X Physique et Sciences de l'ingénieur MP 2001

Thème de l'épreuve Méthodes physico-chimiques de traitement des eaux
Principaux outils utilisés électromagnétisme, cinétique chimique, solutions aqueuses

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2001

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Le traitement des eaux

Le but de ce problème est d'étudier de façon simplifiée quelques étapes du 
traitement des eaux
de rivière afin de les rendre potables. Les débris les plus gros peuvent 
facilement être éliminés
par une filtration sur grille, mais il semble plus difficile d'Ôter les 
particules de petite taille
ou dissoutes. Les différentes parties du problème suivent, dans l'ordre 
chronologique, quelques
étapes du parcours de l'eau en usine de traitement.

La première partie concerne la purification par décantation en bassin qui 
permet d'éliminer les
particules de taille supérieure a une dizaine de micromètres et, après 
coagulation, les particules
colloïdales dont la taille est inférieure à quelques micromètres. Certaines 
molécules ne pouvant
être éliminées par simple décantation, il faut utiliser l'adsorption 
moléculaire par le charbon actif
en poudre que décrit la seconde partie. Enfin, la troisième partie détaille les 
problèmes de mise
à l'équilibre de calcification de l'eau. Ces trois parties peuvent être 
traitées indépendamment.

Constantes physiques :

Intensité du champ de pesanteur g = 9, 8 ms"2

Masse volumique de l'eau a = 1,00 >< 103 kg m--3
Viscosité cinématique de l'eau à 10°C 1/ = 1,31 >< 10"6 SI
Charge élémentaire e = 1,6 >< 10--19 C
Permittivité du vide 50 = 8, 84 >< 10-12 SI
Constante de Boltzmann kB : 1, 38 >< 10--23J K"1
Constante d'Avogadro NA : 6, 02 >< 1023 mol"1

"Masses molaires :

C = 12 gmol"', O = 16 gmol"1, Na : 23 gmol"', Cl : 35,5 gmol_1, Ca : 40 gmol"'.

Première partie
Purification par décantation en bassin

1. La décantation est un procédé qui permet l'élimination de particules en 
suspension dans
l'eau grâce à l'action de la gravité. Les particules se déposent au fond d'un 
bassin et forment une
boue qui pourra être évacuée ultérieurement. On supposera qu'une fois déposées, 
les particules
ne reviennent pas en suspension. L'eau à décanter remplit un bassin de 
profondeur H ; l'axe
vertical, orienté vers le haut, est noté Oz et son origine est placée au fond 
du bassin.

3) Donner l'expression de la force subie par un solide de volume V plongé dans 
un liquide
de masse volumique #. A quelle condition une particule de masse volumique ,uSOl 
pourra--t--elle se
déposer sur le fond du bassin de décantation, en supposant que l'eau du bassin 
est immobile ?

b) Une particule sphérique de rayon R, en mouvement a la vitesse 27 dans un 
fluide immo--
bile, subit une force de frottement, dite force de Stokes, donnée par Êg : 
--67ruuRÜ, où ,a et 1/
sont respectivement la masse volumique et la viscosité cinématique du fluide. 
Quelle est la di--
mension de 1/ ? Montrer que la particule atteint une vitesse limite vd, dite 
vitesse de décantation,

que l'on exprimera en fonction de R, 1/, g et de la densité d = #sol/M-

c) Application numérique : Calculer la vitesse de décantation de particules de 
sable de
rayons R = 50 mn, 5 nm et 0,5 mn, et de masse volumique uso] : 2, 65 gcm_3. 
Quel temps leur
faut--il pour parcourir un mètre ? Que penser de la décantation comme moyen 
d'élimination des
particules en suspension ?

2. La couleur et la turbidité d'une eau de surface sont dues à la présence de 
particules
généralement sphériques de très faible diamètre (inférieur à 1 pm). L'ensemble 
du liquide et
des particules en suspension est appelée << colloïde >>. Ces particules sont 
chargées en surface et
leur répulsion électrostatique assure une remarquable stabilité à leur 
suspension dans le fluide.
Leur élimination ne peut donc se faire par décantation, car leur vitesse de 
sédimentation est
extrêmement faible. La coagulation est un processus qui permet de déstabiliser 
le colloïde en
neutralisant les charges de surface grâce a l'adjonction d'ions de charge 
opposée. Les particules
s'agrègent alors et sont facilement éliminées par décantation.

Pour étudier la coagulation, on considère un modèle très simple dans lequel la 
surface d'une
particule est assimilée à. un plan infini Oyz portant une densité de charge 
uniforme a que l'on
supposera positive. La particule occupe le demi--espace a: < 0, alors que la 
solution contenant les
ions occupe l'autre demi--espace. On suppose également que les quantités 
physiques ne dépendent
que de la variable ac et on admet que l'équation, reliant le champ électrique 
Ê(a:) a la charge
volumique p(oe) dans la solution, s'écrit : div É : p/5 avec 5 = 87.80, où 
5,... est une constante
caractéristique du solvant. Pour l'eau, on prendra e,... = 80.

&) Représenter l'orientation du champ électrique Ê(oe) dans la solution. Quelle 
relation lie
le potentiel V(a:) et la charge volumique p(a:) dans la solution ? Le champ 
électrique Ê0 dans la
solution au voisinage de la surface dépend de la densité surfacique de charges 
0 sur la surface
de la particule et de EUR. Dans la suite du problème, on prendra :

--* O'
HEoH = ----
EUR

b) La solution contient des ions positifs et négatifs de charges +Ze et --Ze. 
On suppose
que le nombre volumique d'ions de charge q : iZe est proportionnel au facteur 
de Boltzmann
exp(--qV(oe)/@T), où T est la température de la solution.

Soit n le nombre volumique d'ions positifs (égal au nombre volumique d'ions 
négatifs) très
loin de la surface de la particule. En prenant V(oo) : 0, montrer que la charge 
volumique

s'exprime par

p(oe) = --2n Ze sh (Æ--V--(Ë) .

k3T

En déduire l'équation différentielle vérifiée par V(æ).
3. On suppose d'abord que le potentiel V0 à la surface de la particule est 
petit devant k3T/G.

&) Simplifier, puis résoudre l'équation différentielle vérifiée par V(oe). On 
posera :

À_( 5k3T )1/2
_ 2n2262 '

Comment interpréter physiquement cette quantité ?

b) Relier V0 à 0 et montrer que cette relation est la même que pour un 
condensateur plan
dont on précisera l'épaisseur.

c) Calculer À à la température de 300 K pour une solution d'ions monovalents 
0,01 mol / L.
Que penser des hypothèses du modèle plan pour des particules de 0,5 mn de rayon 
?

4. On revient dans le cas général (question 2.); l'approximation eVO/k:BT << 1 
faite a la
question 3. n'est plus valable.

&) Intégrer l'équation différentielle obtenue à la question 2.b) pour obtenir 
une relation
entre V(a:) et sa dérivée première. Montrer alors que le champ dans la solution 
est :

[EUR T 1/2
8n B ) Sh0).

E(æ) = (

8

On rappelle la formule : ch (Zu) -- 1 = 2 sh2u.
En déduire la nouvelle expression de 0 en fonction de V0.

b) Application numérique : Dans le cas de particules de silice Sl02 à la 
température de
300 K, dans une solution d'ions monovalents a 0,01 mol / L, V0 = 0, 1 V. 
L'approximation utilisée
à la question 3. est--elle justifiée pour cette valeur de V0 ? Calculer 0 et la 
charge totale Q d'une
particule, assimilée à une sphère de rayon & = 0,5 pm.

5. Pour 33 > 0, une primitive de S--h--1--OE- est ln 'th <%) |.

&) Exprimer V(a:) en fonction de a: et retrouver le résultat de la question 
3.a) dans la
limite eV0/k3T << 1.

b) Les résultats précédents permettent, toujours dans la modélisation plane, de 
calculer
l'énergie d'interaction par unité de surface entre deux particules distantes de 
l ; elle est donnée
par : wR(l) : (B/À2) exp(--l/À) avec B = 64 nkBTÀ3 th2(ZeVO/4kBT). Donner la 
dimension de
B et interpréter physiquement sa dépendance en l .

6. Les deux particules interagissent aussi par l'intermédiaire de la force de 
Van der Waals.
L'énergie d'attraction correspondante, par unité de surface entre les deux 
colloïdes, est donnée
par : w A(l ) : ----A/l2 où A est une constante positive. Il s'agit maintenant 
d'étudier les variations
de l'énergie totale W d'interaction entre deux colloïdes : W(l) = wR(l) + wA(l).

a) A quelle condition sur A/ B existe--t--il des extremums de W(l) ? Déterminer 
la valeur
(A / B)C pour laquelle la valeur du maximum est nulle. Donner l'allure des 
différents graphes

possibles de W(l ).

b) Discuter, selon la valeur de A/ B par rapport a (A/ B)... la stabilité du 
colloïde vis--à.--
vis de la coagulation pour des particules initialement très éloignées. On 
négligera toute perte
d'énergie due a d'éventuels frottements.

0) On définit la valeur critique nc de n, pour laquelle la valeur du maximum 
est nulle. En
utilisant l'expression de B, indiquer pour quelles valeurs de n le colloïde est 
stable ou instable.
Montrer que dans les deux cas limites eVO/k3T << 1 et eVO/kBT >> 1, nc est 
proportionnel à
une puissance de Z dont on précisera l'exposant.

(1) L'étude expérimentale de la coagulation des colloïdes montre que ne dépend 
fortement
de la valence de l'électrolyte utilisé. Pour des ions monovalents les 
concentrations critiques varient
entre 25 >< 10"3 et 150 >< 10"3 mol/L, pour des ions divalents, entre 0,5 >< 
10"3 et 2 >< 10"3 mol/L
et pour des ions trivalents, entre 0,05 >< 10"3 et 0,15 >< 10_3 mol/L.

L'une des lois de puissance obtenues à. la question 6.0) s'accorde--t-elle avec 
ces ordres de
grandeur expérimentaux ?

Dire simplement pourquoi l'eau de mer est limpide.

Deuxième partie
Purification par adsorption moléculaire

L'adsorption est un processus physico--chimique qui permet a une substance 
dissoute de
se fixer à. la surface d'un matériau solide. Ce processus est utilisé dans la 
préparation des eaux
potables pour éliminer des substances impossibles à supprimer par des méthodes 
classiques. Dans
cette partie nous allons étudier l'adsorption réversible à température 
constante de molécules à
la surface d'un solide. Au cours de ce processus, les molécules se fixent sur 
des sites distincts et
équivalents du solide. On suppose pour commencer que les sites d'adsorption du 
solide ne peuvent
accueillir qu'une seule molécule et on négligera les interactions entre 
molécules adsorbées. Leur
évolution peut se décrire par une réaction (1) au cours de laquelle la molécule 
A réagit avec
un site libre S pour donner une molécule adsorbée Aad; la réaction inverse (2) 
est appelée
désorption :

A+S% Aad

4

On notera {A} la concentration de la molécule A dans la solution, [S] le nombre 
de sites libres
par unité de masse de l'adsorbant et [Aad] le nombre de molécules adsorbées par 
unité de masse

de l'adsorbant.

1. Ecrire la vitesse de la réaction d'ads0rption (1) sachant que la cinétique 
de cette réaction,
de constante [fil, est d'ordre 1 par rapport aux réactifs A et S. Ecrire la 
vitesse de la réaction de
désorption (2) ---- vitesse de disparition de Aad --, la cinétique de constante 
kg étant d'ordre 1.

2. On désigne par N le nombre total de sites, libres ou occupés, par unité de 
masse de
l'adsorbant. Calculer à. l'équilibre la fraction de sites occupés 77 : [Aadl / 
N en fonction de [A] et
de K : k1/k2. Tracer la courbe 77 = f ([A]) et interpréter sa forme 
asymptotique.

3. Le tableau ci--dessous donne la valeur des concentrations d'équilibres 
résultant de
l'adsorption du benzène sur du charbon actif en poudre.

Tracer [Ai/{Aadi en fonction de [A]. En déduire la valeur de N pour le charbon 
actif. Une
molécule de benzène adsorbée occupe une surface de 0,43 nm2 : quelle est la 
surface maximale
occupée par gramme d'adsorbant ? Que suggère la valeur très élevée trouvée ?

4. On suppose maintenant qu'un site d'adsorption peut capter plusieurs 
molécules. La réac--
tion (1') entre une molécule A et un site occupé par i molécules S,- donne un 
site S,+1 et s'écrit
A+ S,-- : ,+1. On notera [A] la concentration de la molécule A dans la solution 
et [S,-] le nombre
de sites, par unité de masse de l'adsorbant, couverts par @ molécules 
adsorbées; [SO] est ainsi le
nombre de sites libres par unité de masse de l'adsorbant. A chacune de ces 
réactions, de même
cinétique que la réaction (i = 0) vue précédemment, est associée comme a la 
question 2. une
constante K,-- telle que KO : K et K,-- = K' pour i > 1.

&) Ecrire la relation entre [S,], [S,-+1], [A] et K, caractérisant l'équilibre 
(i). Exprimer [S,--]
en fonction de [SO], [A], K et K'.

b) Exprimer N, nombre total de sites par unité de masse de l'adsorbant, en 
fonction des
mêmes paramètres.

c) Exprimer, de même, le nombre total [Aad] de molécules adsorbées par unité de 
masse
de l'adsorbant.

d) En déduire le nombre moyen de molécules adsorbées par site 77 : [Aad] /N en 
fonction
de OE : K'[A] et C: K/K'.

e) Montrer que l'on retrouve bien la formule de la question 3. a la limite où K 
' --> 0. Que
se passe--t--il physiquement quand 33 ----> 1 ?

Troisième partie
Traitement chimique de minéralisation

Toutes les eaux contiennent en quantité plus ou moins importante six espèces 
chimiques,
dites fondamentales, qui sont l'acide carbonique H2003 (issu de la dissolution 
du dioxyde de
carbone), les ions hydrogénocarbonates HCOg et carbonates OOâ--, l'ion calcium 
Ca2+ et les ions
hydronium H30+ et hydroxyle OH". D'autres espèces sont bien sûr susceptibles 
d'être présentes
comme les ions Mg2+, N a+, K+, SOî", Ol_ ou NOg . Elles seront considérées ici 
comme inertes.

On pose P : 2[Mg2+] + [Na+] + [K+], N : 2[SO4--] + [Cl--] + [NOg] et /\ = (N -- 
P)/2. On
supposera dans toute la suite A > 0.

Au cours des calculs, on peut être amené à faire des approximations qu'il 
faudra systémati--
quement justifier. On rappelle que pour l'acide carbonique pK1 : 6, 37 et ng : 
10, 33.

1. Nous allons d'abord étudier une représentation graphique dans laquelle une 
eau est repré-
sentée par un point dont l'abscisse oe est la concentration en ion calcium 
[Ca2+] et l'ordonnée y

la concentration totale en COg définie par [C02]tot : [H2C03] + [HCOg ] + 
[COËf].

a) Expliquer pourquoi la connaissance de ces deux quantités, À étant fixé, 
suffit à déter--
miner les concentrations des 6 espèces fondamentales.

b) Montrer que, [COg]t0t = 2([Ca2+] -- À) + ([H2C03] -- [COâÎ) + ([H30+] --- 
[OH--]).

c) Tracer les courbes y : f(oe) correspondant à la relation pH : (pK1 + ng) / 2 
et à la
relation pH : pK1. Préciser dans quelle région on a pH < (pK1 + ng)/ 2.

d) On s'intéresse aux eaux naturelles dont le pH est compris entre pK1 et (pK1 
+ ng) / 2.
Pour ces eaux, préciser l'allure d'une courbe de pH fixé.

e) Les résultats précédents dépendent-ils de la température de l'eau ?

2. On doit aussi considérer la réaction de précipitation du calcaire CaO03 dont 
le produit de
solubilité vaut pKS : 8, 34. Les eaux calcifiantes provoquent le colmatage des 
tuyaux par dépôt
de calcaire alors que les eaux agressives attaquent la couche de calcaire et 
facilitent la corrosion
des tuyaux. Un traitement adéquat de l'eau permet d'éviter ces inconvénients en 
la plaçant à
l'équilibre de la réaction de formation de calcaire.

a) Montrer que la courbe d'équilibre a pour équation :

4K2
K1KS

b) Tracer cette courbe en prenant A = 0,8 >< 10"3 mol L"1. Où sont situées les 
eaux
calcifiantes ?

[COQ]... : 2([Ca2+] -- A) + [Ca2+]([Ca2+] -- A)?

c) Pour réduire l'agressivité d'une eau, on peut y ajouter différents réactifs. 
Représenter
la courbe suivie par le point représentatif d'une eau agressive lorqu'on lui 
ajoute l'une des trois
espèces suivantes : de la chaux Ca(OH)2; une base forte différente de la chaux; 
du calcaire

CaC03.

(1) Application numérique : Une eau dont le pH vaut 6,8 a une composition telle 
que
A = 0,8 >< 10-3 mol L--1, [oa2+] : 2,5 >< 10-3 moi L--1 et [HGOg] = 3,4 >< 10*3 
mol L--1.
Montrer que si on y ajoute 25,3 mg de CaCO;; par litre elle sera à l'équilibre 
de calcification.
Quel sera le nouveau pH ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique et Chimie 2 MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Fabien Guérin (École Polytechnique) ; il a été relu 
par
Jean-David Picon (École Polytechnique) et Sébastien Taillemite (École Nationale
Supérieure de Chimie de Paris).

Ce problème propose d'étudier différentes méthodes de traitement des eaux de 
rivière afin de les rendre propres à la consommation. Divers procédés 
physico-chimiques
sont utilisés en fonction de la taille des particules à éliminer, les 
particules les plus
grosses étant par exemple ôtées par filtration.
La première partie du problème traite le cas de la purification des eaux en 
bassin
par décantation. Dans une eau au repos, les particules d'une taille supérieure 
à dix
micromètres peuvent en effet se déposer au fond du bassin et sont alors 
facilement
éliminables. Pour les particules plus petites (inférieures à quelques 
micromètres), la
décantation n'est pas possible car elles portent des charges en surface. La 
suite de
cette partie montre comment il est possible, par adjonction d'ions de charge 
opposée,
de faire coaguler ces particules de manière à ce que les agrégats formés 
puissent
décanter.
Les autres molécules, pour lesquelles la décantation est inefficace, sont 
traitées
par du charbon actif. Les molécules peuvent se fixer à la surface du charbon 
dans des
sites favorables. La cinétique de ce phénomène d'adsorption moléculaire est 
étudié
dans la deuxième partie. Enfin, la dernière partie du problème détaille le 
principe
d'un traitement chimique de minéralisation des eaux afin de les amener à 
l'équilibre
de calcification.
Les trois parties sont indépendantes. Toutefois, il y a une nette différence 
entre la
première partie, assez calculatoire et principalement axée sur 
l'électromagnétisme, et
les deux autres parties qui nécessitent une bonne connaissance de la chimie 
minérale
et de la cinétique chimique.

Indications

Partie I
I.2.b Il est nécessaire de calculer le facteur de proportionnalité entre le 
nombre
volumique d'ions positifs ou négatifs et le facteur de Boltzmann. Pour cela, il
faut utiliser la définition de n.
dV(x)

I.3.b Calculer E(x) = -
et utiliser kE(0)k = .
dx

dV
I.4.a Il faut multiplier l'équation obtenue à la question I.2.b par
et intégrer
dx
entre x et +.
I.5.a Séparer les variables x et V(x) et intégrer de 0 à x.
I.6.a Il faut introduire et étudier sur [ 0 ; + [ la fonction auxiliaire :
x 7-

x3
exp (-x)
2

I.6.b La position stable du système est située en x = 0. L'énergie du système 
étant
A
constante et strictement positive, il faut déterminer, selon la valeur de , si
B
le système a l'énergie suffisante pour atteindre cette position.
I.6.c Ne pas oublier que  dépend de n.

Partie II
II.3 Attention aux unités pour calculer N !
II.4.a Séparer les cas i = 1 et i > 1.
+
+
P i-1
P i
ix
s'obtient en dérivant celle de la série
x.
II.4.c La somme de la série
i=1

i=1

Partie III
III.1.a Chercher deux équations d'inconnues [H3 O+ ] et [CO2-
3 ]. Pour cela, utiliser
l'équation d'électroneutralité de la solution et l'expression de K1 et K2 .
III.1.b Écrire l'équation d'électroneutralité de la solution.
-
III.1.c Dans le cas pH = pK1 , [CO2-
3 ] est négligeable devant [HCO3 ].

III.1.d Utiliser la même approximation qu'à la question précédente.
-
+
-
III.2.a Négliger [CO2-
3 ], [H3 O ] et [OH ] devant [HCO3 ] et [H2 CO3 ] et utiliser la
relation :
KS = [Ca2+ ] [CO2-
3 ]

III.2.c Étudier la variation de [Ca2+ ] et [CO2 ]tot lorsqu'on ajoute un 
réactif.

I.

Purification par décantation en bassin

I.1.a Le solide plongé dans un liquide subit la poussée d'Archimède égale à 
l'opposé
du poids du volume de liquide occupé par le solide, soit :
-

F Archimède = -µV -
g
La particule est donc soumise à son poids et à la poussée d'Archimède, 
c'est-à-dire à
la force :
-

F = (µsol - µ) V -
g

-

Si µsol > µ, F est orientée selon --
ez , la particule peut se déposer au fond du bassin
de décantation.
I.1.b On prend dorénavant en compte la viscosité du fluide qui est à l'origine 
d'une
force de frottement quand la particule est en mouvement.
Pour une grandeur physique A, on note [A] sa dimension et L, M, T et K les
dimensions fondamentales de longueur, masse, temps et température.

Alors

[] =

[FS ]
M L T-2
=
= L2 T-1
-3
[µ][R][v]
M L × L × L T-1
 a pour dimension L2 T-1 .

Appliquons la relation fondamentale de la dynamique à la particule. Après 
projection sur l'axe Oz :
4 3
dv
4
R µsol
= -6µRv - (µsol - µ) R3 g
3
dt
3
soit

dv
9 
+
v=
dt 2 d R2

1
-1 g
d

La solution de cette équation est constituée de deux termes :
· un terme exponentiellement décroissant qui est solution de l'équation
dv
9 
+
v=0
dt 2 d R2
· un terme constant vd solution particulière de l'équation différentielle.
Donc pour t 

2 d R2
, le premier terme peut être considéré comme nul, ce qui donne :
9 
vd =

2
1-d
gR2
9

I.1.c On note t1m le temps mis par une particule pour parcourir 1 m.
· Pour R = 50 µm :

vd = -6, 86.10-3 m.s-1

et

t1m = 146 s ;

· Pour R = 5 µm :

vd = -6, 86.10-5 m.s-1

et

t1m = 14600 s ;

· Pour R = 0, 5 µm :

vd = -6, 86.10

et

t1m = 1, 46.106 s.

-7

m.s

-1

Il faut donc environ deux minutes pour décanter des particules de 50 µm de 
rayon,
quatre heures pour des particules de 5 µm et dix-sept jours pour des particules 
de
0, 5 µm ! La décantation n'est donc réellement efficace que pour des particules 
de
rayon assez grand, c'est-à-dire au-delà de 10 µm environ.
I.2.a

z

surface chargée

y
 x

-
Le champ électrique E (x) est

orienté selon -
ex c'est-à-dire
dans le sens des potentiels décroissants.

-

E

V(x) et (x) sont reliés par l'équation de Poisson :

V + = 0

soit

d2 V(x) 
+ =0
dx2

I.2.b La charge volumique créée par les ions de charge positive est :

Z e V(x)
+
 (x) = Z e n(x) = A Z e exp -
kB T
où n(x) désigne la densité volumique d'ions positifs à l'abscisse x et A est le 
facteur
de proportionnalité entre n(x) et le facteur de Boltzmann.
De même, la charge volumique créée par les ions de charge négative est :

Z e V(x)
- (x) = -Z e n(x) = -A Z e exp
kB T
On a donc

(x) = + (x) + - (x)

Z e V(x)
Z e V(x)
= A Z e exp -
- exp
kB T
kB T

Z e V(x)
(x) = -2 A Z e sh
kB T