X Physique MP 2001

Thème de l'épreuve Étude d'accélérateurs linéaires de particules
Principaux outils utilisés électrocinétique, diodes, électrostatique, magnétostatique, mécanique du point

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2001

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Accélérateurs linéaires

Les trois parties du problème sont largement indépendantes

Dans ce roblème on étudie diverses méthodes d'accélération d'ions ositivement 
char és
7
par des champs électriques. On se place dans l'approximation des régimes 
quasi--stationnaires,
et dans le cadre de la mécanique newtonienne. On donne :

Masse du proton mp : 1,7>< 10"27 kg
Charge élémentaire e = 1, 6 >< 10_19 C
Permittivité du vide 60 = 8, 8 >< 10"12 SI

Perméabilité magnétique du vide ...) : 47r >< 10'7 SI

Première partie
Accélérateur électrostatique

1. Des particules de masse m et de charge
e > 0 sont accélérées par un champ électrique É,
supposé uniforme, régnant entre les deux arma--
tures A et B d'un condensateur plan, distantes faisceau
de d, et de potentiels VA et VB. Le dispositif est ___--à
représenté sur la figure 1. On note U A la vitesse
des particules au niveau de l'armature A. Cal--
culer leur vitesse ?) B au niveau de l'armature B
en fonction de UA et de la différence de potentiel
U A B : VA -- VB entre les deux armatures.

d

_)

E
_>

F igure 1

Application numérique : On suppose UA négligeable devant 12 B- Calculer @ B 
pour un proton,
puis pour un ion césium 137Cs+, dont la masse est approximativement 137 fois 
celle du proton.

On donne UAB : 750 kV.

2. Le résultat précédent serait-il modifié pour une forme différente des 
armatures du conden--
sateur ?

3. On cherche a obtenir la tension continue Ug en redressant une tension 
alternative au
moyen du dispositif représenté schématiquement sur la figure 2. D représente 
une diode, supposée
idéale, et le générateur délivre la tension U(t) : U0 sin out, de période T : 
27r/w. A t = O, le
condensateur n'est pas chargé.

F tgure 2

&) Calculer la tension aux bornes du condensateur Uc(t) en fonction de t et 
représenter
graphiquement sa variation.

b) Calculer la valeur maximale de la valeur absolue de la tension aux bornes de 
la diode.

4. Le dispositif précédent ne permet pas d'atteindre des tensions très élevées, 
car la diode
claquerait. Pour l'améliorer, on utilise le dispositif représenté sur la figure 
3, où sont définies
les charges Q(t), Q' (t) des armatures des condensateurs, les intensités i(t), 
i'(t), ainsi que leurs
conventions de signe. Les diodes D et D' sont supposées idéales. Les 
condensateurs ne sont
pas chargés a l'instant initial t = O, et la tension délivrée par le générateur 
vaut toujours

U(Ë) : U0 SlIl cut.
C)

0 va) V D' C Uc
Q

N

F figure 3
&) Relier i et t" a Q et Q'.

b) Montrer que Q est une fonction croissante du temps. Q est donc toujours 
positive.

c) On suppose la diode D passante. Relier alors Q, Q' et U, et montrer que la 
diode D'

est nécessairement bloquée.

(1) Montrer, en raisonnant par l'absurde, que lorsque U (t) décroît, D' est 
nécessairement
bloquée, et que Q(t) + Q'(t) est constante.

e) Montrer de même par l'absurde, et a l'aide des questions 4.b), 4.c), 4.d), 
que si U(t)
croît, D est bloquée, et que Q(t) reste constant.

5. On admet alors que la diode D' devient passante avant que U (t) n'atteigne 
son maximum

U0.

&) En déduire que la valeur maximale de Q' est C'Ug, et qu'elle est atteinte 
chaque fois
que U (t) atteint sa valeur maximale.

b) On note Qn et QÇ, les valeurs respectives de Q et Q' lorsque U (t) atteint 
pour la nème
fois son minimum --UO. On "admet que la diode D devient passante avant que U 
(t) n'atteigne ce

' et U0. En utilisant ce qui précède, montrer que Qn vérifie la relation

minimum. Relier Q... ,,

de récurrence

Cl
(' + ?) % = Q.... + 2C'Uo. (1)
c) La suite Qn converge--t--elle? Déterminer la valeur asymptotique QOO de la 
charge aux
bornes du condensateur C lorsque t --> +oo. Que valent alors les tensions aux 
bornes de C' et
aux bornes de C ?

(1) Quelle est la valeur maximale de la tension aux bornes des diodes D et D' 
lorsque Q
et Q' ont atteint leurs valeurs asymptotiques ? Quel est donc l'intérêt de ce 
dispositif?

Deuxième partie
Accélération par une tension alternative

On peut également obtenir des accélérations importantes en utilisant 
directement le champ
alternatif, sans avoir besoin de le redresser par des diodes, au moyen du 
dispositif représenté sur
la figure 4, connu sous le nom d'appareil de Wideroë.

L0 L2
<_è <____% .
|--| r---------| fa15oeau
U
L----l |__--_| L_____I |__--_|
é--è %----è
L1 L3
F z'gure 4

La tension U (t) : U0 sin cat, U0 > O, est cette fois appliquée entre des tubes 
de glissement, boîtes
complètement fermées, à l'exception de deux petits trous percés a leurs 
extrémités et permettant

de laisser passer le faisceau de particules. L'idée est d'accélérer les 
particules lorsqu'elles passent
d'un tube a l'autre. Les tubes sont supposés parfaitement conducteurs.

1. Expliquer pourquoi on peut considérer l'accélération comme nulle a 
l'intérieur des tubes.

2. On note Ln la longueur du tube n, n > 0, "Un la vitesse d'une particule a 
l'intérieur de ce
tube, et tn l'instant auquel elle y entre. Expliquer qualitativement pourquoi 
on a intérêt à avoir
tn+1 -- tn : 7r/w : T/ 2 (condition dite de synchronisme).

3. On appelle V(t) le potentiel au point où se trouve la particule a un instant 
t. On note tf,,
l'instant auquel la particule quitte le tube 71.

&) Exprimer la différence de potentiel 5Vn : V(tn+1)--V(tÇ,) a l'aide de U (t), 
en distinguant
selon la parité de n.

b) On considère le temps de passage d'un tube a l'autre comme très petit devant 
la période
T, et l'on suppose réalisée la condition de synchronisme de la question 2. 
précédente. Montrer
que dans ces conditions on a, pour tout n, une différence de potentiel 5Vn 
indépendante de n :
5Vn : --U0 sin (bg, où @@ : wt0, t0 étant l'instant auquel la particule entre 
dans le tube n = 0.
Quel est le rôle de la condition, que l'on supposera réalisée, 0 < çbo < 7r ?

c) Relier vâ +1 et vâ; en déduire Un. Exprimer L,, en fonction de n, U0, ÇË(), 
w, vo, e et m.

4. Application numérique :

&) Calculer la longueur du premier tube pour des ions 137Cs+, en prenant pour 
vitesse d'in--
jection @@ la valeur U B obtenue à la question 1. de la première partie, a la 
sortie du condensateur,
pour une tension constante d'accélération U A B = 750 kV. On donne w/27r : 10 
MHZ.

b) On donne pour la machine de Wideroë U0 : 100 kV, çbg : 7r/3. Pour quelle 
valeur de
n l'énergie de la particule aura--t--elle au moins doublé? En déduire l'ordre 
de grandeur de la
longueur totale de l'accélérateur pour atteindre une énergie double de 
l'énergie d'injection.

0) On injecte dans le dispositif précédent un ion de même charge 6 et de même 
vitesse vo,
mais de masse différente m' . Les valeurs des L... U() et ou sont les mêmes que 
précédemment, mais
l'instant de l'injection T0 peut différer de 150. On pose 040 : cum. À quelle 
condition sur m' existe--t-
il une valeur de do telle que la condition de synchronisme soit réalisée ? 
Calculer numériquement
le nombre de masse maximal que peut avoir union pour être accéléré de manière 
synchrone.

5. À paramètres m, L... Ug, @@ donnés, la condition de synchronisme n'est 
réalisée que si la
particule entre exactement a l'instant t(), a une période près. Etudier 
qualitativement l'accélé--
ration d'une particule entrant avec la même vitesse 110, mais légèrement en 
retard, a un instant
T0 un peu postérieur a %. Aura--t-elle tendance à combler son retard? On 
discutera suivant la
valeur de (bo. On étudiera de même le cas d'une particule arrivant légèrement 
en avance. Que
peut--on en conclure quant a la stabilité du mécanisme de synchronisme ? Si 
l'on injecte a l'entrée
de l'appareil un faisceau continu, qu'observera--t--on, qualitativement, a la 
sortie ?

6. On va maintenant étudier de façon plus quantitative la stabilité du 
mécanisme d'accéléra--
tion, dans le cas où l'augmentation de vitesse dans l'accélérateur est très 
petite devant la vitesse

. . . , . 6%
initiale vo, c'est--a--d1re 2 << 1.
771110

&) On note toujours "Un la vitesse de la particule synchrone lorsqu'elle 
traverse le tube n,
calculée dans la question 3.c) de cette partie. Exprimer vn+1 -- un au premier 
ordre dans le
potentiel accélérateur U0. On supposera Un très peu différente de vo.

b) On considère maintenant une particule non synchrone, de même masse, et 
injectée
exactement avec la même vitesse vo, mais a un instant un peu différent T0. On 
notera Tn l'instant
où elle entre dans le tube n, wn sa vitesse dans ce tube, avec par hypothèse wo 
: vo. On pose
dn : w7n -- n7r. Que vaudrait 0... si la particule était synchrone (T,, : tn 
pour tout n) ?

Calculer la variation de vitesse entre deux tubes, wn+1 -- w... au premier 
ordre en U0, et en
fonction de e, m, ozn+1 et vo.

c) On pose wn : Un + &... où Un désigne la vitesse de la particule synchrone, 
avec par
hypothèse 60 = 0. En utilisant les résultats des questions a) et b) 
précédentes, en déduire que

EURUQ

' ,, --° . 2
mUO(SmOE +1 SIH@0) ()

EURn--l--1 _ En :
d) En traitant et,, comme un infiniment petit du premier ordre, c'est-à--dire 
tel que
EUR,, << Un : U0, établir la relation cinématique

dn+1 -- an : ---- . (3)
UU
e) Les variations de la vitesse tu,, et de la phase dn étant faibles d'un tube 
a l'autre, on
peut traiter n comme un paramètre continu et noter indifféremment dn : oz(n), 
et en : e(n).
On pose alors de(n) /dn : 6n+1 -- en et da(n)/dn : ozn+1 -- dn. Écrire 
l'équation différentielle du
second ordre vérifiée par oz(n). Quelles sont les conditions initiales sur d(O) 
et d' (0) ?

f) Montrer que l'équation différentielle vérifiée par d(n) est formellement 
analogue à l'équa--
tion du mouvement d'un point matériel se déplaçant sur un axe oz réel, dans une 
énergie poten--
tielle W(a) dont on donnera l'expression. On prend çbg £ 7r / 2. Quels sont les 
extrema de W(d) ?
Tracer son graphe pour (150 : 7r / 3.

g) Montrer comment on peut déterminer graphiquement le domaine de valeurs 
initiales
d(0) pour lesquelles on observe des oscillations de oz autour de la phase 
synchrone (bg.

Troisième partie
Accélération dans un circuit résonant

Pour obtenir des vitesses plus élevées au moyen du dispositif précédent, il 
faut des champs
de fréquence plus grande, ce qui conduit a utiliser un dispositif un peu 
différent, utilisant un
circuit résonant (<< linac >> d'Alvarez). Les applications numériques de cette 
partie utilisent

des paramètres voisins de ceux du linac pré--injecteur du synchrotron a protons 
de Brookhaven

(USA).

Comme précédemment, le dispositif est composé d'éléments mis bout a bout. Il 
admet
une symétrie de révolution autour de l'axe du faisceau, Oz. Un élément est 
représenté sur la
figure 5, en coupe suivant un plan 3202". Le faisceau passe dans des tubes de 
glissement conduc--
teurs de rayon R1 dont les extrémités sont fermées par des disques percés en 
leur centre; il est
accéléré dans l'intervalle g entre deux tubes consécutifs. Les tubes sont 
insérés dans un cylindre
conducteur de rayon R2 et de longueur [, auquel ils sont reliés par des fils 
conducteurs. Un
courant i(t) peut alors circuler, qu'on supposera dirigé suivant l'axe Oz et 
réparti uniformément
sur la surface du cylindre extérieur d'une part, et, en sens inverse, sur celle 
des tubes intérieurs
d'autre part.

On admettra que le champ magnétique créé par le courant circulant dans les fils 
reliant le
cylindre extérieur aux tubes de glissement peut être négligé, car les courants 
correspondant a
deux éléments successifs s'annulent mutuellement. Seules contribuent alors au 
champ magnétique
les nappes de courant circulant sur le cylindre extérieur et sur les tubes. On 
négligera également,
pour ce calcul, l'espace 9 entre les tubes. Le système peut donc être assimilé 
à un ensemble de
deux cylindres coaxiaux.

faisceau

F igure 5

1. Déterminer la direction du champ magnétique dans tout l'espace en utilisant 
un argument
de symétrie clairement explicité.

2. Calculer le champ Ë dans la cavité délimitée par le cylindre et les tubes, 
en fonction de
la distance 7° à l'axe du faisceau et de l'intensité totale i.

3. Calculer l'énergie magnétique contenue dans un élément de longueur l du 
système. En
déduire l'inductance L de cet élément.

Application numérique : Calculer L pour l = 40 cm, R2 = 45 cm, R1 = 8 cm.

4. Calculer la capacité C du condensateur plan constitué par les extrémités des 
deux tubes
de glissement, en supposant g << R1. Dans le problème, on néglige la capacité 
des conducteurs
cylindriques emboîtés.

Application numérique : Calculer C pour g = 4 cm en adoptant l'expression 
obtenue.

5. Calculer, littéralement puis numériquement, la fréquence de résonance w0/27r 
du circuit
constitué par cette inductance et cette capacité.

6. Calculer la longueur d'onde Àg associée. L'approximation des régimes 
quasi--stationnaires
vous paraît--elle justifiée ici ?

7. Le circuit n'est en fait pas idéal, et il existe des pertes par effet Joule, 
dont on notera
P la puissance moyenne pour l'élément étudié ci--dessus. On rappelle la 
définition du facteur
de qualité Q : Q / 27T est égal au rapport de l'énergie totale emmagasinée dans 
le circuit et de
l'énergie dissipée pendant une période, ces quantités étant calculées à la 
résonance. Calculer le
facteur de qualité Q du circuit en fonction de P, L, C et U... tension maximale 
aux bornes du
condensateur.

Application numérique : Calculer Q pour U0 : 200 kV, P = 20 kW.

8. Si l'on acc0le plusieurs éléments tels que celui représenté sur la figure 5, 
on remarque
que les potentiels a la sortie de deux tubes consécutifs vibrent en phase. A 
quelle condition une
particule accélérée dans cette structure verra--t--elle toujours le même 
potentiel à la sortie de

chaque tube (condition de synchronisme) ?

Application numérique : Calculer la vitesse que doit avoir une particule 
traversant l'élément
considéré plus haut pour que la condition de synchronisme soit réalisée. 
L'utilisation de la
mécanique newtonienne est-elle toujours justifiée ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 1 MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Stéphane Ravier (ENS Lyon) et Fabien Guérin (École Polytechnique).

Ce sujet porte sur les accélérateurs linéaires de particules. Il est assez 
complet
et permet de tester ses connaissances en électronique non linéaire (les 
diodes), en
mécanique (avec la deuxième partie), notamment les études au voisinage d'un 
point
d'équilibre (même si cela n'est pas présenté comme tel) et en électrostatique 
et magnétostatique dans la dernière partie.
Dans une première partie, on étudie l'accélérateur le plus simple possible, et 
en
particulier, la façon de l'alimenter en haute tension ­ ce qui pose problème. La
deuxième partie porte sur l'accélérateur de Wideroë, qui nécessite des tensions 
moins
grandes, et enfin, la dernière partie nous présente un accélérateur linéaire 
proche de
celui de Wideroë, mais pour des particules de vitesse supérieure.

Indications

Première partie
I.1 Ne pas chercher à expliciter les forces, mais utiliser la conservation de
l'énergie mécanique.
I.5.b Utiliser les relations de conservation établies aux questions précédentes
pendant une période complète pour relier Qn et Qn à Qn+1 et Qn+1 .
I.5.c Montrer que lorsque t tend vers +, Q est constante sur une période. En
déduire que Q tend elle aussi vers une constante.

Deuxième partie
Faire bien attention, dans toute cette partie, au fait que les tubes sont
reliés alternativement à la borne + et à la borne - du générateur !
II.1 Utiliser le fait qu'on est en régime quasistatique, que la boîte est 
parfaitement conductrice, et négliger les trous.
II.2 Trouver la relation sur tn+1 - tn pour que la particule voie toujours la
même différence de potentiel entre chaque tube.
II.3.c Utiliser le même raisonnement qu'à la question I.1.
II.4.b Raisonner en exprimant l'énergie en keV.
II.4.c Montrer qu'il suffit que vn+1 2 -vn 2 soit conservée pour avoir 
synchronisme.

II.5 Distinguer les cas 0 > et 0 < .
2
2
II.6.b Utiliser la question précédente.
II.6.d Calculer le temps de parcours dans le tube n en fonction de n . En 
déduire
n+1 - n .
II.6.e Montrer que (2) peut s'écrire, au deuxième ordre près,
n+1 - n =

eU0
(sin n - sin 0 )
mv0

et dériver (3) par rapport à n.
II.6.f Vérifier simplement que l'équation différentielle sur (n) peut se mettre
d2 
dW()
sous la forme : m 2 = -
.
dn
d
II.6.g Raisonner sur le potentiel du point matériel équivalent à .

Troisième partie
III.1 Considérer que les cylindres coaxiaux sont, de plus, infinis.
III.2 Utiliser le théorème d'Ampère et se servir de la question précédente.
I2
.
2
III.7 Montrer que l'énergie emmagasinée dans le circuit est constante et vaut
U0 2
C
.
2
III.3 Pour l'inductance, se rappeler que l'énergie stockée par une bobine est L

I.

Accélérateur électrostatique

I.1 Puisque la seule force qui s'applique sur les particules dérive d'un 
potentiel, on
peut utiliser la conservation de l'énergie mécanique.
On a

Ec =

et

1
mv 2
2

(où U est le potentiel électrique)

Em = Ec + Ep = 0

d'où

Ec = - Ep B - Ep A

c'est-à-dire

A.N.

et Ep = eU

vB =

r

2 e UAB
+ vA 2
m

vB = 1, 2.107 m.s-1
vB = 1, 0.106 m.s-1

pour un proton
pour un ion césium

I.2 Comme c'est la tension UAB qui est imposée (et non le champ), modifier la
forme des armatures modifie certainement le champ, mais pas le bilan d'énergie. 
Le
résultat reste donc le même.
Cette question permet de se rendre compte qu'il valait mieux utiliser le 
théorème de l'énergie cinétique, plutôt que de calculer le champ et les 
équations
du mouvement, qui sont délicats à calculer pour des armatures quelconques.
UD (t)
i(t)

U (t)

Uc (t)

I.3.a Montrons qu'à t = 0, D est nécessairement passante. Pour cela, supposons D
bloquée à t = 0. Alors, tant que D est bloquée, i(t) = 0.
Or
Donc

i=C

dUc
dt

Uc = Cte = Uc (t = 0) = 0

Or U (t) croît et U (t = 0) = 0
donc

UD (t) = U (t) - Uc (t) = U (t) > 0

Ce qui implique D passante, d'où une contradiction.