X Physique MP 2011

Thème de l'épreuve Imagerie par résonance magnétique
Principaux outils utilisés magnétostatique, électromagnétisme, loi de Boltzmann

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2011

MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre 
significatif.

Imagerie par résonance magnétique
L'imagerie par résonance magnétique (ou IRM) est une technique utilisée par les 
radiologues
pour visualiser les tissus mous du corps humain. Elle permet en particulier de 
localiser précisément les cancers. Cette technique utilise un champ magnétique 
intense pour orienter les moments
magnétiques des protons des molécules d'eau, et un champ magnétique oscillant 
pour en perturber l'orientation.
Ce problème expose le principe physique de l'IRM, et certains aspects de sa 
mise en oeuvre
pratique.
Données numériques
Perméabilité du vide :
Conductivité du cuivre :
Masse de l'électron :
Moment magnétique du proton :
Constante de Boltzmann :
Constante de Planck réduite :
Charge élémentaire :
Masse du proton :
Vitesse de la lumière dans le vide :
Formulaire
ä
-
 Ä- ~ ä -- Ä
~ - B
~
rot rot B
= grad div B

1

µ0

me
µ
kB
~
e
mp
c

=
=
=
=
=
=
=
=
=

1, 3 × 10-6 H · m-1
6, 0 × 107 S · m-1
9, 1 × 10-31 kg
1, 4 × 10-26 J · T-1
1, 4 × 10-23 J · K-1
1, 1 × 10-34 J · s
1, 6 × 10-19 C
1, 7 × 10-27 kg
3, 0 × 108 m · s-1

I. Production de champs magnétiques intenses et homogènes
On utilise un solénoïde d'axe Oz, parcouru par un courant continu, pour 
produire un champ
magnétique. On choisit un système de coordonnées cylindro-polaires d'axe Oz, 
dont on note
(r, , z) les coordonnées et (O, ~er , ~e , ~ez ) le repère orthonormé direct.
I.1 On suppose que tout plan contenant l'axe Oz est un plan d'antisymétrie de 
la distribution
de courant. Quelles conditions la densité de courant ~j (jr , j , jz ) 
doit-elle vérifier pour cela ?
~ r , B , Bz ) ?
I.2 Quelles conditions en résultent pour le champ magnétique B(B
I.3 On suppose que j est uniforme à l'intérieur d'un cylindre de révolution 
creux de rayon
extérieur R2 , de rayon intérieur R1 < R2 , et de longueur L très grande devant 
R2 . Quelle est la
particularité du champ magnétique créé par un tel solénoïde ? Donner 
l'expression de sa valeur
B0 au centre.
I.4 La conductivité ohmique du matériau, notée , est supposée uniforme. Donner 
l'expression
de la puissance dissipée dans le solénoïde par effet Joule.
I.5 B0 , L et R2 étant fixés, comment faut-il choisir R1 pour minimiser la 
puissance dissipée ?
I.6 On considère un solénoïde de cuivre de longueur L = 1 m délivrant un champ 
B0 = 1, 3 T.
Calculer une borne inférieure de la puissance dissipée. Comparer à la puissance 
d'un radiateur
électrique ordinaire.
I.7 B0 étant fixé, comment choisir R2 pour minimiser l'élévation de température 
du solénoïde
due à l'effet Joule ? Commenter.
I.8 On réalise la bobine en enroulant un fil électrique autour d'un cylindre de 
rayon R1 . Expliquer
pourquoi la propriété de symétrie de la question I.1 ne peut pas être exacte. 
Comment réaliser
le bobinage en pratique pour qu'elle soit une bonne approximation ?
I.9 Tracer, sans calcul, l'allure de la variation du champ magnétique sur l'axe 
Oz lorsque R2 et
L sont du même ordre de grandeur. Comment faudrait-il modifier le bobinage pour 
que le champ
sur l'axe soit uniforme au voisinage du centre ? On se contentera d'une réponse 
qualitative et
d'un croquis.
I.10 On parvient à réaliser une bobine telle que le champ sur l'axe soit 
quasiment uniforme dans
un intervalle autour du centre de la bobine. Montrer que le champ est alors 
également uniforme
au voisinage de l'axe.
II. Utilisation de supraconducteurs
Pour s'affranchir de l'effet Joule, on utilise pour les bobinages des matériaux 
supraconducteurs, qui ont la propriété de pouvoir transporter un courant sans 
dissipation au-dessous d'une
température critique Tc .

2

II.1 On adopte un modèle microscopique de supraconducteur dans lequel les 
électrons de conduc--
tion (de charge --e et de masse me), initialement au repos7 sont mis en 
mouvement sous l'action
d'un champ électrique Ê, supposé uniforme et constant. Ecrire l'équation du 
mouvement d'un
électron.

II. 2 On note 77. la densité volumique d' électrons supposée uniforme. Déduire 
de la question
précédente une relation simple entre Ôj /Ôt et Ê.

II.3 On suppose que la relation obtenue a la question II.2 reste valable même 
si le champ n'est
ni uniforme ni constant, et on se place dans l'approximation des régimes 
quasi--stationnaires. En
utilisant les équations de Maxwell7 montrer que le champ magnétique vérifie 
l'équation

%ÇÊOEÊÊ+£ÆÛ=OE ...

où À est une longueur dont on donnera l'expression.

II.4 Calculer À pour une densité d'électrons de conduction u = 1028 m_3.

II.5 Lorsqu'on plonge un supraconducteur dans un champ magnétique extérieur7 il 
expulse ce
champ. Cette propriété7 qui porte le nom d'effet Meissner7 est représentée sur 
la figure 1.

B B
A AAAA

T>TC T 0 dans un système 
de coordonnées
cartésiennes de repère orthon0rmé direct (0, ë}... @, (2). On suppose que le 
champ a l'extérieur
du supraconducteur (a: < 0) est uniforme et vaut Bgë'z, et on admet que B ne 
dépend que de
a:. Calculer le champ magnétique pour a: > 0 en fonction de B0, 313 et À. En 
quoi ce modèle

explique--t--il l'effet Meissner ?

II.6 Déterminer la densité de courant î(a:) a l'intérieur du supraconducteur.

III. Moments magnétiques et aimantation
III.1 Un proton de vitesse nulle possède un moment magnétique intrinsèque ~
µ, dont la norme µ
est constante, mais la direction peut varier. L'imagerie par résonance 
magnétique utilise l'interaction des protons des atomes d'hydrogène de l'eau 
avec un champ magnétique. Donner l'expression
de l'énergie potentielle d'interaction, notée U , d'un proton (assimilé à un 
dipôle magnétique) avec
~ 0 = B0~ez .
un champ magnétique uniforme et constant B
Application numérique : on donne B0 = 1, 5 T. Calculer les valeurs maximale et 
minimale de U .
III.2 Un échantillon étudié par IRM contient un grand nombre de protons dont 
les moments
magnétiques pointent dans des directions différentes et aléatoires. On admet 
qu'à l'équilibre
thermodynamique, la probabilité pour que la direction d'un moment donné µ
~ soit dans l'angle
solide élémentaire d2  autour d'une direction donnée vaut
dp =

1
U
exp -
Z
kB T
Å

RR

Ä

ã

d2 ,

(3)

ä

où T est la température absolue et Z =
exp - kBUT d2 , l'intégrale portant sur toutes les
directions spatiales. Comment s'appelle cette loi ? Dans quel contexte 
l'avez-vous rencontrée ?
Quelle est la direction de ~
µ la plus probable ?
III.3 Exprimer l'énergie potentielle U et l'angle solide élémentaire d2  dans 
un système de
coordonnées sphériques d'axe polaire Oz.
III.4 On suppose dorénavant que |U | est très petit devant kB T . Est-ce une 
bonne approximation
à température ambiante avec le champ magnétique de la question III.1 ?
III.5 On appelle aimantation d'un échantillon contenant N protons la somme de 
leurs moments
~ . Expliquer pourquoi, lorsque N  1, l'aimantation vaut 
approximativemagnétiques, notée M
~
ment M  N h~
µi, où h~
µi désigne la valeur moyenne de ~
µ avec la loi de probabilité (3).
III.6 Développer la loi de probabilité (3) à l'ordre 1 en U/(kB T ). Calculer 
la valeur moyenne de
~ dans cette approximation, et en déduire que l'aimantation vérifie la loi de 
Curie :
µ
~ = CB
~ 0,
M
T

(4)

où C est une constante qu'on exprimera en fonction de N , µ et kB .
~ 0 sur le dipôle magnéIII.7 Rappeler l'expression du couple exercé par le 
champ magnétique B
tique de moment magnétique ~
µ.
III.8 Un proton de vitesse nulle est animé d'un mouvement de rotation propre. 
Ce mouvement
~ de norme constante S = ~/2,
lui confère un moment cinétique intrinsèque, nommé spin et noté S,
~ et ~
où ~ est la constante de Planck réduite. On admet que les vecteurs S
µ sont proportionnels :
~ avec  = µ/S. Montrer que ~
µ =  S,
~
µ est animé d'un mouvement de précession de vitesse
angulaire ~
0 = 0~ez , et donner l'expression de 0 , dite pulsation de Larmor, en fonction 
de B0
et . Calculer 0 pour B0 = 1, 5 T.
4

~ 0 . Rappeler l'expression de la vitesse
III.9 Soit un proton de vitesse initiale ~v0 perpendiculaire à B
~
angulaire de sa trajectoire dans le champ B0 (pulsation cyclotron), et comparer 
sa valeur à celle
de la pulsation de Larmor.
IV. Résonance magnétique
~ 0,
L'imagerie par résonance magnétique utilise d'une part un champ uniforme et 
constant B
~ 1 (t),
qu'on supposera dirigé suivant l'axe Oz, et d'autre part un champ dépendant du 
temps B
~
~
avec |B1 |  |B0 |.
IV.1 On place dans le champ un échantillon contenant N protons, avec N  1. On 
assimile
chacun de ces protons à un dipôle magnétique soumis au couple exercé par le 
champ magnétique
~0 + B
~ 1 (t). Ecrire l'équation du mouvement de l'aimantation M
~ (t) sous la forme
total B
~
dM
~
= (~
0 + 
~ 1 (t))  M
dt

(5)

~ 1 (t).
et définir le vecteur rotation ~
1 (t) en fonction de B
~ 1 (t) est un champ tournant autour de B
~ 0 et perpendiculaire à celuiIV.2 Le champ auxiliaire B
ci. Dans un référentiel galiléen de repère cartésien R = (O, ~ex , ~ey , ~ez ), 
ses coordonnées sont
(B1 cos(t), B1 sin(t), 0). On définit le repère R = (O, ~uX (t), ~uY (t), ~uZ 
(t)) tournant à la vitesse
~ 1 (t) = B1 ~uX (t).
angulaire  autour de l'axe Oz et coïncidant avec R à t = 0, de telle sorte que B

~ dans R .
Ecrire l'équation du mouvement de M
IV.3 On suppose dans toute cette partie que l'aimantation à t = 0 est la valeur 
d'équilibre déter~ 0 = CB
~ 0 /T . Expliquer pourquoi les composantes de l'aimantation
minée à la question III.6, M
perpendiculaires à Oz sont petites pour tout t > 0, sauf si  est très proche de 
0 .
IV.4 On se place à la résonance, définie par  = 0 . Décrire au moyen d'un 
schéma l'évolution
de l'aimantation dans R puis dans R.
IV.5 En prenant pour 0 la valeur obtenue à la question III.8, à quel domaine de 
fréquences
~ 1 (t) ?
appartient le champ B
IV.6 On donne B1 = 3 × 10-5 T. Calculer la norme du vecteur de Poynting d'une 
onde électro~ 1 (t) se propageant dans le vide.
magnétique plane de champ magnétique B
~ 1 (t) uniquement entre les
IV.7 On se place toujours à la résonance, et on applique le champ B
instants t = 0 et t =  , où  est choisi de telle sorte que l'aimantation tourne 
d'un angle /2
dans R entre les instants t = 0 et t =  . Donner l'expression de  et calculer 
sa valeur. Montrer
que l'aimantation est un vecteur constant pour t >  dans R . Quelle est sa 
direction ?
~ 0 n'est pas parfaitement homogène sur tout l'échantillon, et l'écart
IV.8 En pratique, le champ B
à la résonance  =  - 0 fluctue autour de 0 d'un bout à l'autre de 
l'échantillon. On suppose
en tout point ||  1 . Décrire qualitativement comment évolue l'aimantation de 
l'échantillon
pour t   dans R .
5

~ 1 (t) une deuxième fois
IV.9 Pour pallier l'effet de ces inhomogénéités, on applique le champ B
entre les instants t = TE et t = TE + 2 , avec TE   , et on mesure 
l'aimantation à l'instant
t = 2TE . Déterminer l'orientation de l'aimantation à t = 2TE dans R pour  = 0, 
puis pour
 6= 0. Conclure. Cette technique porte le nom d'écho de spin.
IV.10 L'étude ci-dessus ne prend en compte que l'interaction des protons avec 
le champ magnétique extérieur. Dans cette modélisation, nous avons montré à la 
question IV.7 qu'à la
~ 1 (t). En réalité, elle
résonance, l'aimantation dans R est constante après l'arrêt du champ B
n'est pas constante indéfiniment mais finit par retourner à sa valeur 
d'équilibre, déterminée à
la question III.6, sous l'effet de processus dits de relaxation. On donne les 
équations d'évolution des coordonnées (MX , MY , MZ ) de l'aimantation dans R à 
la résonance et en l'absence de
~1 :
champ B
dMX
dt

= -

MX
T2

dMY
dt

= -

MY
T2

dMZ
dt

= -

MZ - M0
.
T1

T1 et T2 sont deux constantes appelées temps de relaxation. On donne les 
valeurs T1 = 0, 9 s et
T2 = 0, 1 s pour un proton appartenant à la matière grise du cerveau. Expliquer 
pourquoi il est
légitime, avec ces valeurs, de négliger les processus de relaxation entre les 
instants t = 0 et t =  .
Résoudre ces équations pour t >  tracer les variations de MX , MY et MZ .
IV.11 L'IRM consiste à mesurer l'aimantation au cours du temps pour t >  , et à 
en déduire
T1 et T2 , qui dépendent fortement de l'environnement du proton et donnent des 
informations
fines sur la nature des tissus contenus dans l'échantillon étudié. On utilise, 
pour mesurer T2 , la
technique d'écho de spin exposée à la question IV.9. Quelle valeur de TE 
choisiriez vous pour
cette mesure ?

6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique MP 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Tom Morel (ENS Cachan) et Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE).

Cette épreuve porte sur l'imagerie par résonance magnétique (IRM). Elle est
organisée en quatre parties indépendantes.
· Dans la première partie, on envisage la production d'un champ magnétique par
un solénoïde infini épais, puis celle d'un champ quasi uniforme à l'aide de deux
bobines coaxiales.
· La suppression de l'effet Joule, mis en évidence dans la première partie, 
justifie
l'étude d'un matériau supraconducteur effectuée dans la seconde partie.
· Dans la troisième partie, on caractérise le comportement à l'équilibre 
thermique
d'une assemblée de moments magnétiques protoniques dans un champ extérieur.
· Enfin, la quatrième partie décrit la séquence d'écho de spin utilisée dans le
cadre de l'IRM.
L'épreuve fait appel à de nombreuses notions relatives à l'électromagnétisme des
première et seconde années : considérations d'invariance et de symétrie, 
utilisation du
théorème d'Ampère, de la loi d'Ohm locale, calculs relatifs à la puissance 
dissipée par
effet Joule, aux ondes planes, au vecteur de Poynting, manipulation des 
équations
de Maxwell, notion de moment magnétique et expressions de l'énergie potentielle
et du couple subi dans un champ magnétique extérieur. À ce titre, elle peut 
servir
de problème de révision en électromagnétisme, quel que soit le concours préparé.
En effet, l'ensemble forme un problème très directif, dont la difficulté est 
raisonnable
pour une épreuve qui inaugure la fusion des écrits des concours de l'X et des 
ENS.
Parmi les points délicats, notons l'utilisation, assez courante dans ce type de 
problème, de la loi de Boltzmann en tant que densité de probabilité. Enfin, 
signalons
que, comme l'année dernière, la calculatrice n'était pas autorisée pour cette 
épreuve.
Les applications numériques sont dans ce cas valorisées dans les barèmes et ce 
n'est
pas une perte de temps de s'y intéresser.

Indications
Première partie
-

I.1 Le champ  (M) est perpendiculaire aux plans d'antisymétrie des courants.
I.3 Supposer la nullité du champ à l'extérieur du solénoïde et appliquer le 
théorème d'Ampère à un contour appuyé sur l'axe et refermé à l'extérieur.

-

I.4 La puissance volumique dissipée par effet Joule est pv = -
 · E.
I.7 La puissance thermique perdue au contact de l'atmosphère est proportionnelle
à la surface de contact.
I.9 Envisager l'approche progressive de deux bobines identiques et coaxiales.
Deuxième partie
II.5 Le champ magnétique est continu en x = 0 et ne peut diverger quand x  +.
II.6 Utiliser l'équation de Maxwell-Ampère.
Troisième partie
-

III.1 L'énergie potentielle dans le champ extérieur est U = --
µ · B0 .
III.3 L'angle solide sous lequel est vue une surface dS à la distance r de O est
-
 
dS · -
er
2
d =
2
r

-

III.6 On peut justifier au préalable que h µ i = hµ i -
e .
z

z

III.8 Utiliser le théorème du moment cinétique et la relation de composition des
dérivées temporelles
 -

 -

d
µ
d
µ
-

=
+-

µ
0
dt /R
dt /R0
entre un référentiel absolu R et un référentiel R0 tournant dans R à la vitesse
.
angulaire -

0
Quatrième partie

IV.1 Reprendre la question III.8 pour chaque -
µi .
IV.2 Utiliser le résultat de la question IV.1 et la relation de composition des 
dérivées
temporelles.

-

-
IV.3 À l'aide de la question précédente, identifier le vecteur rotation  de M

dans R et considérer son inclinaison  par rapport à -
e .
z

-

IV.4 Considérer  avec  = 0 .

-

-
IV.8 Considérer  avec  6= 0 et l'angle dont a tourné M dans le plan (XOY) au
bout d'une durée t.

-
IV.9 Justifier graphiquement que dans tous les cas, M a tourné d'un angle total
égal à , dans le plan (XOY) entre t =  et t = 2TE .
IV.10 Initialement, MX ( ) = MZ ( ) = 0 et MY ( ) = M0 .
IV.11 Il est nécessaire que la séquence d'écho de spin ait lieu avant un 
avancement
significatif du processus de relaxation.

Imagerie par résonance magnétique
I. Production de champs magnétiques
intenses et homogènes

I.1 Le plan (M, -
er , -
ez ) contenant l'axe (Oz) est un plan d'antisymétrie de la dis
tribution de courant, alors le vecteur -
 (M) est nécessairement perpendiculaire au

-

-
plan ( er , ez ). Ainsi, les composantes jr et jz sont nulles et on écrit

-

 (M) = j -
e

Par ailleurs, considérons deux points M et M , images l'un de l'autre par une 
rotation
d'axe (Oz) avec

-

-
-
 (M) = j (r, , z) -
e
et
 (M ) = j (r,  , z) 
e

Ces points sont disposés symétriquement par rapport au plan bissecteur correspon

dant à l'angle ( +  )/2. Ce plan contient l'axe (Oz), donc -
 (M) et -
 (M ) sont
antisymétriques. Comme on le voit sur le schéma ci-après, cela impose
j (r, , z) = j (r,  , z)
et que la composante j est indépendante de . On résume ces conditions en
- (M) = j (r, z) -

e

y

y

- (M)

-

e
r

M

- (M )

M

-

er

- (M)

-

ez

O

x

M

O

x

Rappelons que l'antisymétrique d'un vecteur est l'opposé de son symétrique
et qu'en un point d'un plan de symétrie (respectivement antisymétrie), un
vecteur est nécessairement porté par le plan (resp. orthogonal au plan) pour
être confondu avec son symétrique (resp. antisymétrique).

I.2 Le plan (M, -
er , -
ez ) étant plan d'antisymétrie de la distribution de courant, le

-

-

champ B (M) lui appartient et s'écrit a priori B (M) = Br -
e r + Bz -
ez . Par ailleurs, la
distribution de courant est invariante par rotation d'angle , donc les 
composantes Br
et Bz ne dépendent pas de . Finalement,
-

B (M) = Br (r, z) -
er + Bz (r, z) -
ez
Rappelons aussi que les seules symétries qui comptent en magnétostatique
sont celles de la distribution de courant et que les résultats de la 
magnétostatique restent valables dans l'approximation des régimes quasi 
stationnaires.

I.3 Un tel solénoïde peut être vu comme la superposition de solénoïdes minces de
grande longueur L, devant leurs rayons compris entre R1 et R2 . Ainsi, en 
négligeant
les effets de bords pour chaque solénoïde et donc pour l'ensemble par 
superposition,

on sait que le champ magnétique est uniforme et porté par -
ez à l'intérieur
et nul à l'extérieur.

Appliquons le théorème d'Ampère en régime
C
stationnaire au contour C rectangulaire dans un
plan méridien, de longueur   L, passant par

-
-

R2
dS
le centre et se refermant à l'extérieur :
I

 -
-
R1
B · d = µ0 Ienlacée
C

O -
z
B0
La circulation s'écrit B0 × , car le champ est
nul à l'extérieur et perpendiculaire au contour

-

sur les deux côtés radiaux. L'intensité enlacée
est Ienlacée = j × (R2 - R1 ) , puisque j est
L
uniforme, donc
-

B0 = µ0 j (R2 - R1 ) -
ez

-

I.4 La loi d'Ohm locale s'écrit -
 =  E et la puissance volumique dissipée par effet
Joule est
2

 -
-

-
pv =  · E =

Comme pv est uniforme, la puissance dissipée dans le solénoïde est
P Joule = pv × (R22 - R12 ) L
c'est-à-dire

P Joule =

j2 (R22 - R12 ) L

I.5 En remplaçant j = B0 /µ0 (R2 - R1 ) dans l'expression établie à la question
précédente, il vient
P Joule =

B02 L R2 + R1
×
µ02 
R2 - R1

À B0 , L et R2 fixés, P Joule est une fonction croissante de R1 sur [ 0 ; R2 [, 
donc
Il faut prendre R1  R2 pour minimiser la puissance dissipée.
Avoir R1 nul serait physiquement impossible et sans intérêt pratique.
I.6 La borne inférieure de la puissance dissipée atteinte pour R1  R2 est
P Joule =

B02 L
= 5.104 W
µ02 

Bien que le cuivre soit un très bon conducteur, cette puissance dissipée est 
importante
comparée à celle d'un radiateur électrique ordinaire, qui est de l'ordre de 103 
W.