X Physique MP 2013

Thème de l'épreuve Quelques aspects de l'interaction coulombienne
Principaux outils utilisés facteur de Boltzmann, équation de Poisson, théorème de Coulomb, identité thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE -- ECOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE -- (XULC)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera de donner un unique chifire significatif auæ résultats des
applications numériques.

Quelques aspects de l'interaction coulombienne

L'interaction coulombienne joue un rôle important dans de nombreux systèmes 
physiques et
chimiques tels que les plasmas, les gaz d'électrons ou les électrolytes. Nous 
nous proposons d'en
étudier quelques aspects.

Cette étude comprend trois parties. La première introduit la notion de 
suspension colloï--
dale. La deuxième aborde les phénomènes d'écrantage électrique et de double 
couche. Enfin, la
troisième traite de l'interaction entre colloïdes.

Données numériques, formulaire et notations

Charge électrique élémentaire : e = 1, 60 >< 10_19 O
Permittivité diélectrique du vide : 50 = 8, 85 >< 10_12 F-m_1
Constante de Boltzmann : kB : 1, 38 >< 10_23 J-K_1
(Pour T = 300 K, k3T/e : 26 m\/)

Nombre d'Avogadro : NA = 6,02 >< 1023 mol--1
Masse volumique de l'or (300 K) : po,. : 19, 30 >< 103 kg-m_3

2(sinh a:)2 : cosh(2oe) -- 1

La mobilité u d'un ion en solution relie sa vitesse de dérive au champ 
électrique selon la
relation ifion : uE (c'est une grandeur algébrique du même signe que celui de 
la charge de l'ion).

La permittivité diélectrique d'un milieu s'exprime par la relation 5 : 
EURTEUR0, où eT désigne sa
permittivité relative (er 2 1). Dans notre étude, nous admettrons qu'il suffira 
de remplacer 80
par e, dans les formules établies pour le vide.

--Page1/7--

I Suspension colloïdale et distribution de MAXWELL-BOLTZMANN.

Un milieu fluide, de température uniforme T et de masse volumique pf, contient 
des particules

solides en suspension (que nous appellerons également colloïdes), en régime 
dilué. Cette solution

est soumise au champ de pesanteur ÿ' : --g1ÏZ. Les colloïdes sont sphériques, 
de rayon &, de
volume 1} et de masse m. Nous notons n : n(z) E (SN/(SV leur nombre, par unité 
de volume, a

l'altitude ?: (la grandeur n sera appelée concentration).
Pour les ordres de grandeurs, les colloïdes sont en or (a = 50 nm, n = 1018 
particules - m_3) et
le fluide est de l'eau a T = 300 K.

. Dans la limite du régime dilué nous admettons que l'équation d'état du gaz 
colloïdal est

celle du gaz parfait. En notant PC la pression du gaz colloïdal, préciser cette 
équation en
faisant intervenir n (et kB).

. Etablir l'équation différentielle traduisant l'équilibre mécanique d'un 
élément de volume

de solution (cette équation fait notamment intervenir n, pf et la pression Pf 
du fluide).
Vérifier qu'elle se met sous la forme :

dP dn
d--j--l--gpf--l--IÇBTÆ+nngp=O (APEPor--Pf)- (1)

. Nous supposons que le fluide est un liquide d'équation d'état pf : Cste et, 
qu'en régime

dilué, il vérifie l'équation de l'hydrostatique, indépendamment de la présence 
des colloïdes.
En déduire l'équation différentielle vérifiée par n.

. Nous notons no 3 n(O). Déterminer n(z) et exprimer sa longueur 
caractéristique de varia--

tion, L. Calculer L.

. La relation n : n(z) trouvée est la distribution de MAXWELL--BOLTZMANN. La 
commenter

sur le plan énergétique.

D'un point de vue statistique, la probabilité élémentaire qu'une particule 
quelconque se
situe dans l'intervalle [z, 75 + 575] s'écrit : ôp : Kn(z) 575 où K est un 
facteur de propor--
tionnalité. Exprimer ôp en fonction de 75, L et 575, dans le cas d'une solution 
de hauteur H
telle que H >> L.

. Nous convenons que la comparaison du rapport L(a) /a a l'unité définit une 
frontière entre

un état de suspension et celui d'un sédiment. Exprimer, en fonction de k3T et 
gAp, la
taille critique de associée a cette frontière. Proposer une interprétation 
énergétique de ce
seuil et justifier le choix du critère adopté. Calculer ac.

. Indiquer a quelle condition, sur a et n, le gaz de colloïdes peut être 
effectivement considéré

comme un gaz parfait. Est-elle, ici, satisfaite ?

. La définition de la concentration locale n(z), donnée dans l'introduction, 
présuppose une

uniformité des grandeurs a l'échelle de (SV. Indiquer comment doivent alors se 
situer la
longueur caractéristique L et l'extension 575 de l'élément de volume (SV.

. Indiquer quelle autre contrainte borne 575, cette fois inférieurement.
10.

La solution préparée est de concentration initiale n,- homogène. Nous admettons 
qu'une
particule, dans son mouvement au sein du fluide, subit de sa part une force Ê, 
: --67T77d17c01
(force de STOKES). 77 désigne la viscosité dynamique du liquide et ÎJ'CO1 la 
vitesse du colloïde
par rapport au fluide. Exprimer le temps caractéristique 7' nécessaire a 
l'obtention du profil
d'équilibre de la concentration, dans une solution de hauteur H. Estimer 7' 
pour de l'eau
de viscosité 77 = 10_3 kg - m_1 - s_1 et H = 10 cm. Quelle conclusion pratique 
tire--t--on de
ce résultat ?

--Page 2/7--

II Double couche électrique à la surface d'un colloïde chargé.

Le phénomène de double couche apparait au voisinage d'une surface chargée, 
immergée dans
un électrolyte. Sous certaines conditions, il se forme une première couche 
d'ions adsorbés a la
surface, suivie d'une seconde couche, dite diffuse, où les ions conservent leur 
propriété migra--
toire. Ce phénomène fut découvert au XIXe siècle et sa première modélisation 
est attribuée a
HELMHOLTZ (1879). Nous nous proposons de l'étudier au voisinage de la surface 
d'un colloïde
métallique chargé.

L'électrolyte est une solution globalement neutre, de permittivité diélectrique 
EUR, contenant
des cations et des anions de charges respectives q+ : Ze et q_ : --Ze (Z E N). 
Cette solution
est maintenue a la température T.

Des colloïdes métalliques sphériques, de rayon &, sont dispersés dans cet 
électrolyte (en régime
dilué). Nous supposons que chaque colloïde porte une charge surfacique 
uniforme, notée 00. À
l'échelle considérée, la surface d'une telle particule est localement 
assimilable a un plan infini
(figure 1).

Electrolyte : s ; T
(n+,q+} ; (ma")

Métal p(X)
" EUR = E(x) OE. "
c50 V(X )

Figure 1 -- Voisinage immédiat de la surface d'un colloïde métallique chargé.

Nous notons V(oe) le potentiel et Ê : E(a:) il}; le champ électrique dans la 
solution, a la
distance a: de la surface du colloïde (a: 2 0). La référence de potentiel est 
fixée par une électrode,
plongeant dans la solution loin de la particule (c'est--à--dire où la solution 
demeure neutre, a
l'échelle locale). Nous admettrons que le potentiel est uniforme dans le 
colloïde (a: S 0).

Les grandeurs n+(oe), J +(&?) et n_(oe), J _(ÇC) désignent respectivement les 
concentrations et
densités volumiques de courants particulaires, des ions positifs et négatifs, 
dans la solution. Nous
notons ;fi et ;f les mobilités (grandeur définie en début de problème), D+ et 
D_ les coefficients
de diffusion, de ces ions en solution. noe désigne la concentration de chacune 
des espèces ioniques,
loin du colloïde. Nous convenons que l'absence d'exposant (+) ou (--) aux 
grandeurs ioniques
d'une relation signifiera qu'elle se rapporte indifféremment a un cation ou un 
anion (par exemple

(( _ 77
p -- nq )-
N.B. : Nous ne tenons désormais plus compte de la pesanteur. D'autre part, les 
concentrations
"n" qui interviennent se rapportent ici aux ions et non plus aux colloïdes.

Pour les applications numériques nous adopterons :
T = BOOK, Z = 1, e,. = 80, n..., = O,Olmol-L_1 ... 6 >< 1024ions - m--3 et a = 
50 nm.

II.A Equations générales.

11. Nous admettons que le courant particulaire J [m_2 - s_1] (entendons J+ ou J 
_) est la
somme des courants de conduction JO et de diffusion J D. Exprimer ce courant en 
fonction

de dV/da: et dn/doe.

--Page 3/7--

12.

13.

14.

15.

16.

II.B

17.

18.
19.

20.

21.

II.C

En régime stationnaire, établir que n et V sont liés par la relation :

_uWOE)} _

D (2)

n(:c) : noe exp {
Exprimer l'énergie potentielle électrostatique U (a:) d'un ion en solution. 
Nous admettons
que la relation (2) coïncide avec la distribution de MAXWELL--BOLTZMANN 
introduite ques--
tion (5)) mais transposée du domaine gravitationnel au domaine électrostatique. 
En déduire
la relation liant kgT, q, D et # (relation de EINSTEIN).

Nous adoptons désormais l'expression de n faisant intervenir explicitement kgT.

Exprimer la densité volumique de charge psol(aÿ) dans la solution. Etablir 
ensuite l'équation
différentielle non linéaire (EDV) dont le potentiel V est solution.

Nous posons \I! E V/VT et X E :c/ÀD où VT et ÀD sont respectivement un 
potentiel et une
longueur caractéristiques. Donner les expressions de VT et (Àp)2 pour que 
l'équation EDV
prenne la forme :

d2q;
d 25 = sinh\If (X z 0), (3)

Préciser l'intérêt d'une telle écriture.
Evaluer VT, ÀD et A* E a/ÀD.

Approximation linéaire.

Indiquer a quelle condition l'équation (3) tend vers une équation linéaire que 
l'on précisera.
C'est cette forme approchée que nous adopterons dans cette partie.

Exprimer V(oe) et E (a:) en faisant intervenir (70.

Esquisser la représentation graphique de E (on supposera 00 > O). Interpréter 
ce tracé
en comparant cette situation a celle pour laquelle l'électrolyte serait 
remplacé par le vide.
Commenter la dépendance de ÀD avec la température. Quelle approximation le 
rapport
A*, calculé question (16)) permet--il de contrôler ?

Exprimer la capacité CC d'un colloïde de surface d'aire A (CC 3 ô'QC/ÔVC où QC 
est la
charge du colloïde et VC son potentiel). Commenter ce résultat.

Evaluer 00 (exprimée en e - Â_2) pour V(O) : VT. Préciser l'intérêt de ce choix 
d'unité.
Commenter ce résultat.

Solution générale.

Nous considérons ici l'équation (3) dans le cadre général. Nous notons E* E 
--dY/dX : E / EC
le champ électrique adimensionnalisé.

22.

23.

Expliciter le champ caractéristique EC. Indiquer pourquoi ce résultat pouvait 
être attendu
(à un préfacteur numérique près).

En déterminant l'intégrale première associée a l'équation (3)7 établir que E* 
s'écrit (on
supposera 00 2 O) :

E* : 2sinh(\If/2) . (4)

--Page4/7--

24.

25.
26.

27.

28.

29.

Exprimer la densité volumique de charge p801, dans la solution, en fonction de 
\I!. Interpréter
son signe.

Exprimer la charge surfacique 00 du colloïde, en fonction de \110 E \IJ(O).
Déterminer la capacité CC d'un colloïde de surface d'aire A, en fonction de 
\110 (Cc est
définie question (20)).

Exprimer la charge totale OSO], de la solution, enrobant le colloïde, ramenée a 
l'unité de
surface de ce dernier. Commenter la comparaison de 0801 a (70. La solution 
demeure--t--elle
globalement neutre ? Pourquoi?

L'intégration de l'équation (4), conduit a l'expression du potentiel (GOUY 
1910, CHAPMAN
1913):

Ïl+-&36XPÇ--ËÏ)
].---&3EURXpÇ--ÏÏ)

fi!==2h1{ } où. Hg==tanh(OE0/4). (5)

Vérifier la compatibilité, avec cette expression générale, de la relation 
correspondante éta--
blie dans le cadre linéaire.

La figure (2) représente la dépendance spatiale de p801 obtenue par ce modèle 
(voir légende).
Analyser cette évolution en considérant que les ions ont une taille de l'ordre 
de l'angstrôm.

Q5L

_3oi

35- - | - | - | - | -
0 (1002 (1004 (1006 (1008 (101
OE/Àp

Figure 2 -- Dépendance spatiale de p801 (e - Â_3) calculée pour T = 300 K, noe 
: 0,01 mol - L_1,
.Z=1,VOE)=4OE...®WÀDOEBOÂ1

30. En s'appuyant sur la figure (2), justifier qu'il se forme, près de la 
surface du colloïde, une

couche compacte d'ions, précédant une seconde couche, dite diffuse, où les ions 
conservent
leur mobilité (il s'agit du phénomène de double couche évoqué en introduction).

--Page 5/7--

31. Ce modèle donne les résultats suivants :
o Pour V(0) : 400 m\/; 00 : 0, 856 - Â_2 et p801(0) : --32 e - Â_3;
. Pour V(0) : 310 m\/; 00 : 0,156 - Â_2 et p801(0) : --1 e- Â_3.
En déduire l'ordre de grandeur de l'épaisseur 5 de la couche compacte, pour 
V(0) : 400 mV.
Préciser a combien de couches d'ions adsorbés elle correspond.

32. L'hypothèse implicitement adoptée qui a conduit a considérer l'électrolyte 
comme un milieu
continu est--elle vérifiée dans la situation illustrée figure (2) ?

III Quelques aspects de l'interaction entre colloïdes.

Nous considérons deux colloïdes (l) et (2) situés a une distance telle que l'on 
ne peut plus
négliger leur influence réciproque. À l'échelle de notre étude nous considérons 
toujours que la
géométrie sphérique peut étre, localement, approchée par une géométrie plane et 
notons A l'aire
de leur surface effective d'interaction. Nous notons Î : Æ1ÏOE le vecteur 
distance (orienté de 1
vers 2) entre les deux surface des colloïdes. Nous souhaitons exprimer la force 
d'interaction, de
(l) sur (2), F = F 1Ïoe. Ces colloïdes sont connectés a un générateur imposant 
leur potentiel VC
(relativement a une électrode de référence). Chaque colloïde porte alors la 
densité surfacique de
charge oO(VC, EUR, T) et la charge QC : Arm. Enfin, un opérateur mécanique 
exerce sur (2) la force
Fop : Fop ü'oe, nécessaire au maintien de l'équilibre mécanique des colloïdes 
((1) étant supposé
immobilisé par un autre opérateur mécanique).

33. Donner les allures de V(a:) et E(oe) entre les colloïdes (0 S a: S EUR), 
pour VC > 0.

34. Nous considérons le système thermodynamique E constitué des deux surfaces 
(l) et (2) et
de l'électrolyte compris entre ces deux surfaces. Nous notons T sa température 
et S son
entropie.

&) Exprimer le travail élémentaire 5W fourni par le générateur et l'opérateur 
mécanique
lors d'une transformation élémentaire réversible (QC, EUR) l--> (QC + dQ... EUR 
+ d£).

b) En déduire l'expression de la différentielle dU (EUR, QC, S) de l'énergie 
interne du système.

0) Déduire de cette différentielle celle de la fonction d'état dont les 
variables sont VC, EUR
et T (nous notons G cette fonction d'état).

d) Nous considérons la variation AGEln-->EF, de la fonction G(V...Æ,T), entre 
les états
initial EI(0, EUR |--> oo, T) et final EF(VO, ÆO, T). En empruntant, dans le 
plan isotherme
(VC, EUR), deux chemins bien choisis que l'on décrira, établir l'égalité :

Ëo Vo
/ Fop(Vg,Æ)dÆ : 2A / [ao(roe,vc) -- 00(Æ0,VC)]dVC. (6)
Eco 0

Donner l'expression de Og(Æoe, VC).

e) Exprimer F sous forme intégrale (que l'on ne cherchera pas a expliciter). 
Préciser son
signe.

35. Parallèlement a l'interaction électrostatique due a la charge des 
colloïdes, ceux--ci sont
également soumis a une interaction due aux forces de van der Waals (conséquence 
des
interactions dipôle--dipôle des atomes formant les colloïdes). Celle--ci est 
attractive, faible,
variant avec la distance comme 1/Æ3, mais n'est pas écrantée. En admettant que 
F varie
comme exp(--Æ/ÀD), expliquer pourquoi la suspension colloïdale est susceptible 
de former
des agrégats, lorsque la concentration ionique augmente.

--Page 6/7--

36.

37.

Nous supposons que des agrégats se forment a partir de colloïdes identiques 
(sphériques de
rayon &) portant tous la même charge Q1. En considérant que les agrégats sont 
sphériques
et compacts7 exprimer la charge surfacique oN d'un agrégat formé de N colloïdes.

Dans le cadre de ce modèle) et en ne considérant que le seul effet de la 
charge) le processus
d'agrégation est--il favorisé par leur croissance ?

Nous supposons que la condition d'agrégation est satisfaite. Discuter les 
grandeurs (ou
paramètres) influençant la cinétique d'agrégation.

--Page 7/7--

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique MP 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Vincent Freulon (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve porte sur l'étude des colloïdes, petites sphères solides, neutres 
ou
chargées, plongées dans une solution.
· La première partie envisage une suspension colloïdale neutre dans un champ
de pesanteur. On y étudie les effets combinés de la pesanteur et de l'agitation
thermique sur cette suspension à travers la distribution de Maxwell-Boltzmann.
· Dans la deuxième, les colloïdes sont chargés et plongés dans un électrolyte.
La distribution de Maxwell-Boltzmann permet, après calculs, de caractériser
l'écrantage du potentiel des colloïdes par les ions en solution de charge 
opposée.
· Enfin, dans la troisième partie, on s'intéresse à l'interaction de colloïdes 
imparfaitement écrantés puis à leur agrégation.
Commençons par signaler que la deuxième partie du problème débute par des
considérations sur la diffusion particulaire hors-programme dans la filière MP 
et que
les deux premières questions de cette partie ne peuvent donc pas être résolues. 
C'est
une grave erreur de conception. Cependant, comme la logique de l'énoncé veut que
l'on procède ensuite par analogie avec la première partie, les conséquences 
sont limitées. Dans un deuxième temps, on peut remarquer qu'une part très 
importante
de l'épreuve repose sur la distribution de Maxwell-Boltzmann. Son expression 
n'est
pas rappelée. Il s'agit d'un détail du programme de Sup étudié sous 
l'appellation de
facteur de Boltzmann qui s'avère ici déterminant pour la résolution du problème.
Cela montre l'intérêt de ne faire aucune impasse lors des révisions. Enfin, 
signalons
que, comme les années précédentes, l'épreuve repose essentiellement sur 
l'électromagnétisme et que la calculatrice n'était pas autorisée malgré la 
présence d'applications
numériques assez laborieuses.

Indications
1 La constante des gaz parfaits vérifie R = NA kB .
2 Évaluer la masse des colloïdes dans le volume V = S dz puis celle du fluide
dans le volume laissé libre. La pression totale est P = Pf + Pc .
5 Écrire, en interprétant Ep (z) et kB T,

Ep (z)
n(z) = n0 exp -
kB T

Utiliser n(z) pour définir le nombre N de colloïdes dans le volume V = S dz.
Calculer le nombre total Ntot de colloïdes. En déduire p.
7 Vérifier l'hypothèse de régime dilué en comparant le volume V au volume qu'y
occupent les colloïdes.
9 L'extension élémentaire z doit correspondre à un grand nombre de particules.
10 Que valent la vitesse limite v col et le temps caractéristique  de chute sur 
une
hauteur H ?
--

-
11 Partir de JC = nv ion et admettre que J D = -D grad n.
12 Que doit valoir le courant total J en régime stationnaire ?
14 Utiliser l'expression générique  = nq en considérant les deux types d'ions. 
Le
potentiel V(x) vérifie l'équation de Poisson.
18 (X) ne doit pas diverger en X  +. Utiliser le théorème de Coulomb.
19 Interpréter le tracé de E(x) dans l'électrolyte en termes d'écrantage.
23 Intégrer l'équation (3) après l'avoir multipliée par d/dX.
25 Utiliser le théorème de Coulomb et la relation (4).
26 Mieux vaut utiliser l'expression de sol issue sans modification de 
l'équation de
Maxwell-Gauss que celle évaluée à la question 24.
30 Comparer |sol | (0) à la charge volumique maximale |sol | max qui correspond 
à
des ions de diamètre d  1 A et de charge q = -e accolés de manière compacte.
31 Justifier que la seconde ligne de résultats numériques correspond aux 
caractéristiques de l'électrolyte après écrantage par la première couche 
compacte. La
différence entre les deux charges surfaciques 0 est due à la couche compacte de
densité volumique |sol | max .
34.a La force électromotrice du générateur est Vc et le courant débité i = 
2×dQc /dt.
34.b Écrire les premier et second principes pour une évolution réversible.
34.c Poser G = U - 2Vc Qc - TS.
34.d Dessiner deux chemins composés chacun d'une évolution à  constante et d'une
autre à Vc constant. Que dire de Fop (0, ) ? Relier (Vc ,  ) à la partie II.
34.e Relier simplement F à Fop et injecter dans l'équation (6). Par ailleurs,
Z 
0
(, Vc ) d
0 ( , Vc ) - 0 (0 , Vc ) =

0
Inverser les intégrales suivant les variables Vc et  puis identifier F(V0 , ). 
Les
colloïdes portent la même charge surfacique 0 (, Vc ).
36 La charge et le volume totaux sont conservés.

Quelques aspects
de l'interaction coulombienne
I. Suspension colloïdale et distribution
de Maxwell-Boltzmann
1 Soient N colloïdes d'or contenus dans un volume V à la température T et à la
pression Pc . L'équation d'état du gaz parfait appliquée à ces N/NA moles donne
Pc V =

N
RT
NA

Or n = N/V et kB = R/NA donc
Pc = nkB T
2 Considérons un volume de solution V = Sdz de
section S et de masse m, entre les cotes z et z + dz.
Sa masse m est due aux colloïdes d'or qu'il contient et
au fluide qui occupe le volume laissé libre. Ces colloïdes
sont au nombre de nSdz et leur volume est nSdz v. La
masse des colloïdes est donc

z
P(z +dz) S

z +dz
z

mor = nSdz vor

P(z) S

m g

S

et celle du fluide
mf = (Sdz - n Sdz v) f
L'équilibre des forces de pression et de pesanteur exercées sur le volume impose
P(z) S - P(z + dz) S - m g = 0
Substituons m = mor + mf dans cette équation et en posons  = or - f ,

P(z) - P(z + dz) - f + nv g dz = 0
dP
- gf - nvg  = 0
(0)
dz
La pression totale P est la somme de la pression partielle du fluide Pf et de 
celle du
gaz colloïdal Pc = nkB T établie à la question précédente, donc
d'où

-

P = Pf + nkB T
On déduit de l'équation (0) que
dPf
dn
+ gf + kB T
+ nvg  = 0
dz
dz

(1)

Le terme vg  peut s'interpréter comme la résultante de la pesanteur et de
la poussée d'Archimède subies par un colloïde isolé dans le fluide.

3 La relation de l'hydrostatique vérifiée par le fluide en régime dilué est
dPf
+ f g = 0
dz
L'équation (1) devient

kB T

dn
+ nvg  = 0
dz

dn vg 
+
n=0
dz
kB T

soit

(1 )

4 L'équation (1 ) est une équation différentielle d'ordre 1 à
coefficients constants qui se résout en
 vg  
n(z) = n0 exp -
z
kB T

n(z)
n0

On fait apparaître une longueur caractéristique L en notant
0
kB T
n(z) = n0 e -z/L
avec
L=
vg 
Comme le volume d'un colloïde sphérique est v = 4a3 /3, il vient
L=

L

z

3kB T
= 4.10-5 m
4a3 g 

Une telle application numérique est laborieuse sans calculatrice. Pour
l'exemple, avec un chiffre significatif, on pose  = or = 2.104 kg.m-3 et
L=

3 × 1.10-23 × 3.102
3.10-21
=
= 4.10-5 m
4 × 3 × 1.10-22 × 1.101 × 2.104
8.10-17

Ep (z)
n(z) = n0 exp -
kB T
où kB T est une énergie liée à l'agitation thermique et
5 Écrivons

Ep (z) = v gz = v(or - f )gz
est l'énergie potentielle d'un colloïde d'or isolé soumis à la pesanteur et à 
la poussée
d'Archimède. Cette écriture de n(z) traduit l'équilibre entre l'agitation 
thermique qui tend à uniformiser la suspension et la résultante de la pesanteur 
et de la
poussée d'Archimède qui tendent à sédimenter les colloïdes au bas de la 
solution.
Notons à nouveau S la section de la solution. Le nombre total de colloïdes est
Z H
Ntot =
n(z) dV
z=0
Z H
=
n0 e -z/L S dz
z=0

= n0 SL 1 - e

-H/L

Ntot  n0 SL
car H  L. Par ailleurs, le nombre de colloïdes dans le volume V = S z est
N = n(z) S z = n0 S e -z/L z