X Physique MP 2007

Thème de l'épreuve Quelques aspects de la fusion contrôlée par confinement magnétique
Principaux outils utilisés magnétostatique, électrostatique, mécanique du point, mouvement de particules chargées
Mots clefs fusion, confinement magnétique, tokamak, critère de Lawson

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2007

COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Quelques aspects de la fusion contrôlée par confinement magnétique

La réaction de fusion qui semble techniquement la plus réalisable correspond a 
la fusion de
deux isotopes de l'hydrogène, le deutérium (D) et le tritium (T). Cette 
réaction s'écrit :

ÎD +'Ï' T --> âHe + 77. avec l'énergie libérée Ef : +17, 6 MeV .

Les produits de la réaction sont des particules alpha (noyaux d'hélium 4) et 
des neutrons. La
fusion nécessite une température élevée : les atomes sont alors entiérement 
ionisés, et pour décrire
l'état de la matière on parle d'état plasma. Ce plasma est enfermé dans une << 
boite >> spéciale,
appelée tokamak, au moyen d'un champ magnétique. Après une brève étude 
cinématique de la
réaction (partie l), on présente une modélisation de la distribution de 
pression dans le tokamak
(partie 11). Dans la partie 111, une des techniques utilisées pour chauffer le 
plasma est analysée.
Enfin, la partie IV étudie le problème du confinement des particules chargées 
par un champ
magnétique. Les quatre parties sont indépendantes.

Données numériques :

masses du proton et du neutron mp : mn : 1, 67 >< 10_27 kg

masse de l'électron mEUR : 9,1 >< 10_31 kg
charge élémentaire e = 1, 6 >< 10_19 C
constante de Boltzmann kB : 1, 38 >< 10_23 J - K_1

perméabilité magnétique du vide ...) : 47r >< 10_7 H - m--1

Formulaire :

Composantes du gradient en coordonnées cylindriques (T, 9, z) :

_ 3 1 3 Ô
-- (av ?Æ' &)
Courbe 3D : 5 abscisse curviligne, Î vecteur unitaire tangent, ñ vecteur 
unitaire normal principal,
R rayon de courbure :
dj _ ; . d_ï _
ds ' ds

ml31

I. Cinématique de la réaction

On suppose que toute l'énergie libérée par la réaction de fusion se transforme 
en énergie
cinétique des particules créées, et on néglige les énergies cinétiques des 
particules incidentes.

1. Calculer en eV l'énergie cinétique du neutron et celle de la particule alpha.

2. Calculer leurs vitesses respectives.
II. Pression et densité du plasma

Dans cette partie, on suppose le plasma composé uniquement d'ions deutérium et 
d'électrons,
confinés dans le tokamak par le champ magnétique B. Chacune des deux espèces 
est traitée
comme un gaz.

1. On note ne la densité volumique d'électrons, pe leur masse volumique et 178 
leur vitesse
moyenne. De même, on note 7749 la densité volumique d'ions, pp leur masse 
volumique et 17 D leur
vitesse moyenne.

Ecrire la densité locale de courant électrique j en fonction des paramètres.

2. On considère que le plasma est localement électriquement neutre en tout 
point. On note
P la pression totale a l'intérieur du plasma, & priori non uniforme.

(a) Préciser les diverses densités volumiques de force agissant dans le plasma; 
en déduire
l'équation satisfaite par le plasma en régime permanent.

(b) Montrer que les lignes de courant et les lignes de champ magnétique sont 
isobares.
3. Le plasma circule a l'intérieur d'un cylindre d'axe z'z, de rayon &, pour 
lequel on choisit les

coordonnées cylindriques (p, 90, z) adaptées (figure 1); un solénoïde crée un 
champ magnétique
(0, O, BZ) uniforme dans le cylindre. Cet ensemble constitue un modèle 
simplifié du tokamak.

F igurc ]

(a)
(b)
(0)

On suppose la densité de courant j : jzë'z uniforme. Déterminer le champ 
magnétique
additionnel créé par ce courant.

En déduire, avec ces hypothèses, le profil de pression P(p) a l'intérieur du 
cylindre,
la pression devenant nulle a la paroi p = a.

La valeur caractéristique du champ magnétique généré par le solénoïde est BZ : 
4 T,
et la composante additionnelle créée par j est de l'ordre de 10% de BZ en p = &.
Calculer la pression sur l'axe du cylindre (p = O).

4. On suppose que chaque espèce chargée se comporte comme un gaz parfait 
monoatomique.

(a)
(b)

On a obtenu par chauffage la température T telle que k3T : 10 keV sur l'axe du
cylindre. Calculer T en Kelvin. Évaluer la densité volumique d'ions 
correspondante.

La condition a satisfaire pour que l'énergie produite par les réactions de 
fusion soit
supérieure a l'énergie consommée par le tokamak est le << critère de Lawson >> 
reliant
la densité volumique nD d'ions, leur température T et leur durée de confinement 
T;
numériquement TnD(ÎÇBT) > 1021 keV - m_3 - s.

Avec les valeurs numériques précédentes, évaluer la durée minimale de 
confinement
nécessaire pour que le critère de Lawson soit vérifié.

III. Chauffage du plasma

Pour réaliser la fusion, il faut une température très élevée. Nous allons 
étudier une des
techniques de chauffage utilisées.

1. Dans un plasma, une onde longitudinale de pression (du type onde << sonore 
>>) est
souvent accompagnée d'un champ électrique longitudinal, ce type d'onde, sans 
champ magné--
tique, est appelée << onde électrostatique >>. Soit une telle onde plane, 
donnée par son potentiel
 : --0 cos(wpfi -- ÎEUROE). On notera CCI) la célérité de l'onde. Le 
choix des origines est tel que

q0 > 0.

(a)
(b)

(0)

Dans le référentiel galiléen R du laboratoire, écrire l'équation du mouvement 
d'une
particule chargée, de coordonnées (a:, y, z), en présence de cette onde.

A l'aide d'un changement de référentiel adéquat, ramener cette équation a 
l'équa--
tion du mouvement dans un champ de forces indépendant du temps. En déduire une
constante E du mouvement, correspondant a l'énergie dans le nouveau référentiel 
R'.

Préciser dans R' les types de mouvement possibles et décrire les différentes 
formes du
portrait de phase auxquelles elles correspondent.

Préciser en particulier les équations des courbes qui séparent dans le plan de 
phase
ces divers types de mouvement, on posera 5 : 20 / m.

Montrer au moyen du portrait de phase que les particules dont les vitesses 
initiales
selon a: dans R sont comprises dans l'intervalle ]c$ -- 5, c@ + 5[ peuvent être 
<< piégées >>
par le champ électrique. Montrer que pour une particule piégée, la valeur 
moyenne de
la composante % de sa vitesse dans R, sur un temps suffisamment long, est égale 
a

C@.

2. On considère a présent une population de particules chargées. A l'instant 
initial t = 0,
leur répartition spatiale est uniforme, et leurs vitesses suivant l'axe a: sont 
distribuées selon
une gaussienne : la probabilité pour que % soit dans l'intervalle [v...voe + 
dvoe] est p(voe)dvoe :
A(T) EURXp(--MUî/2k3T)dvoe, où T désigne la température.

(a) Tracer l'allure du graphe de la fonction p(voe).

(b) On << allume >> a t = 0 l'onde électrostatique (1). On rappelle que la 
température est
proportionnelle au carré de la vitesse quadratique moyenne. On suppose que 5/c® 
est
petit devant un. En exploitant l'allure du graphe de p(voe) au voisinage de c@, 
expliquer
qualitativement pourquoi le piégeage des particules par l'onde chauffe le 
plasma.

(c) Pour quelle valeur de CCI) arrive--t--on a réchauffer le plus de particules 
?

IV. Confinement magnétique

1. On considère une particule de charge q évoluant dans un champ magnétique 
indépendant du
temps. On note EUR... @, 52 les vecteurs unitaires d'un triédre trirectangle 
direct Oa:yz de référence.

(a) Comment évolue l'énergie cinétique de la particule ?

(b) On considère un champ magnétique uniforme B : Bë'Z avec B > 0. Déterminer le
mouvement de la particule avec les conditions initiales F(O) = 0 et vitesse 
ü(0) =
uîê'oe + uzê'z. Préciser la pulsation Q et le rayon TL de giration.

(c) Les ions et les électrons ont une énergie d'agitation thermique de l'ordre 
de 10 keV.
Donner l'ordre de grandeur de Q et de TL pour les ions puis pour les électrons 
avec

B = 4 T.
(d) Dans le plan oeOy, en assimilant le mouvement d'une charge a une spire7 
montrer que
le moment magnétique associé s'écrit [[ : --,uë'z avec ,u : quî/2Q où ul : HÜlH,

ül étant la vitesse dans ce plan.

1

(e) Evaluer l'énergie cinétique transverse îmuî en fonction de [[ et B.

2. On considère maintenant un champ magnétique non uniforme B : B(a:, y, z)Ë, 
avec HËH : 1
et HBH : B de l'ordre du Tesla. On suppose que le champ varie très peu) en 
valeur relative, sur
des distances de l'ordre de TL. Le mouvement d'une particule de charge q 
comprend alors un
mouvement de giration << rapide >> orthogonal localement a B et un mouvement << 
lent >> de
vitesse Ü . On admet que le mouvement lent est celui d'un système de vitesse Ü, 
portant une
charge q et un moment magnétique [[ : --uË.

(a) La force s'exerçant sur un dipôle magnétique [[ s'écrit
13 _ - aË * aË * 35
Pour [[ : --uË, montrer que cette force s'écrit également B : --,uYB .

(b) On effectue l'hypothèse que Ü est parallèle a B, soit Ü : UHË. Donner 
l'équation

différentielle que doit satisfaire Ü .

(EUR)

On désigne par K l'énergie cinétique associée au mouvement lent.

dK dB
M t -- -- = 0.
on rer que dt + ,u dt
. n df 6577
On rappelle que pour toute fonction f(r(t)) : Æ : Æ - f.

Soit fÜÎL la vitesse du mouvement de giration. On admet que ,a est donné par la 
même
expression qu'en 1.d. Effectuer un bilan global d'énergie cinétique et en 
déduire que
,a est une constante.

L'hypothèse effectuée en 2.b est une excellente approximation. Cependant, 
l'équation
du mouvement ne peut être satisfaite en général que si Ü comporte une composante
Ül orthogonale a Ë . Compléter alors l'équation du mouvement obtenue en 2.b pour
en tenir compte.

En déduire, en supposant les variations temporelles de Ül négligeables, que Ül 
est
donné par :

Un2

UL 5Añ+LäAvüa (1)

_ QR mQ

où R est le rayon de courbure de la ligne de champ et 753 le vecteur normal 
unitaire.

--» dU
Indication : on calculera () /\ -- et on utilisera l'expression de Q obtenue en 
1.b.

dt

3. Pour confiner les particules chargées composant le plasma, une idée 
naturelle est de fermer
les lignes de champ. Dans ce but on utilise un solénoïde torique. On utilisera 
les coordonnées
cylindriques (7°, 9, z) de la figure 2.

F figure 2

(a) Soit N le nombre total de spires; calculer le champ magnétique créé par le 
solénoïde

lorsqu'il est parcouru par un courant continu d'intensité ] .

(b) Expliciter les deux termes dans l'expression (1) donnant Ül en fonction de 
K H et K L,

contributions de U H et ul a l'énergie cinétique en notant oz : qu0NI/27r; 
expliquer
pourquoi un tel champ ne peut confiner les particules indéfiniment.

(c) Ecrire les équations du mouvement d'une particule chargée de coordonnées 
(739,2)

dans ce champ magnétique torique.

(d) Montrer que l'équation correspondant a 59 conduit après intégration a une 
relation
qui exprime la conservation d'une grandeur physique que l'on précisera.

(e) Montrer qu'après une intégration de l'équation correspondant a é}, on peut 
se ramener
dans une seconde étape a une intégrale première du mouvement ne portant que sur
7". A la conservation de quelle grandeur physique correspond--elle ?

(f) Dans le cas particulier où les particules circulent a 7" constant, 
retrouve--t--on la direc--
tion de UL donnée en 2.f?

4. Un courant de densité je (sur la direction orthoradiale 59) est généré a 
l'intérieur du tore.
On suppose que le << rapport d'aspect >> RC/a est grand devant 1, RC étant le 
rayon moyen du
tore et a le rayon de sa section (figure 2). On assimile localement le tore a 
un cylindre, et on
suppose pour une approche qualitative que je est uniforme.

(a) Dans ces approximations, donner sans calculs la forme des lignes de champ a 
l'intérieur
du solénoïde.

(b) Dans cette configuration, le confinement des particules est--il amélioré? 
on demande
un argument qualitatif.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Julien Dumont (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Cette épreuve porte sur le confinement magnétique d'un plasma tel qu'il est mis 
en
oeuvre dans les réacteurs de fusion de type tokamak. Le problème forme un 
ensemble
cohérent et logique où après la réaction de fusion elle-même, les trois aspects 
du
critère de Lawson (densité, température, durée de confinement) sont analysés.
· Dans la première partie, on caractérise rapidement la réaction de fusion de
l'hydrogène. C'est une partie assez simple si l'on pense à utiliser les 
relations
de conservation.
· La deuxième partie étudie l'équilibre mécanique du plasma soumis aux forces
magnétique et de pression. Ayant calculé la densité particulaire au coeur du
réacteur, on peut en déduire la durée minimale de confinement.
· Une troisième partie s'intéresse au réchauffement du plasma par effet Landau.
Il s'agit d'expliquer comment une onde électrostatique peut augmenter 
l'agitation thermique d'un plasma.
· La quatrième partie envisage enfin le confinement magnétique proprement dit.
Pour cela, on analyse préalablement le mouvement cyclotronique d'une particule 
chargée dans un champ magnétique uniforme, puis l'on dégage le problème
de la dérive lente dans un champ faiblement non uniforme.
Les concepts physiques mis en jeu dans ce problème sont relatifs à 
l'électrostatique, à la magnétostatique, à la mécanique du point, à quelques 
points de la thermodynamique et appartiennent presqu'exclusivement au programme 
de première année.
Les calculs des quatre parties sont indépendants.
Il s'agit dans l'ensemble d'un problème long et difficile mais bien adapté au 
niveau
du concours. Quelques questions sont proches du cours (calculs de champ 
magnétique,
mouvements d'une particule chargée, portrait de phase) et se doivent d'être très
soignées. D'autres, moins abordables et parfois sans calculs, permettent de 
faire la
différence.

Indications
Première partie
I.1 Traduire conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement. Le noyau
d'hélium 42 He comporte 2 protons et 2 neutrons.
Deuxième partie
-

--
II.2.a L'expression volumique de la force de pression est dFp = - grad P dV.
II.3.b Utiliser la question II.2.a en prenant en compte le champ total.
II.4.a Que dire des densités volumiques nD et ne ?

III.1.a
III.1.b
III.1.c

III.1.d

III.2.b
III.2.c

Troisième partie
--
-

Noter qu'on a E = - grad .

L'onde électrique se propage à la vitesse c -
ex dans R avec c = 1 /k.

Tracer E en fonction de x , identifier les positions d'équilibres stables et le
maximum d'énergie potentielle. Distinguer la nature de la trajectoire en 
fonction de la position de E par rapport à ce maximum.
Justifier que l'énergie cinétique initiale d'une particule piégée dans R est au
plus 2q0 . Écrire vx = c + vx et
Z
1 t
vx (u) du
hvx i =
t 0
Distinguer les particules des intervalles ]c - , c [ et ]c , c + [. Ces 
particules sont-elles accélérées ou ralenties lors du piégeage ?
Quelles particules participent le plus à la définition statistique de T ?
Quatrième partie

-
IV.1.b Projeter le principe fondamental de la dynamique dans la base (-
ex , -
ey , 
ez ) et
découpler les équations selon x et y.
IV.1.c La masse des ions est de l'ordre de mn .
IV.1.d Considérer que l'intensité du courant est i = q/T où T est la période du
mouvement de giration.

-

IV.2.b Écrire le principe fondamental de la dynamique avec la vitesse -
u  + U et

-
simplifier en considérant, notamment, que u vérifie la même équation du

mouvement qu'à la question IV.1.d.
 -
-
ds

IV.2.f Utiliser le formulaire avec b = t et
= U|| pour montrer
dt

-
U||2 -
 dU
-
 -
b 

b 
n
dt
R

IV.3.b Que valent R et -
n ici ? Remplacer , µ et B par leurs expressions.

-

IV.3.d Montrer qu'il s'agit de la composante selon -
ez du moment cinétique L O .

-

-

IV.3.e Montrer qu'il s'agit de la composante selon -
ez de m-
u + q A où A est le
potentiel magnétique.

IV.3.f Utiliser l'équation selon -
er .
IV.4.b Le mouvement des particules le long des lignes de champ se fait 
alternativement au-dessus et au-dessous de la génératrice du solénoïde torique.

Quelques aspects de la fusion contrôlée par
confinement magnétique
I. Cinématique de la réaction
I.1 Les énergies cinétiques Kn du neutron et K de la particule alpha proviennent
de l'énergie Ef libérée lors de la fusion. Par conséquent
Ef = Kn + K
()
Comme on a négligé leurs énergies cinétiques, les particules incidentes sont 
supposées
quasi immobiles et la conservation de la quantité de mouvement s'écrit

-
0 =m -
v + m -
v
n n

Les vitesses des particules créées sont opposées et leurs normes vérifient
mn v n = m v
1
En termes d'énergie cinétique K = mv 2 , cela conduit à
2
mn K n = m K 
On obtient alors facilement, à partir des relations de conservation () et ()

m

 Kn = m + m Ef = 14,1 MeV
n

mn
K =

Ef = 3,52 MeV

mn + m

()

avec m = 2mp + 2mn  4mn pour la particule , noyau d'hélium 42 He, qui comporte
deux protons et deux neutrons.
I.2 Avec 1 eV = 1,60.10-19 J, on déduit des valeurs numériques précédentes
r

2Kn

v
=
= 5,19.107 m.s-1
 n
mn
r

 v = 2K = 1,30.107 m.s-1
m

La particule la plus lègère est bien la plus rapide. Les vitesses évaluées sont
cependant proches de la célérité c de la lumière. Pour une étude plus fine dans
le formalisme de la relativité restreinte, il conviendrait d'écrire la quantité 
de
mouvement et l'énergie cinétique sous la forme
(-

p =  m-
v
1
où
= p
2
1 - v 2 /c2
K = ( - 1)mc

Avec v 2  c2 , des développements limités aux ordres les plus bas non nuls
conduisent aux expressions utilisées en mécanique newtonienne
1

-

p = m-
v
et
K = mv 2
2
Par ailleurs, l'énergie libérée Ef provient d'une variation de la masse, donc
de l'énergie de masse mc2 , des particules réactives. En suivant le bilan 
réactionnel de fusion, on obtient
Ef = (mn + m - mD - mT ) c2
et la relation () traduit la conservation de l'énergie totale E = mc2 + K.

II. Pression et densité de plasma
- = P n q -

II.1 Le vecteur densité de courant électrique s'écrit 
i i vi . Cela donne
i

-

-
 = e nD -
v
D - ne v e

où la charge de l'ion deutérium est nécessairement +e puisque l'atome de 
deutérium 21 D est un isotope de l'hydrogène et ne possède qu'un électron.
II.2.a Comme le plasma est localement neutre, la force électrique n'intervient 
pas.
Les actions mises en jeu sont la force magnétique, dite de Laplace, et la force 
de
pression. Pour un élément de volume dV, elles s'écrivent
-

-

--

-

dF = -
 dV  B
et
dF = - grad P dV
m

p

L'équilibre des forces en régime permanent donne
--

-

grad P = -
 B
L'expression volumique générale de la force de pression peut se déduire de
sa restriction unidimensionnelle vue en première année sur un élément de
volume dV = S dz d'atmosphère
--
-

dP

dFp = -
S dz -
ez = - grad P dV
dz
ou bien de la formule du gradient pour un volume V quelconque
ZZ
ZZZ
--

-

-
Fp = -
P d S sortant = -
grad P dV
S

V

II.2.b Une ligne de courant et une ligne de champ magnétique sont respectivement

-

tangentes en tout point aux vecteurs -
 et B . On les caractérise par
 -
 -
 -
-

-  -

d = 0
et
B  d = 0
Le résultat de la question précédente et les propriétés du produit mixte 
permettent
par ailleurs d'écrire
--

-
 -
-

 -
-

grad P · d = - -
  d · B = B  d · -

Dans les deux cas, on aboutit à

--

-
dP = grad P · d = 0

qui caractérise le fait que
Les lignes de courant et les lignes de champ magnétique sont des isobares.

II.3.a Le plan (M, -
e , -
ez ) est un plan de symétrie vis

à-vis de la densité de courant -
 = jz -
ez , par conséquent le champ additionnel (le champ magnétique est
un vecteur axial) lui est perpendiculaire. La densité de

courant -
 est invariante par rotation d'angle  et par
translation selon z donc le champ additionnel ne dépend
que de . Au total, le champ magnétique additionnel
s'écrit nécessairement
-

B = B () -
e
a

a

x
I

-

O

z

-

e
-
e

y