X Physique MP 2011

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2011

MP

COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre 
significatif.

Imagerie par résonance magnétique
L'imagerie par résonance magnétique (ou IRM) est une technique utilisée par les 
radiologues
pour visualiser les tissus mous du corps humain. Elle permet en particulier de 
localiser précisément les cancers. Cette technique utilise un champ magnétique 
intense pour orienter les moments
magnétiques des protons des molécules d'eau, et un champ magnétique oscillant 
pour en perturber l'orientation.
Ce problème expose le principe physique de l'IRM, et certains aspects de sa 
mise en oeuvre
pratique.
Données numériques
Perméabilité du vide :
Conductivité du cuivre :
Masse de l'électron :
Moment magnétique du proton :
Constante de Boltzmann :
Constante de Planck réduite :
Charge élémentaire :
Masse du proton :
Vitesse de la lumière dans le vide :
Formulaire
ä
-
 Ä- ~ ä -- Ä
~ - B
~
rot rot B
= grad div B

1

µ0

me
µ
kB
~
e
mp
c

=
=
=
=
=
=
=
=
=

1, 3 × 10-6 H · m-1
6, 0 × 107 S · m-1
9, 1 × 10-31 kg
1, 4 × 10-26 J · T-1
1, 4 × 10-23 J · K-1
1, 1 × 10-34 J · s
1, 6 × 10-19 C
1, 7 × 10-27 kg
3, 0 × 108 m · s-1

I. Production de champs magnétiques intenses et homogènes
On utilise un solénoïde d'axe Oz, parcouru par un courant continu, pour 
produire un champ
magnétique. On choisit un système de coordonnées cylindro-polaires d'axe Oz, 
dont on note
(r, , z) les coordonnées et (O, ~er , ~e , ~ez ) le repère orthonormé direct.
I.1 On suppose que tout plan contenant l'axe Oz est un plan d'antisymétrie de 
la distribution
de courant. Quelles conditions la densité de courant ~j (jr , j , jz ) 
doit-elle vérifier pour cela ?
~ r , B , Bz ) ?
I.2 Quelles conditions en résultent pour le champ magnétique B(B
I.3 On suppose que j est uniforme à l'intérieur d'un cylindre de révolution 
creux de rayon
extérieur R2 , de rayon intérieur R1 < R2 , et de longueur L très grande devant R2 . Quelle est la particularité du champ magnétique créé par un tel solénoïde ? Donner l'expression de sa valeur B0 au centre. I.4 La conductivité ohmique du matériau, notée , est supposée uniforme. Donner l'expression de la puissance dissipée dans le solénoïde par effet Joule. I.5 B0 , L et R2 étant fixés, comment faut-il choisir R1 pour minimiser la puissance dissipée ? I.6 On considère un solénoïde de cuivre de longueur L = 1 m délivrant un champ B0 = 1, 3 T. Calculer une borne inférieure de la puissance dissipée. Comparer à la puissance d'un radiateur électrique ordinaire. I.7 B0 étant fixé, comment choisir R2 pour minimiser l'élévation de température du solénoïde due à l'effet Joule ? Commenter. I.8 On réalise la bobine en enroulant un fil électrique autour d'un cylindre de rayon R1 . Expliquer pourquoi la propriété de symétrie de la question I.1 ne peut pas être exacte. Comment réaliser le bobinage en pratique pour qu'elle soit une bonne approximation ? I.9 Tracer, sans calcul, l'allure de la variation du champ magnétique sur l'axe Oz lorsque R2 et L sont du même ordre de grandeur. Comment faudrait-il modifier le bobinage pour que le champ sur l'axe soit uniforme au voisinage du centre ? On se contentera d'une réponse qualitative et d'un croquis. I.10 On parvient à réaliser une bobine telle que le champ sur l'axe soit quasiment uniforme dans un intervalle autour du centre de la bobine. Montrer que le champ est alors également uniforme au voisinage de l'axe. II. Utilisation de supraconducteurs Pour s'affranchir de l'effet Joule, on utilise pour les bobinages des matériaux supraconducteurs, qui ont la propriété de pouvoir transporter un courant sans dissipation au-dessous d'une température critique Tc . 2 II.1 On adopte un modèle microscopique de supraconducteur dans lequel les électrons de conduc-- tion (de charge --e et de masse me), initialement au repos7 sont mis en mouvement sous l'action d'un champ électrique Ê, supposé uniforme et constant. Ecrire l'équation du mouvement d'un électron. II. 2 On note 77. la densité volumique d' électrons supposée uniforme. Déduire de la question précédente une relation simple entre Ôj /Ôt et Ê. II.3 On suppose que la relation obtenue a la question II.2 reste valable même si le champ n'est ni uniforme ni constant, et on se place dans l'approximation des régimes quasi--stationnaires. En utilisant les équations de Maxwell7 montrer que le champ magnétique vérifie l'équation %ÇÊOEÊÊ+£ÆÛ=OE ... où À est une longueur dont on donnera l'expression. II.4 Calculer À pour une densité d'électrons de conduction u = 1028 m_3. II.5 Lorsqu'on plonge un supraconducteur dans un champ magnétique extérieur7 il expulse ce champ. Cette propriété7 qui porte le nom d'effet Meissner7 est représentée sur la figure 1. B B A AAAA T>TC T 0 dans un système 
de coordonnées
cartésiennes de repère orthon0rmé direct (0, ë}... @, (2). On suppose que le 
champ a l'extérieur
du supraconducteur (a: < 0) est uniforme et vaut Bgë'z, et on admet que B ne dépend que de a:. Calculer le champ magnétique pour a: > 0 en fonction de B0, 313 et À. En 
quoi ce modèle

explique--t--il l'effet Meissner ?

II.6 Déterminer la densité de courant î(a:) a l'intérieur du supraconducteur.

III. Moments magnétiques et aimantation
III.1 Un proton de vitesse nulle possède un moment magnétique intrinsèque ~
µ, dont la norme µ
est constante, mais la direction peut varier. L'imagerie par résonance 
magnétique utilise l'interaction des protons des atomes d'hydrogène de l'eau 
avec un champ magnétique. Donner l'expression
de l'énergie potentielle d'interaction, notée U , d'un proton (assimilé à un 
dipôle magnétique) avec
~ 0 = B0~ez .
un champ magnétique uniforme et constant B
Application numérique : on donne B0 = 1, 5 T. Calculer les valeurs maximale et 
minimale de U .
III.2 Un échantillon étudié par IRM contient un grand nombre de protons dont 
les moments
magnétiques pointent dans des directions différentes et aléatoires. On admet 
qu'à l'équilibre
thermodynamique, la probabilité pour que la direction d'un moment donné µ
~ soit dans l'angle
solide élémentaire d2  autour d'une direction donnée vaut
dp =

1
U
exp -
Z
kB T
Å

RR

Ä

ã

d2 ,

(3)

ä

où T est la température absolue et Z =
exp - kBUT d2 , l'intégrale portant sur toutes les
directions spatiales. Comment s'appelle cette loi ? Dans quel contexte 
l'avez-vous rencontrée ?
Quelle est la direction de ~
µ la plus probable ?
III.3 Exprimer l'énergie potentielle U et l'angle solide élémentaire d2  dans 
un système de
coordonnées sphériques d'axe polaire Oz.
III.4 On suppose dorénavant que |U | est très petit devant kB T . Est-ce une 
bonne approximation
à température ambiante avec le champ magnétique de la question III.1 ?
III.5 On appelle aimantation d'un échantillon contenant N protons la somme de 
leurs moments
~ . Expliquer pourquoi, lorsque N  1, l'aimantation vaut 
approximativemagnétiques, notée M
~
ment M  N h~
µi, où h~
µi désigne la valeur moyenne de ~
µ avec la loi de probabilité (3).
III.6 Développer la loi de probabilité (3) à l'ordre 1 en U/(kB T ). Calculer 
la valeur moyenne de
~ dans cette approximation, et en déduire que l'aimantation vérifie la loi de 
Curie :
µ
~ = CB
~ 0,
M
T

(4)

où C est une constante qu'on exprimera en fonction de N , µ et kB .
~ 0 sur le dipôle magnéIII.7 Rappeler l'expression du couple exercé par le 
champ magnétique B
tique de moment magnétique ~
µ.
III.8 Un proton de vitesse nulle est animé d'un mouvement de rotation propre. 
Ce mouvement
~ de norme constante S = ~/2,
lui confère un moment cinétique intrinsèque, nommé spin et noté S,
~ et ~
où ~ est la constante de Planck réduite. On admet que les vecteurs S
µ sont proportionnels :
~ avec  = µ/S. Montrer que ~
µ =  S,
~
µ est animé d'un mouvement de précession de vitesse
angulaire ~
0 = 0~ez , et donner l'expression de 0 , dite pulsation de Larmor, en fonction 
de B0
et . Calculer 0 pour B0 = 1, 5 T.
4

~ 0 . Rappeler l'expression de la vitesse
III.9 Soit un proton de vitesse initiale ~v0 perpendiculaire à B
~
angulaire de sa trajectoire dans le champ B0 (pulsation cyclotron), et comparer 
sa valeur à celle
de la pulsation de Larmor.
IV. Résonance magnétique
~ 0,
L'imagerie par résonance magnétique utilise d'une part un champ uniforme et 
constant B
~ 1 (t),
qu'on supposera dirigé suivant l'axe Oz, et d'autre part un champ dépendant du 
temps B
~
~
avec |B1 |  |B0 |.
IV.1 On place dans le champ un échantillon contenant N protons, avec N  1. On 
assimile
chacun de ces protons à un dipôle magnétique soumis au couple exercé par le 
champ magnétique
~0 + B
~ 1 (t). Ecrire l'équation du mouvement de l'aimantation M
~ (t) sous la forme
total B
~
dM
~
= (~
0 + 
~ 1 (t))  M
dt

(5)

~ 1 (t).
et définir le vecteur rotation ~
1 (t) en fonction de B
~ 1 (t) est un champ tournant autour de B
~ 0 et perpendiculaire à celuiIV.2 Le champ auxiliaire B
ci. Dans un référentiel galiléen de repère cartésien R = (O, ~ex , ~ey , ~ez ), 
ses coordonnées sont
(B1 cos(t), B1 sin(t), 0). On définit le repère R = (O, ~uX (t), ~uY (t), ~uZ 
(t)) tournant à la vitesse
~ 1 (t) = B1 ~uX (t).
angulaire  autour de l'axe Oz et coïncidant avec R à t = 0, de telle sorte que B

~ dans R .
Ecrire l'équation du mouvement de M
IV.3 On suppose dans toute cette partie que l'aimantation à t = 0 est la valeur 
d'équilibre déter~ 0 = CB
~ 0 /T . Expliquer pourquoi les composantes de l'aimantation
minée à la question III.6, M
perpendiculaires à Oz sont petites pour tout t > 0, sauf si  est très proche de 
0 .
IV.4 On se place à la résonance, définie par  = 0 . Décrire au moyen d'un 
schéma l'évolution
de l'aimantation dans R puis dans R.
IV.5 En prenant pour 0 la valeur obtenue à la question III.8, à quel domaine de 
fréquences
~ 1 (t) ?
appartient le champ B
IV.6 On donne B1 = 3 × 10-5 T. Calculer la norme du vecteur de Poynting d'une 
onde électro~ 1 (t) se propageant dans le vide.
magnétique plane de champ magnétique B
~ 1 (t) uniquement entre les
IV.7 On se place toujours à la résonance, et on applique le champ B
instants t = 0 et t =  , où  est choisi de telle sorte que l'aimantation tourne 
d'un angle /2
dans R entre les instants t = 0 et t =  . Donner l'expression de  et calculer 
sa valeur. Montrer
que l'aimantation est un vecteur constant pour t >  dans R . Quelle est sa 
direction ?
~ 0 n'est pas parfaitement homogène sur tout l'échantillon, et l'écart
IV.8 En pratique, le champ B
à la résonance  =  - 0 fluctue autour de 0 d'un bout à l'autre de 
l'échantillon. On suppose
en tout point ||  1 . Décrire qualitativement comment évolue l'aimantation de 
l'échantillon
pour t   dans R .
5

~ 1 (t) une deuxième fois
IV.9 Pour pallier l'effet de ces inhomogénéités, on applique le champ B
entre les instants t = TE et t = TE + 2 , avec TE   , et on mesure 
l'aimantation à l'instant
t = 2TE . Déterminer l'orientation de l'aimantation à t = 2TE dans R pour  = 0, 
puis pour
 6= 0. Conclure. Cette technique porte le nom d'écho de spin.
IV.10 L'étude ci-dessus ne prend en compte que l'interaction des protons avec 
le champ magnétique extérieur. Dans cette modélisation, nous avons montré à la 
question IV.7 qu'à la
~ 1 (t). En réalité, elle
résonance, l'aimantation dans R est constante après l'arrêt du champ B
n'est pas constante indéfiniment mais finit par retourner à sa valeur 
d'équilibre, déterminée à
la question III.6, sous l'effet de processus dits de relaxation. On donne les 
équations d'évolution des coordonnées (MX , MY , MZ ) de l'aimantation dans R à 
la résonance et en l'absence de
~1 :
champ B
dMX
dt

= -

MX
T2

dMY
dt

= -

MY
T2

dMZ
dt

= -

MZ - M0
.
T1

T1 et T2 sont deux constantes appelées temps de relaxation. On donne les 
valeurs T1 = 0, 9 s et
T2 = 0, 1 s pour un proton appartenant à la matière grise du cerveau. Expliquer 
pourquoi il est
légitime, avec ces valeurs, de négliger les processus de relaxation entre les 
instants t = 0 et t =  .
Résoudre ces équations pour t >  tracer les variations de MX , MY et MZ .
IV.11 L'IRM consiste à mesurer l'aimantation au cours du temps pour t >  , et à 
en déduire
T1 et T2 , qui dépendent fortement de l'environnement du proton et donnent des 
informations
fines sur la nature des tissus contenus dans l'échantillon étudié. On utilise, 
pour mesurer T2 , la
technique d'écho de spin exposée à la question IV.9. Quelle valeur de TE 
choisiriez vous pour
cette mesure ?

6