Mines Physique 2 MP 2014

Thème de l'épreuve Lasers et distances
Principaux outils utilisés mécanique du point, optique géométrique, transferts thermiques
Mots clefs télémétrie, interaction laser-matière

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2014
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE ]] -- MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il
aura été amené à prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

LASERS ET DISTANCES

Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (Q,) ou d'une 
flèche dans le cas
général (17). Sauf contre--indication locale, on utilisera 3 chiffres 
significatifs pour les applications
numériques. Les trois parties de ce problème sont totalement indépendantes.

I. -- Un peu d'astrométrie

I.A. -- Triangulation

La triangulation est une méthode optique de la mesure de
la distance entre les points A et C d'un triangle ABC quel--
conque basée sur la détermination de deux angles de ce tri--
angle et la connaissance de la longueur AB. C'est en utilisant
cette méthode de proche en proche en mesurant des centaines
de triangles entre Dunkerque et Barcelone de 1792 a 1799 que
les astronomes Delambre et Méchain furent chargés de me--
surer la longueur du méridien terrestre. Le mètre fut alors
défini comme la 40 millionième partie de cette distance.

Ü 1 -- On considère le triangle de la figure 1. Montrer que
la mesure des angles oz et fi et de la distante AB : a permet
la détermination de AC . On donnera l'expression de AG en
fonction de a, oz et fi comptés positivement.

FIGURE 1 -- Triangulation

Lasers et distances

LB. -- Le génial Aristarque

Au IlEUR siècle av. J .O., l'astronome grec
Aristarque de Samos imagina une façon de
comparer la distance de la terre a la lune
TL et la distance de la terre au soleil TS.
Lors d'une éclipse de lune, il se convainc
que la lune possède un diamètre environ Terre
trois fois plus petit que celui la terre. Plus ?
tard, il mesure l'angle 91/2 correspondant

au moment où la lune est placée de telle

sorte qu'elle apparaît a demi--pleine vue FIGURE 2 _ terre, lune et 801611-
depuis la terre (premier ou dernier quar--

tier). Les divers angles sont représentés sur

la figure 2.

Soleil

Ü 2 -- Que vaut l'angle À1/2 correspondant a 91/2 ? On justifiera sa réponse.

Après de nombreuses mesures, délicates pour l'époque, Aristarque indique que 
l'angle 91/2 est
compris entre 870 et l'angle droit et il utilise la valeur 91/2 : 870 pour ses 
calculs.

TS .
Ü 3 -- Déterminer la valeur numérique du rapport -- qu'il en déduit. Que 
pensez--vous de

cette valeur? La valeur réelle est--elle 10 fois ou 100 fois plus importante? 
Donner une ou
plusieurs raisons de cet écart.

Ü 4 -- Lors d'une éclipse de soleil, on peut observer que, depuis la terre, la 
lune et le soleil
possèdent le même diamètre apparent. Évaluer la valeur minimale du rapport 
entre le rayon
du soleil et celui de la terre qu'a obtenu Aristarque. Interprétez sa 
conclusion stupéfiante pour
l'époque : << Pourquoi faire tourner la torche autour de la mouche ? >> En 
réalité, le diamètre
du soleil est--il approximativement 100 fois ou 1000 fois plus grand que celui 
de la terre ?

I.C. -- Détermination des distances soleil - planètes

La période sidérale d'une planète, considérée comme ponctuelle, est le temps 
mis par celle--
ci pour faire un tour complet autour du soleil dans un référentiel 
héliocentrique. La période
sidérale tt de la terre est de 365 jours. Toutefois la période sidérale tp 
d'une planète n'est pas
directement mesurable sur la terre car elle est aussi en mouvement. En 
revanche, il est aisé
de mesurer, depuis la terre, la période synodique r,, d'une planète définie 
comme la période
de réapparition d'une conjonction, c'est--à--dire un alignement entre le 
soleil, la terre et cette
planète. On supposera que le mouvement des planètes autour du soleil est 
circulaire uniforme
et que tous ces cercles sont dans le même plan.

Ü 5 -- Dans le cas d'une planète supérieure, c'est--à--dire plus éloignée du 
soleil que la terre,
exprimer la période sidérale tp de la planète en fonction de sa période 
synodique r,, et de la
période de la terre tt. On pourra s'aider d'un dessin en remarquant qu'entre 
deux conjonctions,
la terre a fait autour du soleil, plus qu'un tour alors que la planète s'est 
déplacée d'un angle
inférieur a 360°.

Ü 6 -- En observant la planète mars depuis la terre, Copernic trouve pour cette 
planète une
période synodique r... = 780 jours. Calculer la période sidérale t... de la 
planète mars.

Ü 7 -- En notant rp le rayon de l'orbite de la planète autour du soleil, 
énoncer puis retrouver
rapidement par le calcul, la troisième loi de Kepler reliant rp, tp, la masse 
du soleil MS et la
constante de gravitation G . On précisera les hypothèses envisagées pour ce 
calcul. En prenant
comme unité de temps la période sidérale tt de la terre et comme unité de 
distance la distance
terre--soleil (l'unité astronomique notée UA), donner la relation simple 
existant entre rp et tp et
calculer la distance de la planète mars au soleil.

Page 2/7

Physique U, année 2014 -- filière MP

I.D. -- Télémétrie laser-lune

Les mesures modernes de la distance terre--lune sont effectuées en utilisant un 
laser vert de
longueur d'onde A = 523 nm. Cinq rétroréflecteurs catadioptriques (assemblages 
de coins de
cubes de surface collectrice totale 21 = 0, 3 m2) ont été placés en différents 
points de la lune par
les missions humaines américaines Apollo 11, 14 et 15 ainsi que par les sondes 
robots soviétiques
Lunokhod. Pendant une série de mesures, on envoie en direction de l'un de ces 
réflecteurs et a
la fréquence de 10 Hz des impulsions laser possédant une énergie 5 = 300 rm] . 
La divergence
du faisceau laser confère a celui--ci la forme d'un cône de demi--angle au 
sommet 00 = 4" . La
réflexion sur les rétroréflecteurs est elle aussi divergente de demi--angle 01 
= 12" . La réception
est assurée par un détecteur situé au foyer du télescope servant a l'émission 
du laser, la surface
collectrice équivalente du télescope est 20 = 1, 8 m2.

Ü 8 -- Pourquoi utilise--t--on des rétroréflecteurs catadioptriques en coins de 
cubes ? On justi--
fiera sa réponse par un schéma bidimensionnel.

Le rendement total pt pour une impulsion est le produit du rendement aller pa 
par le rendement
retour p,... Chacun d'eux étant défini comme le rapport de la surface 
collectrice sur la surface
éclairée. On néglige l'effet de l'atmosphère terrestre et toute lumière 
parasite.

Ü 9 -- Déterminer l'expression de pt en fonction de 00, 01, 20, 21 et de la 
distance dg entre
le point d'émission du laser et le rétroréflecteur visé. En prenant dg : 360 
000 km, déterminer
l'énergie maximale théoriquement reçue par le détecteur en retour de chaque 
impulsion. Illustrer
ce résultat en termes de photons et proposer une méthode pour mesurer 
effectivement la distance

dg.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Utilisation d'un proximètre laser

II.A. -- Mesure de petites distances

Le schéma de principe d'un proxi-- Surface diffusante
mètre a laser est représenté sur la
figure 3. La lentille L est conver--
gente de distance focale f et d'axe
optique A. Les cellules photorécep--
trices de largeur ci sont situées dans ,
le plan focal image de la lentille. Le 90
segment 010 de longeur h est ap--

pelée base du système. L'angle 9 \'P ,
entre la base et l'axe optique A est 0160. /
fixe, pour simplifier les calculs on ' O2

prendra ici 9 : 45°. On note gp .Baïïetoe Laser

l'angle entre la base et la droite photoréceptnce
01P- Le point 02 correspond à1'in_ FIGURE 3 -- Schéma de principe du proximètre 
laser

tersection entre l'axe optique de la
lentille A et la surface de la barrette photoréceptrice. La diffusion en P est 
suposée isotrope.

Ü 10 -- Quelles sont les hypothèses pour que d'une part la lentille travaille 
dans les conditions
de Gauss et d'autre part que l'image P' de P soit localisée sur la barrette 
photoréceptrice ?

Ü 11 -- Déterminer l'expression de H en fonction de h, f et y : OgP' . Calculer 
sa valeur
numérique si h = 1, 00m, f = 2, 50 cm et y = 1, 00 mm.

Page 3/7 Tournez la page S.V.P.

Lasers et distances

Ü 12 -- La largeur d d'une cellule de la barrette photoréceptrice induit une 
résolution angu--
laire && qui entraine une imprécision 5H sur la mesure de H. Dans le cas y : O, 
estimer && en
fonction de f et d puis 5H en fonction de d, f , H et h. En déduire qu'à d et f 
fixés, lorsque
h varie, l'erreur relative minimale est obtenue si h = H ; calculer sa valeur 
numérique dans ce
cas pour f = 2, 50 cm et d = 10,0 ,um.

A la sortie du laser, on note dÀ : 27° le diamètre du faisceau de longueur 
d'onde À.

Ü 13 -- Pourquoi le faisceau laser diverge--t--il d'un angle dd ? Donner un 
ordre de grandeur
de cet angle de divergence en fonction de A et 7°.

Ü 14 -- Déterminer un ordre de grandeur d' du diamètre de la tache qui en 
résulte sur la
cellule. On exprimera d' en fonction de À, f et 7°. Justifier la valeur 
numérique de f si A = 630 nm
et 7° : 1 mm.

II.B. -- Mesure de grandes distances

Surface dîffusaflte Pour déterminer de plus grandes distances,
on utilise un dispositif du même type que
dans la partie II.A : le laser éclaire la sur--
face en se réfléchissant sur un miroir plan
que l'on fait osciller autour d'un axe di--
- ------------------------------------------------------------------ O rigé 
selon le vecteur k et passant par O.
L'ensemble est représenté sur la figure 4,
on prendra (ÂÎOËÙ : 45°. Le détecteur
est une cellule photoréceptrice située dans
le plan focal de la lentille L de distance
>t focale f. Cette cellule est de très petite
dimension devant f. On note finalement
FIGURE 4 -- Mesure de distance a miroir pivotant H : 01P la distance a mesurer. 
On fera

l'hypothèse que H >> f et que la distance
001 = h est connue. Les oscillations du miroir permettent a l'angle @, dit de 
balayage, de varier
comme une fonction affine par morceaux de période 219 représentée sur la figure 
4. Le détecteur
est désactivé pendant les intervalles de temps [(2m + 1) p, (2777 + 2) p] pour 
tout entier m E N .
La diffusion est toujours isotrope et identique en chaque point P de la 
surface. Le temps de vol
des photons est négligeable devant la période 219.

Détecteur

MW)

0 p 279 379 479

Ü 15 -- Déterminer la relation entre @ et l'angle oz de la normale au miroir 
avec la base.
Ü 16 -- Montrer que la mesure de H se ramène a une mesure de temps.
Ü 17 -- Représenter l'allure de la variation de l'intensité lumineuse reçue par 
le photodétec--

teur en fonction du temps sur une période.

Ü 18 -- Cette intensité est en fait récupérée sous la forme d'un signal 
électrique. Expliquer
pourquoi l'opération qui consiste a dériver ce signal par rapport au temps 
permet d'améliorer
la précision de la mesure de H. Proposer un montage électronique utilisant un 
amplificateur
opérationnel, une résistance R et un condensateur de capacité C' qui permet 
effectivement
d'effectuer cette dérivée. On justifiera ce montage par le calcul.

FIN DE LA PARTIE II

Page 4/7

Physique U, année 2014 -- filière MP

III. -- Diffusion thermique. Interaction Laser-Matière
Un rayonnement laser arrivant sur la surface @
/ - - \ - / %
d'un mater1au donne heu a d1fferents effets : A
thermiques, électromécaniques, etc. Pour sim-- 27° Faisceau
plifier on supposera que la totalité de l'énergie laser

du faisceau laser est absorbée par le matériau.
Ceci se traduit par une élévation de la tempé--
rature, et donc par un accroissement des vibra--
tions de la structure moléculaire ou cristalline
du matériau. Cette transformation se fait a la
surface de la zone d'interaction dans une épais--
seur caractéristique moyenne 5 appelée profondeur de pénétration moyenne de la 
lumière. Cette
zone d'interaction devient une source de chaleur intense qui échauffe la 
matière par conduction
thermique. Lorsque 5 est faible devant le diamètre 27° du faisceau laser, on 
peut utiliser un
modèle unidimensionnel de conduction de la chaleur. On néglige tout écoulement 
de chaleur en
dehors de la direction 033 de propagation. Pendant le début de l'échauffement, 
le matériau est
soumis a un flux thermique constant. Lorsque celui--ci se met a fondre, il 
apparaît une interface
liquide--solide, dont la température est supposée constante et égale a la 
température de fusion T f
du matériau. Cette interface se propage alors dans le matériau. On notera L f 
la chaleur latente
de fusion du matériau. On considère que la partie fondue du matériau transmet 
intégralement
la lumière du laser.

III.A. -- Équation de diffusion

Le matériau de masse volumique p, de chaleur massique c, de conductivité 
thermique À occupe le
demi espace défini par a: > 0. Il est initialement en équilibre a la 
température T 0. La conduction
de la chaleur se fait suivant l'axe 033. On note ÎQ(a:, t) : jQ(a:, t) @... le 
vecteur densité de flux
thermique et T (a:, t) la température du milieu que constitue le matériau. On 
néglige toute perte
de chaleur dans la région a: < 0.

Zone de fusion
FIGURE 5 -- Interaction laser--matière

Ü 19 -- Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée a la fois par T 
(a:, t) et par jQ(a:, t).

A

On introduira le paramètre ,u = --. On vérifiera que cette équation admet une 
famille de
pc

solutions de la forme :

_2
be" /<:3:

avec u :
\/,ut

Les quantités 90 et b sont des constantes d'intégration et /<: un rapport de 
deux nombres entiers
positifs que l'on déterminera.

9(QÎ,É) : 90 +

ä|

III.B. -- Flux thermique constant
On suppose que la surface du matériau (située en a: = 0) reçoit a partir de 
l'instant t = 0 une
densité de flux constant jQO dirigée selon EUR,,

Ü 20 -- Montrer que la solution proposée a la question 19 ne convient pas dans 
ce cas.

On admet que la solution correspondant a cette situation s'écrit pour la 
température sous la
forme

2

ZB É --u 2 u 2
T(a:,t) = A1 + 1Y\/'M_F(u) avec F(u) : efi -- uerfc(u) et erfc(u) : 1 -- Ë/0 
e_t dt

Ü 21 -- Déterminer l'expression de jQ(a:, t) en fonction de 31 et erfc(u).

Page 5/7 Tournez la page S.V.P.

Lasers et distances

Ü 22 -- Étudier toutes les conditions aux limites du problème en a: et en 15. 
On commentera
toutes ces conditions aux limites et on admettra que si u --> +oo alors

--u2

EUR

l
erfc(u) ... u_1 -- äu_3 + o(u_3)

7T

En déduire les expressions de A1 et 31 en fonction de T 0 et ÎQO.

III.C. -- Température constante

On suppose a présent que la surface située en a: = 0 est maintenue a la 
température constante
T1. On montre que la solution correspondante s'écrit T (a:, t) : A2 + BZ 
erfc(u) où la fonction
erfc(u) est la même que celle définie dans la partie précédente, A2 et Bg étant 
deux températures
constantes.

Ü 23 -- Étudier toutes les conditions aux limites en a: et t de T (a:, 15). On 
déterminera no--
tamment les expressions de A2 et 32 en fonction de T1 et T @.

Ü 24 -- Déterminer l'expression de jQ(a:, t) ; ce résultat vous parait--il 
plausible ?

III.D. -- Modélisation d'une opération de perçage

On perce une plaque d'aluminium; les valeurs numériques correspondant a cette 
opération
sont les suivantes : A = 210 W.m_1.K_1, pc : 2,40 - 106J.m_3.K_1, p = 2,70 - 
103 kg.m_3,
Lf : 3,88 - 105 J .kg_1, la température initiale de la surface considérée est T 
0 = 30°C et la
température de fusion de l'aluminium est T f = 660 °C. La surface est chauffée 
dans un premier
temps jusqu'à la température de fusion puis l'avancée du perçage se fait alors 
par liquéfaction
progressive de la matière. On admettra que le front liquide--solide se propage 
sans déformation
avec une vitesse constante 17 et que l'aluminium se comporte comme un corps 
noir. La densité
de flux thermique ÎQO du faisceau laser de section 0 = 0, 20 cm2 et de 
puissance PE : 1,00 kW
est supposée constante.

Ü 25 -- En utilisant les résultats de la partie lll.B, déterminer l'expression 
du temps tf
au bout duquel la surface du matériau atteint la température de fusion T f. 
Calculer sa valeur
numérique.

À partir de l'instant tf, on suppose que le front liquide--solide se propage 
dans le matériau a la
vitesse 17 = 17EUR... où 17 est une constante positive dans le référentiel du 
laboratoire. On parle de
front de fusion. On se place dorénavant dans le référentiel lié a ce front, 
dans lequel l'abscisse
du point 0 devient 33 : --1flî.

Ü 26 -- En écrivant la conservation de l'énergie pendant la durée dt et sur une 
tranche que
. --.» ÔT
l'on précisera, établir une relation donnant 17 en fonction de ]QO, p, À, L f 
et 8_ .
&:
oe=0
Ü 27 -- La distribution de température dans le repère lié au front de fusion 
est supposée

stationnaire. Montrer que la distribution de la température a droite du front 
de fusion vérifie

l'équation différentielle :
dT d2T

da: _ da:2

où l'on exprimera v en fonction de ,u et 1}.

Ü 28 -- Déterminer l'expression de T(a:) en fonction de TO, Tf, 17 et ,a.

Page 6/7

Physique H, année 2014 -- filière MP

Ü 29 -- En déduire l'expression de v en fonction de PE, 0, p, Lf, c, T f et T 
0- Calculer la
valeur numérique de ?} pour le perçage considéré.

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 MP 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Nicolas Bruot (ENS Cachan) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré à trois applications des lasers, pour la mesure de 
distances,
la détection de proximité et le perçage en usine. Hormis la question 18, il est 
conforme
au programme en vigueur à la rentrée scolaire 2014.
· La première partie porte sur la détermination des distances astronomiques. 
Elle
suit une progression historique en commençant par les travaux d'Aristarque de
Samos. Ensuite, on s'intéresse à la détermination du rayon orbital des planètes
du système solaire à l'aide de la troisième loi de Kepler. Elle se termine par
une application rendue possible grâce à l'invention du laser : la télémétrie 
laser.
Cette partie ne présente pas de difficultés particulières.
· Dans la deuxième partie, on aborde le principe du capteur de proximité, dit
proximètre. Deux versions laser sont étudiées, l'une permettant la mesure de
petites distances, l'autre des grandes. On fait appel ici essentiellement à des
connaissances élémentaires d'optique.
· Enfin, la dernière partie est consacrée à l'usinage laser. Après quelques 
aspects
théoriques sur la diffusion thermique, la modélisation d'une opération de 
perçage laser permet d'estimer la vitesse du processus. Hormis quelques passages
calculatoires, cette partie constitue un bon entraînement aux bilans thermiques.
Cette épreuve présente l'intérêt de couvrir de nombreux aspects du programme de
première et seconde année : géométrie, mécanique, optique, électronique, 
thermodynamique, transferts thermiques sont abordés. Réussir cette épreuve 
exige avant tout
une bonne autonomie car peu de résultats intermédiaires sont fournis.

Indications
Partie I
1 On pourra utiliser la formule des sinus dans un triangle :
BC
AC
AB
=
=
sin 
sin 
sin 
2 Lorsqu'un observateur voit la Lune à demi-pleine, la ligne de visée se confond
avec la séparation jour/nuit de la Lune.
3 Utiliser la formule de la question 1.
8 Montrer à l'aide des lois de Snell-Descartes que tout rayon incident repart 
dans
une direction opposée.
9 L'énergie transportée par un photon vaut h avec h = 6,626.10-34 J.s.
Partie II
11 Raisonner dans les triangles O1 O2 P et O1 OP.
12 Différentier la formule qui relie H et  puis en déduire H.
13 Analyser l'influence de la diffraction sur la résolution du dispositif.
16 Considérer le détecteur ponctuel et chercher pour quelle valeur de  un 
signal est
observé.
18 Question hors-programme car sa résolution nécessite de connaître le modèle de
l'amplificateur opérationnel idéal.
Partie III
19 Effectuer un bilan d'énergie entre les instants t et t + dt sur une tranche 
située
entre x et x + dx.
Z x
22 Se souvenir que si F(x) =
f (t) dt, alors F (x) = f (x).
a

25 Utiliser la distribution de température trouvée à la question 22.
27 Montrer tout d'abord que le champ de température s'écrit T(x, t) = f (x - 
vt).
dT
.
28 Poser y =
dx

I. Un peu d'astrométrie
1 On note ,  et  les angles d'un triangle formé par trois points A, B et C. 
Alors,
BC
AC
AB
=
=
sin 
sin 
sin 

C

Appliqué au problème de triangulation, sachant que AB = a, on obtient

a
AC
=
sin 
sin 

A

B

Par ailleurs, dans un espace euclidien, la somme des angles d'un triangle est 
un angle
plat de sorte que  =  -  - . Comme sin( - x) = sin x, il vient
AC =

sin 
a
sin( + )

2 La Lune, éclairée par le Soleil, présente une face sombre hémisphérique (la 
nuit
lunaire) du fait :
1. de l'éloignement du Soleil (les rayons incidents sont quasi parallèles) ;
2. de la forme sphérique de la Lune.
Lune

·

·

Terre

Soleil

Lorsqu'un observateur voit la Lune à demi-pleine, alors la ligne de visée se 
confond
avec la séparation jour/nuit lunaire comme l'indique la figure. Cette 
séparation étant
perpendiculaire à la direction (SL), on a nécessairement
1/2 =

2

3 Utilisons la formule de la question 1 dans laquelle A représente la Terre, B, 
la
Lune et C, le Soleil.
TS =

sin 1/2
TL
sin(1/2 + 1/2 )

Puisque 1/2 = /2 et sin(x + /2) = cos x, on trouve
TS
1
=
= 19,1
TL
cos 1/2
Aristarque se trompe d'au moins un ordre de grandeur. En effet, la distance 
TerreSoleil est de l'ordre de 150 millions de km et celle qui sépare la Lune de 
la Terre de
l'ordre de 4.105 km, de sorte que le rapport TS/TL vaut environ 400.

La raison qui explique cet écart important est la grande sensibilité du 
résultat visà-vis de la précision de la mesure de 1/2 . En effet, Aristarque 
trouve une valeur
comprise entre 87 et 90 . Or, si l'on prend 90 pour 1/2 , on trouve un rapport
TS/TL infini. Finalement, Aristarque ne parvient qu'à donner une borne 
inférieure
au rapport TS/TL et trouve TS/TL > 19,1.
4 Le diamètre apparent  d'un astre A est l'angle sous lequel un observateur voit
celui-ci de la Terre :
Astre
Terre

·
T

·
A

2R

La Terre et l'astre A ayant des diamètres petits devant la distance qui les 
sépare, on
peut considérer l'observateur au centre de la Terre et le diamètre apparent 
suffisamment petit, de sorte que
2R
TA
où R est le rayon de l'astre et TA la distance entre l'astre et la Terre.
Lors d'une éclipse de Soleil, le disque solaire est tout juste masqué par la 
Lune, ce
qui implique des diamètres apparents identiques pour ces deux astres. Ainsi, il 
vient

R
Rs
=
TL
TS
où R est le rayon lunaire et Rs celui du Soleil. Par ailleurs, Aristarque 
trouve que le
rayon lunaire est trois fois plus petit que celui de la Terre de sorte que
R =
ce qui implique
finalement,

Rt
3

Rt
Rs
=
3 TL
TS
Rs
TS
=
> 6,37
Rt
3 TL

À l'époque d'Aristarque, l'hypothèse admise est celle d'un monde géocentrique : 
tous
les astres décrivent des cercles autour de la Terre, le Soleil compris. Or, 
Aristarque
arrive à la conclusion que le Soleil est plus gros que la Terre et il lui 
semble peu
« naturel » de faire tourner une torche (le Soleil) autour d'une mouche (la 
Terre). Sa
remarque constitue donc une première critique du géocentrisme, ceci bien avant 
le
modèle héliocentrique de Nicolas Copernic et sa première confirmation 
expérimentale
en 1727 par James Bradley !
En réalité, Aristarque sous-estime le rapport TS/TL. Le rayon terrestre est de
l'ordre de 6,4.103 km puisque le méridien mesure 4.104 km. Si l'on se souvient 
que le
diamètre apparent du Soleil est de l'ordre du demi-degré, on peut estimer le 
rayon
solaire à l'aide de la formule du diamètre apparent. On trouve environ 7.105 km 
pour
le rayon solaire, de sorte que le rapport recherché est de l'ordre de
Rs
 100
Rt
Ainsi, en réalité, le diamètre du Soleil est environ 100 fois plus grand que
celui de la Terre.