X/ENS Physique MP 2015

Thème de l'épreuve Propagation d'ondes le long d'une chaîne de pendules couplés
Principaux outils utilisés mécanique, physique ondulatoire
Mots clefs oscillateurs couplés, impédance mécanique, onde mécanique, soliton

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2015

COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre 
significatif.

Propagation d'ondes le long d'une chaîne de pendules couplés

Introduction.
Cette étude porte sur la propagation d'ondes le long d'une chaîne de pendules 
couplés par l'intermédiaire d'un câble de torsion. Elle est conduite dans la 
limite du milieu continu.
Elle comprend deux parties. Dans la première, l'étude est menée dans 
l'approximation linéaire.
Dans ce cadre, nous nous intéressons également à l'analogue électrique d'une 
chaîne de pendules.
Cette analogie est construite à partir de la notion d'impédance. Dans la 
seconde partie, nous quittons
l'approximation linéaire pour décrire la propagation d'ondes d'extension 
spatiale limitée, appelées
"solitons".
Des rappels sont faits occasionnellement, il est toutefois conseillé de suivre 
le cheminement de
l'énoncé.

1

Étude d'une chaîne de pendules couplés.

Jusqu'à la question 26 incluse, nous nous plaçons dans l'approximation des 
petits angles.

1.1

Cas de deux pendules couplés.

Un câble de torsion 1 , inextensible, de longueur 3a, d'extension radiale et de 
masse négligeables, est
fixé rigidement par ses extrémités à un support immobile.
Deux pendules (m, l) identiques sont soudés sur le câble, aux abscisses x1 = a 
et x2 = 2a (figure 1).
Chaque pendule est constitué d'une masse m quasi-ponctuelle fixée à l'extrémité 
d'une tige de longueur
l et de masse négligeable.
La tension du câble est telle qu'il reste rectiligne (selon e~x ). Le vecteur 
unitaire e~y est dirigé selon
l'accélération de la pesanteur ~g et le trièdre (e~x , e~y , e~z ) est direct. 
L'origine de l'axe (Ox) est choisie à
l'extrémité gauche (O) du câble.
1. Ou tout autre élément susceptible de se déformer en torsion (seule 
déformation que nous considérons).

­ Page 1/8 ­

a
a

O

a
l
g

ez
ex

l

1
m

2

m

ey

Figure 1 ­ Deux pendules couplés par l'intermédiaire d'un câble de torsion.
Le mouvement des pendules s'effectue, chacun, dans un plan vertical (e~y ,e~z 
), perpendiculaire au
câble. Nous notons 1 (resp. 2 ) l'angle que forme le premier (resp. second) 
pendule avec la verticale.
Ces angles algébriques sont comptés positivement dans le sens trigonométrique.
Au repos, 1 = 2 = 0, et le câble n'est soumis à aucune torsion. Lorsque les 
sections, déliminant
une portion de câble de longueur a, tournent d'un angle de torsion relatif , 
cette portion est alors
soumise à un couple, parallèle à l'axe du câble. Sa norme s'exprime par le 
produit C ||, où C est la
constante de raideur de torsion propre à la portion de câble. Enfin, nous 
négligeons tout phénomène
dissipatif.
Pour les applications numériques, nous adoptons les valeurs suivantes :

 g = 10 m · s-2
m = 20 g
l = 10 cm

a = 1 cm
C = 20 Nm · rad-1

(1)

1. Pour un tel système, en pratique, préciser dans quelle mesure il devient 
légitime de négliger les
phénomènes dissipatifs. On donnera des critères qualitatifs, sans calcul.
2. Établir les équations différentielles couplées régissant
la dynamique
du système. On fera appap
p
raître deux pulsations caractéristiques g  g/l et C  C/(ml2 ) dont on donnera 
une
interprétation physique.

3. Nous introduisons les nouvelles variables :
(
+ = 1 + 2
- = 1 - 2

(2)

(a) Établir le système d'équations différentielles qu'elles vérifient.
(b) Préciser l'intérêt de ce changement de variables.
4. (a) Décrire le mouvement des deux pendules correspondant à chacun des deux 
états particuliers
(+ (t) ; - (t) = 0) et (+ (t) = 0 ; - (t)), appelés modes propres.
(b) Exprimer les pulsations correspondantes, appelées pulsations propres et 
notées 1,1 et 1,-1 ,
en fonction de g et C .
(c) Pour un mode propre, justifier que les deux pendules oscillent à la même 
pulsation.
(d) En considérant la torsion des différentes portions du câble, retrouver 
directement l'expression
de 1,1 , ou celle de 1,-1 . Choix que l'on précisera.
5. La constante de raideur de torsion C dépend d'une caractéristique 
d'élasticité propre au matériau, G (en Pa), du rayon R du câble et de sa 
longueur a. Donner la forme de sa dépendance
avec ces paramètres. On précisera la démarche suivie.
­ Page 2/8 ­

1.2

Cas de N pendules couplés.

Nous considérons dans cette partie une chaîne constituée de N pendules (m, l) 
identiques. Le nième
pendule oscille dans le plan xn = na et son paramètre angulaire est noté n 
(figure 2). Le cadre général
de l'étude reste inchangé et nous rappelons que nous restons dans 
l'approximation des petits angles.

ez
ex

g
n-1

n

ey
n+1

Figure 2 ­ N pendules couplés par l'intermédiaire d'un câble de torsion.
6. Établir l'équation régissant le mouvement du nième pendule (1 < n < N ).
7. Passage à la limite du milieu continu.
L'état de torsion du câble est décrit continûment par une fonction (x, t) telle 
que n (t) =
(na, t). Nous nous plaçons dans une situation de déformation telle que le 
développement de
cette fonction, dans le passage de l'abscisse na à l'abscisse na ± a, peut être 
limité au second
ordre relativement au pas a. Établir alors que, dans cette limite du milieu 
continu, la fonction 
vérifie l'équation aux dérivées partielles :

8.
9.
10.
11.

2
2
2 
-
c
+ 02  = 0 ,
(3)
0
t2
x2
où c0 et 0 sont des constantes que l'on exprimera et pour lesquelles on 
proposera une interprétation physique.
Pour un pas a fixé, préciser à quelle condition le passage à la limite du 
milieu continu demeure
valide. Cette condition implique le pas a ainsi que deux dérivées spatiales de 
la fonction .
Nous posons µ  m/a et   Ca. Exprimer alors c0 en fonction de , µ et l.
Justifier que c0 reste inchangée si l'on modifie a tout en maintenant le 
rapport µ fixé.
Donner la valeur de c0 .

Dans la suite du problème, on conservera les notations 0 et c0 , sans les 
expliciter.
Nous étudions la propagation d'une onde harmonique (OH) de pulsation  (  R+ ) 
et de nombre
d'onde k (k  C), écrite en notation complexe :
(4)

(x, t) = 0 exp[j(t - kx)] .

12. Nous supposons le pas a fixé. Traduire, pour cette onde, la condition de 
validité de la limite
continue établie question 8.
13. (a) Établir la relation de dispersion du milieu, pour cette onde. On posera 
  /0 et
K  c0 k/0 .
(b) Esquisser l'allure de l'évolution, avec , des parties réelle et imaginaire 
de K.
14. Pour ces deux sous-questions, nous supposons   1.
(a) Exprimer les vitesses de phase V et de groupe VG (adimensionnalisées), en 
fonction de .
(b) Représenter leur allure sur un même graphique. Commenter brièvement ces 
évolutions.
15. Nous imposons au premier pendule, à l'origine de la chaîne, un mouvement 
angulaire sinusoïdal. Décrire alors qualitativement le comportement du système 
mécanique selon la pulsation
d'excitation, pour   [0 + ] (la chaîne est supposée infinie).
­ Page 3/8 ­

1.3
1.3.1

Analogue électrique de la chaîne de pendules.
Impédance mécanique des éléments constituant le motif de la chaîne.

Nous considérons, successivement, un élément (C, a) du câble de torsion puis un 
pendule (m, l),
qui composent le motif de base de la chaîne. Un opérateur mécanique, extérieur 
à ces éléments, est
susceptible d'imposer un moment de la forme M = M0 exp(jt), de direction portée 
par l'axe ~ex .
16. L'une des extrémités de l'élément (C, a) est supposée fixe, l'autre est 
soumise au moment M.
Celle-ci répond alors à cette excitation par sa vitesse angulaire  (portée par 
l'axe ~ex ). Exprimer
l'impédance mécanique de cet élément, définie par le rapport M/  Zcable ().
17. C'est maintenant à un pendule (m, l), seul, soumis au champ de pesanteur, 
qu'est appliqué le
moment M. Exprimer son impédance mécanique Zpendule ().
18. La figure 3 représente trois quadripôles électriques de structures 
différentes. Chacun de ces
quadripôles constitue le motif de base d'une ligne bifilaire.

Figure 3 ­ Différentes cellules de base d'une ligne électrique bifilaire.
(a) À partir de l'expression de chacune des impédances Zcable () et Zpendule 
(), et en considérant
la structure de la chaîne, identifier le quadripole électrique équivalent à un 
motif de la chaîne.
On argumentera ce choix.
(b) Indiquer l'analogue mécanique de chacun des trois composants électriques du 
quadripôle
choisi.
19. L'analogue électrique trouvé, dans la limite du milieu continu, est-il 
matérialisable par un câble
coaxial tel que ceux utilisés en travaux pratiques ? On argumentera la réponse.
1.3.2

Impédance mécanique de la chaîne de pendules.

Comme à la question 15, nous imposons au premier pendule de la chaîne, supposée 
infinie, un
mouvement angulaire sinusoïdal  = 0 exp(jt). Nous nous plaçons dans la limite 
du milieu continu.
Nous notons M(x, t) le moment appliqué, par la partie gauche sur la partie 
droite de la chaîne, à
travers la section d'abscisse x du câble, à l'instant t. La rotation de cette 
section est repérée par l'angle
(x, t).
20. Exprimer l'impédance mécanique Zmeca ()  M/ de la chaîne.
21. L'écrire sous la forme Zmeca = ± µl2 c0 () où  est une fonction de la 
variable   /0 . On
notera que Zmeca est indépendante de x.
22. Préciser la dimension de la fonction .
23. Illustrer graphiquement la dépendance, relativement à , des parties réelle 
et imaginaire de la
fonction .
24. Analyser ces dépendances et en particulier leur limite vers les hautes 
fréquences. Pour   1
établir le lien entre  et la vitesse de groupe adimensionnalisée VG obtenue 
question 14.
­ Page 4/8 ­

25. Pour   1, il apparaît que l'impédance de la chaîne est réelle. L'opérateur 
mécanique fournit
donc continûment de la puissance à la chaîne. Concilier ce fait avec l'absence 
de composant
dissipatif dans son modèle.
26. Pour   1, l'impédance de la chaîne est imaginaire. Analyser ce résultat à 
la lumière de la
question 15.

2

Non-linéarité et propagation d'un soliton.

Dès lors, et jusqu'à la fin du sujet, nous quittons l'approximation des petits 
angles.
Dans cette partie, nous étudions la propagation d'ondes dans le milieu 
non-linéaire constitué par la
chaîne infinie de pendules, dans la limite des milieux continus. Dans ces 
conditions, l'équation d'onde
vérifiée par l'angle (x, t) de torsion du câble s'écrit :
2
2
2 
-
c
+ 02 sin  = 0 ,
0
t2
x2

(5)

où c0 et 0 sont les constantes déterminées à la question 7. Rappelons que l'on 
conserve ces notations
sans les expliciter.
Nous considérons la longueur L de la chaîne comme "infinie". Les extrémités de 
la chaîne ont alors
pour abscisses ±L/2  ±, x = 0 étant celle de son milieu.
Nous recherchons des solutions progressives de l'équation 5 sous la forme :
(6)

(x, t) = F (x - vt)  F (z) ,
où v est une constante et z  x - vt est la position dite réduite.
27. Établir que F est solution de l'équation :
1
2

dF
dz

2

(7)

+ A cos F = B ,

où A est une constante à exprimer et B une constante d'intégration.
28. (a) Justifier que l'étude du système est ainsi transposable à celle d'un 
point matériel, de masse
unitaire, soumis au potentiel Vef f (F ) = A cos F , l'angle F jouant le rôle 
de sa position et la
variable z celui du temps. Soulignons qu'il s'agit d'une transposition, en 
particulier Vef f n'a
pas la dimension d'une énergie.
(b) Quel est alors le rôle à attribuer à la constante B ?
29. (a) Représenter l'allure du potentiel dans chacun des cas, v < c0 et v > c0 
.
(b) Sur chacun des tracés précédents, positionner la constante B en envisageant 
les différentes
situations (en vue d'une interprétation énergétique de ces diagrammes).
30. Analyse qualitative des diagrammes d'énergie.
(a) Nous nous plaçons dans le cas v < c0 et B  A- (B tend vers A, par valeur 
inférieure). À
partir du diagramme d'énergie, décrire le mouvement du point matériel en 
s'attachant à son
aspect "temporel".
(b) Nous nous plaçons dans le cas v > c0 et A < B < -A. À partir du diagramme 
d'énergie,
décrire le mouvement du point matériel et en déduire celui de la chaîne de 
pendules.
(c) Toujours pour v > c0 et A < B < -A, mais avec B  A+ , préciser quel cadre 
d'étude nous
retrouvons alors.

­ Page 5/8 ­

Onde solitaire, ou soliton.
Pour v < c0 et B = A, la fonction Fd suivante est une solution progressive de 
l'équation 7 :
q
h
 z i
, où z = x - vt ,  = 0 1 - v 2 /c20 et 0 = c0 /0 .
Fd (z) = 4 arctan exp

(8)

Nous sommes donc dans la situation décrite question 30a.
31. (a) Représenter l'allure de la fonction Fd . Préciser notamment sa valeur 
en 0 et ses limites en ±.
(b) Déterminer les limites en ± de la dérivée spatiale /x.
(c) Sur la zone où sa variation est la plus marquée, nous approchons la 
fonction Fd par sa
tangente en 0, et par ses limites en - et + respectivement à gauche et à droite 
de cette
zone. Dans ce cadre, déterminer l'extension spatiale caractéristique, notée , 
de cette zone.
(d) Calculer la valeur de 0 .
Un soliton apparaît ainsi être une onde d'étendue spatiale limitée.
32. Pour ces deux sous-questions, nous supposons v > 0.
(a) Tracer, sur un même graphique, l'allure de l'angle  le long de la chaîne, à 
trois instants
t1 < t2 < t3 que l'on fera apparaître sur les tracés.
(b) De même, tracer sur un second graphique les trajectoires (en fonction du 
temps) des pendules
situés à différentes positions x1 < x2 < x3 que l'on fera apparaître sur les 
tracés.
33. En représentant les pendules par des petits segments, illustrer l'allure de 
la chaîne à un instant
donné.
34. (a) En se reportant à la figure 2, préciser en quoi la solution Fd est 
"dextre" (droite).
(b) Donner alors, en le justifiant, la fonction Fs décrivant un soliton 
"senestre" (gauche) se propageant vers x > 0.
Pour caractériser simultanément les évolutions spatiale et temporelle de la 
chaîne, nous représentons
l'angle  le long de la chaîne, à différents instants tn = t0 + nt (n  Z), 
régulièrement espacés. Afin
que cette illustration reste lisible, les différentes courbes sont translatées 
verticalement, d'un pas n
( > 0). Ainsi, on trace en réalité n + (x, t0 + nt) en fonction de x, et pour 
une série de valeurs
de n. La figure 4 présente deux exemples de solitons, obtenus sur des chaînes 
identiques, mais avec des
conditions initiales (excitations) différentes.

Figure 4 ­ Diagrammes spatio-temporels décrivant une onde soliton, pour des 
conditions initiales
différentes, avec le pas de temps t = 0, 12 s.
35. (a) Préciser, en le justifiant, s'il s'agit de solitons dextres ou 
senestres.
(b) Estimer, dans chacun des cas, la valeur de la vitesse de propagation du 
soliton.
(c) De même, estimer la valeur de .

­ Page 6/8 ­

Initiation d'une onde soliton.
Le pendule situé en x = 0 est excité par un opérateur extérieur qui lui impose 
une rotation selon la
loi horaire :
0 (t) = 4 arctan [exp (0 t)]

(t ] - , +[ , 0 > 0) .

(9)

36. (a) Expliquer pourquoi cette excitation crée deux solitons dans la chaîne.
(b) Préciser leur sens de propagation et leur chiralité (dextre ou senestre).
Nous nous intéressons par la suite à l'onde se propageant sur le domaine x  0.
37. (a) Exprimer la vitesse réduite v/c0 de propagation du soliton, en fonction 
du rapport 0 /0 ,
puis illustrer graphiquement cette dépendance.
(b) Calculer la valeur de v pour 0 /0 = 0, 5.
Aspects énergétiques.
L'énergie mécanique totale de la chaîne infinie, parcourue par le soliton 
décrit par l'équation 8, ou
son correspondant senestre, s'écrit :
E0
E=p
1 - v 2 /c20

p
où E0 = 8 µgl .

(10)

Nous considérons maintenant une chaîne dont la masse des pendules subit un saut 
en x = 0, les
autres paramètres restant inchangés. On note µ- la masse linéique pour x < 0 et 
µ+ celle pour x  0,
avec µ- < µ+ . Un soliton de vitesse v- est créé par un opérateur en x  -. Les 
diagrammes de la
figure 5 décrivent cette situation pour un soliton à basse vitesse et un autre 
à haute vitesse.

Figure 5 ­ Diagrammes spatio-temporels d'évolution d'un soliton parcourant une 
chaîne présentant
un saut de masse linéique en x = 0.
38. En s'appuyant sur les résultats des questions 31c et 31d, préciser dans 
quelle mesure la relation 10
reste applicable à une chaîne occupant seulement un demi-espace. C'est un 
argument qualitatif
qui est attendu.
39. Commenter les diagrammes présentés figure 5 en précisant notamment 
l'évolution du soliton
dans chacun des cas.
40. (a) Quelle énergie minimale un soliton doit-il disposer pour être transmis 
dans la seconde moitié
de la chaîne (x > 0) ?
­ Page 7/8 ­

(b) En déduire la valeur critique vc de la vitesse d'un soliton incident (x < 
0) au dessus de laquelle
il poursuivra sa propagation dans la seconde moitié de la chaîne (x > 0). On 
exprimera ce
résultat en fonction de , l, 1/µ- et 1/µ+ .
41. Plaçons-nous dans le cas particulier µ+ /µ- = 8. Comment faut-il alors 
choisir les rapports
+ /- et l+ /l- , pour qu'un soliton incident soit toujours transmis, et sans 
modification de sa
vitesse, quelle qu'elle puisse être ?
42. Lorsque les paramètres mécaniques µ,  et l varient continûment le long de 
la chaîne, l'équation
de propagation 5 n'est plus valable. Comment faut-il alors la modifier pour 
qu'elle décrive un
tel système ?
Analogies avec d'autres systèmes physiques.
43. Quelle analogie suggèrent les dépendances, par rapport à la vitesse v, de 
l'énergie E et de la
longueur  (ou ), relatives au soliton étudié ?
44. Dans quelle(s) autre(s) situation(s) rencontre-t-on également ce type 
d'onde, d'extension spatiale
limitée, se propageant sur une longue distance sans modification (sensible) de 
sa forme ?
45. Peut-on observer la propagation d'un soliton dans un câble coaxial tel que 
ceux utilisés en
travaux pratiques ? Dans une fibre optique ? On argumentera chacune des 
réponses.

­ Page 8/8 ­

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique MP 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE).

L'épreuve porte sur la propagation d'ondes le long d'une chaîne de pendules 
couplés par l'intermédiaire d'un câble de torsion. L'étude est effectuée dans 
l'approximation du milieu continu et comprend deux parties.
· La première partie débute par l'étude de deux pendules couplés, puis on 
établit les équations pour une chaîne de N pendules couplés dans le cadre des
petits angles. L'approximation des milieux continus permet de montrer que le
système est le siège d'une propagation dispersive si la fréquence dépasse une
valeur critique. En outre, une analogie électrique permet d'établir l'expression
de l'impédance mécanique associée à la chaîne de pendules.
· La seconde partie aborde un aspect plus original puisque l'on quitte 
l'approximation linéaire pour envisager des solutions ondulatoires localisées 
se propageant sans déformation, que l'on appelle « solitons ».
L'épreuve fait essentiellement appel à la mécanique (mouvement d'un solide 
autour d'un axe fixe) et à la physique ondulatoire (équation de propagation, 
relation
de dispersion, vitesse de phase, vitesse de groupe). Bien que la partie sur 
l'analogie
électrico-mécanique soit hors programme, l'ensemble de l'épreuve laisse 
beaucoup de
place à l'analyse qualitative des phénomènes et elle est de ce fait conforme à 
l'esprit
du programme. La difficulté majeure est sans doute la longueur du sujet et 
l'absence
de résultats intermédiaires, ce qui exigeait une grande autonomie de la part 
des candidats. Enfin, comme les années précédentes, l'usage de la calculatrice 
était interdit.
Les applications numériques sont dans ce cas particulièrement valorisées.

Indications
Partie 1
2 Utiliser le théorème du moment cinétique projeté suivant l'axe des x.
4.d Remarquer, par exemple, que dans le mode symétrique, chaque pendule n'est
soumis qu'à un seul couple de torsion.
5 Montrer que la constante de torsion varie comme 1/a puis effectuer une analyse
dimensionnelle.
6 Remarquer que le n-ième pendule subit le couple -C(n - n-1 ) de la part de
la portion de câble située à sa gauche et -C(n - n+1 ) de la part de l'autre
portion située à sa droite.
8 Exprimer le fait que le terme d'ordre trois est petit devant le terme d'ordre
deux, lors du développement de (x +
- a, t).
13.a Dans l'équation d'onde, remplacer  par la fonction proposée puis déterminer
la relation entre  et k qui permet l'existence de telles ondes harmoniques.
14.a La vitesse de phase vaut /K et la vitesse de groupe d/dK.
15 Analyser le caractère complexe ou réel du nombre K.
17 Appliquer le théorème du moment cinétique à un pendule soumis à M.
19 La chaîne électrique trouvée peut-elle transmettre une tension continue ?
20 Exprimer le couple que subit le câble situé entre deux pendules puis 
effectuer
une approximation continue.
Partie 2
30.a Imaginer un point matériel lâché au voisinage du sommet du potentiel. À 
partir
de son mouvement, déduire l'évolution de F(z).
35.c Déterminer la longueur d'onde en estimant , l'extension spatiale du 
soliton.
37.a Utiliser la fonction Fs (z) trouvée à la question 34.b puis identifier.
40.b Effectuer un raisonnement énergétique.
41 Utiliser la conservation de l'énergie et de la vitesse.

1. Étude d'une chaîne de pendules couplés
1 Les frottements dissipent l'énergie des pendules et entraînent un phénomène
d'amortissement des oscillations qui s'effectue sur une durée caractéristique  
. Par
exemple, dans le cas d'un oscillateur harmonique soumis à un faible frottement 
visqueux, les oscillations s'amortissent sur une durée  = Q/0 où Q désigne le 
facteur
de qualité et 0 la pulsation propre. Si  est grand devant la période des 
oscillations,
cela signifie que l'énergie stockée est faiblement dissipée à chaque période de 
sorte
que les effets dissipatifs sont négligeables.
En pratique, on compare la période d'oscillation T avec le temps 
d'amortissement  . Il est alors légitime de négliger les phénomènes dissipatifs 
si   T.
2 Étudions le pendule de gauche dans le référentiel du laboratoire que l'on 
considère
galiléen. Ce système est soumis à l'action de la pesanteur et aux actions de 
contact
dues aux portions de câble situées de part et d'autre du pendule. Appliquons le 
théo
rème du moment cinétique en projection suivant l'axe () orienté par -
ex . Le moment

-
du poids selon ex vaut

-
M P = -mg sin 1 avec sin 1  1

Quant à l'action du câble, la portion de gauche étant en torsion d'angle 1 , 
elle
produit un couple de rappel g = -C 1 alors que la portion de droite exerce le
couple d = -C(1 - 2 ). Le théorème du moment cinétique s'écrit donc
dL
= -mg 1 - C 1 - C(1 - 2 )
dt
Enfin, le moment cinétique du pendule vaut L = I 1 = m2 1 , d'où
m2 1 = -mg 1 - C 1 - C(1 - 2 )
En reproduisant le même raisonnement sur le pendule de droite, on trouve
m2 2 = -mg 2 - C 2 - C(2 - 1 )
Ainsi, le mouvement des deux pendules est régi par le système d'équations 
différentielles couplées suivant :
r

g

2
2
2

=
1 + (g + 2C )1 - C 2 = 0
 g
2
r
avec

C

2 + (g 2 + 2C 2 )2 - C 2 1 = 0
 C =
m2

g représente la pulsation à laquelle chaque pendule oscille sous l'effet de son
poids en l'absence de couplage alors que C est celle à laquelle oscille chaque
pendule en l'absence de pesanteur dans le mode symétrique (1 = 2 ).
3.a Sommons (resp. soustrayons) les deux équations différentielles précédentes 
et
introduisons la variable + (resp. - ). On obtient
+ + (g 2 + C 2 ) + = 0

et

- + (g 2 + 3 C 2 ) - = 0

3.b Ce changement de variables permet de transformer deux équations 
différentielles couplées en un système de deux équations différentielles 
indépendantes.

4.a Lorsque - = 0, 1 = 2 = + /2.
Les deux pendules oscillent de façon harmonique, synchrone
et en phase. On parle de mode symétrique.
En revanche, lorsque + = 0, 1 = -2 = - /2.
Les deux pendules oscillent de façon harmonique et synchrone, mais sont en 
opposition de phase (1 = -2 ). On
parle de mode antisymétrique.
4.b Dans le mode symétrique, les deux angles vérifient l'équation de 
l'oscillateur
harmonique
x + (g 2 + C 2 ) x = 0
avec
x = 1 ou 2
p
La pulsation est
1,1 = g 2 + C 2

De même, pour le mode antisymétrique, on obtient l'équation d'un oscillateur 
harmonique pour 1 et 2 mais cette fois
p
1,-1 = g 2 + 3 C 2
On peut montrer que les oscillations libres de chaque pendule se décomposent
en une somme de deux oscillations harmoniques de pulsation 1,1 et 1,-1 ,
dont les amplitudes dépendent des conditions initiales. Cette propriété se
généralise aux systèmes de N oscillateurs harmoniques couplés.
4.c D'après la question précédente, 1 et 2 vérifient la même équation 
différentielle :
dans chaque mode propre, les deux pendules oscillent à la même pulsation.
4.d Reprenons l'étude menée à la question 2, en supposant 1 = 2 à chaque instant
(mode symétrique). Analysons le mouvement du pendule de gauche caractérisé par
l'angle 1 . Sur sa gauche le câble exerce un couple de torsion -C 1 . En 
revanche, de
l'autre côté, le câble ne présentant aucune torsion (2 - 1 = 0), il ne produit 
aucun
couple. Ainsi le mouvement du pendule est régi par
m2 1 = -mg 1 - C 1
soit
d'où

1 + (g 2 + C 2 ) 1 = 0
p
1,1 = g 2 + C 2

On peut retrouver également la pulsation 1,-1 du mode antisymétrique en 
procédant de la même manière. Dans ce mode, 1 = -2 de sorte que la portion 
centrale
présente une torsion angulaire égale à 21 . Au total, le couple de torsion que 
subit
le pendule de gauche vaut -3C 1 et le théorème du moment cinétique appliqué à ce
pendule donne
m2 1 = -3C 1 - mg 1
soit
d'où

1 + (g 2 + 3 C 2 ) 1 = 0
p
1,-1 = g 2 + 3 C 2