X Physique MP 2003

Thème de l'épreuve Principe du fonctionnement d'un microscope à force électrostatique
Principaux outils utilisés oscillateur mécanique, fonction de transfert, électrostatique, condensateur
Mots clefs diagramme de Bode, microscope

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2003

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Microscopie à force électrostatique

Le problème eoepose le principe de fonctionnement d'un microscope & force 
électrostatique.
Cette technique d'analyse de surfaces permet de réaliser des cartographies de 
gradients de forces
électrostatiques, avec une résolution latérale de l'ordre de quelques dizaines 
de nanomètres.

La première partie du problème décrit le principe de mesure de la pulsation 
propre d'un oscil--
lateur méCanique. Dans les deuæie'me et troisième parties, sont abordés des 
eæemples de mesure
de forces dues à des charges surfaciques capacitives ou a des charges stockées 
au voisinage de la
surface du matériau étudié. Enfin la quatrième partie eæploitera des résultats 
eoepérimentauoe.

Un grand soin devra être apporté aua: schémas et auoe applications numériques.

Données numériques :

Charge élémentaire e = 1,6 >< 10--19 C
Permittivité du vide 50 = 8, 8 >< 10"12 F -m_1

I -- Oscillateur mécanique

1. On considère l'oscillateur mécanique représenté figure 1,
composé d'une masse m et d'un ressort de constante de raideur
lc, l'ensemble étant suspendu au point P. La cote ZM du point
M situé a la base de la masse est notée zo + 6 (t), où zo désigne
la cote de la position d'équilibre de M lorsque P est fixe en P0. _» T
Ce point P est maintenant animé autour de P0 d'un mouve--
ment sinusoïdal vertical, imposé par un vibreur et donné par
a(t) : ao cos wt avec ao > 0. On suppose de plus que la masse
m est soumise à une force de frottement fluide de type visqueux

a . . dô
Ff=--fiôëzavecô=a--t--etfi>0. ZM

&) Écrire l'équation différentielle vérifiée par 5 (t)

b) On se place en régime sinusoïdal forcé; on note respectivement A et B les 
amplitudes
complexes associées à a(t) = Re (A ej...) et a la vitesse 5 de la masse. 
Calculer le rapport B /A;

le mettre sous la forme (k/Æ)H(w) et exprimer H (ou) en fonction de w, a l'aide 
des paramètres

wo et Q, où cm = Mic/m et Q = %Æ.

0) Donner l'allure du graphe du module de H (au) en fonction de ou; on 
supposera Q >> 1.
Que représentent wo et Q ?

(1) Faire un graphe de l'argument go de H (ou) en fonction de w. Sur quelle 
plage de pulsations
dcp

se produisent essentiellement les variations de 90 ? Calculer d---- en fonction 
de Q et wo.
w w=w0

2. On cherche à déterminer expérimentalement la valeur de wo. Deux capteurs 
donnent l'un
une tension uA(t) = ?... cos wt proportionnelle à a(t), l'autre une tension @@ 
(t) proportionnelle
à la vitesse ô(t) de M. '

a) Ces tensions sont appliquées aux deux entrées d'un circuit multiplieur qui 
donne une
tension de sortie uS(t) proportionnelle à leur produit, soit : u5(t) = K uA (t) 
uB (t) où K est une
constante. Montrer que us (t) possède une composante continue et une composante 
sinusoïdale.
Déterminer la dépendance en 

< 10"3 rad et Q = 200. Quelle est l'incertitude sur la fréquence propre de l'oscillateur, sachant qu'elle est voisine de 60 kHz ? 3. La masse de l'oseillateur mécanique est maintenant soumise à une force supplémentaire verticale appliquée au point M. On suppose que son amplitude FC(zM) varie avec la cote ZM = 20 + ô(t) du point M. On néglige la variation de la position d'équilibre statique zo due à la force F0. a) En se limitant à de faibles déplacements autour de z...montrer que l'oscillateur méca-- nique présente une variation apparente de constante de raideur ôlc que l'on exprimera à l'aide de la fonction FC(zM). b) En déduire la variation de pulsation propre de l'oscillateur, que l'on exprimera en fonction de wo, (51EUR et k, en supposant lôk| << le. 0) On suppose fixée l'incertitude expérimentale ôgo comme au I.2.d). Quelle variation relative minimale de la constante de raideur peut être détectée ? Commenter le rôle du facteur de qualité. La microscopie à force électrostatique utilise un oscillateur mécanique équivalent à celui décrit dans la partie I. Afin d'obtenir une résolution spatiale submicronique, on se sert en pratique d'un dispositif de très faibles dimensions, ou l'aire de l'eoetrémité M de l'oseillateur est de l'ordre de 100 nm2. En utilisant des céramiques piézoélectriques, on est de plus capable de déplacer cet oscillateur au-dessus de la surface à étudier. La précision de positionnement de l 'oscillateur est meilleure que le nanomètre dans les trois directions de l'espace. On enregistre alors en tout point les variations de pulsation propre de l'oscillateur, ce qui permet d'établir une cartographie des efiets électrostatiques & la surface du matériau. On cherche dans les parties II et III à préciser les forces électrostatiques pouvant agir sur l'oscillateur, afin de déterminer la sensibilité de ce dispositif de microscopie. II - Mesure de forces capacitives 1. On utilise une géométrie plane pour décrire la surface de l'extrémité M de l'oscillateur et la surface du matériau, toutes deux supposées conductrices et parallèles. Le conden-- sateur plan ainsi formé (figure 2) est relié a un générateur de EUR tension U. On note S l'aire des faces en regard, EUR la distance entre ses deux armatures, et C(Ê) sa capacité. L'oscillation de l'armature M est d'amplitude [5] << EUR. On néglige tout effet de bord dans les calculs d'électrostatique. On cherche à calculer la force capacitive FcapaëZ s'exerçant sur l'armature Figure 2 M qui constitue la masse oscillante. surface a) Pour cela on considère tout d'abord le modèle d'une distribution surfacique de charges, plane et d'extension infinie, de densité o uniforme et placée dans le vide. En utilisant les proprié-- tés de symétrie de cette distribution, préciser, de chaque côté du plan de charges, la direction du champ électrique et déterminer sa valeur en fonction de o et de 50. b) Relier la valeur du champ électrique entre les armatures du condensateur a la densité surfacique de charge 0 de l'armature haute. Déduire de ces résultats que le champ électrique créé par les charges de l'armature basse au niveau de l'armature haute est la moitié du champ électrique total au voisinage de cette armature. c) Exprimer Fcapa en fonction de la charge de l'armature haute et du champ électrique total au voisinage de cette armature. En déduire : Fcapa = --eO S U 2 / 2£2. Commenter le signe de Fcapa -- d) En déduire l'expression de la variation ôwcapa de pulsation propre de l'oscillateur. 2. La surface à étudier présente un relief d'épaisseur» h << EUR et d'aire S' >> S. L'oscillateur, toujours connecté au générateur de tension U , est déplacé rectilignement au--dessus de la surface et parallèlement à celle--ci (figure 3). M M ' @ ___--___»; 2} + S h _ ._- ..... ...4 0 surface S' Figure 3 a) Quelle est la variation 5wh = 5wcapa(2) -- 5wcapa(1) de 5wcapa entre les points M2 et M1 ? b) Application numérique : calculer la variation relative de pulsation propre de l'oscillateur au passage du relief pour U = 12 V, h = 10 nm, EUR = 80 nm, S = 100 nm2, et k = 1 N-m"'. Ce relief peut-il être détecté expérimentalement ? c) Calculer la variation de force Fcapa(2) -- Fcapa(1) correspondante. (1) Application numérique : calculer l'allongement du ressort de l'oscillateur au passage sur le relief. Commenter. III - Mesure de charges Dans cette partie, on cherche à détecter, par microsco-- pie a force électrostatique, des charges électriques stockées Z dans un isolant déposé sur la surface conductrice étudiée. Les g charges sont uniformément réparties a l'intérieur du volume défini par 0 < 2 < h (zone grisée de la figure 4). On note p h la densité volumique de charges dans cet espace que l'on as-- 0 simile au vide; une zone d'aire S contient une charge totale q = pSh. L'origine des potentiels électriques est choisie sur la surface conductrice étudiée. Figure 4 1. Dans cette question, la surface de l'oseillateur et la surface conductrice sont placées au même potentiel (U = 0). &) Donner les équations vérifiées par le potentiel électrostatique V(z) dans chacune des régions 0 < ?: < h et h < z < EUR situées entre les armatures du condensateur. b) Exprimer V(z). Montrer que le champ électrostatique en z = EUR vaut ph2/ZSOË. c) Faire un graphe du potentiel V(z) ; on prendra h/Z = 0, 2. 2. On suppose maintenant U # 0. &) Montrer que la fonction V(z) est maintenant la somme de la fonction calculée à la question précédente et de celle correspondant au condensateur connecté au générateur de tension U en l'absence de charges. b) Représenter graphiquement V(z). 3. On cherche maintenant à calculer la force d'origine électrostatique qui s'exerce sur l'ar-- mature mobile du condensateur en présence de la charge volumique q. a) Déduire de la question précédente la valeur du champ électrique E (EUR) au voisinage immédiat de l'armature haute mobile, puis la densité surfacique de charge de cette armature. b) Par une démarche similaire a celle du 11.1, exprimer la force cherchée en fonction du champ électrique E (6), puis en fonction de U et q. c) Distinguer dans l'expression obtenue les termes capacitifs des termes liés à la charge q. En supposant négligeable le terme de charges en q2, donner l'expression de la variation 5wq de la pulsation propre de l'oscillateur due a la charge q. (1) Comment distinguer expérimentalement entre une variation de pulsation propre de l'oseillateur liée à un effet de relief de celle liée à un effet de charges ? 4. Les charges q sont en pratique stockées dans un matériau qui atténue d'un facteur 8,-- la variation de pulsation propre 5wq. &) Application numérique : en utilisant les données numériques du II.2.b), estimer la charge minimale qmin pouvant être détectée; à quel nombre de charges élémentaires correspond qmin ? On donne 8»,-- = 12. b) L'autre effet du matériau dans lequel sont stockées les charges est de modifier les termes de forces capacitives; la présence du matériau de hauteur h et d'aire S' s'apparente alors à un relief de hauteur h sur la surface (of. 11.2 et figure 5). On suppose que l'oscillateur est déplacé rectilignement au--dessus de la surface et parallèlement à celle--ci. Calculer le rapport R : 5wq/5wh entre les effets de charge et les effets capacitifs. Exprimer ce rapport en fonction de q, 87... et de la charge Q M stockée sur l'armature haute dans la situation du 11.1 (h = 0 , U # 0). Faut--il se placer au plus près de la surface du matériau pour améliorer la visibilité du terme de charges ? Z M1 M2 Æ (-------) S h __ S' 0 ///// F igure 5 IV - Analyse de résultats expérimentaux Un microscope a force électrostatique utilise comme système oscillant une lame souple (ou << cantilever >>) portant à l'extrémité mobile une pointe métallisée; la figure 6 donne un cliché d'un tel système obtenu par un microscope électronique à balayage (MEE). F figure 6 La figure 7 donne trois enregistrements de la variation de la fréquence de résonance du système oscillant lorsque la pointe est déplacée parallèlement à une surface conductrice sur laquelle est déposée un îlot de silicium de 100 nm de diamètre. Une charge électrique q peut être transférée à cet îlot par une technique << d'injection >>. Déplacement de la fréquence de résonance (Hz) 0 200 400 Distance (nm) F figure 7 Les valeurs de la tension U appliquée et de la charge q correspondant a ces enregistrements sont : -- pour le premier (à partir du haut de la figure) U = 0 et q = 0 -- pour le deuxième U = -----6 V et q = 0 ---- pour le troisième U = --6 V avec q # O. Bien que le modèle de géométrie plane étudié dans les parties précédentes ne soit pas di-- rectement utilisable, il donne des interprétations qualitatives correctes mais les évaluations de ôwcapa et de ôwh (cf. 11.1 et 2) doivent être modifiées pour tenir compte de la géométrie réelle des surfaces en regard. Cependant, on montre que le rapport R = 5wq/ôwh suit la loi obtenue en III.4.b a condition d'utiliser une valeur adaptée (valeur << effective >>) de la surface S. 1. Préciser le signe de q correspondant au troisième enregistrement. 2. On donne : pour le silicium, EUR," = 12, pour le système oscillant EUR = 100 nm. Pour l'îlot de l'expérience, la valeur effective de S est 2 000 nm2. À partir des enregistrements, déterminer R. En déduire la valeur de q et le nombre nq de charges élémentaires correspondant.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 MP 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Brahim Lamine (Enseignant-chercheur à l'Université) ;
il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier 
(Professeur
en CPGE).

Ce sujet traite d'une technique de microscopie fondée sur des interactions 
électrostatiques. Il est constitué de quatre parties, relativement dépendantes 
les unes des
autres.
La première partie est proche du cours et traite de la technique de mesure d'une
fréquence de résonance d'un oscillateur harmonique. Elle fait intervenir des 
notions
élémentaires de mécanique et des connaissances sur les filtres (les analogies 
avec l'électronique sont nombreuses). Le point difficile concerne la 
compréhension du principe
de détection, notamment pour déterminer s'il vaut mieux mesurer la position ou 
la vitesse d'un oscillateur afin d'avoir la meilleure détermination possible de 
sa fréquence
de résonance.
La dominante des trois dernières parties est l'électrostatique.
La deuxième partie calcule la force qui s'exerce sur l'armature d'un 
condensateur
et la relie à une variation de fréquence de résonance d'un oscillateur 
harmonique que
l'on attache au bout de l'une des armatures.
La troisième partie généralise la précédente en considérant également l'effet 
dû à
la présence éventuelle de charges électriques sur le substrat.
Enfin, la dernière partie est une application des deux premières à un cas 
expérimental donné.
Ce sujet ne présente pas de difficultés d'ordre calculatoire, mais requiert une
bonne compréhension des phénomènes physiques mis en jeu.

Indications
Partie I
I.1.a Écrire le principe fondamental de la dynamique et s'assurer que l'équation
obtenue sur (t) ne fait plus intervenir g, ni la longueur au repos du ressort.
I.1.b Attention, Bejt représente la vitesse (t) et non la position (t). En 
outre,
s'assurer que l'on retrouve des résultats bien connus en électronique, et 
notamment que 0 et Q correspondent bien à la fréquence de résonance et au
facteur de qualité, comme leurs noms le suggèrent.
I.1.d Chercher la plage de variation en calculant les coordonnées du point 
d'intersection de la tangente à l'origine et des asymptotes de la courbe ().
I.2.a Montrer que uB (t) est proportionnelle à cos(t + ), puis décomposer le 
produit de cosinus qui intervient dans l'expression de uS (t) en une somme de
deux cosinus.
I.2.b Montrer que la tension délivrée par l'appareil de mesure de position est 
proportionnelle cette fois-ci à sin(t + ).
I.3.a Développer FC (zM ) au voisinage de z0 par une formule de Taylor.
Partie II
II.1.b Écrire que le champ électrique créé par l'armature du bas sur l'armature 
du
haut est égal au champ électrique total moins le champ électrique créé par
l'armature du haut (principe de superposition).
II.1.c Il s'agit de la force de Lorentz. Exprimer la densité de charges  en 
fonction
de la tension U, en écrivant que celle-ci est, par définition, la circulation de

-
E le long d'une courbe allant de l'armature basse à l'armature haute.
II.2.a Faire un développement limité à l'ordre le plus bas non nul en h/ .
Partie III
III.1.a Écrire l'équation de Poisson successivement dans les deux domaines.
III.1.b Il y a deux conditions aux limites. Raccorder les solutions en z = h en 
invoquant la continuité du potentiel et du champ électrique.
III.2.a Cette question est en fait assez délicate à traiter correctement. Il 
faut utiliser convenablement le théorème de superposition en explicitant bien 
quelles
distributions de charges on superpose.
III.3.a La charge surfacique s'écrit  = -0 E().
III.3.b Montrer que le champ créé par l'armature du bas et par les charges 
libres à
1
son niveau s'écrit E().
2
III.3.d Commenter la dépendance en U de h et q .
0 US
III.4.a On rappelle que QM =
.

III.4.b Vérifier que la charge QM augmente lorsque  diminue. Conclure quant à
l'importance de l'effet capacitif par rapport à l'effet de charge, pour les 
petites
distances .
Partie IV
IV.1.a Commentez le signe de q par rapport à celui de QM .

I.

Oscillateur mécanique

I.1.a On se place dans le référentiel terrestre, supposé Galiléen. Le système 
considéré est constitué de la masse m. Les forces qui agissent dessus sont :

-

· son poids
P = -mg -
ez

-

· la force de frottement fluide Ff = - (t)-
ez
-

· et le rappel élastique Fr = k(zP (t) - zM (t) - 0 )-
ez
où 0 est la longueur à vide du ressort.

Pour ne pas se tromper dans le signe de la force de rappel, il suffit de 
vérifier

que, si le ressort s'allonge, alors la force de rappel est selon +-
ez .
Or,

zP (t) = zP0 + a(t)

et

zM (t) = z0 + (t)

Le principe fondamental de la dynamique projeté selon -
ez s'écrit donc
m(t) = -mg -  (t) + k(zP0 + a(t) - z0 - (t) - 0 )

Par définition, z0 est la position du point M à l'équilibre et peut se calculer 
à partir
de l'équation du mouvement ci-dessus, en prenant (t)  0 et a(t)  0 :
m
-mg - kz0 - k0 = kzP0 = zP0 - z0 = 0 + g
k
En remplaçant cette valeur de z0 dans l'expression du principe fondamental de la
dynamique, on trouve finalement l'équation différentielle vérifiée par (t) :
(t) +

k
k
(t) + (t) = a(t)
m
m
m

On reconnaît une équation d'oscillateur amortie en régime forcée dont on
discute les propriétés dans les questions suivantes. Notons que les coefficients
dans le membre de gauche sont de même signe, ce qui implique que les solutions 
de cette équation différentielle sont oscillantes amorties, comme c'était
attendu. Cette vérification simple est aussi un bon moyen de s'assurer que
l'on ne s'est pas trompé sur le signe des forces.
I.1.b En régime sinusoïdal forcé, on peut chercher les solutions de l'équation 
du
mouvement sous la forme d'exponentielles complexes :
(t) = B ejt
B jt
(t) =
e
j
(t) = jB ejt
On utilise la notation complexe (soulignée) afin de ne pas confondre une 
grandeur
réelle avec sa notation complexe (qui est un intermède calculatoire). On 
rappelle
que A et B sont a priori complexes. En injectant les expressions précédentes 
dans
l'équation du mouvement, on obtient

k B
k
jB + B +
= A
m
m j
m

Le rapport B/A s'écrit donc sous la forme (k/)H(), où la fonction de transfert 
H()
est donnée par
1
H() =
m
k 1
j + 1 +

 j
On peut exprimer cette fonction de transfert en fonction des paramètres 0 et Q
introduits dans l'énoncé :
H() =
1 + jQ

avec

(t) =

1

0
-
0

k
H() a(t)

On met k/ en facteur pour obtenir une fonction de transfert H() sans
dimension.
I.1.c La fonction de transfert H() est celle d'un filtre passe-bande d'ordre 2,
de pulsation de résonance 0 et de facteur de qualité Q. Pour simplifier les 
notations, on note x = /0 la pulsation réduite. Le module de H(x) s'écrit alors 
:
1
|H(x)| = "

2 # 12
1
2
1+Q x-
x

H(!)

Il y a un phénomène de résonance pour x =
1, c'est-à-dire pour  = 0 . Physiquement,
cela signifie que si on excite l'oscillateur à une
fréquence proche de 0 , la vitesse de celuici augmente brusquement (Q  1) et 
tend
vers k|A|/ pour  tendant vers 0 . Comme
représenté sur la figure ci-contre, le facteur
de qualité est relié à la largeur de cette résonance. En effet, la largeur à 
mi-hauteur
1/2 = 2|0 - 1/2 | est telle que :
1
|H(1/2 )| =
2

=

Q

2

j

j

 12 = Q3!0
ln !!
p

0

0
-
0

2

=3

Dans la limite Q  1, on a |0 - 1/2 |  0 , si bien que l'on peut développer
l'expression précédente à l'ordre le plus bas en (0 - 1/2 )/0 pour obtenir :
 0
1/2  3
Q
Plus le facteur de qualité est grand, plus l'oscillateur est sensible à une 
petite
variation de la fréquence d'excitation autour de 0 .
Il faut utiliser les symétries pour tracer la fonction de transfert. Ici, on a 
une
symétrie x  1/x qui impose une parité de |H()| en tant que fonction de
ln(/0 ).