X Physique MP 2002

Thème de l'épreuve Mesure de l'activité sismique d'une étoile par interférométrie
Principaux outils utilisés optique ondulatoire
Mots clefs sismologie stellaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2002

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Mesure de l'activité sismique d'une étoile par interférométrie

Le dispositif étudié constitue un interférométre compact dédié à l'étude 
sismique de sources
stellaires. Le principe proposé, un peu moins efiîcace qu'un spectromètre a 
réseau, conduit à
un instrument bien moins encombrant et bien moins coûteuoe. Le principe de 
l'interférométre
est analysé, ainsi que son installation au foyer d'un télescope et son 
fonctionnement dans des
conditions d'observation réalistes.

On suppose, dans tout le problème, les optiques idéales : lentilles 
parfaitement transparentes,
miroirs totalement réfléchissants, lames semi-réfléchissantes divisant le 
faisceau incident en deus:
faisceauæ d'intensités lumineuses égales.

Un soin tout particulier devra être apporté aus: applications numériques.

Grandeurs physiques

Vitesse de la lumière : c = 3,00 >< 108 m s"1
Constante de Boltzmann : kB = 1, 38 >< 10"23 J K"1
Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J K_1 mol"1
Masse de l'atome d'hydrogène : mH = 1, 67 >< 10_27 kg

Masse molaire de l'hydrogène atomique : M H = 1 g mol"1

I - Interférométrie

Dans tout ce qui suivra on notera o le nombre d 'onde, & savoir l'inverse de la 
longueur
d'onde À. On eæprz'mera ce nombre d'onde en m_1.

1. La figure 1 correspond au (2)
montage de principe d'un interfé-- /ZZZZZZZZZZZZZZZ
romètre de Michelson. Les miroirs
sont réglés de telle façon que l'on
observe des anneaux d'interférence
circulaires sur l'écran E placé dans Source | _____________ (_! _______
le plan focal de la lentille L, de ,'

. . /
d1stance focale 1mage ]" . ,/

'SRl

l
I
l
| I
|
|
l

&) Quel est le rôle de la lame
semi--réfléchissante S R? Quel est
celui de la lentille L ?

Lé--I--è

|
|
: 0
b) Montrer qu'avec ce mon-- : F ' E

tage la moitié du flux incident est
irrémédiablement perdue. F igure 1

2. La différence de marche, différence entre les deux chemins optiques pour un 
rayon entrant
perpendiculairement au miroir (1), est notée D; pour un rayon entrant avec une 
inclinaison @,
on rappelle que la différence de marche est alors donnée par 5 = D cos i.

&) L'interféromètre est éclairé par une source étendue, supposée strictement 
monochroma--
tique de nombre d'onde 00. On suppose la tache centrale en F' brillante. 
Exprimer le rayon r1
du 1er anneau sombre, en fonction de (70, D et f' . Faire un schéma de ce que 
l'on observe sur
l'écran.

b) La source est l'image d'une étoile, telle celle fournie par un télescope. 
Cette image
est étalée par la diffraction mais surtout par la turbulence atmosphérique, ce 
qui donne des
rayons entrant dans l'interféromètre d'inclinaisons diverses mais faibles. 
Quelle est la figure
d'interférence observée en fonction de D en présence d'un filtre interférentiel 
qui sélectionne une
très étroite bande passante autour d'un nombre d'onde oo donné.

3. On éclaire l'interféromètre par une source monochromatique, de nombre d'onde 
(70. Un
détecteur est placé au foyer F ' de la lentille L. Ce détecteur délivre un 
signal S(D), proportionnel
à l'intensité lumineuse au point F ' . Oe signal sera appelé dans la suite 
interférogramme. Il dépend
de la différence de marche D.

&) Montrer que S(D) est donné par : S(D) : S0(1 + cos 27rooD). Que représente 
SO ?
b) Quelle est la période de l'interférogramme ?

4. On illumine l'interféromètre par une source présentant un doublet de nombres 
d'onde 01
et 02 voisins. Chacune des raies est supposée monochromatique et leurs 
intensités sont égales.

&) Déterminer l'expression de l'interférogramme S (D) correspondant. Mettre en 
évidence
deux périodes caractéristiques dans S (D)

b) Application numérique : Représenter l'allure de l'interférogramme pour le 
doublet du
sodium : À1 = 589,0 nm et À2 = 589, 6 nm.

II - Interférogramme d'une raie élargie

1. On suppose maintenant que le profil spectral de la source n'est plus 
monochromatique
mais possède une largeur Aa. On désigne par" L," l'intensité spectrale : dans 
l'intervalle [a, a+da]
l'intensité émise est la da. On admettra que les rayonnements correspondant a 
chaque intervalle
de largeur da sont incohérents. On notera IO l'intensité lumineuse totale de la 
raie. 10 est donc
donnée par la somme des intensités de chaque intervalle :

00
10 = / Ia dU".
0
Dans la suite, on prend 10 de la forme :
I A
[(,--(0) = A--Îÿ' s1 |o--ool \ %
A
L,(0) = si |a--00\ > --2--"

a) Montrer alors que le signal détecté est donné par : S (D) = SO(1 +v cos 
27T00D) et expri--
mer la fonction de visibilité des franges ?) en fonction de D et A0. 
Représenter schématiquement

la fonction v(D).

b) Quelle est la plus petite valeur DAG de D qui annule la fonction de 
visibilité ?

2. On illumine l'interféromètre avec une
source stellaire via un filtre de bande passante
[01,02] sélectionnant une raie en absorption (fi--
gure 2). Cette raie d'absorption (profil grisé sur]
la figure 2) est suffisamment étroite pour être
considérée comme monochromatique. On note
IC l'intensité totale au travers du filtre (sans
absorption) et la l'intensité totale absorbée.

&) Montrer que, d'après la question pré-
cédente, on peut négliger dans le signal interfé--

rométrique tout terme interférentiel associé au 01 00 02 (,
spectre large délimité par le filtre si D est suffi-

samment grand, en supposant valables les résul-- Figure 2

tats établis précédemment sur le profil de raie

idéalisé.

b) En déduire que l'interférogramme s'écrit :
S(D) = SC(1 + Ccos 27r00D)

où SC est proportionnel à IC. Exprimer le contraste de franges C en fonction de 
]C et la.

III -- Élargissement et décalage possibles des raies spectrales.
Évaluation de la différence de marche optimale

Une cause possible d'élargissement ou de dé--
calage (en nombre d'onde) d'une raie spectrale
est associée au mouvement relatif de la source et --»
de l'observateur (effet Doppler). Soit 1/0 la fré--
quence d'émission d'une source au repos. Dans
tout ce qui suit, lorsque la source (S) se dé--
place à la vitesse relative Y par rapport à l'ob-- 9
servateur (0), on admettm que celui--ci reçoit
un rayonnement de fréquence V donnée (pour (5) (O)

V/C << 1) par : Figure 3

Vcos9

V--I/0=V0
C

où 6 est la vitesse de la lumière, V : HYH et 9 l'angle entre la direction de 
propagation et V
(figure 3). Nous examinons dans la suite diverses conséquences de cet effet 
Doppler sur l'inter--

férogramme.

1. À la surface d'une étoile, les atomes (majoritairement de l'hydrogène) sont 
supposés former
un gaz parfait à l'équilibre thermodynamique de température T.

a) Quelle est la vitesse quadratique moyenne VT d'un atome de cette étoile '?

b) La dispersion des vitesses entraîne par conséquent un élargissement AaK de 
la raie
symétrique autour de la valeur 00. Donner l'ordre de grandeur de AaK en 
fonction de (70, VT

et e.
c) Application numérique : Évaluer AaK pour T = 6000 K et 00 = 2 >< 106 m_1.

2. La rotation de l'étoile est aussi un paramètre dont il faut tenir compte. On 
note ib l'angle
entre la direction de visée et l'axe de rotation stellaire.

a) Pour quelle valeur de @ l'influence de la rotation sur la largeur de raie 
sera--t--elle
nulle '? maximale ? Dans ce dernier cas, expliquer qualitativement pourquoi la 
rotation de l'étoile,
phénomène parfaitement déterminé, conduit a un élargissement de la raie 
d'émission analogue
à celui associé aux mouvements erratiques des atomes et analysé dans la 
question précédente.

b) Toujours dans le cas d'une influence maximale de la rotation, évaluer la 
contribution
de la rotation stellaire Aar0t a la largeur de raie en fonction de la vitesse 
équatoriale de rotation
VI... de la surface de l'étoile. Pour quelle vitesse équatoriale de rotation ce 
dernier terme est-il
comparable à AaK ?

c) Application numérique : dans ce dernier cas, calculer V...t pour une étoile 
dont la tem-
pérature de surface est T 3 = 6000 K.

3. On désire utiliser l'interféromètre comme sismomètre pour détecter les 
mouvements oscil-

latoires de la surface stellaire. Une oscillation sismique est assimilée à une 
variation Av(t) de la
vitesse apparente vers l'observateur de l'ensemble de la couche externe de 
l'étoile. On suppose
cette variation sinusoïdale, d'amplitude AV, de pulsation au. Le spectre 
d'émission et d'absorp--
tion de l'étoile est celui de la question II.2. Cette utilisation ne requiert 
que l'enregistrement de
l'interférogramme pour une valeur optimisée de la différence de marche notée 
DO. En l'absence
de signal sismique, l'interférogramme est S (DO) de II.2.b).

&) Montrer qu'à l'instant t, l'interférogramme peut être mis sous la forme :
S(D0) = Sc[1 + Ccos(27moDo + 90)]

où g0 est le déphasage de l'interférogramme donné par l'expression :

Av(t)

C

QD : 27TO0D0

b) Montrer que cette relation implique, pour une détection optimale, le choix 
d'une diffé--
rence de marche DO la plus grande possible. Comparer cette nouvelle condition a 
celle trouvée
à la question 11.1 et en déduire un ordre de grandeur de la différence de 
marche optimale pour
une étoile de température T0, en supposant négligeables les effets de rotation.

c) Montrer alors que le principe instrumental conduit à mesurer un déphasage go 
d'ampli--

AV
tude de l'ordre de --.
VT
4. Au décalage Doppler sismique du spectre stellaire, enregistré sur une nuit 
entière, se
superposent diverses contributions. Estimer succinctement l'influence du 
mouvement de rota--
tion de la Terre pour une observation menée dans un observatoire situé a la 
latitude À. L'am--

plitude et la pulsation de l'oscillation sismique sont typiquement de l'ordre 
de 10 cm 8"1 et
10"2 rad s--1.

IV - Amélioration du montage interférométrique

1. Un montage plus efficace que le montage \
de principe de type Michelson est proposé sur la \
figure 4. Il reçoit un faisceau de lumière parallèle SOUTCEUR
monochromatique. Il permet de récupérer le
flux total incident en utilisant deux détecteurs
placés aux deux sorties possibles des faisceaux (1)
qui interférent.

&) On suppose que le premier détecteur
délivre un interférogramme :

50
S1 : --(1+Ccosrb) .
2 52

Figure 4

En admettant que les pertes d'énergie lumineuse dans l'appareil sont 
négligeables, déduire
la forme de l'interférogramme 82 délivré par le second détecteur.

b) Montrer comment une combinaison de S1 et de S2 permet d'avoir directement 
accès au
terme de modulation interférométrique C' cos @.

c) Montrer que la recombinaison géométrique des faisceaux sur la deuxième lame 
semi--
réfléchissante suppose la symétrie du montage, et donc une observation à. 
différence de marche
nulle. Cela est--il intéressant pour l'observation sismique stellaire discutée 
plus haut ?

2. On interpose, contre l'un des miroirs,
une lame de verre à faces parallèles, d'épaisseur
uniforme e et d'indice n (figure 5).

a) Montrer que, pour une incidence j cor-- """""
respondant à. un rayon réfracté repéré par l'angle
7°, la lame introduit une différence de marche qui
s'exprime par :

..., mw...fi _ maman mnan

D = 26 (n-- l) _ Figure 5
cosr 77.

b) Application numérique : On cherche à imposer une différence de marche de 0,8 
cm.
Calculer l'épaisseur @ de la lame pour un verre d'indice n = 1, 55 et un angle 
d'incidence j de

45°.

c) Par un schéma, montrer que ce montage optique permet alors la recombinaison 
exacte
des faisceaux sur la Ze lame réfléchissante, tout en assurant une différence de 
marche non nulle.

V - Effet de la turbulence atmosphérique

1. L'interféromètre reçoit le flux d'une étoile,
objet à l'infini, collecté par un télescope. On sup--
pose le système optique du collecteur équivalent
au montage de la figure 6. Ce montage est dit
afocal : le foyer image de L1 est confondu avec
le foyer objet de L2. La lentille L1 représente
le miroir primaire du télescope, de diamètre @.
La lentille L2 alimente l'interféromètre : le flux
issu de L2 est divisé par la première lame semi--
réfiéchissante de la figure 4.

F igure 6

&) Justifier l'intérêt de ce montage afocal pour alimenter l'interféromètre.

b) Exprimer le grandissement angulaire G en fonction des distances focales 
images f{ et
fé des lentilles L1 et L2.

c) Déterminer la taille () du faisceau en sortie du collecteur, en fonction de 
G et du diamètre

a du collecteur. En déduire le diamètre minimal des pièces optiques de 
l'interféromètre. Le
calculer pour a = 3, 30 m et G = 165.

2. La tache image de l'étoile n'est en fait ni limitée par la seule diffraction 
du collecteur, ni
stable. La turbulence de l'atmosphère terrestre dévie et étale le faisceau 
stellaire incident. On
s'intéresse principalement à la déviation atmosphérique du faisceau incident, 
notée io, et l'on
suppose la source toujours ponctuelle.

&) Déterminer l'angle i sous lequel l'interféromètre voit les rayons d'une 
source stellaire,
en fonction de io et du grossissement G (grandissement angulaire) du télescope 
collecteur de
lumière.

b) Estimer la différence de marche D(i), en fonction de la différence de marche 
sous
incidence nulle D0 et de l'angle i.

c) Exprimer la condition sur l'inclinaison maximale admissible dans 
l'instrument, pour que
les fluctuations en différence de marche restent inférieures à une fraction oz 
de longueur d'onde.

(1) Application numérique : On fixe oz au plus égal à 5% ; pour des conditions 
de turbulence
moyenne io : 1" ; on donne DO : 0,8 cm et 00 = 2 >< 106 m_1. Estimer le 
grossissement G

maximal.

3.a) Montrer que la turbulence conduit a une mesure de vitesse parasite 5v 
telle que :

57) 1
-- = --752 .
c
b) Application numérique : Calculer 51} pour io : 1" , et un grossissement G 
égal à 165.
L'instrument est conçu pour la mesure de vitesses sismiques dont l'amplitude 
est de l'ordre de
10 cm s"1. Est-il nécessaire de prévoir, pour alimenter l'interféromètre, un 
dispositif corrigeant

les fluctuations dues à la turbulence atmosphérique ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm et Institute for 
Astronomy,
Hawaii) ; il a été relu par Benoît Lobry (professeur en CPGE) et David Chapot 
(ENS
Lyon).

Ce sujet est constitué de cinq parties largement indépendantes et portant toutes
sur le phénomène d'interférences ainsi que ses applications en astronomie.
Le problème dans son ensemble s'attache à étudier un outil de l'astronomie 
moderne dont le principe repose sur l'interférométrie afin de tenter de mesurer 
les phénomènes d'oscillations sismiques à la surface des étoiles.
· La première partie rappelle le principe de l'interféromètre de Michelson et 
établit des résultats utiles pour la suite.
· Dans la seconde partie, on étudie l'interférogramme de sources à spectre 
large.

· Dans la troisième partie, on considère l'élargissement des raies par effet 
Doppler
que l'on utilise pour la mesure de l'activité sismique d'une étoile.

· Dans la quatrième partie, on essaie d'améliorer le dispositif 
interférométrique
en récupérant notamment la totalité de l'influx lumineux incident.
· Enfin, la cinquième et dernière partie traite des effets de la turbulence 
atmosphérique et conclut à la nécessité d'un dispositif correcteur qui pourra 
peutêtre faire l'objet d'un prochain problème. . .
Ce sujet permet une révision complète des notions d'interférométrie et d'une
partie du fonctionnement d'un interféromètre de Michelson. Il est bien 
construit et
peut permettre aux candidats de briller par leur culture en astronomie. . .

Indications
Partie I
I.2.a Supposer que la source est située dans le plan focal de la première 
lentille
et envoie donc des faisceaux parallèles d'inclinaison variable dans 
l'interféromètre.
I.3.a L'intensité que l'on perçoit d'une onde lumineuse est égale à la moyenne 
temporelle du carré de son amplitude. L'amplitude totale du faisceau lumineux à
la sortie est égale à la somme des amplitudes des ondes passées par les deux
voies de l'interféromètre.
I.4.a Des faisceaux de nombres d'onde différents n'interfèrent pas. Leurs 
interférogrammes s'ajouttent.
Partie II
II.1.a Considérer le signal produit par chaque nombre d'onde et sommer 
(intégrer)
sur l'ensemble comme à la question I.4.a.
II.2.b L'absorption atomique est proportionnelle à l'intensité incidente.
Partie III
III.1.a L'hydrogène atomique est un gaz parfait monomoléculaire. Son énergie 
interne
vaut donc
U=

3
N kB T
2

III.2.a Les étoiles sont-elles résolues en général ? En d'autres termes, 
peut-on différencier un rayon en provenance d'une extrémité de l'étoile d'un 
rayon issu de
l'autre extrémité ? Conséquences ?
III.4 Remarquer que les pulsations associées à la rotation de la Terre et à 
l'activité
sismique de l'étoile diffèrent entre elle d'un facteur supérieur à 100.
Partie IV
IV.1.a Écrire la conservation de l'énergie lumineuse dans l'interféromètre.
IV.2.a Faire un dessin précis et écrire que le chemin optique parcouru lors 
d'un trajet
dans un milieu d'indice uniforme est égal au produit de la distance parcourue
et de l'indice de ce milieu.
Partie V
V.2.b Considérer le cas de l'interféromètre initial.
V.3.a Faire le lien avec la partie III :
 = D cos i

Mesure de l'activité sismique
d'une étoile par interférométrie
I.

Interférométrie

I.1.a La lame semi-réfléchissante SR sépare le faisceau incident en deux 
faisceaux
allant respectivement frapper les miroirs (1) et (2). Les faisceaux réfléchis 
sont alors
recombinés par cette même lame et envoyés vers l'écran.
La première lentille du dispositif sert à simuler une source à l'infini. Les 
faisceaux
entrant dans l'interféromètre sont donc parallèles.
L'énoncé n'est pas très précis sur ce point, la première lentille n'ayant même
pas de nom. Ce n'est qu'après la lecture de la partie V que l'on sait 
exactement quel type de rayon entre dans l'interféromètre. En l'occurrence, le
montage afocal transfome les faisceaux parallèles en provenance de l'étoile en
d'autres faisceaux parallèles, justifiant ainsi le placement de la source dans 
le
plan focal de la première lentille afin de simuler une distance infinie. 
L'extension de la source, quant à elle permet de modéliser l'influence des 
turbulences
atmosphériques comme on le voit dans les questions suivantes.
La lentille L focalise les faisceaux parallèles émergeant de l'interféromètre 
sur son
plan focal image, à savoir l'écran, permettant ainsi l'observation des 
interférences à
distance finie, chaque faisceau interférant en un unique point de l'écran.
I.1.b La lame SR ne peut pas être semi-réfléchissante en sens unique. Ainsi, la
moitié de l'énergie du faisceau réfléchi par le miroir (1) traverse SR en 
direction de
la source. De même, la moitié du faisceau renvoyé par le miroir (2) se 
réfléchit sur la
lame et est renvoyé vers la source.
Il y a perte irrémédiable de la moitié du flux incident.
La perte de signal est un problème majeur en astronomie. Lors de l'observation 
d'objets particulièrement peu brillants (typiquement de magnitude 19), même à 
l'aide du télescope Keck I (situé au sommet du Mauna
Kea à Hawai'i (orthographe locale) et dont le miroir principal fait 10 mètres
de diamètre), on ne peut se permettre de perdre le moindre photon !
La magnitude est une échelle logarithmique où une augmentation de cinq
unités correspond à une puissance incidente 100 fois plus faible. Pour 
information, le Soleil est de magnitude -30 et Sirius, étoile la plus brillante
du ciel, -1, 3. Ainsi, une étoile de magnitude 19 envoie un signal d'à
peine 10-17 W.m-2 . Le capteur CCD doit donc être capable de mesurer
un signal de moins de 10-15 W, ce qui correspond à moins de 200 photons
par seconde. En comparaison, le Soleil nous envoie quelques 1022 photons par
seconde et Sirius nous en envoie plus de 1010 .
En cas d'absence d'autre étoile dans le champ de vue qui puisse permettre
un suivi différentiel automatisé, il est donc nécessaire de corriger « 
manuellement » le déplacement de la cible afin que le spectromètre haute 
résolution
HIRES puisse accumuler le plus d'informations possible pendant le temps
d'exposition. La perte de la moitié du signal est donc une catastrophe à
éviter !

I.2.a On suppose la source contenue dans le plan focal objet de la première 
lentille
du dispositif interférométrique. Chaque point de la source produit donc après 
passage
dans la lentille un faisceau parallèle d'inclinaison i. Cette configuration est 
nécessaire
pour modéliser la réception d'informations d'une étoile, bien évidemment située 
à
l'infini.
Le point central, produit par les rayons entrant perpendiculairement au miroir 
(1)
dans l'interféromètre, est supposé brillant : il y a interférences 
constructives. La différence de marche D introduite par le système optique est 
donc un multiple entier de
la longueur d'onde. On a
D = n 0 avec n  Z
Un faisceau entrant avec un angle d'incidence i dans le
système n'interfère qu'à l'endroit où ses deux faisceaux
images se recombinent : on parle de lieu de localisation des
interférences. En l'occurrence, les faisceaux images sortant
de l'interféromètre de Michelson sont parallèles et interfèrent donc à 
l'infini. La lentille permet l'observation de
ces interférences sur l'écran, à une distance r du point
central. On a donc la relation
r
tan i = 
f
Pour un angle i petit, ce qui est toujours le cas puisqu'on
se place implicitement dans les conditions de Gauss,

i
f0

r
é ran
r = f i
L'interférence induite par l'appareil est destructive si la différence de 
marche, donnée
par  = D cos i, entre les deux faisceaux émergents est un multiple demi-entier 
de la
longueur d'onde. Puisque l'on cherche le premier cercle sombre, on doit avoir

1
 = n-
0
2

0
2
Avec le développement limité du cosinus pour les petits angles
d'où

D cos i = D -
cos i = 1 -

il vient
d'où

i2 =

i2
2

0
1
=
D
0 D

f
r1 = 
0 D

Sur l'écran apparaît une succession d'anneaux
sombres et brillants à mesure que l'angle d'incidence des faisceaux augmente. 
Attention cependant, l'espacement entre deux anneaux consécutifs
n'est pas constant. . .

r1