X/ENS Physique MP 2016

Thème de l'épreuve Optomécanique d'une cavité
Principaux outils utilisés électromagnétisme, mécanique, physique quantique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2016

COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR)
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre 
significatif.

Optomécanique en cavité
L'optomécanique se consacre à l'étude du couplage de dispositifs mécaniques à 
une onde électromagnétique.
Ce problème étudie différents aspects d'un système optomécanique modèle, à 
savoir une cavité résonante linéaire
formée de deux miroirs semi-réfléchissants parallèles se faisant face, dont 
l'un est mobile.
Dans la première partie, on établit les équations dynamiques générales d'une 
cavité de longueur fixée, soumise
à un champ électromagnétique incident. Dans la seconde partie, on étudie le 
couplage optomécanique en supposant
que l'un des miroirs est libre de se déplacer sous l'action de la force 
d'origine électromagnétique imposée par le
faisceau incident, et d'une force de rappel élastique appliquée par le support 
sur lequel ce miroir est monté.
Dans tout ce problème, on utilise le signe "  " (plutôt que " = ") pour définir 
une grandeur.
Dansles applications numériques, on prendra c  3 × 108 m.s-1 pour la vitesse de 
la lumière dans le vide,
  3 et 0, 9  0, 9.
1. Cavité résonante de longueur fixée
On considère une cavité linéaire, d'axe (Oz), délimitée par deux miroirs 
(diélectriques) semi-réfléchissants
plans identiques, notés (M1 ) et (M2 ). On admettra que les faces « internes » 
des miroirs (M1 ) et (M2 ) ­ c'est-à-dire
les faces dirigées vers l'intérieur de la cavité (représentées en trait plein 
sur la figure 1), ont même coefficient de
réflexion en amplitude (pour le champ électrique) pris égal à (-), où  est 
supposé réel et positif ; le coefficient
de réflexion des faces « externes » de (M1 ) et (M2 ) ­ c'est-à-dire les faces 
dirigées vers l'extérieur de la cavité
(représentées par les zones grisées sur la figure 1), est quant à lui pris égal 
à . On admettra aussi que les deux
miroirs (M1 ) et (M2 ) possèdent le même coefficient de transmission en 
amplitude (pour le champ électrique), noté
, que l'on suppose réel et positif ; ce coefficient est identique pour les deux 
sens de traversée des miroirs. On
admettra enfin que les coefficients (, ) ne dépendent pas de la pulsation du 
champ incident, et que la relation
 2 +  2 = 1 est vérifiée. On note R   2 et T   2 . Dans cette partie, on 
suppose les deux miroirs fixes dans le
référentiel du laboratoire et l'on note L la distance qui sépare (M1 ) et (M2 ).
On envoie vers la cavité formée par (M1 ) et (M2 ) une onde incidente plane 
progressive monochromatique se
propageant selon l'axe (Oz) et polarisée selon l'axe (Ox), décrite par son 
champ électrique :
~Ei (z,t) =  [Ei (z,t)]~ex
h 
z i
Ei (z,t) = Ei exp i t -
c
1

(1)
(2)

F IGURE 1 ­ Cavité résonante linéaire de longueur L, soumise à un champ 
incident (partie 1).
où  désigne la partie réelle, Ei l'amplitude de l'onde incidente à l'origine 
des temps et des coordonnées, supposée
réelle, et i2 = -1. Vous admettrez que cette onde crée une onde réfléchie dans 
le demi-espace z < 0 de même
direction de polarisation que l'onde incidente, de sorte que le champ total en 
amont de la cavité (dans la zone notée
I sur la figure 1) s'écrit
~EI (z,t) =  [Ei (z,t) + Er (z,t)]~ex
h 
z i
Er (z,t) = Er exp i t +
c

(3)
(4)

où Er désigne l'amplitude de l'onde réfléchie à l'origine des temps et des 
coordonnées, a priori complexe.
De même, le champ créé à l'intérieur de la cavité (zone II) prend la forme 
générale
~EII (z,t) =  [E+ (z,t) + E- (z,t)]~ex
h 
z i
E+ (z,t) = E+ exp i t -
h  cz i
E- (z,t) = E- exp i t +
c

(5)
(6)
(7)

Enfin, le champ au-delà de la cavité (zone III) s'écrit
~EIII (z,t) =  [Et (z,t)~ex ]
h 
z i
Et (z,t) = Et exp i t -
c

(8)
(9)

Ces différents champs sont représentés sur la figure 1 ainsi que les vecteurs 
d'ondes associés
~ki =~k+ =~kt
~kr =~k-

~ez
c

= - ~ez
c
=

1) Que représentent les coefficients R et T ? Que signifie physiquement la 
relation R + T = 1 ?
2) Justifiez la nature progressive choisie pour le champ ~EIII (z,t).
2

(10)
(11)

3) Au moyen des coefficients de réflexion et transmission, écrivez trois 
relations entre les amplitudes Ei , E+ , E-
et Et traduisant la transmission/réflexion en z = 0 et z = L.
4) Déduisez les amplitudes E+ , E- et Et en fonction de Ei , , L, c, R et T . 
Vous mettrez le résultat sous la forme
E+ =

 ()
 Ei
T
r

E- = - ()
Et

=  () Ei

(12)

2iL
R
Ei
exp -
T
c

(13)
(14)

et vérifierez que la fonction  () prend la forme
 () 

T

2iL
1 - R exp -
c

(15)

2
5) Exprimez

 la fonction | ()| et tracez sa représentation graphique pour R = 0, 9 en 
fonction de la variable
L
réduite
.
c
6) Montrez l'existence d'une famille discrète de pulsations nN du champ 
incident pour lesquelles ||2 est
maximale. À quoi ces pulsations correspondent-elles physiquement pour 
l'intensité transmise ?
7) Montrez que l'intensité (moyennée sur une période) III (z) à l'intérieur de 
la cavité se met sous la forme
1
III (z) = | ()|2 L (, z)Ii où Ii désigne l'intensité incidente et L (, z) un 
terme que vous exprimerez en foncT
tion de R et  (z - L) /c.
8) Tracez les courbes représentatives de L (n , z) pour R = 0, 9 et n = 1, 2 et 
3 en fonction de la variable
réduite (z/L). Même question pour R = 1 ; quelle est la nature de l'onde 
observée à l'intérieur de la cavité dans ce
cas ?
9) On revient au cas général (R < 1). En vous plaçant au voisinage d'une 
pulsation n déterminez une expression approchée de la fonction  () puis mettez 
la fonction | ()|2 sous la forme

| ()|2 

1
 - n
1+4
 1
2

!2

(16)

où  1 est un paramètre dont vous préciserez l'expression et la signification 
physique. Donnez l'expression ap2
prochée de  1 dans la limite T  1.
2
10) En vous servant des résultats précédents, établissez une analogie entre la 
cavité étudiée et des dispositifs
rencontrés dans un (d') autre(s) domaine(s) de la physique. À partir de cette 
analogie, définissez un facteur de
qualité pour la cavité considérée et indiquez sa signification physique.

Dans les questions 11 à 15, on cherche à relier le paramètre  1 au taux de 
perte en énergie de la cavité.
2
Pour ce faire, on va suivre une approche particulaire. On rappelle qu'une onde 
électromagnétique est composée
de photons, particules sans masse, dont la quantité de mouvement p et l'énergie 
E sont données par les formules
p = h/c et E = h, où  est la pulsation du rayonnement électromagnétique 
considéré. On admet que, lorsqu'il
atteint l'un des miroirs (M1 ) ou (M2 ), un photon est transmis, sans 
modification de son énergie ni de sa quantité de
mouvement, avec la probabilité T , tandis qu'il « rebondit », sans modification 
de son énergie mais avec une quantité
de mouvement opposée, avec la probabilité R.
11) Exprimez le temps t mis par un photon pour parcourir une longueur de cavité.
12) Durant cet intervalle de temps, combien un photon subit-il de rebonds sur 
les parois de la cavité ?
3

13) Quelle est la probabilité pour ce photon de quitter la cavité pendant la 
durée t ?
14) Si la cavité contient, à l'instant t, n ph (t) photons, combien de photons 
auront quitté la cavité à l'instant
(t + t) (on suppose n ph  1) ?
15) Reliez l'énergie électromagnétique Eem (t) contenue dans la cavité au 
nombre de photons n ph (t). En supposant n ph  1, exprimez la variation 
d'énergie électromagnétique (Eem )pertes entre t et t + t due aux pertes au
niveau des miroirs. En assimilant (Eem )pertes et t à des éléments 
infinitésimaux exprimez le taux de perte de la

dEem
1
cavité   -
. Finalement, reliez  au paramètre  1 introduit à la question 9.
2
Eem
dt
pertes
On suppose maintenant que les champs sont quasi-monochromatiques, c'est-à-dire 
qu'ils peuvent se mettre
sous la forme de paquets d'ondes
^
h 
z i
1
d
(17)
E+ (z,t) =
E+ () exp i t -

c
^
h 
1
z i
(18)
Ei () exp i t -
Ei (z,t) =
d,

c
h

i
autour
où les fonctions E+ () et Ei () ne prennent de valeurs significatives que sur 
l'intervalle c - , c +
2
2
c
d'une pulsation c = n où n  N et  
.
L
16) Rappelez brièvement pourquoi un paquet d'ondes de la forme précédente 
constitue une solution des équations de M AXWELL.
17) En utilisant la forme approchée pour  () obtenue à la question 9, 
établissez la relation linéaire entre les
composantes E+ () et Ei () dans le régime R  1.
18) Déduisez du résultat précédent l'équation différentielle vérifiée par la 
fonction E+
r
h
i

c
E+  - - ic E+ +
Ei .
(19)
t
2
4L
19) On considère une cavité de longueur L = 0, 9 mm, constituée de deux miroirs 
de même coefficient R = 0, 99.
Calculez 3000 ainsi que la longueur d'onde associée 3000 . À quel type d'onde 
électromagnétique a-t-on affaire ?
Calculez  1 ainsi que le facteur de qualité Q3000 . Commenter la comparaison 
aux ordres de grandeur caractéris2
tiques rencontrés dans d'autres domaines de la physique.

2. Cavité résonante à miroir mobile
Dans cette partie, on suppose que le miroir (M2 ) est libre de se déplacer 
selon la direction z. Il est soumis à
la force imposée par le champ électromagnétique à l'intérieur de la cavité 
ainsi qu'à une force de rappel élastique
linéaire modélisée par un ressort de raideur K et de masse négligeable devant 
celle du miroir (M2 ) qu'on notera m.
Expérimentalement, cette configuration peut être réalisée en suspendant le 
miroir comme un pendule. On repère
la position de (M2 ) par son écart, noté  (t), à sa position d'équilibre à 
champ incident nul, correspondant à une
longueur de cavité L (cf Figure 2). On supposera que le mouvement de (M2 ) 
reste de faible amplitude devant la
longueur initiale L de la cavité.
20) Exprimez la longueur de la cavité à la date t.
21) Donnez la nouvelle expression c (t) de la pulsation introduite dans la 
première partie. Calculez sa forme
nc
c
et Gc 
(appelée « constante
approchée au premier ordre en  /L. Vous ferez intervenir les grandeurs c 
L
L
de couplage électromécanique »).
22) À quelle condition (intuitive) l'équation dynamique (19) reste-t-elle 
valable ? Pour répondre à cette question, vous pourrez introduire l'échelle des 
variations temporelles de la fonction  (t).
4

F IGURE 2 ­ Cavité résonante à miroir mobile (partie 2).
On suppose que le champ incident est monochromatique, de pulsation L = c + ,

h
z i
Ei (z,t) = Ei exp iL t -
c

(20)

où Ei est une constante réelle, et l'on écrit la composante E+ du champ à 
l'intérieur de la cavité sous la forme
h

z i
E+ (z,t) = E+ (t) exp iL t -
(21)
c

23) Pourquoi suppose-t-on, a priori, que E+ (t) dépend du temps ? Justifiez 
qualitativement que E+ (t) ne varie
pas de manière significative sur une période du champ incident.
24) Montrez que E+ (t) vérifie
r
h
d
i
c
E+ (t)  - i ( + Gc  ) + E+ (t) +
Ei
(22)
dt
2
4L

Dans les questions 25 à 34, on souhaite déterminer l'expression de la force 
imposée au miroir (M2 ) par le champ
électromagnétique en cavité, appelée « force de pression de radiation », en 
fonction des paramètres du problème
et notamment du déplacement  (t). Pour ce faire, on va suivre le même type 
d'approche particulaire que dans les
questions 11 à 15.
25) Exprimez la quantité de mouvement fournie au miroir (M2 ) par un photon de 
pulsation L lors d'un rebond. Comme dans la première partie, on supposera que 
ce rebond ne modifie pas l'énergie du photon de manière
significative mais change sa quantité de mouvement en son opposée.
26) En notant dNph =  ph (t) dt le nombre de photons qui frappent le miroir (M2 
) entre t et t + dt, donnez
l'expression de la force de pression de radiation due au champ à l'intérieur de 
la cavité.
27) Reliez  ph (t) à la puissance électromagnétique, moyennée sur une période 
du champ incident, qui est
réfléchie par le miroir (M2 ) à l'instant t.
28) Montrez que, dans la limite R  1, la force de pression de radiation 
instantanée prend alors la forme
Fpr (t)  0 S |E+ (t)|2
On introduit les nouvelles grandeurs a et ai définies par
s

hL
0 S L
s
2hL
= ai
0 cS

E+ = a
Ei

5

(23)

(24)
(25)

29) Précisez les dimensions respectives de a et ai et explicitez la 
signification physique des quantités |a|2 et
|ai |2 .
30) Établissez l'équation régissant l'évolution de a.
31) Établissez l'équation mécanique sur  (t) régissant le mouvement du miroir. 
Vous introduirez la pulsation
propre de l'oscillateur  que vous relierez à la raideur K du ressort et la 
masse m de (M2 ).
32) On se propose d'étudier le système dans le cas   . Que signifie cette 
condition physiquement ?
33) Montrez que, pour des temps t  1/, on peut alors écrire
r

2
(26)
a (t) 
 ai .
i [ + Gc  (t)] +
2
34) Dans le régime considéré à la question précédente, établissez l'expression 
de la force de pression de radiation.

Dans la suite du problème, on supposera toujours être dans les conditions 
d'application de la formule (26).
Le but des questions 35 à 40 est d'étudier les positions d'équilibre mécanique 
du miroir mobile (M2 ), ainsi que
leur stabilité.
35) Établissez la condition d'équilibre mécanique du miroir mobile (M2 ) 
reliant  à |ai |2 .
36) En l'absence de champ incident, déterminez le nombre et la nature (stable 
ou instable) de points d'équilibre
du miroir mobile (M2 ).
On considère maintenant le cas d'un champ incident non nul.
37) Mettez la condition d'équilibre identifiée à la question 35 sous la forme A 
= F ( ), où F est une fonction
sans dimension de maximum unité et A une constante qui s'exprime en fonction 
des paramètres du problème, puis
montrez comment déterminer graphiquement le(s) point(s) d'équilibre du miroir 
(M2 ).
38) À l'aide de la représentation graphique de la question précédente, montrez 
que le miroir (M2 ) possède au
plus trois points d'équilibre et étudiez leur stabilité respective. Justifiez 
le nom de bistabilité donné au phénomène
observé.

Pt
Pt(sup)

Pi

Pt(inf)
Pi(inf)

Pi(inf)

F IGURE 3 ­ Relevé expérimental de la puissance Pt (représentée en ordonnée) 
transmise par une cavité (L = 0, 9
mm, m = 60 mg, R = 0, 99) obtenu en faisant passer très lentement la puissance 
du champ incident Pi (représentée
(inf)
(inf)
(sup)
(sup)
en abscisse) de Pi
= 1, 1 W à Pi
= 2, 2 W et inversement. Lors du passage Pi
 Pi
, on suit la partie
(inf)
inférieure du cycle d'hystérésis (le niveau moyen du plateau inférieur est Pt
 0, 2 mW) ; au cours du passage
(inf)
(sup)
(sup)
Pi
 Pi
, on suit la partie supérieure du cycle (le niveau moyen du plateau supérieur 
est Pt
 5 mW).
La figure est extraite de A. D ORSEL et al, Phys. Rev. Lett. 51, 1550 (1983).

6

 3
39) À partir de la condition d'équilibre de la question 35, montrez qu'il est 
nécessaire de choisir  < -
2
pour obtenir plus d'un point d'équilibre
pour le miroir (M2 ).

 3
40) En supposant  < -
, identifiez l'intervalle dans lequel |ai |2 doit se situer pour qu'il existe 
plus d'un
2
point d'équilibre pour le miroir mobile (M2 ).

Dans les questions suivantes, on considère une cavité de longueur initiale L = 
0, 9 mm, constituée d'un miroir
massif (immobile) et d'un miroir mobile de masse 60 mg, tous deux possédant le 
même coefficient R = 0, 99.
La figure 3 présente un relevé expérimental de la puissance transmise par la 
cavité, notée Pt et représentée en
ordonnée, obtenu lorsque l'on fait passer très lentement la puissance incidente 
Pi (représentée en abscisse) de
(inf)
(sup)
la valeur inférieure Pi
vers la valeur supérieure Pi
, puis inversement. La courbe obtenue, appelée cycle
d'hystérésis, présente deux branches dont le sens de parcours est indiqué par 
des flèches : durant la première
(inf)
(sup)
phase, c'est-à-dire lorsque l'on augmente Pi de Pi
à Pi
, on suit la partie inférieure du cycle ; au cours de la
(inf)
(sup)
deuxième phase, c'est-à-dire lorsque l'on diminue Pi de Pi
à Pi
, on suit la partie supérieure du cycle.
41) Établissez la relation entre puissances transmise et incidente faisant 
intervenir la quantité  .
42) En vous appuyant sur les résultats des questions 37 et 38, donnez une 
interprétation qualitative des résultats
obtenus. Expliquez notamment l'existence de deux plateaux pour la puissance 
transmise et le « passage » de l'un
à l'autre de ces plateaux. Vous pourrez vous aider de représentations 
graphiques de votre choix pour illustrer votre
réponse.

7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique MP 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Valentin Raban (ENS Lyon) ; il a été relu par Tom
Morel (Professeur en CPGE) et Louis Salkin (Professeur en CPGE).

Le sujet porte sur le couplage optomécanique entre une cavité Fabry-Perot et
le champ électromagnétique qu'elle contient. La source du couplage est la force 
de
pression de radiation de ce champ. Les deux parties de l'épreuve sont de 
longueur et
de difficulté inégales.
· La première partie aborde le calcul du champ électrique dans la cavité. Les
premières questions sont classiques et constituent une bonne illustration de
l'utilisation des facteurs de transmission/réflexion. Cette approche conduit 
naturellement à relier la sélectivité de la cavité à ses pertes énergétiques et 
permet
d'aboutir à une équation dynamique pour le champ.
· Dans la deuxième partie, l'un des miroirs est rendu mobile et attaché à un
ressort. La force de pression de radiation, qui tend à pousser le miroir, 
s'oppose
alors à la force de rappel du ressort. De cette compétition résultent des 
positions
d'équilibre qui font l'objet des dernières questions du sujet.
Le sujet n'est pas particulièrement long, mais certaines questions de la fin de 
la
deuxième partie sont peu guidées et nécessitent d'y consacrer un temps 
conséquent.
Celles-ci reposent notamment sur une analyse de courbes qu'il faut savoir 
tracer sans
l'aide de la calculatrice, interdite ici. Elles restent néanmoins les questions 
les plus
intéressantes.
Remarquons par ailleurs que la plupart des résultats intermédiaires sont donnés
dans l'énoncé, ce qui évite de rester bloqué.

Indications
Partie 1
3 Écrire les champs comme provenant de la réflexion/transmission d'autres 
champs.
6 L'intensité est proportionnelle au module du champ électrique au carré.
7 Écrire EII = E+ + E- puis utiliser les expressions établies à la question 4.

8 Pour déterminer la nature du champ lorsque R = 1, commencer par écrire la
condition de réflexion totale sur (M1 ), puis calculer le champ dans la cavité.
9 Introduire  = n +  dans l'expression de , puis utiliser le développement
limité e x  1 + x valable pour x  1.

10 Faire l'analogie avec les filtres en électrocinétique.

15 L'énoncé n'est pas clair ici. Il faut introduire un dt différent du t des 
questions
précédentes.
17 Remplacer 1/2 par son expression en fonction de .
18 Commencer par dériver l'expression (17) de l'énoncé par rapport au temps. 
Écrire
ensuite  =  c +  et utiliser la question 17 pour exprimer  E+ .
Partie 2
21 Substituer L par L(t) dans l'expression de  c .
24 L'équation (19) reste valable.
26 Calculer la quantité de mouvement totale reçue par le miroir. La force qui 
s'exerce
sur lui est alors Fpr = dptot /dt.
27 La puissance électromagnétique est l'intégrale surfacique du vecteur de 
Poynting.
30 Utiliser l'équation (22) de l'énoncé.
33 La question précédente permet d'écrire da/dt = 0.
34 Utiliser les expressions (23), (24) et (26) de l'énoncé.
37 Les positions d'équilibre correspondent aux points d'intersection entre la 
représentation graphique de F et la droite y = A .
38 La courbe associée à F traduit la force de pression de radiation tandis que 
la
droite y = A  représente la force de rappel du ressort.
39 Tracer F, puis chercher dans quelles conditions une droite passant par 
l'origine
intersecte trois fois F.
41 Utiliser les résultats des questions 4 et 17. La puissance est 
proportionnelle au
module du champ électrique au carré.
42 Faire varier la pente A de la droite, et regarder comment évoluent les points
d'intersection avec F.

Optomécanique en cavité
I. Cavité résonante à longueur fixée
1 L'énergie est proportionnelle au carré du champ électrique : R et T sont donc
respectivement les coefficients de réflexion et de transmission en énergie des 
miroirs.
La relation R + T = 1 traduit ainsi la conservation de l'énergie de l'onde.
2 Puisqu'il n'y a pas de source de champ dans la zone III, le champ EIII ne 
provient
que du champ E+ transmis à travers (M2 ) : il est par conséquent progressif tout
comme E+ .
3 Le champ E+ résulte de la transmission de Ei à travers (M1 ) et de la 
réflexion de
E- sur la face intérieure de (M1 ). On a donc en z = 0 :
E+ e it =  E i e it -  E- e it
soit

E+ =  E i -  E-

Le champ E- provient uniquement de la réflexion de E+ sur le miroir (M2 ). En z 
= L,
E- e i(t+L/c) = - E+ e i(t-L/c)
donc

E- = -  E+ e -2iL/c

Enfin, Et a pour origine la transmission de E+ à travers (M2 ), que l'on écrit
E t e i(t-L/c) =  E+ e i(t-L/c)
d'où

E t =  E+

4 Substituons E- dans l'expression de E+ :
E+ =  E i + 2 E+ e -2iL/c
Par conséquent,

E+ =

2

Ei
e -2iL/c

1-

Puisque  = T et  = R, on aboutit à
()
E+ =  E i
T

avec

() =

T
1 - R e -2iL/c

Il s'ensuit que

r

R -2iL/c

E- = - R e -2iL/c E+ = - ()
e
Ei
T

 E = T E = () E
+

t

i

5 Calculons |()|2 :
|()|2 =
donc

T2

1 - R e -2iL/c
|()|2 =

1-R e

=
2iL/c

T2
1 + R2 - 2 R cos (2  L/c)

T2
(1 - R)2 + 2 R (1 - cos (2  L/c))

Puisque 1 - cos(2a) = 2 sin2 (a) et R + T = 1,
2
1 |()|
on en conclut
|()|2 =

1
 L
4R
1 + 2 sin2
T
c

Pour R = 0,9 on a 4R/T2  1 donc la fonction |()|2 ne prend des valeurs 
appréciables 0

qu'au voisinage des annulations du sinus.
6 La fonction ||2 est maximale lorsque le sinus s'annule, soit
n =

nc
L

avec

2

 L/c

n  N

Cette condition de quantification peut se réécrire 2 L = n  : le chemin optique
correspondant à un aller-retour dans la cavité doit valoir un nombre entier
de fois la longueur d'onde. C'est une condition d'interférences constructives.
Pour cette famille de pulsations, |(n )|2 = 1. Par ailleurs, puisque 
l'intensité I
est proportionnelle au carré du champ, I =  |E|2 . En utilisant la relation 
(14),
It =  |E t |2 =  |(n )|2 |E i |2 = Ii
L'intensité incidente est donc intégralement transmise pour les pulsations n .
7 L'intensité III (z) s'écrit
III (z) =  |E II |2
=  |E+ e i(t-z/c) + E- e i(t+z/c) |2
=  |E+ e -iz/c + E- e iz/c |2

car |e it |2 = 1

 -2iz/c
III (z) =  |E+ |2 +  |E- |2 +  E+ E-
e
 2iz/c
+  E- E+
e

Remplaçons E- et E+ par les formules établies à la question 4 :

R ||2
R ||2 2iL/c -2iz/c
||2
2
2
III (z) = 
|E i | + 
|E i | - 
e
e
|E i |2
T
T
T

R ||2 -2iL/c 2iz/c
-
e
e
|E i |2
T

 2

|()|2
soit
III (z) =
1 + R - 2 R cos
(z - L)
Ii
T
c
On identifie

Finalement,

 2

L(, z) = 1 + R - 2 R cos
(z - L)
c

 2

 2

= (1 - R) + 2 R 1 - cos
(z - L)
c

L(, z) = (1 - R)2 + 4 R sin2
(z - L)
c