Mines Physique 2 MP 2013

Thème de l'épreuve À propos des diodes
Principaux outils utilisés électrostatique, électronique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINTJÊ)TIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2013
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPFrEIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE ]] * MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.

* Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il aura été amené à prendre.

* Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

À PROPOS DES DIODES

Les données numériques se trouvent en fin d'énoncé. Les vecteurs sont surmontés 
d'un chapeau
s'ils sont unitaires (à), ou d'une flèche dans le cas général (Ü) Pour les 
applications numériques
on fournira 3 chiffres significatifs.

Aucune connaissance préalable sur les diodes n'est nécessaire pour traiter ce 
sujet. Le symbole
électrique d'une diode est donné sur la figure 1. Idéalement, la diode est un 
composant électro--
nique ayant la propriété de ne laisser passer le courant que dans un sens.

<> Si V g 0, l'intensité i est nulle et la diode est dite bloquée.

<> Si la tension V tend à devenir positive, la diode se débloque et se comporte 
comme un fil (ce
qui annule aussitôt V). L'intensité z' est alors positive et la diode est dite 
passante.

, D
___...--
v

FIGURE 1 * Schéma électrique d'une diode.

I. -- Diode à vide

Les diodes à vide ont été les premières diodes réalisées au début du XXe 
siècle. Elles commandent
un flux d'électrons7 a l'origine du mot ( électronique >.

A pmpos des diodes

Une diode à vide est formée de deux électrodes planes parallèles, la
cathode C et l'anode A, de surface S et séparées d'une distance d.
La cathode est maintenue à un potentiel nul (VC : 0) mais elle est
chauffée par un dispositif non représenté sur la figure 2. Par effet
thermoélectronique, celle--ci libère des électrons ayant une vitesse
faible (considérée comme nulle dans la suite). Ces électrons sont
dirigés vers l'anode qui est portée au potentiel VA > 0. On admet
que les lignes de courant ainsi créées sont perpendiculaires aux
deux plaques. La zone située entre les électrodes contient donc des
électrons qui ont été émis sans vitesse initiale par la cathode.

FIGURE 2 * Diode à vide

On néglige tout effet de bord et on ne s'intéresse qu'à l'espace 
inter--électrodes dans lequel on
considère que la charge volumique @, le potentiel V, la vitesse des électrons v 
et l'intensité
électrique ] traversant une surface parallèle aux électrodes ne sont des 
fonctions que de la seule
variable 1 indiquant la distance à la cathode. L'ensemble est sous vide dans 
une ampoule de
verre non représentée sur la figure 2.

E' 1 -- Ecrire l'équation liant le potentiel V(æ) et la densité de charge g(z) 
dans l'espace
inter--électrodes.

D 2 -- Par des arguments numériques, montrer que le poids des électrons peut en 
général être
négligé devant la force électrostatique.

Dans la suite, le poids des électrons sera négligé dei/ont la force 
électrostatique. Les chocs entre
électrons seront également négligés.

D 3 -- Rappeler, en la justifiant, l'expression de l'énergie potentielle 
électrostatique d'une
charge ponctuelle q située dans une zone de potentiel électrostatique V.

D 4 -- Par un raisonnement énergétique, établir l'expression de la vitesse 
17(1) des électrons
dans la zone inter--électrodes. On donnera le résultat en fonction du potentiel 
V(æ) et des
caractéristiques de l'électron.

D 5 -- Déterminer l'expression de l'intensité électrique [(x) traversant une 
surface d'aire S
située à une distance 1 < 11 de la cathode et parallèle à celle--ci. On 
exprimera le résultat en
fonction de la densité de charge g(Æ), de la norme de la vitesse des électrons 
v(z) et de S.

E' 6 -- L'intensité I dépend-elle de 17 On justifiera sa réponse.

E' 7 -- En utilisant les résultats précédents, déterminer l'équation 
différentielle du second
ordre vérifiée par le potentiel V dans la zone inter--électrodes. On fera 
apparaître le paramètre
positif
] m

a * S_Eg E
D 8 -- Intégrer cette équation différentielle pour trouver l'expression de V(æ) 
On pourra
dans un premier temps multiplier l'équation par % pour la ramener, après 
intégration, à une
équation différentielle du premier ordre à variables séparables. On supposera 
que le potentiel
et le champ électrique sont nuls en 1 : 0.

E' 9 -- En déduire la relation entre l'intensité ] et le potentiel VA de 
l'anode. Cette relation
est connue sous le nom de loi de Child--Langmuir à une dimension.

E' 10 -- Cette relation est-elle valable quel que soit le signe de VA ? 
Expliquer physiquement
ce qui se passe lorsque cette relation n'est pas valable. Que vaut 1 dans ce 
cas?

D 11 -- Tracer l'allure de la caractéristique ] : f (V4) de la diode (pour VA 
variant sur un
intervalle centré sur 0). Une diode a vide a pour caractéristiques d : 3,00 mm 
et S : 3,00 cm2.
Indiquer l'ordonnée du point d'abscisse VA : 10,0 volts sur le graphe. Peut-on 
dire qu'un
dispositif de ces dimensions a le comportement souhaité pour une diode?

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Physique 11, année 2013 * filièm MP

D 12 -- Dans cette partie, les interactions entre électrons ont-elles été :

<> omises, alors qu'il faudrait les prendre en compte ?
<> prises en compte, mais de manière partielle?

<> prises en compte de manière exacte?

Indiquer, en la justifiant, la réponse correcte.

FIN DE LA PARTIE 1
Il. -- Diode à jonction PN

Les diodes actuelles sont construites en matériaux semi-conducteurs.

Le silicium pur est un semi-conducteur intrinsèque. Il s'y produit des 
ionisations thermiques (à
température ambiante par exemple) :

Si ? Si+ + eÎ

Un ion Si* est appelé ( trou » positif. On dit que l'ionisation crée une paire 
électron-trou. Le
silicium étant neutre, il y a autant de porteurs de charge N (électrons 
négatifs) que de porteurs
de charge P (trous positifs).

Lorsqu'un champ électrique est appliqué, les électrons et les trous se 
déplacent, assurant la
conduction électrique. En réalité, un ion Si* ne se déplace pas car il fait 
partie du réseau
cristallin. Cependant, il prend un électron a son atome de Si voisin, 
redevenant Si tandis que
son voisin est devenu Si*. Ainsi, tout se passe comme si l'ion Si* avait migré. 
Du point de Vue
de la conduction, les trous positifs se comportent donc comme des porteurs 
mobiles dont la
charge est opposée de celle de l'électron.

D 13 -- Comment évolue la conductivité d'un semi-conducteur lorsque la 
température aug--
mente? (Justifier). Ce comportement est--il le même que pour les métaux?

Semi--conducteur extrinsèque dopé N par un donneur d'électrons

Dans du silicium (de Valence 4), on peut introduire une faible proportion 
d'atomes de Valence 5
(un atome de phosphore pour 1010 atomes de silicium par exemple). L'agitation 
thermique
ionise le phosphore selon P --> P+ + e*. Cela libère un électron (porteur N) 
qui peut conduire
le courant. En revanche, l'ion P+ est fixe dans le réseau cristallin de 
silicium. Comme ses plus
proches voisins sont des atomes de silicium et non de phosphore, l'ion PJr ne 
peut pas échanger
d'électron avec un atome de phosphore voisin et ainsi donner l'illusion qu'il 
se déplace. Il ne
constitue donc pas un trou positif mobile. Ainsi, l'ajout d'atomes de phosphore 
augmente le
nombre de porteurs mobiles négatifs (N) sans changer le nombre de porteurs 
mobiles positifs
(P). Les porteurs mobiles N sont donc majoritaires : le semi--conducteur est 
dit ( dopé N >, les
atomes de phosphore étant qualifiés de donneurs d'électrons.

Semi--conducteur extrinsèque dopé P par un accepteur d'électrons

Dans du silicium (de Valence 4), on peut introduire une faible proportion 
d'atomes de Valence 3
(comme le bore par exemple). Un atome de bore capture un électron a un silicium 
Voisin, ce
qui crée un ion B* et un ion Si*. L'ion B* est fixe dans le réseau cristallin 
et ses plus proches
voisins sont des atomes de silicium et non de bore. Il ne peut donc pas, par 
échange d'électron
avec un atome de bore voisin, donner l'illusion qu'il se déplace. Ce n'est donc 
pas un porteur
mobile de type négatif (N). En revanche, l'ion Si* constitue un trou positif 
(P) mobile car
il est toujours entouré de nombreux atomes de Si dans le réseau de silicium 
cristallin. Ainsi,
l'ajout d'atomes de bore augmente le nombre de porteurs mobiles P sans changer 
le nombre de

Page 3/8 Tournez la page S.V.P.

A pmpas des diodes

porteurs mobiles N. Les porteurs mobiles P sont donc majoritaires : le 
semi--conducteur est dit
( dopé P >, les atomes de bore étant qualifiés d'accepteurs d'électrons.

Les semi--conducteurs dopés sont globalement neutres car les charges des 
porteurs libres sont
compensées par les charges fixes.

On crée une jonction PN en accolant deux blocs de silicium dopés P et N 
respectivement (Voir
figure 3).

<> Le semi-conducteur P est dopé avec N A accepteurs d'électrons par unité de 
volume.

<> Le semi-conducteur N est dopé avec N D donneurs d'électrons par unité de 
volume.

zone de

@ déplétion @

FIGURE 3 * Réalisation d'une jonction PN en :L' : 0.

Lors de l'établissement de la jonction, les électrons du semi--conducteur N 
diffusent dans le

semi--conducteur P car il y a un gradient de concentration en électrons. De 
même, les trous du

semi--conducteur P diffusent dans le semi--conducteur N a cause du gradient de 
concentration

en trous.

La diffusion, non étudiée ici, se poursuit jusqu'à atteindre l'état d'équilibre 
(simplifié) suivant.

<> La région [zA,O], initialement neutre, est complètement vidée des trous 
positifs apportés par
ses atomes accepteurs. Elle devient chargée négativement avec la densité 
volumique de charge
91, supposée uniforme pour simplifier. (Cette charge est négative car elle 
résulte de la présence
d'accepteurs ionisés, fixes dans le réseau cristallin).

<> La région [0,1 D], initialement neutre, est complètement vidée des électrons 
apportés par ses
atomes donneurs. Elle devient chargée positivement avec la densité volumique de 
charge 92,
supposée uniforme pour simplifier. (Cette charge est positive car elle résulte 
de la présence
des donneurs ionisés, fixes dans le réseau cristallin).

<> En dehors de [OEA,ÆD], le matériau n'est pas modifié.

La zone [OEA,ID] est appelée zone de déplétion ou zone de charge d'espace. En 
résumé :

<> g(r):0pouræzD,

° 9(£) : 91 P..." 1 EUR lOEA70li

<> 9(OE) : 92 pour 1 EUR [Mo]--

La largeur de la zone de déplétion est très faible devant les dimensions des 
blocs de semi--
conducteurs. On négligera donc tout effet de bord dans les directions 
orthogonales au vecteur
unitaire E:.

E' 14 -- Exprimer les densités volumiques de charge gl et 92 en fonction de N 
A, ND et la
charge élémentaire &.

D 15 -- Etablir, en la justifiant, une relation simple entre N A, N D, EA et 
(L')].

On admet que le champ électrique dans le matériau est nul en dehors de la zone 
de charge
d'espace. Dans le silicium, les lois de l'électrostatique s'appliquent en 
remplaçant EQ par 5 : 5.35...
où a, : 11,8 est la permittivité diélectrique relative du silicium.

Page 4/8

Physique 11, année 2013 * filièm MP

D 16 -- Déterminer le champ électrique Ë(z) en tout point de la zone de charge 
d'espace
(:D E [OEA,zD]). En précisant les valeurs remarquables sur le graphe, tracer la 
composante non
nulle du champ en fonction de :E (pour :L' variant sur un intervalle 
strictement plus grand que
lHÆDl)-

Conventionnellement, l'origine des potentiels sera prise en x : 0.

D 17 -- En déduire l'expression du potentiel électrostatique V(z) dans tout le 
matériau.
Tracer z >--> V(z) pour x variant sur un intervalle strictement plus grand que 
[134,19]. Préciser
les valeurs remarquables sur le graphe.

D 18 -- Exprimer la différence de potentiel Va : V(Iu) * V(OEA) entre deux 
points situés de
part et d'autre de la jonction. On exprimera V0 en fonction de e, 5, N A, N D, 
EA et 1,3.

D 19 -- Expérimentalement, on constate que Vo : 0,70V pour une jonction 
caractérisée par
N A : 1,00 - 1021 nf3 et ND : 2,00 -- 1023 m*3. Exprimer et calculer 
numériquement la largeur
10 : xD * ZA de la zone de charge d'espace dans ce cas.

FIN DE LA PARTIE II

III. -- Jonction PN polarisée

La jonction PN peut être polarisée par une différence de potentiel V imposée 
par un générateur
extérieur. Dans ce cas, on admet que le modèle précédent reste valable mais :

<> la différence de potentiel entre les régions N et P devient V0 * V;

<> les Valeurs de EA et ID s'en trouvent modifiées.

V

FIGURE 4 * Jonction PN polarisée par une différence de potentiel extérieure V. 
Les détails de
la zone de déplétion n'ont pas été représentés.

E' 20 -- Par une étude complète (non effectuée ici), on peut montrer que la 
caractéristique
théorique courant--tension de la jonction est donnée par

i=n{m<;--z>--l

avec les orientations de la figure 4, et où :

<> e est la charge élémentaire;

<> kg est la constante de Boltzmann;

<> T est la température;

<> I_? > 0 est appelé ( courant inverse de saturation >. Son amplitude, pour 
les calculs on
prendra 1,00 - 10*5 A, est habituellement négligeable dans les montages 
électroniques.

Pour une température donnée, représenter la caractéristique i(V) de la diode en 
précisant les

éléments remarquables sur le graphe. Préciser la valeur de V correspondant à i 
: 1,00A à la

température ambiante T : 293 K. Commenter ce résultat par rapport a ce qui a 
été vu pour

la diode a vide. Que représente physiquement le facteur k5T ?

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A pmpas des diodes

D 21 -- Pour justifier la dissymétrie de la caractéristique i(V) de la diode, 
expliquer en
quelques lignes les phénomènes ayant lieu dans la jonction PN :

<> quand la diode est passante (cas où i > O) ;

<> quand la diode est bloquée (cas où i : 0).

Dans la suite, on impose une différence de potentiel extérieure V négative aux 
bornes de la
diode. La diode, bloquée dans ce cas, est dite polarisée en inverse. On posera 
U : *V, avec
U > 0.

E' 22 -- On note S la surface de la jonction PN (aire de contact des deux 
semi--conducteurs
dopés). Exprimer les quantités de charges QA et QD respectivement stockées dans 
les régions
[1,49] et [0,15] en fonction de e, e, S, NA, Nu, Va et U. Donner les Valeurs 
numériques de QA
et QD pour S : 1,00n1m2 et U : 4,00V.

D 23 -- Lorsque U devient U + 6U, où 5U| << |U |, les quantités de charges QA 
et QD sont
modifiées de 5QA et 6QD (car la largeur de la zone de déplétion l'est). 
Déterminer la capacité
dynamique de jonction, définie par :

cɣ5QD
C * ($U'

Cette capacité dépend, entre autres, de la tension U . Donner sa valeur 
numérique pour
U : 4,00 V.

FIN DE LA PARTIE III

IV. -- Récepteur radio

On rappelle que la forme canonique du membre de gauche d'une équation linéaire 
d'ordre 2 à

coefficients constants est :
WD

Q

où me est la pulsation caractéristique et Q est le facteur de qualité. On 
notera j le nombre
complexe tel que j2 : il.

ä+ $+mäs:....

D 24 -- On considère le circuit électrique de la figure 5 constitué d'une 
bobine d'inductance
L : 3,20 -- 10*8 H, d'une résistance H : 1,00 - 1055) et d'un condensateur de 
capacité
C : 5,00 - 10*11 F. Le générateur de courant délivre l'intensité i(t) : i... 
cos(wt), d'amplitude
i... > 0 et de pulsation w. On note V(t) : V... cos(wt + 40) la tension aux 
bornes du condensa--
teur, une fois le régime permanent sinusoïdal établi (avec V... > 0). 
Déterminer la fonction de
transfert complexe fi de ce montage, définie par :

ll<

E:

.5

où ! et i sont les grandeurs complexes associées à V et i.

<> Donner les expressions littérales de la pulsation caractéristique nm et du 
facteur de qualité Q
du montage en fonction de R, L et C.

<> Donner les valeurs numériques de MD et Q.

<> Exprimer la fonction de transfert en fonction de LJ, w.; et Q.

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Physique 11, année 2013 * filièm MP

L % R c:: V

FIGURE 5 * Circuit électrique alimenté par un générateur d'intensité.

D 25 -- Tracer le diagramme asymptotique de Bode ainsi que le vrai diagramme 
(gain en
décibels et phase en fonction de u} en échelle logarithmique) en le justifiant 
brièvement et en
faisant figurer tous les éléments remarquables sur le graphe.

D 26 -- Définir et déterminer largeur de la bande passante (a mi--puissance) de 
ce circuit.
Donner sa Valeur numérique.

Tout récepteur radio contient un circuit oscillant servant a générer un signal 
sinusoïdal. Pour
sélectionner la station radio voulue parmi toutes celles reçues par l'antenne, 
la fréquence de la
sinusoïde générée par ce circuit interne doit être la même que celle de la 
fréquence porteuse
de la station (cela sert également pour la démodulation du signal FM, non 
étudiée dans ce
problème). On utilise le circuit de la figure 6.

circuit varicap

LË R c__ 5

®U cte>0â

FIGURE 6 * Oscillateur électrique de récepteur radio.

Il s'agit du même circuit que sur la figure 5, auquel on a ajouté un circuit ( 
varicap >, en grisé
sur le schéma. Ce circuit contient un générateur de tension continue positive 
et une diode a
jonction PN comme celle étudiée dans les parties II et III. La résistance R' 
joue simplement
le rôle de limiteur de courant, pour éviter que la diode ne soit parcourue par 
un courant de
saturation inverse trop grand. La capacité C. est grande devant les autres 
capacités du circuit.

E' 27 -- Justifier que, du point de vue du générateur de courant sinusoïdal 
haute fréquence i,
le circuit de la figure 6 est équivalent au circuit de la figure 7, où C' est 
la capacité dynamique
de jonction de la diode (qui a été exprimée a la question 23). Expliquer en 
particulier le rôle
du condensateur C,u

LË H C ("

FIGURE 7 * Circuit électrique équivalent à l'oseillateur du récepteur radio.

Page 7/8 Tournez la page S.V.P.

A pmpas des diodes

D 28 -- Le circuit est construit avec les valeurs suivantes :

<> L :3,20-10*£H;

<> C : 5,00 - 10*11 F.

Dans quel intervalle de Valeurs faut-il faire varier la tension U pour que la 
fréquence propre fo
du circuit soit dans la bande FM (entre 87,5MHZ et 108 MHZ)?

D 29 -- Quel est le rôle de la résistance R dans le montage? Comment vaut--il 
mieux la
choisir?

FIN DE LA PARTIE IV

Notations et valeurs numériques

permittivité électrique du vide : ED : 8,85 - 10*12 F - Inf1 ;

permittivité diélectrique relative du silicium : E, : 11,8,

perméabilité magnétique du vide : pg : 47r - 104 H - nf1 '

<>

<>

° 1
<> célérité de la lumière dans le vide : c : 3,00 - 10E rn - s*1 ;
<> charge électrique d'un électron : q : fe : f1,60 - 1049 C;
<> constante de Boltzmann : kB : 1,38 - 10*23 J - Ki1 ;

<> masse d'un électron : m : 9,11 - 10*31kg;

(> 2

intensité du champ de pesanteur terrestre g : 9,81 m - s* ;

FIN DE L 'ÉPREUVE

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 MP 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hadrien Vroylandt (ENS Cachan) ; il a été relu par
Rémy Hervé (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (ENS Ulm).

Ce sujet porte sur un dipôle électronique non linéaire, souvent évoqué en classe
préparatoire mais peu étudié en détail : la diode.
· La première partie du sujet s'intéresse aux propriétés de la « diode à vide »,
qui fut la première réalisation d'une diode. À partir d'hypothèses simples, on
aboutit à la caractéristique courant-tension du dipôle. Cette partie se base
sur l'électrostatique dans le vide et sur l'étude du mouvement des particules
chargées en mécanique.
· Les deuxième et troisième parties sont très liées, puisqu'elles portent sur la
réalisation d'une diode avec une jonction de semi-conducteurs, puis sur l'effet
d'une différence de potentiel appliquée aux bornes de la jonction. On exprime
la tension de seuil de la diode à jonction puis on s'intéresse aux propriétés 
dynamiques d'une diode bloquée. En plus de l'électrostatique, des notions 
d'électronique microscopique et d'électrocinétique sont nécessaires.
· Enfin, la dernière partie étudie l'utilisation du dispositif de la troisième 
partie
dans un montage électronique, un récepteur radio. On explique les conditions
d'utilisation de la diode dans ce montage, dans le cadre de l'électrocinétique
des régimes sinusoïdaux forcés.
Ce sujet demande avant tout une analyse physique des résultats ; la 
compréhension des phénomènes physiques était essentielle pour réussir. Il 
permet de s'entraîner
intensivement à l'électrostatique et à l'électronique.

Indications
Partie I
2 Pour le champ électrique, on peut par exemple prendre 1 V/m.
5 Orienter la surface pour obtenir une intensité positive.
6 Utiliser la conservation de la charge en régime stationnaire.
7 Partir des relations des questions 1 et 4.
9 Par continuité du potentiel, V(x = d) = VA .
12 Les grandeurs utilisées dans cette partie sont des grandeurs mésoscopiques.
Partie II
13 Qu'arrive-t-il au nombre de trous et d'électrons quand la température 
augmente ?
15 Penser à la conservation de la charge.
16 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss.
19 Partir des résultats des questions 15 et 18.
Partie III
21 S'appuyer sur les éléments fournis par l'énoncé pour justifier que les 
migrations de
charge entre les deux régions dopées sont possibles si les électrons arrivent 
par la
région dopée N (V > 0) et impossibles s'ils arrivent par la région dopé P (V < 
0).
22 Utiliser les résultat des questions 14, 15 et 18.
Partie III
27 Quel impact aurait la tension U sur le montage en l'absence de la capacité 
Ci ?
Comment la capacité y remédie-t-elle ?
28 Utiliser les résultats des questions 23 et 24.

À propos des diodes
I. Diode à vide
1 L'équation de Poisson liant le potentiel et la densité de charges est

=0
V +
0
le potentiel V n'étant supposé dépendre que de x, toutes les dérivées selon y 
et z
sont nulles, d'où

d2 V
+
=0
dx2
0
2 Calculons, d'une part le poids d'un électron et d'autre part la force 
électrostatique
pour un faible champ électrique :
· Le calcul du poids donne |Fpoids | = |mg| = 8,94 · 10-30 N ;

· Pour le calcul de la force électrostatique, prenons le champ électrique créé 
par
une différence de potentiel U de 1,00 V sur une distance d de 1,00 m ; on 
obtient
|Félec | = |eE| = |eU/d| = 1,60 · 10-19 N.

La force électrostatique créée par ce champ faible étant supérieure de plusieurs
ordres de grandeur au poids, celui-ci est négligeable devant la force 
électrostatique.
3 La force électrostatique a pour expression
-

-
F élec = q E
--
= -q grad V
--

-
F élec = - grad qV

et donc, par définition d'une force conservative,
--

-
F élec = - grad Epot
D'où,

Epot = qV + Cte

Dans la suite, on choisit de prendre la constante égale à zéro.
4 En l'absence de forces dissipatives le théorème de l'énergie mécanique s'écrit
Etot (x) = Etot (0)
m 2
v (x) - eV(x)
2
Comme, en x = 0, la vitesse des électrons et le potentiel électrostatique sont 
nuls :
m 2
v (x) - eV(x) = 0
2
avec

Par conséquent,

Etot (x) =

-

v (x) =

r

2e V(x) -

ex
m

5 La densité de courant s'exprime par -
 (x) = (x)-
v (x). L'intensité électrique I(x)
traversant une surface d'aire S située à une distance x de la cathode et 
parallèle à
celle-ci est alors
ZZ

-

-
I(x) =
 (x) · d S
S

=

ZZ

S

I(x) = -

-

(x)-
v (x) · d S

ZZ

(x)v(x) dS
S

car  < 0 et v(x) est la norme de la vitesse. Par suite,
I(x) = -(x) v(x) S
Le signe est ici affaire de convention puisqu'il dépend du choix d'orientation

-
du vecteur d S . Il y a donc ambiguïté puisque l'énoncé ne précise pas 
explicitement le signe que l'on doit obtenir. On a choisi une intensité 
positive pour
être cohérent avec la question 7, plus précisément pour garantir la positivité
de la constante a qui y est définie.
6 On a, en tout point de l'espace inter-électrodes, l'équation de conservation 
suivante qui découle de la conservation de la charge
j

=-
t
x
La charge volumique ne dépendant pas du temps par hypothèse, il vient
j
=0
x
Le débit de charge est donc constant en tout point de l'espace 
inter-électrodes, d'où
L'intensité I ne dépend pas de x.
7 En remplaçant la densité de charges et la vitesse des électrons par les 
expressions
obtenues aux questions 1 et 4, on obtient
r
d2 V 2e V
I = S0
dx2
m
d'où

d2 V
a
= 
dx2
V

On peut remarquer que si un choix différent avait été fait pour le signe de
l'intensité, la constante a serait négative et non positive comme dans l'énoncé.