela qu'en microgravité les
gouttes de liquide sont de forme sphérique ou que les bulles de savon adoptent
naturellement cette forme.
1.2.1 L'étalon de volume V immergé dans l'air subit de la part de celui-ci une 
force
ou poussée d'Archimède égale à
-

PA = -air V -
g

-
La force P ressentie par la balance est alors égale à

-

P = V -
g - air V -
g
La masse M étant évaluée à partir de P/g, exprimons alors la variation 
apparente de
masse m du cylindre de volume V = M/ qui en résulte
m = -

air
M

1.2.2 Numériquement, les variations apparentes de masse valent
mPt = -6, 0.10-2 g

et

mInox = -0, 17 g

L'erreur algébrique ma commise lors de l'étalonnage de la masse en Inox est 
ainsi
égale à
ma = mPt - mInox = -0, 11 g

On a gardé autant de chiffres significatifs que la moins précise des données.
1.2.3 On obtient une erreur relative de masse de l'ordre de 10-4 , ce qui n'est 
pas
suffisant par rapport à la précision souhaitée. La poussée d'Archimède étant en 
fait
la résultante des forces de pression qui s'applique à la surface du cylindre, 
il paraît
nécessaire, pour s'en affranchir, d'effectuer les pesages sous vide ou au moins 
sous
une cloche isobare.