Mines Physique 2 MP 2015

Thème de l'épreuve Nature de la gravitation
Principaux outils utilisés mécanique, électromagnétisme
Mots clefs pendule de torsion, couple, théorème du moment cinétique, force d'inertie d'entraînement, analogie gravitation/électromagnétisme, matière noire, théorie de Mond, antimatière, piège de Penning, équipotentielle, ligne de champ, particule chargée dans un champ électromagnétique, incertitudes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2015
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE Il -- MP.

L'énonce' de cette épreuve comporte 8 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité à le
signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura
été amené à prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui vous
sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. 
Le barème tiendra
compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

NATURE DE LA GRAVITATION

Un aspect fondamental de la gravitation est le principe d'équivalence. 
Introduit par GALILÉE au
début du XVIIEUR siècle alors qu'il étudiait la chute des corps, il fut le 
point de départ du développement
de la théorie de la gravitation. Un peu moins d'un siècle plus tard, NEWTON fut 
le premier à décrire
l'interaction gravitationnelle par une formule. Il en déduisit la version la 
plus élémentaire du << principe
d'équivalence faible >> : la trajectoire d'un corps tombant en chute libre ne 
dépend ni de sa structure,
ni de sa composition.

Si l'on sait aujourd'hui que la gravitation régit la dynamique des composantes 
de l'Univers (planètes,
étoiles, galaxies, ..), l'observation récente de l'expansion de l'Univers a 
conduit a se poser des questions
fondamentales sur les théories de la gravitation classique. L'introduction dans 
la théorie cosmologique
de l'énergie noire, qui serait la contribution énergétique majoritaire de 
l'Univers, permet d'expliquer
certaines observations mais sa nature et ses propriétés restent principalement 
théoriques. Certaines
extensions de la théorie de la gravitation suggèrent même l'existence d'une 
répulsion gravitationnelle
entre matière et antimatière, nommée antigravité.

La première partie propose une description de l'expérience d'EÔTVÔS ayant 
permis, dès la fin du
XIX6 siècle, de valider une version réduite du principe d'équivalence avec une 
grande précision pour
l'époque. La seconde partie remet en cause le principe d'équivalence et propose 
une retouche des lois
de NEWTON sur la gravitation universelle. La dernière partie s'intéresse au 
projet GBAR proposant de
peser l'antimatière.

Les parties 1, H et III sont indépendantes entre elles. On notera i le nombre 
complexe tel que i2 = --1.
Les données numériques et un formulaire sont rassemblés en fin d'épreuve. Les 
vecteurs sont repérés
par une flèche (17) ou par un chapeau s'ils sont unitaires (HÜæH : 1).

I. -- L'expérience d'EÔTVÔS

Ü 1 -- Qu'appelle--t--on << principe d'inertie >> en mécanique? Enoncer le 
principe fondamental de
la mécanique dans un référentiel galiléen. La grandeur caractéristique du 
mobile étudié dans cette
expression porte, ici et dans la suite, le nom de masse inerte in,-.

Nature de la gravitation

Ü 2 -- Expliciter la force de gravitation entre deux points matériels. On 
introduira le paramétrage
nécessaire sur un schéma. La grandeur caractéristique du mobile intervenant 
dans cette expression
porte le nom de masse grave ou masse pesante.

Quantifier les déviations possibles au principe d'équivalence faible suppose 
que l'on puisse considérer les
masses inertielle m,- et grave (ou pesante) m comme pouvant être différentes. 
Les premières mesures
précises des écarts relatifs entre masses inertielle et grave, ont été obtenues 
par comparaison des
périodes de deux pendules simples de masse et de composition différentes; cette 
méthode, d'abord
décrite par GALILÉE, a été menée par NEWTON (1686) ou encore BESSEL (1826) et a 
conduit a des
valeurs d'écarts relatifs compris entre 10_3 et 10--5. L'invention du pendule 
de torsion par EÔTVÔS
autour de 1888, permit d'augmenter fortement la sensibilité.

I.A. -- Mesure du coefficient de torsion du pendule

L'expérience d'EÔTVÔS utilise un pendule de torsion. Dans le dispositif 
simplifié, représenté sur la
figure 1, deux sphères appelées S1 et S2, homogènes de nature différente et de 
même masse pesante
m ont leurs centres d'inertie placés aux extrémités d'une barre rigide, de 
masse M et de longueur
2L, suspendue en son centre a un fil de quartz très fin, de constante de 
torsion C. On note m,,et
m,, les masses inertielles respectives de S1 et de S2. La barre est libre de 
tourner autour de l'axe
Oz en tordant plus ou moins le ruban de suspension. On suppose que la barre 
reste tout le temps de

l'expérience dans le plan orthogonal à l'axe Oz.
î ÀZ Le dispositif est placé de sorte qu'à l'équilibre, la

barre soit normale au plan méridien a la latitude

%-- _ Fil de torsion

À. Sa position est alors repérée par réflexion d'un
faisceau lumineux sur un miroir plan, fixé au milieu
de la barre, à l'aide d'une lunette.

©1

On note % le référentiel du laboratoire centré sur 0

. Est/ et supposé galtle'en dans cette sous-partie où l'Ob--
Miroir Û\\ jectif est la détermination de la constante de tor--
mi1 '-_ "'...\..__ sion C du pendule.
S1 / Ouest \. % On note JO le moment d'inertie de la barre par rap--
"_ \' Détecteur port à l'axe vertical (Oz) et J le moment d'iner--
Source À tie du système S : {barre + sphères} par rapport
lumineuse a (Oz). On repère la position de la barre a l'ins--
FIG. 1 _ Dispositif d'EÔTVÔS tant t par l'angle de torsion 9(t). On fait 
tourner le

système d'un angle @... puis on le lâche sans vitesse
initiale. Le fil exerce alors sur la barre un couple de rappel dont le moment 
en 0 a pour intensité
M0 = --C(9(t) -- Hg) , l'angle 90 repère la position de la barre en l'absence 
de torsion.

Ü 3 -- Montrer que ce couple dérive d'une énergie potentielle que l'on 
déterminera. En déduire
l'énergie potentielle Ep,S de S en fonction de C et 9 -- 90, on choisira Ep 
(Hg) : 0. Déterminer l'énergie

cinétique Bas du solide S. En déduire l'expression de l'énergie mécanique de S 
en fonction de C , J,
9 90 et 9 = d--9.
' dt

Ü 4 -- On fait l'hypothèse que la puissance totale des forces de frottement 
peut se mettre sous la
forme Pf...t : --a92 où oz est une constante positive. Etablir l'équation 
différentielle vérifiée par 9(t).
Ü 5 -- On observe des oscillations très faiblement amorties. Quelle est la 
condition satisfaite par les

constantes J, C et or? Préciser la forme de la solution sans déterminer 
l'expression exacte des deux
constantes d'intégration. Quelle est la valeur 900 de 9(t) lorsque t --> oo. 
Exprimer la pseudo-période
T du mouvement en fonction de la période propre T0 et de la constante e = 
2j'ÏÏ--C << 1. A quelle

condition sur e, l'erreur relative introduite par l'approximation T : TO 
est--elle inférieure à 1% ?
Cette condition sera supposée vérifiée par la suite.

Page 2/8

Physique Il, année 2015 -- filière MP

On note J1 les moments d'inertie, considérés égaux, de chacune des deux sphères 
par rapport à l'axe
vertical passant par leurs centres respectifs. On admettra que si le principe 
d'équivalence faible
s'applique alors J = J 0 --|-- 2.11 --|-- 2mL2. On mesure la période T des 
oscillations pour différentes valeurs
de la longueur L avec des sphères de masse pesante m = O, 2kg. Les résultats 
sont consignés dans le
tableau ci--dessous :

.l 6 -- En utilisant les résultats précédents, écrire la relation entre T2, L2, 
J @, J1, m et C . À partir
des résultats de mesure donner une estimation de la valeur de la constante de 
torsion C . Compte--tenu
des ordres de grandeurs des différents termes intervenant dans l'expression de 
T montrer que l'on peut
écrire
m % ----.
87r2 L2

I.B. -- Résultats et précision de l'expérience

Dans cette sous--partie le référentiel % du laboratoire centré sur 0 n'est plus 
supposé galiléen. et l'on
prend en compte les éventuels effets de la rotation de la terre sur les masses 
inertes fm,--1 et fm,--2 @ priori
différentes des deux sphères. On se place donc dans le référentiel %t attaché 
au centre de gravité G
de la terre supposé galiléen.

, _, A La terre est supposée en rotation uniforme a la vitesse @} (de norme cut)
: wt u" autour de l'axe terrestre et le point 0 se trouve a la latitude À. Une 
vue
l9> A\bA ® en coupe de la situation est représentée sur la figure 2.
:ËË "À 0 uZ L'ensemble constitué du pendule et du système optique est solidaire
ËË " d'une plateforme. Lors d'une première mesure dans la configuration de
là / la figure 1, on relève une valeur 9001 pour l'équilibre du pendule. On fait
53 Méridien alors tourner la plateforme d'un angle 7r afin d'inverser les 
positions des
É terreStre deux sphères, et l'on répète la mesure. On relève une valeur 9002 
pour
G R,, l'équilibre du pendule dans cette nouvelle configuration.
_| 7 -- Déterminer les composantes des forces d'inertie d'entraînement
FIG- 2 _ Vue en coupe subies par mil et fm,--2 dans la base (ûz,ûp, %) en 
fonction de À, L, cut,

Rt, mil ou fm,--2.

.I 8 -- En exploitant le théorème du moment cinétique à l'équilibre, déterminer 
l'écart angulaire
AH = 9001 -- 9002 entre les deux expériences en fonction de À, C, L, cut, Rt, 
fm,--1 et fm,--2.

.l 9 -- La lunette utilisée pour la mesure permet de détecter une déviation du 
faisceau lumineux

de l'ordre de 1,0mm a 2,0m de distance. En utilisant l'expression de m trouvée 
à la question 6,

déterminer la précision de la méthode en estimant le rapport 5... = .... On 
donne A = 45° et

m
L =6,0cm.

J 10 -- La déviation observée est nulle. Que déduire de ce résultat ?

FIN DE LA PARTIE I

II. -- Corriger la gravitation universelle classique ?

Leurs observations ne concordant pas avec les modèles classiques de la 
physique, les astronomes ont
deux solutions : soit ils rajoutent arbitrairement au cosmos un ingrédient, une 
matière invisible qui
permet de justifier les anomalies détectées, soit ils modifient les lois.

Si dans leur très grande majorité, les physiciens ont, depuis 1930, privilégié 
la première voie, il apparaît
aujourd'hui que l'imperceptibilité persistante de cette matière noire devient 
gênante.

Après avoir mis en évidence certaines des observations qui ont conduit 
plusieurs astronomes a s'inter--
roger sur l'existence d'une matière noire invisible, nous aborderons quelques 
aspects de la théorie de
la gravitation modifiée par M. MILGROM.

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Nature de la gravitation

II.A. -- Gravitation newtonienne, matière noire

Depuis plus de 50 ans les astrophysiciens comparent la quantité de matière 
visible dans les galaxies
spirales, comme notre Voie Lactée, a celle qui est nécessaire pour expliquer la 
vitesse de rotation des
étoiles dans ces mêmes galaxies.

Une galaxie est assimilable à une distribution spatiale @ de matière de masse 
volumique p créant un
champ gravitationnel supposé statique P qui satisfait aux équations locales 
suivantes :

divP : --47TG,0 et rdtP : (Î (1)

La force de gravitation exercée par cette galaxie sur un point matériel M de 
masse m s'exprime alors
selon la relation F : mP.

Ü 11 -- Citer deux équations analogues aux équations (1) en électrostatique. 
Peut-on, de la même
façon, proposer une analogie avec la magnétostatique? On définit le potentiel 
gravitationnel çb(M )
au point M, analogue du potentiel V(M ) en électrostatique. Démontrer avec soin 
que le potentiel
gravitationnel çb(M ) satisfait à une équation de Poisson relative à la 
gravitation.

On considère un système EUR? a répartition sphérique de masse centré sur un 
point 0 fixe : l'ensemble
(0, EUR? ) permet de définir un référentiel galiléen. En un point M de ce 
système, la densité volumique
de masse ,a : p(M ) et le potentiel gravitationnel çb : çb(M ) ne sont des 
fonctions que de la seule

. _, % . ,
variable r : HrH : HOM ||. On suppose qu'un pomt M de masse m contenue dans 
EUR? n'evolue que sous

l'action du champ de gravitation créé par EUR? . Pour des raisons physiques 
évidentes la fonction p(r) est
décroissante et la fonction çb(r) croissante.

Ü 12 -- Exprimer la force de gravitation Ë' subie par M en fonction de m, % et 
d'un vecteur
unitaire que l'on précisera. Montrer que le mouvement de M s'effectue dans un 
plan. On considère les

coordonnées polaires (r, 9) dans ce plan. Que représente la quantité r29 ?

Ü 13 -- On appelle vitesse circulaire Üc(r) dans EUR? , la vitesse qu'aurait le 
point M s'il était en orbite
circulaire de rayon r dans EUR? . Exprimer Üc(r) en fonction de r, % et %.

Du point de vue dynamique, on peut a priori considérer que notre galaxie, la 
voie lactée de masse visible
M9, est un système dont la masse est répartie de facon sphérique et constitué 
de trois composantes
principales : un bulbe massif, un disque et un halo stellaire. Dans ce modèle, 
dit keplerien, le bulbe
est assimilable à un point de masse Mb % Mg et chaque étoile de masse m du 
disque évolue dans le
potentiel gravitationnel çb(r) : --GîÆb

crée par le bulbe uniquement.

Ü 14 -- Déterminer, dans ce modèle, l'expression de la vitesse circulaire dans 
la voie lactée en
fonction de G, Mb, r et %. Pourquoi ce modèle est--il qualifié de keplerien?

300A k _1
vc(T) [ m's ] En réalité, la répartition des vitesses circulaires
Bulbe . presente la meme allure dans toutes les galaxies sp1--
I. Sole1l rales comme la V01e Lactee. Les observations dans le
250 _ cas de la Voie Lactée sont reportées sur la figure 3.
Ü 15 -- Que peut--on dire de l'évolution de UC : HUÊH
en dehors du bulbe? Le modèle keplerien est--il va--
220 4
lable?
200- .. . . . .
En plus de la matiere mszble, on cons1dere une
répartition de masse invisible (noire) selon la densité
volumique de masse suivante :
7" [km] 0
1500 2' 4 6 810 12 1416> p(7«)=_0
râ + r2

FIG. 3 -- Vitesse circulaire dans la voie lactée

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Physique Il, année 2015 -- filière MP

Ü 16 -- En utilisant l'équation de Poisson relative a la gravitation (obtenue a 
la question 11) en
symétrie sphérique, montrer que la prise en compte de cette matière noire 
permet de rendre compte
de la courbe de vitesse observée. On fixera la valeur CO en unités de masse 
solaire (MQ) et de parsec
(pc) pour une bonne adéquation avec la valeur de vitesse observée et on 
interprètera la constante ro.

On rappelle que
f" 5132 7"
/ 2--2da: : r -- ro arctan -- .
0 r0-+:r ro

Ü 17 -- Estimer la masse minimale de ce halo de matière noire en considérant 
que ce dernier s'étend
sur l'ensemble de la galaxie dont le rayon est de l'ordre de Rd = 30 kpc. 
Commenter ce résultat sachant
que la masse visible de notre galaxie est de l'ordre de 1010M@.

II.B. -- Gravitation modifiée

Face a la situation décrite dans la section II.A, M. MILGROM propose, en 1983, 
de modifier les
lois de Newton de la gravitation afin d'expliquer pourquoi, en périphérie des 
galaxies, les étoiles
tournent plus vite que la loi classique ne le laisse supposer. Dans cette 
théorie phénoménologique,
baptisée MOND (acronyme anglais de dynamique newtonienne modifiée), la 
gravitation se mettrait a
décroître beaucoup moins rapidement que prévu par la théorie newtonienne dans 
le régime des faibles
accélérations en deçà d'un certain seuil que l'on se propose d'évaluer.

Dans cette théorie de la gravitation modifiée le potentiel de gravitation 
vérifie une équation de Poisson
modifiée qui s'écrit

div (u (u) gradgbm) : 47TGp (2)

_, 2
où ,a est un champ scalaire de la variable réduite sans dimension u : al2 
(gradgb...) caractérisant la
0

théorie et dont le comportement est le suivant

MOEN{Ja $u<1

_ K sinon

Ü 18 -- Quelle est la dimension du paramètre positif @@ ? Quelle valeur 
doit--on donner a la constante
K si l'on souhaite que la théorie MOND soit équivalente a la gravitation 
newtoniene si u n'est pas
négligeable devant 1.

Ü 19 -- En combinant l'expression (2) avec l'équation de Poisson de la question 
11 relative a
la gravitation non modifiée et au potentiel newtonien gb, montrer qu'il existe 
un vecteur Ë tel que
u(u) grédgbm : gradgb + rdtÎi. On fera par la suite l'hypothèse que rdtË est 
toujours négligeable devant
le gradient du potentiel newtonien gb.

Pour modéliser notre galaxie avec la théorie MOND il n'est plus nécessaire 
d'introduire de la matière
noire, on prend donc simplement gb(r) : --%. Pour cette modélisation on suppose 
également que
gb... : gb...(r) et l'on admettra que la vitesse circulaire est toujours donnée 
par la relation obtenue a la
question 13 généralisée a gb....

Ü 20 -- Montrer que dans le régime u << 1, la vitesse circulaire prévue par la 
théorie MOND pour
notre galaxie est donnée par la relation % : (GMbao)1/n où l'on déterminera 
l'entier n.

Ü 21 -- Estimer la valeur numérique de @@ afin que la théorie MOND permette de 
rendre compte
de la vitesse circulaire observée dans notre galaxie. Commenter ce résultat en 
évaluant un ordre de
grandeur de l'accélération subie par le Soleil dans la voie lactée (voir Fig. 
3).

Même si MOND possède de nombreux avantages sur la gravitation de NEWTON a 
l'échelle galactique,
la théorie relativiste associée, TEVES proposée en 2004 par J . BEKENSTEIN, 
pose de graves problèmes

FIN DE LA PARTIE II

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Nature de la gravitation

III. -- Expérience GEAR -- Peser l'antimatière ?

Plusieurs tentatives de tests directs du principe d'équivalence pour 
l'antimatière ont été menées sans
succès. Des mesures de chute libre avec de l'antimatière chargée ont été 
envisagées, mais l'appareillage
visant à réduire les effets parasites du champ électromagnétique par blindage 
n'a pu atteindre un
niveau suffisant. La mesure de chute libre d'antimatière ne peut donc se faire 
qu'avec de l'antimatière
neutre. Il est cependant très difficile de produire efficacement des 
antineutrons lents ou encore de
mener des expériences de chute libre avec un positronium PS (état lié neutre 
composé d'un électron
e_ et de son antiparticule, le positon e+). L'idée est donc venue d'utiliser 
l'atome d'antihydrogène Ê,
association d'un positon e+ avec un antiproton }î.

L'expérience GBAR (acronyme de Gravitationnel Behaviour of Antihydrogen at 
Rest) a pour objectif
la mesure de l'accélération (notée ÿ) d'un atome d'antihydrogène Ê en chute 
libre dans le champ gravi--
tationnel de la Terre. Pour étudier sa chute avec un appareillage de taille 
raisonnable, l'antihydrogène
Ê doit être produit a très basse vitesse. Cette expérience représente un vrai 
défi!

On produit tout d'abord des positons rapides à partir d'un faisceau pulsé 
d'électrons de plusieurs MeV
dirigé sur une cible de Tungstène. Les positons sont ensuites ralentis et 
stockés dans un piège dit de
PENNING--MALMBERG sous forme de plasma non neutre. Une fois la quantité stockée 
suffisante, les
positons sont injectés dans un convertisseur pour y subir les transformations 
décrites par les équations
ci--dessous :

p + P, --> Ê + e_ (3)

Ê+P,-->Ê++e_ (4)
Les ions Ê+ sont composés d'un antiproton }? et de deux positons e+. Le fait 
qu'ils soient chargés
permet de les stocker dans un piège de PAUL en vue de leur refroidissement 
jusqu'à une température
de quelques dizaines de ,aK.
Une fois refroidis, ils sont injectés dans une enceinte à vide dans laquelle un 
laser peut assurer le photo--
détachement du positon excédentaire, produisant ainsi des atomes 
d'antihydrogène. Ultra--froids, ces
derniers tombent alors dans le champ de pesanteur terrestre sur une hauteur de 
l'ordre de quelques
dizaines de centimètres.
Autour de cette enceinte, des TPC (chambres a projection temporelle) et des 
scintillateurs assurent
une détection efficace des particules issues de l'annihilation de 
l'antihydrogène Ê a la fin de sa chute,
quelle qu'en soit la direction. Si l'antimatière ne gravite pas exactement 
comme la matière (sens, durée
de chute, etc.), l'expérience devrait pouvoir le détecter!
Nous nous proposons dans cette partie d'étudier de facon simplifiée les 
techniques de stockage des
particules chargées, développées dans le projet GBAR et d'étudier la 
calibration de la mesure.

III.A. -- Piéger une particule

L'objectif est de piéger une particule chargée en vue de la refroidir
et la garder ainsi stockée le plus longtemps possible. L'idée la plus
simple consiste a piéger cette particule dans un puits de potentiel.
Le dispositif de piégeage est représenté sur la figure 4, il compte
trois électrodes présentant une symétrie de révolution autour d'un
axe (Oz). La première, notée 50, est en forme d'anneau de rayon
interne m et d'équation 5132 + y2 -- 2752 = 7%, elle est portée à un
potentiel VO positif. Les deux autres, notées 81 et 52, sont en forme
de coupelles et correspondent aux deux nappes de l'hyperboloïde
d'équation 5132 + y2 -- 2752 : --2zä, elles sont reliées à la masse. La .
distance minimale entre les deux coupelles est telle que 2750 : \/Îr0. FIG. 4 
-- Vue en coupe du piège
On note V(:c, y, 75) le potentiel régnant dans le piège initialement vide de 
charge. Oe potentiel est donc
tel que V (O, O, zo) : 0 d'une part et d'autre part si 562 + y2 = 7% alors V 
(a:, y, 0) = V0.

On admet qu'une particule de charge q placée dans le piège est soumise à une 
force conservative de la

52

forme Ë' : a (a: @, + y %) + bz @ où a et b sont deux paramètres réels.

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Physique Il, année 2015 -- filière MP

Ü 22 -- En écrivant l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le 
potentiel V(a:, y, z) obtenir une
relation entre a et (9. Montrer que le potentiel s'écrit sous la forme V(a:, y, 
z) = 04 + fi(a:2 + y2 -- 2752),
puis, exprimer 04 en fonction de V0 et 6 en fonction de m et V0.

Ü 23 -- Tracer les équipotentielles dans les plans 55075 et oeOy, en déduire 
les lignes de champ
orientées dans ces mêmes plans.

Ü 24 -- En écrivant le principe fondamental de la dynamique montrer que le 
point 0 (O, O, O) est un
équilibre. Montrer que cet équilibre est globalement instable quel que soit le 
signe de la charge placée
dans ce potentiel.

III.B. -- La trappe de PENNING

Afin d'éliminer l'instabilité démontrée a la question 24, une première solution 
est d'ajouter un champ
magnétique uniforme Ëg : B0ÜZ avec BO : 1,0 T autour du dispositif 
électrostatique. Le piège
devient ainsi << une trappe de PENNING >>, le mérite de sa mise en oeuvre 
concrète est du a H. G.
DEHMELT qui reçut le prix NOBEL de physique en 1989 pour cette réalisation, 
l'idée originale, de F.
M. PENNING, datant de 1936.

Ü 25 -- La particule piégée dans la trappe de PENNING est un antiproton }? de 
masse mp et de charge
q = --e. Etablir les équations différentielles vérifiées par les fonctions ?: 
(t) et C (t) = a: (t) + iy (15).

On introduira les constantes w = @ et w : Log. Montrer u'il existe un cham Bmin 
tel ue
c mp 0 mp7'0 q p 7 q

l'ajout d'un champ BD 2 Bmin conduit au confinement de l'antiproton. Calculer 
la valeur de Bmin
pour un piège tel que V0 = 5, UV et m = 5, 7mm.

Ü 26 -- Calculer la valeur numérique de wo et wc pour la trappe de PENNING 
considérée. En déduire
que le mouvement confiné de l'antiproton dans cette trappe est la composition 
d'un mouvement
rapide et de deux mouvements plus lents. On donnera une estimation simple des 
pulsations de ces
trois mouvements en fonction de ado et wc.

Dans l'expérience GBAR, la trappe de PENNING permet de confiner les 
antiprotons, dont l'énergie
cinétique d'entrée est estimée a 5 MeV. Pour les applications suivantes il est 
nécessaire de les refroidir
jusqu'à une énergie de l'ordre de 150 eV. On se pose donc la question de savoir 
si le mouvement
oscillant des antiprotons dans la trappe permet ce refroidissement.

On admet que le mouvement oscillant de l'antiproton est la source d'un 
rayonnement qui va contribuer
a diminuer son énergie mécanique. La source principale de ce rayonnement est 
assurée par l'accélération
selon l'axe Oz. La puissance moyenne T. = ,,,, T,
Ü 27 -- Déterminer l'ordre de grandeur de la température absolue des 
antiprotons a l'entrée de la
trappe. Montrer que le rayonnement qu'il émet conduit a une décroissance 
exponentielle de l'énergie
mécanique de l'antiproton caractérisée par une constante de temps '7' que l'on 
exprimera en fonction de
mp, ,u0, e, c et wo. En déduire la nécessité de recourir a une méthode de 
refroidissement complémentaire.
Cette méthode non étudiée ici est une thermalisation par chocs élastiques sur 
un nuage d'électrons
confinés dans la trappe.

III.C. -- Principe de la mesure

La mesure du temps de chute tc est donnée par la différence de temps entre la 
détection de l'annihilation
de l'antiatome Ê et celui du tir du laser de photo--détachement. On note @@ la 
composante de la
vitesse initiale suivant la direction de la force gravitationnelle exercée par 
la Terre (matière) sur
l'antihydr0gène (antimatière). La masse de Ë sera prise égale a celle de Î9, 
c'est--à--dire mp.

Ü 28 -- Le processus de refroidissement incorporé dans la trappe de PENNING 
permet de porter le
gaz d'ions Ë+ piégés a la température T = 10 ,uK. En supposant ce gaz parfait 
et en négligeant les
impulsions apportées par le photon lors de l'impact et par le positon émis, 
prévoir la vitesse initiale
moyenne % d'un antihydr0gène produit par photo--détachement et estimer son 
écart--type ov. On
exprimera av en fonction de kg, mp et T puis on calculera sa valeur numérique.

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Nature de la gravitation

Ü 29 -- En admettant l'égalité des masses inerte et grave compte--tenu des 
résultats obtenus en
partie I, exprimer l'intensité de pesanteur ÿ supposée uniforme ressentie par 
un antihydrogène quittant
le piège avec une vitesse verticale de module U0. On exprimera le résultat en 
fonction de la hauteur
de chute h, du temps de chute tc et de @@ en espérant que l'antihydrogène va 
antigraviter!

Ü 30 -- Un antiatome << tombe >> sans vitesse initiale sur une paroi située a 
10, 0 cm où l'on détecte
son annihilation 0, 143 s après son photo--détachement. Déterminer la valeur de 
ÿ correspondant a cette
mesure.

Ü 31 -- On détecte un grand nombre N d'antihydrogène s'annihilant sur la paroi. 
On note 0},
l'incertitude sur la position initiale d'un antiatome et au l'incertitude sur 
sa vitesse initiale dans la
direction de chute déterminées précédemment. Les incertitudes sur le temps de 
chute libre et sur
la position de détection sont négligées. En considérant que les positions et 
les vitesses initiales sont
indépendantes et distribuées selon des lois gaussiennes, estimer l'incertitude 
5ÿ sur la mesure de ÿ en
fonction de tc, N, ah, kB, T et mp.

Ü 32 -- On donne T = 10 MEUR et U;, = 100 mn. À partir de quelle valeur de N 
l'erreur relative sur
la mesure de ÿ est--elle inférieure à 1% ?

Tester la gravité pour l'antimatière est un véritable enjeu pour la physique 
fondamentale. Outre
la remise en cause du principe d'équivalence et des symétries fondamentales 
dans l'Univers, cette
expérience de pesée de l'antihydrogène, prévue pour 2016, devrait permettre de 
répondre a la question
de l'existence ou non de l'antigravité, pouvant expliquer l'absence 
d'antimatière visible dans l'Univers.

FIN DE LA PARTIE III
FIN DE L'ÉPREUVE

Formulaire et données numériques relatives à l'ensemble de l'épreuve

. Constante de gravitation universelle :
G = 6, 7.10-11 m3 --kg_1 -s--2

. Constante de Boltzmann :
kB : 1,4-10_23J--K_1

. Vitesse de la lumière : c = 3,0 -- 108 m - s--
0 Nombre d'Avogadro : NA : 6,0 - 1023 mol--1

. Charge élémentaire : e = 1, 6 -- 10_19 O

0 Opérateurs scalaires et vectoriels :
<> rdt(grädf) : 0
<> div(rdtÂ) : ()
<> div(grädf) : Af

. Laplacien scalaire

1

0 Masse d'un proton : m,, = 1, 7 -- 10_27 kg , , _
<> en coordonnees cartes1ennes :

7 , : = _ --31 82 82 82
0 Masse d un electron . me 9,1 10 kg Af : â_æ,£ + Û_y£ + ('a--Â
. Permeab1l1te magnet1que du v1de : <> en coordonnées sphériques ,
u0=47r--10_7H-m_1 A _ 1 & 2âf
. , . f -- 725 (7° @)
. Un1tes de d1stance : 1 8 _ 8 f
1 UA : 1,5 -- 1011 m ;1pc : 3,1 . 1016m +--ras...eæ (Sln9æ)
82
0 Masse du Soleil : MQ : 2, 0 -- 1030 kg +--,.2 S,1n2 9 fi

. Masse de la Terre : Mt : 6,0 - 1024 kg
. Rayon de la Terre : Rt : 6, 4 - 103 km

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 MP 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Vincent Freulon (Professeur en CPGE) et Jimmy Roussel (Professeur en CPGE).

Ce problème est consacré à l'astrophysique, plus précisément à la gravitation.
· La première partie présente l'expérience d'Eötvös, qui fut l'une des premières
à tenter de mesurer une différence entre la masse grave et la masse inerte.
Le dispositif utilise un pendule de torsion avec frottements mécaniques dont on
cherche à mesurer les positions d'équilibre en prenant en compte le caractère
non galiléen du référentiel terrestre.
· La deuxième partie cherche à améliorer le modèle de gravitation de Newton
pour rendre compte de certaines observations dans les galaxies spirales : 
l'étude
des vitesses des étoiles de la Voie lactée conduit à une contradiction entre 
théorie
et observations, qui est levée en introduisant la matière noire. Cependant, face
à l'absence de mesures permettant d'en vérifier l'existence, un second modèle
de gravitation, basé sur une théorie phénoménologique ne faisant pas intervenir
la matière noire, est introduit. Cette partie repose entièrement sur l'analogie
électrostatique/gravitation.
· L'effet de la gravitation sur l'antimatière est au coeur de la troisième 
partie, qui
présente un projet d'expérience. On commence par étudier une technique de
piégeage de particules chargées reposant sur l'utilisation conjointe d'un champ
électrostatique et d'un champ magnétostatique. Ces particules sont utilisées
pour produire de l'antimatière. Les particules d'antimatière créées sont 
abandonnées dans le champ gravitationnel. Une étude statistique des durées de 
chute
devrait permettre de mesurer l'intensité du champ ressenti par l'antimatière.
Le sujet est très bien construit et représentatif des épreuves du concours 
MinesPonts. À travers des exemples tirés de la physique moderne, il donne 
l'occasion de
faire le point sur la mécanique, notamment le programme de première année.

Indications
Partie I
6 Tracer la droite T2 = f (L2 ) et obtenir par régression linéaire le 
coefficient directeur qui est lié à C.
7 Utiliser l'expression de la force d'inertie d'entraînement pour une rotation 
uniforme autour d'un axe fixe
--

-
f i = m  t 2 HM
avec H le projeté du point M sur l'axe de rotation.
9 La déviation du faisceau lumineux correspond au double de l'angle .
Partie II
--

-
11 Par analogie avec l'électrostatique,  = - grad .

12 Appliquer le principe fondamental de la dynamique en coordonnées polaires 
pour
une trajectoire circulaire.
--
18 Le vecteur grad  est homogène à une accélération d'après le principe 
fondamental
de la dynamique.

19 Si la divergence d'un vecteur est nulle, ce dernier peut alors s'exprimer en 
fonction
du rotationnel d'un autre vecteur.
Partie III
--

-
22 Appliquer la divergence à la force F = -q grad V et utiliser l'équation de 
Poisson
dans le vide.
23 Les équipotentielles sont définies par dV = 0 et les lignes de champs sont 
orthogonales aux équipotentielles.
25 Les expressions, pour lesquelles le discriminant de l'équation 
caractéristique est
soit positif, soit nul, sont divergentes en l'infini.
26 Faire un développement limité des pulsations à l'ordre le plus bas en 0 / c .
27 En moyenne, on a z 2 =  2 z 2 avec  la pulsation du mouvement selon (Oz).
28 Pour un gaz parfait homogène et isotrope,
v 

kB T
mp

29 Avec un niveau de confiance à 95%, les incertitudes s'écrivent
h = 2 h

et

v = 2 v

Nature de la gravitation
I. L'expérience d'Eötvös
1 Le principe d'inertie s'énonce de la façon suivante :
Il existe des référentiels privilégiés, appelés référentiels galiléens, dans
lesquels tout corps isolé est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.
Dans un référentiel galiléen, le principe fondamental de la dynamique stipule 
que

pour un point matériel M de masse inerte mi et de vitesse -
v soumis à des forces
--
extérieures Fext :

d(mi -
v ) --
= Fext
dt
Étymologiquement, il faut éviter d'appeler ces principes les première et
deuxième lois de Newton. En effet, un principe ne se démontre pas théoriquement 
mais n'est pas contredit par l'expérience. En mathématiques, un
principe est équivalent à un postulat. Alors qu'une loi est par essence 
démontrable.
-

u
cr
2 La force de gravitation Fg qu'exerce M1 de masse m1 sur
-

F
g
M2 de masse m2 est donnée par
M2
r
-

G m1 m2
Fg = -
u
cr
r2
M1
3 Calculons le travail du couple :

W = M0  dt
= M0 d
W = -C ( - 0 ) d

Il existe donc une énergie potentielle Ep telle que W = -dEp d'où
Ep () =

C
( - 0 )2
2

Par définition, l'énergie cinétique est
Ec,S =
Par conséquent

Em = Ec,S + Ep =

1 2
J 
2

1 2 C
J  + ( - 0 )2
2
2

4 Le théorème de l'énergie mécanique s'écrit
dEm
= Pfrot = - 2
dt
Avec l'expression de la question précédente, on arrive après simplification à 
gauche
et à droite par  à
J  +   + C ( - 0 ) = 0

5 Les oscillations faiblement amorties imposent d'être en régime 
pseudo-périodique.
Le discriminant de l'équation caractéristique doit être strictement négatif, 
c'est-à-dire
2 - 4 C J < 0

Les solutions de cette équation sont donc

2
- +
-i 4JC- 
r+
=
-
2J
On en déduit l'expression de (t) :

-t
4 J C - 2
4 J C - 2
A cos
t + B sin
t
(t) = 0 + exp
2J
2J
2J
La valeur en l'infini de (t) donne
 = 0
La pseudo-période T, qui est la période des fonctions cosinus et sinus, s'écrit
2J
T = 2 × 
4 J C - 2
Mettons 4J C en facteur sous la racine et introduisons ,
r
J
1
T = 2
×
C
1 - 2
La période propre T0 est définie pour  = 0 d'où
T0
T= 
1 - 2

Comme   1, développons à l'ordre le plus bas non nul en  :

2
T  T0 1 +
2
T - T0
2

T0
2

L'erreur relative s'écrit

Pour avoir T/T0 inférieur à 1%, il vient  < 0,14.
6 D'après la question précédente, prenons T  T0 . Avec l'expression de J donnée
dans l'énoncé, on obtient
T2 =

4 2
(J0 + 2J1 + 2mL2 )
C

Réécrivons la relation précédente sous la forme
8 2 m 2 4 2 (J0 + 2J1 )
L +
C
C
ce qui fait apparaître une droite sous la forme

a = 5,3 · 107 s2 .m-2
2
2
T = aL + b
avec
b = 715 s2
T2 =

Le coefficient directeur a permet alors d'avoir la valeur numérique de C, 
c'est-à-dire
C = 3,0 · 10-7 J.rad-1