X Physique MP 2012

Thème de l'épreuve Effet du champ gravitationnel terrestre sur le mouvement d'un gyroscope en orbite
Principaux outils utilisés équations de Maxwell, électrostatique, magnétostatique, mécanique du point, mécanique du solide

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2012

MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre 
significatif.

Effet du champ gravitationnel terrestre
sur le mouvement d'un gyroscope en orbite
La théorie de la relativité générale, publiée par A. Einstein en 1916, prédit 
l'existence de deux
effets, dits effet géodétique et effet Lense-Thirring, sur le mouvement d'un 
gyroscope en orbite
autour de la Terre. Ceux-ci ont été mesurés avec succès par le satellite 
Gravity Probe B en
2008. Dans ce problème, nous allons essayer de rendre compte de ces 
perturbations du mouvement classique en nous fondant sur une généralisation 
post-newtonienne du champ gravitationnel
obtenue par analogie avec l'électromagnétisme. Cette analogie permet de 
comprendre l'origine
des phénomènes et d'en calculer un ordre de grandeur, mais ne donne pas les 
mêmes résultats
que la théorie de la relativité générale.
Données numériques
Vitesse de la lumière dans le vide
Rayon de la Terre
Accélération de la pesanteur à la surface de la Terre
Durée de l'année
Masse de l'électron :
Charge élémentaire :
Formulaire

c
R
g
1 an
me
e

=
=
=
=
=
=

3, 0 × 108 m · s-1
6, 4 × 106 m
9, 8 m · s-2
3, 2 × 107 s
9, 1 × 10-31 kg
1, 6 × 10-19 C

ä
-
 Ä- ~ ä -- Ä
~ - A
~
rot rot A
= grad div A

I. Une théorie du gravitomagnétisme
Dans cette partie, nous allons partir de l'analogie formelle entre le champ 
électrique et le
champ gravitationnel. Ceci nous permettra de construire l'équivalent 
gravitationnel des équations
de Maxwell et fera apparaître un champ « gravitomagnétique », analogue du champ 
magnétique.
1

~ créé en M par une charge ponctuelle q placée
I.1 Quelle est l'expression du champ électrique E
en O ? Donner l'expression du champ gravitationnel ~g obtenu en M en remplaçant 
q par une
masse ponctuelle m. On notera G la constante de gravitation universelle.
I.2 On s'intéresse maintenant à une distribution continue de charge électrique 
ayant la densité
e (~r) ou de matière ayant la masse volumique (~r). En poursuivant l'analogie 
de la question
précédente, justifier que la divergence du champ gravitationnel prend la forme 
div ~g = /g , où
g est une constante donc on précisera l'expression. Montrer que l'on peut alors 
retrouver le
théorème de Gauss gravitationnel.
Dans le cas général, le champ électromagnétique vérifie les équations de 
Maxwell. En nous
fondant sur l'analogie formelle entre le champ électrique d'une distribution de 
charge et le champ
gravitationnel d'une distribution de masse, nous allons supposer l'existence 
d'un champ gravitomagnétique ~h couplé au champ gravitationnel ~g selon les 
équations

div ~g =
div ~h = 0
g
Å
ã
~h
~g
- ~
-
rot h = µg ~j + g
rot ~g = -
t
t
où ~j = ~v désigne le vecteur densité de courant, ~v étant la vitesse de la 
matière au point considéré.
I.3 Quelle est la dimension de ~h ?
I.4 À partir de ces équations, déduire la forme locale de l'équation de 
conservation de la masse.
I.5 Montrer que le champ gravitationnel dans le vide, en l'absence de masse, 
est solution d'une
équation d'onde. On suppose que la vitesse de propagation de ces ondes 
gravitationnelles est
égale à c, vitesse de la lumière dans le vide. En déduire l'expression de µg en 
fonction de G et c.
I.6 Rappeler l'expression de la force subie par une masse ponctuelle m plongée 
dans un champ
gravitationnel ~g . Par analogie avec l'électromagnétisme, donnez l'expression 
de la force de Lorentz
due au champ gravitomagnétique ~h.
Nous allons maintenant comparer l'action du champ gravitationnel et du champ 
gravitomagnétique en étudiant le système constitué de deux fils parallèles 
infinis.
I.7 Déterminer le champ gravitationnel créé par un fil rectiligne infini, 
immobile, de masse
linéique , en tout point extérieur à celui-ci. En particulier, on précisera les 
arguments de symétrie
qui permettent de simplifier le calcul.
-

I.8 Exprimer la force gravitationnelle par unité de longueur Fg entre deux fils 
identiques et
parallèles, séparés par une distance d.
I.9 On considère à présent un fil rectiligne infini de masse linéique  en 
mouvement uniforme
à la vitesse ~v parallèle au fil. Déterminer le champ gravitomagnétique ~h 
qu'il crée en un point
extérieur quelconque. Une fois encore, on précisera les arguments de symétrie 
qui permettent de
simplifier le calcul.

2

-

I.10 Donner l'expression de la force gravitomagnétique par unité de longueur Fh 
entre deux fils
rectilignes identiques et parallèles, en mouvement à la même vitesse ~v 
parallèle à leur direction
et séparés par une distance d. Cette force est-elle attractive ou répulsive ? 
Comment s'écrit le
-
 -

rapport kFh k/kFg k ? Quelle est l'importance relative des effets 
gravitomagnétiques pour des
vitesses ordinaires ? Que se passe-t-il si on inverse le sens de la vitesse de 
l'un des fils ?
On s'intéresse maintenant à l'action d'un champ gravitomagnétique sur un 
gyroscope.
-

I.11 Rappeler l'expression du moment magnétique M d'une spire circulaire de 
rayon R parcourue
par un courant I.
I.12 On considère une spire circulaire de masse m et de rayon R en rotation 
uniforme à la
vitesse angulaire ~
 autour de l'axe perpendiculaire à son plan et passant par son centre. En
-

poursuivant l'analogie, montrer que son moment gravitomagnétique M g est 
proportionnel à son
moment cinétique ~ . Donner la valeur de la constante de proportionnalité. On 
supposera cette
relation de proportionnalité générale.
I.13 Rappeler le couple que subit un moment magnétique plongé dans un champ 
magnétique
uniforme et constant. On considère un gyroscope de moment cinétique ~ placé 
dans un champ
gravitomagnétique ~h uniforme et constant. Déduire par analogie l'équation du 
mouvement de ~
et décrire succinctement son évolution au cours du temps.
II. Effet gravitomagnétique sur un satellite dû à sa révolution
II.1 On considère un satellite en orbite circulaire autour de la Terre. 
Exprimer sa vitesse v
en fonction de son altitude a, de la masse M et rayon R de la Terre et de la 
constante
de gravitation universelle G. Comment s'écrit cette vitesse en fonction de 
l'accélération de la
pesanteur à la surface de la Terre g, de a et de R ?
Application numérique : Calculer v pour un satellite orbitant à basse altitude 
a  R . En
déduire la valeur de sa période de révolution.
Dans le référentiel barycentrique du satellite, la Terre tourne autour de lui, 
ce qui crée un
champ gravitomagnétique dont nous allons étudier l'effet. Pour simplifier la 
modélisation, nous
supposons, dans cette partie uniquement, que le référentiel barycentrique du 
satellite est galiléen.
-

II.2 Rappeler l'expression du champ magnétique B au centre d'une spire 
circulaire de rayon R
parcourue par un courant d'intensité I.
II.3 Par analogie, en déduire l'expression du champ gravitomagnétique ~h 
ressenti par le satellite,
dans la limite où la Terre est ponctuelle. On l'exprimera en fonction de v, c 
et de sa période de
révolution T .
II.4 Un gyroscope est placé au centre de gravité du satellite en s'arrangeant 
pour qu'il n'ait
aucun contact avec celui-ci, de sorte à laisser libres tous ses degrés de 
libertés de rotation. On
notera ~ le moment cinétique du gyroscope dans le référentiel barycentrique du 
satellite. La
direction initiale de ~ est choisie dans le plan orbital du satellite.
3

Montrer que ~ précesse à une vitesse angulaire 1 dont on donnera l'expression 
en fonction
de v, c et T (effet dit « géodétique »). On précisera sur un schéma la 
direction et le sens du
mouvement de précession.
II.5 Calculer numériquement l'angle dont tourne ~ en un an pour un satellite 
orbitant à basse
altitude. Comparer ce résultat théorique avec la valeur expérimentale 3, 2 × 
10-5 radian mesurée
par le satellite Gravity Probe B.
III. Effet gravitomagnétique de la rotation de la Terre sur un satellite
Dans cette partie, il s'agit maintenant de calculer l'effet gravitomagnétique 
induit par la
rotation propre de la Terre sur l'orientation d'un gyroscope en orbite. On 
désigne par Oxyz
un référentiel géocentrique, supposé galiléen, où O est le centre de la Terre 
et Oz son axe de
-
rotation. On note  =  ~ez la vitesse angulaire de la Terre dans ce référentiel 
et J son
moment d'inertie par rapport à l'axe Oz.
-

III.1 Donner l'expression du moment gravitomagnétique de la Terre, noté M g , 
dû à sa rotation
propre.
-

III.2 On rappelle que le champ magnétique B créé en un point P par un dipôle 
magnétique de
-

moment M situé en O est donné par
-

-

~r
-
-
 µ0 3(M .~n) ~n - M
avec ~r = OP et ~n =
B =
4
r3
r
Donner l'expression du champ gravitomagnétique de la Terre, assimilée dans la 
suite du
problème à un moment gravitomagnétique ponctuel. Tracer l'allure de ses lignes 
de champ dans
un plan contenant l'axe de rotation terrestre.
On considère désormais un satellite de plan orbital Oyz (orbite polaire). La 
position du
satellite sur son orbite est repérée par un angle  de sorte que les coordonnées 
du satellite sont
données par y = (R + a) sin  et z = (R + a) cos .
III.3 Donner l'expression des composantes hy et hz du champ gravitomagnétique 
terrestre ressenti par le satellite en fonction de .
Comme dans la partie II, un gyroscope est placé au centre de gravité du 
satellite, sans contact
avec celui-ci. On notera ~ le moment cinétique du gyroscope dans le référentiel 
barycentrique du
satellite. Initialement, la direction de ~ est parallèle à Oy.
III.4 Exprimer la variation ~ , supposée faible, de ~ sur une période orbitale 
T .
III.5 De quel angle  tourne ~ pendant la période T ? En déduire l'expression de 
la vitesse
angulaire moyenne de précession de ~ , notée 2 (effet dit « Lense-Thirring »).
2 et on se place dans la limite où a  R . Exprimer  en fonction
III.6 On donne J  13 M R

2
de  , c et v, la vitesse du satellite.

III.7 Déterminer le rapport 2 /1 , où 1 est la vitesse angulaire calculée dans 
la partie II.
4

Application numérique : le satellite Gravity Probe B a mesuré |2 | = 1, 9 × 
10-7 radian/an.
L'ordre de grandeur de ce résultat est-il compatible avec la modélisation 
proposée plus haut ?
III.8 Le satellite Gravity Probe B a aussi mesuré la direction des deux 
mouvements de précession
du gyroscope. Montrer que le choix d'une orbite polaire permet de séparer 
l'effet géodétique de
l'effet Lense-Thirring.
IV. Mesure du mouvement du gyroscope
Le gyroscope est une boule de quartz isolant revêtue d'une fine pellicule de 
niobium supraconducteur. L'ensemble est mis en rotation. Un supraconducteur en 
rotation est le siège d'un
champ magnétique aligné avec son axe de rotation. La précession du gyroscope 
est déterminée
par des mesures de flux de ce champ magnétique à travers une boucle à 
induction. Le but de
cette partie est d'établir l'expression du champ magnétique engendré par un 
supraconducteur en
rotation, puis d'estimer la précision de la mesure.
IV.1 On admet qu'il existe un choix du potentiel vecteur tel que la vitesse des 
électrons soit
donnée en tout point du supraconducteur par
~v =

e ~
A,
me

~ est le potentiel vecteur au
où e est la charge élémentaire, me est la masse de l'électron, et A
point où se trouve l'électron. Vérifier que cette équation est 
dimensionnellement correcte.
IV.2 On note N la densité volumique d'électrons dans le supraconducteur. 
Exprimer la densité
de courant ~j en supposant que les électrons sont les seuls porteurs de charge.
IV.3 On admet qu'un supraconducteur est un conducteur ohmique de résistivité 
nulle. Écrire la
forme locale de l'équation de conservation de la charge en un point à 
l'intérieur du supraconduc~?
teur. Quelle condition impose-t-elle sur le potentiel vecteur A
IV.4 On suppose par ailleurs que le potentiel scalaire V est partout nul à 
l'intérieur du supra~ et le champ magnétique B
~ en fonction de ~j.
conducteur. Exprimer le champ électrique E
IV.5 Parmi les quatre équations de Maxwell, lesquelles sont automatiquement 
vérifiées par ces
~ et B
~?
expressions de E
~ =  ~ez autour de l'axe
IV.6 Le supraconducteur est en rotation uniforme à la vitesse angulaire 
Oz. On suppose que les électrons sont au repos par rapport au supraconducteur. 
En déduire
~ dans la pellicule supraconductrice.
l'expression de ~v en un point ~r, puis l'expression du champ B
~ à l'intérieur de la boule constituant le gyroscope.
IV.7 En déduire l'expression du champ B
Application numérique : La vitesse angulaire de rotation du gyroscope embarqué 
sur le satellite
Gravity Probe B est  = 900 rad · s-1 . Calculer B, module du champ magnétique à 
l'intérieur
du gyroscope.

5

IV.8 Un magnétomètre appelé SQUID permet, par une mesure de flux du champ 
magnétique,
de détecter la variation d'une composante quelconque du champ magnétique avec 
une précision
B = 5 × 10-17 T. En déduire la précision relative sur la mesure de l'effet 
Lense-Thirring pour
une expérience durant un an.

6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Cette épreuve porte sur la caractérisation de deux phénomènes gravitationnels
relativistes, l'effet géodétique et l'effet Lense-Thirring. Elle en propose une 
approche
par analogie avec l'électromagnétisme. Le problème est organisé en quatre 
parties
plus ou moins liées.
· La première partie établit cette analogie entre la gravitation et 
l'électromagné
-

tisme et introduit, en complément du champ gravitationnel -
g , les champ h et
-
moment Mg gravitomagnétiques.
· Dans la deuxième, on montre d'abord les caractéristiques de la trajectoire 
circulaire d'un satellite de faible altitude. En assimilant cette orbite à une 
spire
selon les termes de l'analogie, on évalue le champ gravitomagnétique ressenti
par le satellite et la rotation d'un gyroscope embarqué. C'est l'effet 
géodétique.
· Selon une progression similaire, la troisième partie s'intéresse à la 
rotation de
la Terre sur elle-même. Là encore, on détermine le champ gravitomagnétique
associé et la rotation d'un gyroscope embarqué, cette dernière étant appelée
effet Lense-Thirring.
· Enfin, dans la quatrième partie, on montre comment le champ magnétique
induit dans un supraconducteur par la rotation du gyroscope permet la mesure
des effets précédents.
L'épreuve fait appel à la mécanique du point et du solide (moment d'inertie,
théorème du moment cinétique, expressions du champ de gravitation et étude de la
trajectoire circulaire) et surtout à l'électromagnétisme des première et 
seconde années
(considérations d'invariance et de symétrie, utilisation des théorèmes de Gauss 
et
d'Ampère, manipulation des équations de Maxwell et de l'équation de conservation
de la charge, champ magnétique créé par une spire circulaire, expressions du 
champ
magnétique créé et du couple subi par un moment magnétique). Réussir une telle
épreuve demande alors une triple compétence : une connaissance sans faille de 
ces
nombreux aspects du cours, le recul et l'analyse nécessaires à leur utilisation 
dans
une situation originale, et enfin une autonomie certaine, puisqu'on ne trouve 
aucun
schéma dans l'énoncé et que de nombreuses questions laissent le candidat libre 
de
paramétrer ses calculs comme il l'entend. Enfin, signalons que, comme les années
précédentes, la calculatrice n'était pas autorisée pour cette épreuve. Les 
applications
numériques sont dans ce cas souvent valorisées dans les barèmes.

Indications
Première partie
I.3 Utiliser l'équation de Maxwell-Faraday gravitationnelle.

-
- -
I.4 Utiliser l'équation de Maxwell-Ampère et div (rot F ) = 0 pour tout champ F 
.

-

I.5 Dans le vide,  = 0 et -
 = 0.

I.7 Le champ -
g appartient aux plans de symétrie de la distribution de masse.

Appliquer le théorème de Gauss à un cylindre de rayon r et de hauteur .
-

I.9 Le champ h est orthogonal aux plans de symétrie de la distribution de masse.
Appliquer, après justifications, le théorème d'Ampère
I
 -
-

4G Ienlacé
h · d = -
c2
C
à un cercle de rayon r où l'intensité due au mouvement du fil est I = v.
I.12 L'intensité due à la rotation de la spire de période T est I = m/T.
I.13 Appliquer le théorème du moment cinétique. L'équation

d-

=-
 -

dt

caractérise la rotation de -
 avec le vecteur rotation -
.
Deuxième partie
II.1 Appliquer le principe fondamental de la dynamique au satellite et 
identifier
l'accélération centripète v 2 /r.
II.3 L'intensité due au mouvement de la Terre sur son orbite est I = M /T.
Troisième partie
-

-

III.2 Le champ B créé par un dipôle magnétique en O de moment M = M -
ez est

 µ0 M
-

B =
2 cos  -
er + sin  -
e
4r3

III.3 Projeter simplement -
er et -
e selon -
ey et -
ez .
III.4 Appliquer le théorème du moment cinétique. Évaluer
Z T -
Z 2 -
-

d

d

T
 =
× dt =
×
d
dt
dt
2
t=0
=0
-

-

kk

-
III.5 Représenter dans la base cartésienne  et  et calculer tan  = -
.
k
k

Quatrième partie
-

IV.6 Calculer -
v =  -
r en coordonnées cartésiennes.

-

-
IV.7 Vérifier que les champs E et B dans la coquille supraconductrice sont 
solutions des équations de Maxwell dans la boule de quartz.

-

IV.8 Le champ magnétique B reste aligné sur le moment cinétique -
 du gyroscope.
Reprendre la paramétrisation de la question III.5. En notant  la durée d'une

année, justifier la variation de la composante selon -
ex
Bx  -2  B

Effet du champ gravitationnel terrestre sur
le mouvement d'un gyroscope en orbite
I. Une théorie du gravitomagnétisme

I.1 On se place dans le repère sphérique (O, -
er , -
e , -
e
 ). Le champ
électrique créé en M par une charge ponctuelle q en O est
-

E (M) =

q
-

er
40 r2

-

er
r M
O

Le champ gravitationnel créé en M par une masse ponctuelle m en O est
Gm 
-

g (M) = - 2 -
er
r
I.2 Les expressions précédentes justifient l'analogie formelle

-

champ électrique E  champ gravitationnel -
g
charge q

charge volumique e
1
40

masse m

masse volumique 

-G

 e
-
div E =
0
possède donc l'équivalent gravitationnel

L'équation de Maxwell-Gauss

-
div 
g =
g

avec

g = -

1
4G

Selon la même analogie, le théorème de Gauss pour une surface fermée S orientée
dans le sens sortant
ZZ

 -
-
Q int
E · dS sort =
0
S
où Qint est la charge à l'intérieur de S devient
ZZ
-

-
g · dS sort = -4G Mint
S

avec Mint , la masse à l'intérieur de S.
I.3 Notons L et T, les dimensions d'une longueur et d'une durée. Le champ de

gravitation -
g , comme le champ de pesanteur, a la dimension d'une accélération :
-

g = L.T-2
Le rotationnel correspond à une dérivation spatiale du premier ordre donc
 - -

rot 
g = [-
g ] . L-1 = T-2

L'équation de Maxwell-Faraday
-

h
- -

rot g = -
t

-
impose alors pour le champ gravitomagnétique h
-

T-2 = h .T-1
donc

-

h possède la dimension de l'inverse d'une durée.

I.4 Prenons la divergence de l'équation de Maxwell-Ampère, intervertissons les
dérivée temporelle et spatiales et utilisons l'équation de Maxwell-Gauss,

 -

g
- -

div rot h = µg div -
 + g div
t

= µg div -
 + g
div -
g
t

- -

-
div rot h = µg div  + g
t g

-
- -
Sachant que div rot F = 0 pour tout champ F , on en déduit l'équation de 
conservation de la charge

+ div -
 =0
t
I.5 Partons cette fois-ci du rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday, 
employons
la formule rappelée en début d'énoncé et intervertissons la dérivée temporelle 
et les
dérivées spatiales du rotationnel,

 -

- - -
-  h

rot rot g = - rot
t

--
 - -

soit
grad div -
g - -
g =-
rot h
t

-

Dans le vide,  = 0 et -
 = 0 donc les équations de Maxwell-Gauss et MaxwellAmpère s'écrivent

-
g
- -
rot h = µg g
t

-
2-
g

d'où
0 - -
g = -µg g 2
t
Ainsi, le champ gravitationnel dans le vide est solution d'une équation de 
d'Alembert

div -
g =0

et

-
1 2-
g

-
g - 2
= 0
cg t2

avec

1
cg = 
µg  g

L'identification de la célérité cg à la vitesse c de la lumière dans le vide 
conduit à
1
µg =
 g c2
soit

µg = -

4G
c2