X Physique MP 2004

Thème de l'épreuve Amortisseurs: étude de quelques systèmes
Principaux outils utilisés mécanique du point, induction
Mots clefs amortisseurs

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2004

COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Amortisseurs : étude de quelques systèmes

Dans de nombreuses situations (automobiles, machines industrielles, 
constructions anti-
sismiques}, on souhaite diminuer la réponse d'un système aus: vibrations 
mécaniques de son
support. Ce problème est consacré à l'étude de quelques aspects de 
l'amortissement de ces vibra-
tions mécaniques. Il se compose de quatre parties. La quatrième est totalement 
indépendante des
trois autres. La seconde ne dépend de la première que pour l'application 
numérique finale.

On note R(â) la partie réelle d'un nombre compleoee ;.

Données numériques :

Champ de pesanteur : g = 9, 81 ms--2

Perméabilité du vide : u0 : 47r >< 10"7 H-m"1

I. Mouvement sans suspension

Dans cette partie, le système est un solide, assimilé à une masse ponctuelle M, 
simplement
posé sur le sol, plan et horizontal. Les mouvements du sol et de la masse sont 
supposés purement
verticaux. L'axe vertical 0 z, de vecteur unitaire à}, est orienté vers le haut.

À partir de l'instant t = O, le sol est animé de vibrations verticales 
d'élongation :
zs(t) : Zo(l -- cos cut) @

La) Écrire l'équation du mouvement de la masse M.

b) Montrer qu'il existe deux régimes pour le mouvement de M , en fonction des 
caracté--
ristiques de la vibration. Donner la valeur a M de l'accélération as (t) du sol 
qui sépare les deux
régimes. Préciser le mouvement de M dans le cas où las (t)] < laM) à. tout 
instant.

2) On suppose maintenant que l'accélération du sol peut dépasser a M en valeur 
absolue.

&) Montrer que la masse quitte le sol lorsqu'elle atteint une altitude zD que 
l'on détermi--
nera.

b) En déduire l'altitude maximale ZM atteinte en fonction de zo, w et g.

0) Calculer la durée de la phase de vol libre comprise entre l'instant du 
décollage de la
masse et celui où elle repasse par l'altitude zD.

3) Application : on considère une route imparfaitement plane, comportant une 
succession
de bosses que l'on assimilera a une sinusoïde de période spatiale 2 m et de 
hauteur crête--

créte 5 cm.

a) Quelle est la vitesse maximale à laquelle un véhicule totalement rigide peut 
parcourir
cette route sans décoller '?

b) Quelle est la hauteur atteinte par un véhicule roulant à une vitesse de 60 
km/h ?

c) Pendant combien de temps perd--on totalement le contrôle de ce véhicule ?

II. Suspension sans amortisseur

1. La liaison entre la masse M, d'altitude ZM,
et le sol se fait maintenant par l'intermédiaire
d'un ressort de raideur k, de longueur à vide lg
et de masse négligeable (figure 1). À l'extrémité
inférieure de ce ressort, le contact avec le sol se fait
par l'intermédiaire d'une petite masse m < M.

//// //////Ï"' ,,

F figure 1

Dans cette partie, on néglige tout amortissement.

À partir de l'instant t = 0, la vibration verticale du sol a pour élongation :

zs(t) = Zo(1 ---- cos wt) 52

La) En supposant que la masse m reste en contact avec le sol, montrer que 
l'équation
différentielle régissant le mouvement de M, s'écrit sous la forme :

äM + wâ(zM ----- l1) : a(1 -- coswt)

où w0,11 et a sont des constantes à déterminer.

b) Résoudre cette équation différentielle en supposant que ZM (t = O) : l1 et 
àM(t = O) = O.

c) Soient ZM ...... et ZM min respectivement les altitudes maximale et minimale 
atteintes

par la masse M au cours du temps. Montrer que Az : ZM ...... -- ZM min se met 
sous la forme
2 2

ou + wo

AZ : C--2--_2
|w _ w0l _
quement Az en fonct1on de w/w0.

zo où 0 est un facteur numérique que l'on déterminera. Représenter schémati--

2.a) Établir l'équation du mouvement de la masse m.

b) En déduire la condition pour que la masse m ne décolle pas du sol.

m
c) Mettre cette condition sous la forme f (ou) < K où K = 29 (1 + --ÂÆ--), et f 
(ou) est une
fonction de ou de la forme Acos w0t + B cos cat, A et B étant des coefficients 
sans dimension que

l'on explicitera en fonction de w, wo, m, M.

(1) Préciser la valeur maximale de f(w) a l'aide des paramètres adimensionnês X 
= w2/wâ
et 5 = m / M . En étudiant les changements possibles de signe de A et B, 
expliciter son expression
pour chacune des trois bandes de pulsation que l'on est amené à distinguer, 
séparées par les
valeurs X0 et X1 (avec XO < X1) de X que l'on précisera.

3. Application numérique : On considère une route de même profil qu'en I.3 et 
un véhicule
dont la masse suspendue vaut M = 1280 kg et la masse non suspendue m = 160 kg.

&) En régime statique, le ressort se comprime de 61 = l() -- 11 = 10 cm sous 
l'effet de M.
Calculer numériquement g / wâ puis la constante K.

b) Calculer, pour chacune des trois bandes de pulsations obtenues en II.2.d, 
les plages de
valeur de X pour lesquelles la condition f(w) < K est satisfaite.

c) En déduire les plages de vitesse, exprimées en km/h, permises pour que les 
roues du
véhicule restent en contact permanent avec le sol.

4.3) Des études montrent qu'une automobile est ressentie comme bien suspendue 
lorsque la
fréquence propre du système est de l'ordre de 1,5 Hz. Les valeurs numériques 
données plus haut

correspondent--elles a ce critère ?

b) Que deviennent, pour le paramètre X , les plages obtenues en II.3.b, lorsque 
on diminue
la masse non suspendue m, les autres paramètres restant inchangés; préciser en 
particulier les
valeurs limites pour m ----> 0. Un tel allègement est-il favorable? Si oui, 
citer des exemples de
solutions techniques qu'on peut imaginer dans ce but.

III. Suspension avec amortisseur

On ajoute maintenant, en parallèle avec le res--
sort de suspension, un amortisseur (figure 2) qui
exerce sur la masse M une force de type visqueux
donnée par

F -- --vä£uz 'y k
où l = ZM -- z... est la longueur instantanée du res--
sort et 7 une constante. Comme précédemment, la
vibration verticale du sol a une élongation donnée

à partir de t = 0 par :

--»

zs(t) = Z()(I ---- cos cat) @
Figure 2

La) Écrire l'équation du mouvement de la masse M, dans le cas où m reste en 
contact avec
le sol, a l'aide de z... et à... et des constantes wo, l1 et 1/T = v/M.

b) Montrer que le mouvement de M comporte un régime transitoire qui s'atténue 
au cours
du temps. Donner une description qualitative des divers régimes que l'on peut 
rencontrer; les

discuter selon la valeur du paramètre oz = 1/wâ7'2.

c) On se place dorénavant en régime sinusoïdal forcé, c'est--à--dire que l'on 
suppose le régime
transitoire achevé. On pose 2... = R(ä) avec z_... = ZO(1--exp iwt) et YM = 
zM--l1--ZO = R(Y_M) ;
expliciter en notation complexe Y_M en fonction de 20, au, cm et T.

(1) On s'intéresse à l'amplitude de vibration de M en fonction de w. Montrer 
qu'elle
s'exprime, en posant X = w2/wâ, sous la forme :

|_YÆ|_ 1+aX
210 _ (I--X)2+OEX

Étudier qualitativement sa variation en fonction de X ; on précisera en 
particulier les valeurs
de X pour lesquelles ce rapport vaut 1. Calculer numériquement la position et 
le maximum de
ce rapport pour 04 = 4 et a = 1.

e) En comparant l'amplitude d'oscillation de M en fonction de la fréquence au 
résultat
obtenu en II.1.c, quelles améliorations ou inconvénients vous semble apporter 
l'amortissement '?

2. Avec l'amortisseur, la condition pour que, en régime sinusoïdal forcé, la 
masse non sus--
pendue m demeure en contact permanent avec le sol, se met sous la forme :

lF(w)l < (1 + Ô)9/Zowâ

(1 +fl--fiX)2 + (1 +fi)2aX

où X =w2/wâ, a=1/wâT27 fl=m/M et lF(w)l =X (1 --X)2+aX

a) Avec successivement les deux valeurs oz : 4 et a = 1 du paramètre 
d'amortissement,
calculer |F(w)| pour X : X1/2,X1 et 2X1 où X1 est la valeur de X obtenue en 
II.2.d).

b) On utilise les mêmes données numériques qu'en 11.3 et II.3.a). En comparant 
les
valeurs de 'F(w)| aux résultats de II.3.b), qu'en concluez--vous sur l'effet 
bénéfique ou néfaste
de l'amortissement aux fréquences élevées ? Pour ces fréquences, quel est, a 
votre avis, l'élément
de l'ensemble non suspendu d'une automobile qui, peut améliorer la situation ?

IV. Amortissement magnétique

Les amortisseurs d'automobiles consistent la plupart du temps en un piston qui 
se déplace
dans un cylindre rempli d'un fluide visqueux.

Le but de cette partie est d'estimer l'efficacité d'un amortissement magnétique.

1. On considère un aimant cylindrique d'axe Oz, de rayon 7"... de longueur EUR 
et aimanté selon
son axe. On assimilera le champ magnétique externe de cet aimant à celui d'un 
dipôle % : ÛÏZ'ÜÏZ
dirigé selon Oz et situé en son centre.

Cet aimant se déplace dans un tuyau métallique cylindrique vertical d'axe 02, 
de très grande
longueur, de rayon intérieur R1 > ra et extérieur R2 > R1.

On rappelle que le champ magnétique Ë produit au point 'F(æ, y, z) par un 
dipôle magnétique
situé en O et aligné avec l'axe Oz est donné par l'expression :

--» ...) SZÛTZF-- TZÛÏZÜZ
B = ------------5----
47r 7°
Dans la suite on pourra utiliser soit un système de coordonnées sphériques (7°, 
6', go) de vecteurs

unitaires (à}, 119, 17590) ou cylindriques (p, go, 2) d'axe 02 de vecteurs 
unitaires (fc--[p, 1ÏÇP, ü},).

&) Décrire qualitativement ce qui se passe lorsque l'aimant tombe dans le tuyau 
sous l'effet
de son poids.

b) Calculer le flux de ce champ dipolaire Ë a travers un contour circulaire 
d'axe Oz, de
rayon R et d'ordonnée h si le dipôle est situé en O.

c) Calculer la force électromotrice induite a l'instant t sur ce contour si 
l'aimant en O est
animé d'une vitesse 17 : 12%.

d) En déduire que le champ électrique induit dans la direction orthoradiale 
ü90, s'écrit :

hR

E@(R7 h) : KOEZW U

où la est une constante à déterminer.

e) En supposant que l'aimant est fixe et le tube en translation verticale à la 
vitesse --v,
déterminer la force qui s'exerce dans le tube sur un porteur de charge q en 
fonction de v et de
B. Comparer au résultat de la question précédente.

2. Soit 0 la conductivité du métal du tuyau. On suppose que la loi d'Ohm locale 
est vérifiée.

&) Quelle est par unité de volume, en fonction de Eoe et a, la puissance 
dissipée par effet
Joule.

b) Calculer la puissance totale dissipée en fonction de DTC, 0, R1, R2 et @. On 
donne :

/+oe 5132 57r 1
--------------doe : _--
_OO (362 + a2)5 128 a7

c) En déduire la force magnétique qu'exercent ces courants induits sur l'aimant.
A-t-elle l'allure d'une force de frottement visqueux de la forme --7v ?

3.a) Exprimer la vitesse limite d'un aimant, de masse volumique pa et de volume 
V, supposé
en chute verticale.

b) Application numérique. On considère un tuyau en cuivre, de conductivité a = 
5, 8 >< 107
S-m"', d'épaisseur notable avec R2 = 1, 5 R1 ; l'aimant a un rayon ra voisin de 
R1, une longueur
double de son rayon et une masse volumique pa : 7, 4 >< 103 kg-m_3. Son 
aimantation (moment
magnétique par unité de volume) M A est supposée uniforme et vaut 106 A-m".

Calculer la vitesse limite de chute.

4. Quel doit être l'ordre de grandeur du volume de l'aimant pour obtenir un 
temps d'amor--
tissement T (cf. III.1.a) de 0,1s avec M = 1280 kg. On prendra comme dans 
l'application
numérique précédente un cylindre avec ra % R1 et un tube avec R2 = 1, 5R1 ? 
Commenter la
faisabilité d'un amortisseur de ce type pour une automobile.

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X Physique MP 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par
Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).

Ce sujet propose l'étude de mécanismes servant à amortir les vibrations 
mécaniques. Il se compose de quatre parties distinctes. Les trois premières, 
qui traitent
essentiellement de mécanique du point, vont croissant dans la complexité de la 
modélisation d'une suspension pour véhicule :
· la première examine ce qui se passe en l'absence de suspension ;
· la deuxième traite le cas d'une suspension simple sans amortisseur ;
· la troisième rajoute un amortisseur dans la suspension.
La dernière partie, indépendante des précédentes, montre quant à elle 
l'utilisation
possible d'un système fondé sur l'induction, via un aimant, pour réaliser 
l'amortisseur.
Ce problème ne comporte pas de réelles difficultés au niveau de la physique,
les raisonnements restant relativement simples. En revanche, il est 
calculatoire :
une grande importance est attribuée aux applications numériques, qui forment 
plus
d'un tiers du problème. Il constitue un bon entraînement pour apprendre à mener
des calculs (proprement) en temps limité. La question II.1.c est susceptible de 
poser
de gros problèmes mathématiques en raison d'une formulation peu claire de 
l'énoncé.

Indications
Partie I
I.1.a Faire l'étude dans le référentiel lié au sol.
I.2.b Faire l'étude dans le référentiel terrestre et remarquer qu'au moment du
décollage, la vitesse est ascendante.
Partie II
II.1.b Poser z  = zM - 1 - a/0 2 et trouver la solution particulière pour z  en
notation complexe. Ne pas oublier la solution homogène !
II.1.c Entendre par maximum de f (x) = A cos ax + B cos bx la valeur |A| + |B| ;
on pourra éventuellement démontrer que dans le cas où a et b sont dans un
rapport irrationnel, c'est bien la borne supérieure.
II.2.a Travailler dans le référentiel terrestre.
II.2.b Si la masse m ne décolle pas du sol, on a en permanence xm = xs .
II.2.c Utiliser l'un des résultats intermédiaires de la question II.1.a pour 
écrire simplement zM - z s - 0 .
II.2.d Utiliser la même démarche qu'à la question II.1.c pour obtenir le « 
maximum »
de f ().
II.4.b Ne pas oublier que K dépend aussi de  dans les applications numériques.
Partie III
III.1.e Examiner les comportements asymptotiques.
Partie IV
-
 6= 0 !
IV.1.b Attention : 
r ·-
u
z
IV.1.c Utiliser le fait que

dh d
d
=
dt
dt dh

IV.2.c Comme le système est isolé, la puissance totale dissipée doit être nulle.

I.

Mouvement sans suspension

I.1.a Dans le référentiel non galiléen lié au sol, les forces appliquées à la 
masse M
sont :

-
;
· son poids P = -M g -
u
z

-
;
· la réaction du support R = R -
u
z

-

-
· les forces d'inertie f ie et f ic .
La réaction du support est normale au support car on néglige tout mouvement
dans le plan du sol. Puisque le sol est animé d'un mouvement de translation par
rapport au référentiel terrestre, que l'on supposera galiléen, la force de 
Coriolis est
nulle ; les forces d'inerties se résument alors à

-
d2 -
zs

f ie = -M -
ae = -M
dt2
On notera z  la distance de la masse au sol. Ainsi, le principe fondamental de 
la
dynamique s'écrit, en projetant sur l'axe (Oz),
M

d2 z 
= -M z0  2 cos(t) - Mg + R
dt2

I.1.b Les conditions sur R sont
· R = 0 si z  > 0 ;
· R > 0 si z  = 0.
On a nécessairement décollement si à un instant donné l'accélération de la masse

-
est dirigée vers le haut. Compte tenu de la forme de R , ceci se produit si
-z0  2 cos(t) - g > 0
La valeur correspondante de l'accélération du sol vaut
aM = -g
Il fallait s'y attendre : la masse ne peut pas suivre le sol si celui-ci « 
tombe »
plus vite que le ferait la masse toute seule.
Dans le cas où |as (t)| < |aM | à chaque instant, la quantité -z0  2 cos(t) - g 
ne
peut jamais devenir positive ; la masse reste donc collée au sol.
I.2.a La masse reste en contact avec le sol tant que -z0  2 cos(t) - g est 
négatif.
Le décollage s'effectue donc pour t0 tel que
z0  2 cos(t0 ) + g = 0
d'où
c'est-à-dire

cos(t0 ) = -

g
z0  2

zD = z0 (1 - cos(t0 )) = z0 +

g
2

On voit que zD > z0 ; c'est normal puisque pour z > z0 , l'accélération est
dirigée vers le bas, donc la force d'inertie vers le haut. Il ne peut y avoir
décollement que si z > z0 .
I.2.b Étudions maintenant le mouvement de la masse dans le référentiel 
terrestre.
Comme il est supposé galiléen et que la masse a décollé, il s'agit simplement 
d'une
chute libre ; on a alors immédiatement, en posant l'origine de t au moment du
décollage,
z(t ) = -g

t2
+ vz0 t + zD
2

où vz0 est la vitesse de M dans le référentiel terrestre au temps t = 0. 
Celle-ci est
vz0 = +z0  sin(t0 )
Puisque pour t < 0, la masse est collée au sol, vz0 est la vitesse du sol à t = 
0,
c'est-à-dire à t = t0 . L'altitude zD est atteinte pour la première fois en 
phase ascendante, ce qui implique
s

2
p
g
vz0 = +z0  sin(t0 ) = +z0  1 - cos2 (t0 ) = z0  1 -
z0  2

Par simple dérivation, on trouve que l'altitude maximale est atteinte pour
vz0
t =
g
donc

zM = -

Finalement,

vz0 2
vz0 2
1
+
+ zD =
2g
g
2g
zM

1
=
2

g2
g
z0 2  2 - 2 + z0 + 2

z0 2  2
g
+ 2
g

+ z0

I.2.c À partir de l'équation du mouvement établie à la question précédente, on 
voit
que la masse M repasse en z = zD pour
-g
soit

t2
+ vz0 t = 0
2
t = 2

vz0
g

La phase de vol libre dure donc
tvol libre

z0 
=2
g

s

1-

g
z0  2

2

Il faut bien voir qu'il s'agit d'une approximation : la durée du vol libre est a
priori différente de la durée au bout de laquelle la masse revient à son 
altitude
de départ. En revanche, les équations menant à la durée réelle de vol libre ne
sont pas solubles analytiquement, ce qui explique les hypothèses de l'énoncé.