X Physique MP 2010

Thème de l'épreuve Caractérisation de particules et de pores à l'échelle nanométrique
Principaux outils utilisés rayonnement dipolaire, potentiel chimique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D'ADMISSION 2010

COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est interdite pour cette épreuve.
Pour les applications numériques, on se contentera d'un seul chiffre 
significatif.

Caractérisation de particules et de pores à l'échelle nanométrique
On s'intéresse dans ce problème à la caractérisation de particules et de pores 
de taille nanométrique (1 nm = 10-9 m) par deux techniques différentes : la 
diffusion des rayons X aux petits
angles et l'adsorption gazeuse.
Les trois parties sont indépendantes.
Données numériques
Vitesse de la lumière dans le vide :
Permittivité du vide :
Perméabilité du vide :
Charge élémentaire :
Constante de Rydberg :
Masse de l'électron :
Nombre d'Avogadro :
Masse molaire du diazote N2 :
Masse volumique de l'azote liquide :
Aire équivalente de la molécule de N2 :
Tension superficielle de N2 à 77 K :
Constante des gaz parfaits :
Volume molaire d'un gaz parfait dans les conditions standard
de température et de pression (T = 298 K et p = 1 bar) :
Formulaire :

X
n=0

n xn =

c =
0 =
µ0 =
e =
R =
me =
NA =
M =
 =
sm =
 =
RGP =

3, 0 × 108 m · s-1
8, 9 × 10-12 F · m-1
1, 3 × 10-6 H · m-1
1, 6 × 10-19 C
1, 1 × 107 m-1
9, 1 × 10-31 kg
6, 0 × 1023 mol-1
28, 0 g
0, 81 g · cm-3
0, 16 nm2
8, 9 × 10-3 N · m-1
8, 3 J · K-1 · mol-1

VM = 25 L

x
pour |x| < 1
(1 - x)2

cos x = 1 -

x2 x4
+
+ o(x5 )
2
24

sin x = x -

1

x3
x5
+
+ o(x6 ) .
6
120

I. Diffusion des rayons X aux petits angles
I.1. Interaction d'une onde électromagnétique avec un électron libre
On considère un électron libre qui, en l'absence de toute force, est situé à 
l'origine du repère orthonormé de vecteurs unitaires (~ex , ~ey , ~ez ) d'un 
référentiel d'étude, supposé galiléen. Cet
électron, de charge -e, est soumis à une onde électromagnétique monochromatique 
plane de
pulsation  et de vecteur d'onde ~k = k~ey ; en représentation complexe, le 
champ électrique de
~ = E0 exp i(t - ~k ·~r) ~ez , l'origine des temps étant choisie de telle 
manière que
cette onde s'écrit E
E0 soit réel et positif. On néglige l'effet du champ magnétique sur le 
mouvement de cet électron
et on considère que la propagation se fait dans le vide.
I.1.1. On note ~(t) le vecteur position de l'électron à l'instant t. On fait 
l'approximation que,
pour tout t, le champ électrique de l'onde est le même qu'à l'origine. Montrer 
que l'équation du
mouvement de l'électron admet une solution de la forme ~(t) = 0 exp(it)~ez , en 
représentation
complexe, avec 0 = eE0 /me  2 .
1
0 cE02 .
2
L'onde est un faisceau de rayons X de longueur d'onde  = 0, 1 nm = 10-10 m, et 
d'intensité
I0 = 200 W · mm-2 . Calculer numériquement 0 puis 0 /, et vérifier la validité 
de l'approximation faite à la question I.1.1.
I.1.2. On rappelle que l'intensité énergétique de l'onde est donnée par I0 =

I.1.3. La pulsation caractéristique du mouvement de l'électron autour d'un 
noyau atomique
est 0 = 2cR , où R est la constante de Rydberg. Comparer les valeurs numériques 
de 
et 0 et justifier que l'on peut considérer, pour l'interaction d'un électron 
atomique avec l'onde
électromagnétique de la question I.1.2, que l'électron est libre.

M

z

O

~e

~er

x

y
~e

Figure 1. Coordonnées sphériques
I.1.4. L'électron accéléré rayonne un champ électromagnétique équivalent à 
celui d'un dipôle
~ 1 (M ) et B
~ 1 (M ) les
électrique de moment dipolaire p(t)~ez = p0 exp(it)~ez = -e~(t). On note E
champs électrique et magnétique rayonnés au point M par le dipôle situé à 
l'origine. Dans le
système de coordonnées sphériques de repère orthonormé (~er , ~e , ~e ), leurs 
expressions au point
M (r, , ) (voir figure 1) sont
~ 1 (M ) =
E

1 p(t - r/c)
sin  ~e
40 c2
r

et
2

~ 1 (M ) = µ0 p(t - r/c) sin  ~e ,
B
4c
r

où p désigne la dérivée seconde de p par rapport au temps. Rappeler le domaine 
de validité de
ces expressions et expliquer la dépendance en t - r/c du champ 
électromagnétique.
~ 1 (M ) peut se mettre sous la forme
I.1.5. Montrer que E
~ 1 (M ) = b E0 exp[i(t - r/c)] sin  ~e ,
E
r
où b est une constante (appelée longueur de diffusion Thomson) dont on donnera 
l'expression et
dont on calculera la valeur.
I.1.6. On place un atome dans le champ de l'onde incidente. Montrer que le 
champ rayonné
par le noyau est négligeable devant celui rayonné par un électron.
I.2. Diffusion par un ensemble d'électrons
On considère à présent un ensemble de N électrons dont les positions moyennes 
sont repérées
par les vecteurs ~rj , l'origine O étant choisie à l'intérieur de cet ensemble. 
Ces électrons sont
soumis à l'onde électromagnétique de la partie I.1. Il résulte de la question 
I.1.1 que si la position
moyenne de l'électron est ~rj , l'expression complexe de sa position 
instantanée est ~rj + ~(t) avec
~(t) = (eE0 /m 2 ) exp(it - i~k · ~rj )~ez .
I.2.1. On suppose que la distance du point d'observation M à l'origine est très 
grande devant
la taille de l'ensemble d'électrons. Montrer à l'aide d'un schéma que le champ 
électrique rayonné
en M par l'ensemble des électrons est alors donné par
~
~ 1 (M )
E(M
)=E

N
X

exp(i~
q · ~rj ) ,

j=1

~ 1 (M ) est le champ obtenu à la question I.1.5 et ~
où E
q = k~er - ~k est nommé vecteur de diffusion.
I.2.2. Exprimer q = k~
q k en fonction de la longueur d'onde  et de l'angle  entre ~er et ~k.
I.2.3. On dispose au point M un détecteur de rayonnement d'aire SM 
perpendiculaire à ~er .
Soient P la puissance reçue par le détecteur et  l'angle solide, supposé petit, 
sous lequel le
détecteur est vu depuis l'origine (SM = r 2 ). Montrer que la section efficace 
différentielle de
diffusion, définie par (~
q ) = (1/I0 )(P/), peut se mettre sous la forme
2

(~
q ) = (b sin )

N
X

2

exp(i~
q · ~rj )

.

j=1

I.2.4. Exprimer (~
q ) en fonction des vecteurs ~rjk = ~rj - ~rk . On suppose les électrons 
aléatoirement répartis et N  1. Quelle est la forme asymptotique de (~
q ) lorsque les distances entre
les électrons sont toutes très grandes devant q -1 ? Qu'en est-il au contraire 
lorsque toutes les
distances sont petites devant q -1 ? Commenter ces résultats, en termes de 
l'intensité diffusée par
l'ensemble des électrons.
I.2.5. À l'aide des résultats de la question précédente, évaluer l'ordre de 
grandeur en degrés
des angles  utiles pour obtenir des informations sur la structure de particules 
d'une dizaine
3

de nanomètres en utilisant la diffusion des rayons X de la question I.1.2. À 
quelle difficulté
technique peut-on s'attendre ?
I.3. Diffusion par une suspension diluée de nanoparticules
Cette partie concerne un ensemble de n particules solides en suspension dans un 
volume V . Le
milieu est globalement neutre. Les particules sont considérées comme des 
distributions continues
de charge, le volume de chacune d'elles étant noté VP . On note respectivement 
1 la densité
volumique d'électrons, supposée uniforme, dans la solution, et 2 = 1 +  la 
densité volumique
d'électrons à l'intérieur des particules, supposée uniforme elle aussi. On 
s'intéresse à des rayons
X diffusés par ce milieu dans une direction faisant un petit angle  avec l'axe 
d'incidence Oy.
(0 <   1). La géométrie est donc la même que précédemment, avec sin   1. Les 
charges
électroniques sont les seules à diffuser. La formule donnée à la question I.2.3 
s'adapte en
(~
q) = b

2

ZZZ

2

(~r) exp(i~
q · ~r)d3 r

,

V

avec (~r) = 1 dans la solution et (~r) = 2 à l'intérieur des particules. On 
suppose que V
est suffisamment grand pour que

ZZZ

exp(i~
q · ~r)d3 r soit négligeable, et que la suspension est
V

suffisamment diluée pour que les particules diffusent indépendamment les unes 
des autres.
I.3.1. On s'intéresse à la grandeur J(~
q ) = (~
q )/V , pour ~
q 6= ~0, qui est une mesure de l'intensité diffusée hors deZZZ
la direction d'incidence. On suppose les particules sphériques et identiques,

exp(i~
q · ~r)d3 r pour une particule centrée à l'origine. Considérant suc-

et l'on note g(~
q) =

VP

cessivement l'intensité diffusée par une particule centrée à l'origine, puis 
l'intensité diffusée par
~ montrer que J(~
une particule centrée en un point R,
q ) = (n/V )b2 ()2 |g(~
q )|2 .

108

J (cm)-1

106
104
102
100

Données
Ajustement global

k~
q k (nm)-1
10-2
0,001

0,01

0,1

1,0

Figure 2. Diffusion des rayons X aux petits angles par des nanoparticules de 
silice
[d'après H.K. Kammler et al, 2000 ].

4

I.3.2. Établir l'expression de g(~
q ) pour des particules sphériques de rayon R. Il sera commode
d'utiliser pour ce Zcalcul des coordonnées sphériques dont l'axe des pôles est 
la direction de ~q. On
x

donne l'intégrale

t sin t dt = sin x - x cos x.

0

I.3.3. Montrer que pour qR  1, le résultat obtenu est compatible au second 
ordre en qR
1
avec la loi dite de Guinier, JG (~
q ) = (n/V )b2 ()2 VP2 exp[- (qR)2 ].
5
I.3.4. Établir l'expression de J(~
q ) pour qR  1. Montrer qu'à un facteur oscillant près, J(~
q)
est proportionnel à la surface totale S développée par les particules dans le 
volume V .
I.3.5. Toujours dans la limite qR  1, pourquoi peut-on s'attendre à ce que le 
facteur
oscillant se moyenne pour une solution de particules réelles, dont les tailles 
sont différentes ?
Vérifier qu'on obtient alors la loi dite de Porod : JP (~
q )  1/q 4 .
I.3.6. La figure 2 représente, en coordonnées doublement logarithmiques, la 
variation de J
en fonction de q pour une solution de nanoparticules de silice. Comme le montre 
l'encart, ces
particules ont tendance à s'agréger en amas. Expliquer la forme de la courbe en 
identifiant les
différents régimes de diffusion. À partir de la loi de Guinier, évaluer l'ordre 
de grandeur de la
taille des particules.
II. Isotherme d'adsorption
Cette technique consiste à faire varier, à température constante T , la 
pression d'un gaz p entre
une valeur très faible et sa pression de vapeur saturante ps . Des molécules de 
gaz sont susceptibles
de s'adsorber sur la surface d'un solide. La figure 3 montre la variation avec 
la pression du volume
de diazote adsorbé sur un échantillon d'aluminosilicate nanoporeux à 77 K. Le 
but de cette partie
est de montrer, grâce à une modélisation simple du phénomène d'adsorption, que 
l'analyse de
cette courbe permet de mesurer la surface du solide.

500
400 Volume adsorbé par

unité de masse (cm3 ·g-1 )

300
200
p
ps

100
0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Figure 3. Isotherme d'adsorption du diazote sur un aluminosilicate nanoporeux à 
T=77 K.
La pression est notée p, et la pression de vapeur saturante ps .

5

II.1. Modèle de Langmuir de l'adsorption monocouche
Le modèle de Langmuir repose sur les hypothèses suivantes : tous les sites 
d'adsorption sont
équivalents ; les molécules adsorbées n'interagissent pas entre elles et le 
mécanisme d'adsorption
est le même pour toutes les molécules. Notant S l'aire du solide en contact 
avec le gaz, supposé
parfait, et sm l'aire d'une molécule, on considère qu'il y a NS = S/sm sites 
d'adsorption. On
modélise l'adsorption par la réaction réversible s0 + mG = smA , où s0 est un 
site de surface non
occupé, mG une molécule à l'état gazeux et smA un site de surface occupé par 
une molécule
adsorbée. On considère la couche adsorbée comme un fluide binaire 
bidimensionnel, assimilé à
un mélange condensé idéal et composé de sites vides et de sites occupés. On 
note NAd le nombre
de molécules adsorbées et  = NAd /NS le taux de couverture. Dans cette partie, 
0 6  6 1.
II.1.1. Soit K(T ) la constante d'équilibre de cette réaction et p0 la pression 
standard de
référence (p0 = 1 bar). Montrer que
K(T ) =

.
(1 -  )p/p0

II.1.2. Le processus d'adsorption est exothermique. Quel est le signe de 
l'enthalpie standard
de réaction r H 0 (T ) ? On fait l'approximation que r H 0 (T ) ne dépend pas 
de la température.
Comment K(T ) dépend-il de T ?
II.1.3. Notant a = K(T )/p0 , exprimer et tracer la variation de  en fonction 
de p. Le résultat
permet-il d'interpréter la courbe de la figure 3 ?
II.2. Théorie BET (Brunauer, Emmett et Teller) de l'adsorption multicouche
En réalité, lorsque la pression augmente, il se produit une adsorption 
multicouche non uniforme (figure 4). On note 0 , 1 , · · · , n , · · · la 
proportion de sites de surface ayant 0, 1, · · · , n, · · ·
molécules de gaz adsorbées.

Figure 4. Modèle d'adsorption multicouche.
II.2.1. On généralise le modèle de la partie II.1 en exprimant l'équilibre 
entre les couches
n - 1, n, et le gaz sous la forme
1 = ap0 ,

2 = bp1 , · · ·

n = bpn-1 , · · ·

Justifier le fait qu'à part celle qui concerne la première couche, toutes les 
constantes d'équilibre
sont égales et que bp < 1. On note C = a/b et l'on suppose C > 1.
II.2.2. Exprimer n (n > 0) en fonction de C, du produit bp et de 0 .
II.2.3. Calculer 0 en fonction de C et de bp.

6

II.2.4. Montrer que le taux de couverture total  = NAd /NS , où NAd est le 
nombre total de
molécules adsorbées, est
Cbp
=
.
(1 - bp)[1 + (C - 1)bp]
Lorsque p  ps , le gaz se liquéfie. Justifier l'égalité bps = 1.
II.2.5. La relation établie à la question II.2.4 est maintenant mise à profit 
pour déterminer
la surface spécifique (surface par unité de masse) de poudres ou de matériaux 
poreux. Elle est
généralement utilisée sous une forme équivalente, dite de BET (Brunauer, Emmett 
et Teller) ;
notant vA le volume total de gaz adsorbé par unité de masse du solide et vS le 
volume maximal
adsorbable dans la première couche par unité de masse de solide ( = NAd /NS = 
vA /vS ),
l'équation BET est
Å
ã
p
p/ps
1
1 + (C - 1)
.
=
vA (1 - p/ps )
vS C
ps
Les données du début de l'isotherme de la figure 3 ont été reportées sur la 
figure 5 conformément
à l'équation BET. La valeur du volume de gaz adsorbé est donnée dans les 
conditions standard
de température et de pression. Déterminer l'ordre de grandeur de C et la valeur 
de vS , et en
déduire la surface spécifique  de l'aluminosilicate.

0,006
p/ps
[g·cm-3 ]
vA (1 - p/ps )

0,005
0,004
0,003
0,002

p
ps

0,001
0

0

0,05 0,1

0,15

0,2 0,25

0,3

Figure 5. Détermination d'une surface spécifique par la méthode BET.
III. Condensation capillaire
En plus de l'adsorption de surface étudiée dans la partie II, il peut se 
produire une condensation du gaz en dessous de la pression de vapeur saturante 
dans les pores de taille nanométrique.
Cet effet est dû à la surpression qui règne dans le gaz par suite des forces de 
tension superficielle
dans le cas d'une interface liquide-gaz présentant un ménisque.
III.1. Soit une bulle de gaz sphérique de rayon r dans un liquide. Le gaz et le 
liquide sont deux
phases d'un même corps pur. On admet que la pression du gaz pG est reliée à la 
pression dans
le liquide pL par la relation pG = pL + 2/r, où  est nommée constante de 
tension superficielle.
Montrer que  a la dimension d'une force par unité de longueur.

7

III.2. On traite le gaz comme un gaz parfait. Soit µG (T, p0 ) son potentiel 
chimique à la température T et à la pression de référence p0 . Rappeler 
l'expression du potentiel chimique µG (T, pG )
pour une pression pG quelconque.
III.3. Notant vL le volume molaire du liquide et admettant que le potentiel 
chimique de ce
dernier est de la forme µL (T, pL ) = µL (T, p0 ) + vL (pL - p0 ), établir la 
condition d'équilibre entre
le liquide et le gaz pour une bulle sphérique de rayon r.
III.4. Dans la limite où r est infini (interface plane), expliquer pourquoi la 
valeur de pG à
l'équilibre est la pression de vapeur saturante ps .
III.5. On note pG (r) la valeur de pG à l'équilibre pour une bulle de rayon r. 
Établir la relation
entre pG (r) et ps .
III.6. Sous une approximation que l'on justifiera, montrer que pG (r) = ps 
exp(-r0 /r), et donner
l'expression de r0 en fonction de , vL , T , et de la constante des gaz 
parfaits RGP .
III.7. Calculer r0 pour du diazote à 77 K et en déduire le rapport pG /ps pour 
la condensation
capillaire dans des pores de 5 nm, 10 nm et 100 nm (figure 6).

gaz

2r

couche adsorbée
liquide

Figure 6. Condensation dans un pore cylindrique.
III.8. L'isotherme d'adsorption de la figure 3 montre que la condensation 
capillaire s'ajoute à
l'adsorption de surface étudiée précédemment. Déduire de cette courbe le 
diamètre moyen des
pores en tenant compte de l'épaisseur de la couche adsorbée avant condensation 
eA = 2, 1 nm.

8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique MP 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) et Stéphane Ravier 
(Professeur en
CPGE).

Cette épreuve porte sur la caractérisation de particules et de pores à 
l'échelle nanométrique. Elle est organisée en trois parties indépendantes mais 
proposant chacune
la même démarche : on établit des résultats théoriques qui permettent 
l'interprétation
d'une courbe expérimentale.
· La première partie caractérise la diffusion électromagnétique des rayons X aux
petits angles en s'appuyant sur quelques résultats du cours sur la diffusion
dipolaire. Elle permet d'établir deux lois limites de diffusion, dites de 
Guinier
et de Porod, qui sont utilisées pour évaluer la taille des particules 
diffusantes.
· Dans la deuxième, on montre comment l'adsorption monocouche, puis 
multicouche, de molécules gazeuses à la surface d'un solide permet d'évaluer la 
surface spécifique d'un solide, c'est-à-dire la surface qu'il développe par 
unité de
masse. Il s'agit peut-être de la partie la moins difficile. Si l'on excepte 
l'écriture
d'une loi d'action de masse et la relation de Van't Hoff, aucune connaissance
préalable n'est requise.
· Enfin, la troisième partie envisage une étude thermodynamique de la 
condensation capillaire, c'est-à-dire la possibilité pour un gaz de se 
liquéfier dans un
pore à une pression inférieure à la pression de saturation pourvu que le rayon
de ce pore soit suffisamment faible. Elle repose sur l'utilisation des 
potentiels
chimiques.
Seuls des éléments de cours à la marge du programme de seconde année sont
nécessaires pour cette épreuve. Plutôt que la répétition de calculs types, 
c'est la
compréhension d'une situation originale que l'on cherche à évaluer ici. Une 
difficulté
vient aussi de la multiplicité des paramètres introduits indépendamment par 
chacune des trois parties. Certaines réponses sont assez longues et 
calculatoires, d'autres
demandent de la réflexion lorsqu'il s'agit d'interpréter les courbes ou de 
justifier
qualitativement des résultats. Enfin, signalons que la calculatrice n'était pas 
autorisée pour cette épreuve malgré la présence de nombreuses applications 
numériques.
On doit donc considérer ce problème comme difficile, et déroutant pour qui ne 
s'est
entraîné que sur des sujets proches du cours.

Indications
Première partie
I.1.6 Comparer numériquement b et bnoyau obtenue en remplaçant me par mnoyau .
I.2.1 Relier r à la distance rOj M entre la position moyenne Oj de l'électron 
et M
par un développement de Taylor à partir de
q
2

-

r --
rj
rOj M =

-

-
I.2.3 Exprimer les champs électromagnétiques E (M) et B (M) rayonné par 
l'ensemble des électrons puis la valeur moyenne du vecteur de Poynting par

-
 -
-

1
hi =
Re ( E  B )
2µ0

I.2.4 Distinguer les cas j = k et j 6= k.
I.3.3 Pour qR  1, utiliser le formulaire pour mener un développement de Taylor 
de

l'expression de g(-
q ) à l'ordre 5 en qR. En déduire une expression approchée de

g(-
q ) au deuxième ordre en qR. Comparer avec un développement de JG (-
q)
à l'ordre 2 en qR.
I.3.5 Supposer que les rayons Rj des particules sont dispersés autour d'un rayon
moyen R avec un écart caractéristique R faible devant R mais grand devant q -1 .
Deuxième partie
II.1.1 Pour un mélange idéal en phase condensée, l'activité est la fraction 
molaire.
II.1.2 Utiliser la relation de Van't Hoff

d ln K
r H
=
dT
RT2
II.2.1 Les molécules adsorbées n'interagissent pas entre elles.
+
P
II.2.3 Justifier l'égalité
n = 1 et l'utiliser.
n=0

+

II.2.4 Justifier puis utiliser la formule NAd =

P

NS n × n.

n=1

Lorsque le gaz se liquéfie, les molécules gazeuses libres disparaissent.
II.2.5 Ne pas oublier que vS est un volume de gaz dans les conditions standard.
Troisième partie
III.2 Un potentiel chimique s'écrit µ(T, p) = µ (T) + RGP T ln a où a est 
l'activité.
III.3 Que dire des potentiels chimiques µG et µL à l'équilibre ?
III.5 Commencer par écrire la condition d'équilibre pour r  + afin d'éliminer 
les
potentiels standard inconnus.
III.6 Considérer que l'influence de la condensation capillaire se manifeste 
pour des
pressions pG proches de ps avec au maximum |pG - ps |  0,3 ps  3.104 Pa.
III.8 Justifier que l'on peut relier le rayon r pour lequel on trouve le plus 
de pores
à la pression pour laquelle la pente de la courbe de la figure 3 est maximale.

Caractérisation de particules et de pores à
l'échelle nanométrique
I. Diffusion des rayons X aux petits angles
I.1

Interaction d'une onde électromagnétique avec un électron libre

I.1.1 En négligeant la force magnétique de Lorentz et en considérant que le 
champ
électrique subi par l'électron P est le même qu'à l'origine O, la relation 
fondamentale
de la dynamique donne l'équation du mouvement

-

-
d2 

me 2 = -e E (O, t) = -e E0 exp(i t) -
ez
dt
En régime sinusoïdal forcé, la notation complexe permet d'écrire

-

m × (i )2  = -e E exp(i t) -
e
e

soit

z

0

-

 (t) = 0 exp(i t) -
ez

avec

0 =

e E0
me  2

I.1.2 Avec I0 = 2.108 W.m-2 , on trouve
E0 = 4.105 V.m-1
2c
= 2.1019 rad.s-1 ,
d'où, avec  =

0 = 2.10-22 m

et

0
= 2.10-12

L'amplitude d'oscillation 0 de l'électron P autour de sa position moyenne O
est négligeable devant la longueur d'onde . On peut en déduire que les 
variations
spatiales du champ électrique subi par l'électron P au cours de son mouvement 
autour
de O sont négligeables. Il est donc légitime de supposer que le champ 
électrique subi
par l'électron P est le même qu'à l'origine O.
I.1.3 On évalue la pulsation caractéristique du mouvement de l'électron autour 
du
noyau à 0 = 2c R = 2.1016 rad.s-1 et la pulsation de l'onde électromagnétique
est  = 2.1019 rad.s-1 d'après la question précédente donc
0  
L'oscillation forcée de l'électron soumis à l'onde électromagnétique est bien 
plus rapide que le mouvement propre de l'électron autour du noyau. La période 
d'oscillation
est donc trop courte pour que l'influence de l'interaction du noyau et de 
l'électron se
fasse ressentir : l'électron peut être considéré comme libre.
Plus quantitativement, la donnée de la pulsation caractéristique 0 du mouvement 
de l'électron autour du noyau permet d'assimiler la liaison noyauélectron à une 
force de rappel élastique

-

-
F noyauélectron = -me 02 

En présence d'une onde électromagnétique, avec les mêmes hypothèses qu'à
la question I.1.1, l'équation du mouvement est

-

-
d2 

me 2 = -me 02  - e E0 exp(i t) -
ez
dt
soit, en régime sinusoïdal forcé,

-
-e E0

 (t) =
exp(i t) -
ez
me (02 -  2 )
Avec 0  , on retrouve le résultat de la question I.1.1

-
e E0

 (t) 
exp(i t) -
ez
me  2
comme si l'électron P n'était pas lié au noyau.
I.1.4 L'existence d'un retard  = r/c dû à
la propagation du champ rayonné par l'électron P autour de O jusqu'au point 
d'observation M explique la dépendance en t - r/c
des expressions du champ électromagnétique
rayonné. De plus, ces expressions sont valables sous la triple approximation

-

P

rPM

M

r

O

0    r
 On néglige l'influence du déplacement autour de O de l'électron P sur 
l'amplitude en 1/rPM du champ observé en M. Cela demande de considérer
rPM  r

soit

0  r

 On néglige l'influence du déplacement autour de O de l'électron P sur le retard
dû à la propagation depuis P du champ observé en M. Cela implique
rPM
r
-
T
soit
0   = cT
c
c
 On simplifie les expressions du champ rayonné pour ne garder que les termes
d'amplitude en 1/r prédominants dans la zone de rayonnement définie par
r
Comme l'énoncé le précise, on considère ici le champ rayonné par une charge
accélérée et non à proprement parler par un dipôle oscillant. Ce dernier n'est
qu'un cas particulier du premier.
I.1.5 Le moment dipolaire équivalent donné par l'énoncé s'écrit
-e2 E0
exp(i t)
me  2
et l'expression complexe du champ électrique rayonné par le dipôle est

-
(i)2 p(t - r/c)

sin  -
e
E1 (M) =
40 c2
r
Il vient donc
h 

-
b
r i
e2

E 1 (M) = E0 exp i  t -
sin  -
e
avec
b=
= 3.10-15 m
r
c
40 c2 me
p(t) = -e (t) =