Mines Physique 2 MP 2009

Thème de l'épreuve Oscillations de puissance à haute fréquence
Principaux outils utilisés électromagnétisme, électrostatique, mécanique du point

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2009
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE­EIVP, Cycle
international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

OSCILLATIONS DE PUISSANCE A HAUTE FREQUENCE
L'enonce de cette epreuve comporte deux parties completement independantes. Les 
vecteurs sont
representes en caracteres gras : v, E. Un systeme d'axes orthonormes direct 
Oxyz est associe a la base
cartesienne (ex , ey , ez ). Pour toute grandeur a, on note a = da/dt.
Historiquement, les tubes a vide et a faisceaux d'electrons (qui ont donne son 
nom a l'electronique)
ont progressivement ete remplaces par des composants a semi-conducteurs 
(diodes, transistors, etc.).
Toutefois, les tubes a circulation d'electrons dans le vide (klystron, 
magnetron) restent d'un emploi
courant dans le domaine des hautes frequences et des fortes puissances. Ce 
probleme decrit ces deux
dispositifs toujours largement utilises.

I. -- Le magnetron, oscillateur hyperfrequences
Un magnetron (systeme equipant tous les fours a
micro-ondes) est constitue d'un tube a vide et de
deux electrodes, cylindriques et coaxiales. Un champ
electrique intense regne dans l'espace inter-electrodes,
et les electrons, emis par la cathode centrale, se dirigeraient vers l'anode 
externe a grande vitesse si le
champ magnetique etait absent (fig. 1). On impose un
champ magnetique stationnaire qui, courbant les trajectoires electroniques, les 
amene a rester contenues dans
F IG . 1 ­ Le magnetron (vue d'ensemble) l'espace inter-electrodes.

OSCILLATIONS DE PUISSANCE A HAUTE FREQUENCE

Les electrons acquierent alors des trajectoires rapidement tournantes et leur 
passage devant des cavites
resonantes provoque l'apparition, dans celles-ci, de champs electromagnetiques 
rapidement variables.
Dans les fours a micro-ondes a usage domestique, la frequence d'emission est 
normalisee a f0 =
2, 45 GHz. Le rayonnement micro-onde est alors conduit vers la zone a chauffer 
par un guide d'ondes.
Le magnetron a ete invente par le physicien americain A LBERT H ULL en 1921 et 
perfectionne par
le physicien japonais K INJIRO O KABE en 1928. Il a ete mis en application des 
la seconde guerre
mondiale comme source d'ondes de haute frequence pour les systemes radar en 
Grande-Bretagne.
Ce qui suit n'est pas une description complete du magnetron, mais seulement une 
mise en equations
de certains mouvements possibles des electrons dans le magnetron. En cas de 
besoin on rappelle
l'expression des operateurs divergence et gradient dans le systeme de 
coordonnees associe a la base
cylindrique {er , e , ez } representee sur la figure 2
1 
1 

(K.e ) + (K.ez )
(r K.er ) +
r r
r 
z
1f
f
f
Pour tout champ scalaire f (r,  , z), grad f =
e +
er +
ez
r
r 
z

Pour tout champ de vecteur K  R3 , divK =

Dans tout ce probleme on negligera le poids des electrons.

I.A. -- Le magnetron sans champ magnetique
Le schema de la figure 2 represente la cavite, vide, comprise
entre l'electrode interne (cathode), cylindrique de rayon a,
portee au potentiel nul, et la cavite externe, cylindrique
de rayon b > a, portee au potentiel constant V0 > 0. On
considere un point M, de coordonnees cylindriques (r,  , z)
dans la base {er , e , ez }, represente sur la figure 2.
1 -- En negligeant tout effet de bord, determiner le potentiel electrostatique 
V (r) en M situe dans l'espace interelectrodes, suppose vide.

F IG . 2 ­ Le magnetron (vue de face)

2 -- Des electrons sont emis au niveau de la cathode
par effet thermoelectronique a vitesse initiale negligeable.
Quelle est leur trajectoire ? Exprimer r = dr/dt pour un
electron situe en M en fonction de r, de sa charge -e, de
sa masse m et des quantites V0 , a et b.

3 -- Exprimer la duree  du trajet de la cathode a l'anode. On posera f (u) =

Z u
dx
1

 .
ln x

I.B. -- Le magnetron vide, avec un champ magnetique.
On considere toujours que l'espace inter-electrodes est vide, soumis a la meme 
repartition V (r) de
potentiel electrostatique que celle decrite a la question 1 ; on lui superpose 
le champ magnetostatique
B = B0 ez , uniforme et stationnaire, orthogonal au plan de la figure 2.
4 -- Montrer que la trajectoire d'un electron, emis au niveau de la cathode 
sans vitesse initiale, est
plane. On pourra decrire ce mouvement en coordonnees polaires (r,  ), en 
projection sur la base polaire (er , e ). Montrer que l'energie mecanique de 
cet electron est conservee. En deduire une constante
du mouvement sous la forme d'une relation entre r, r,  , V0 , a, b, e et m.
5 -- En ecrivant le theoreme du moment cinetique pour le mouvement de 
l'electron, deduire
l'existence d'une autre constante du mouvement faisant apparaitre B0 .
Page 2/7

Physique II, annee 2009 -- filiere MP

6 -- On appelle champ de coupure la valeur minimale Bc du champ magnetique B0 
que l'on doit
imposer pour qu'aucun electron ne puisse atteindre l'anode. Exprimer Bc en 
fonction de a, b, V0 , e et
m. Donner l'expression approchee de Bc si b  a ; cette relation porte le nom 
d'equation de H ULL.
On note  la valeur prise par la vitesse angulaire d /dt au moment ou l'electron 
est le plus eloigne
de la cathode, a la distance r0 < b de l'axe du magnetron, et c la valeur 
particuliere de  si r0  b.
Exprimer c en fonction de e, V0 , m et b.

I.C. -- Le magnetron, avec charge d'espace et champ magnetique.
On etudie un mode particulier de fonctionnement du magnetron (mode de B 
RILLOUIN) dans lequel
tous les electrons qui ne sont pas dans le voisinage immediat de la cathode ont 
un mouvement circulaire d'axe Oz a la meme vitesse angulaire B . Les potentiels 
des electrodes de rayon a et b sont
inchanges, le champ magnetique est toujours constant et selon ez .
7 -- Montrer que le mode de B RILLOUIN n'est pas compatible avec le potentiel 
electrostatique issu
de l'hypothese d'un espace interelectrode vide. Expliquer pourquoi la prise en 
compte d'une charge
dans l'espace interelectrode peut eventuellement permettre d'obtenir un mode de 
B RILLOUIN.
8 -- Determiner l'expression du potentiel V (r) entre les electrodes qui permet 
d'obtenir le mode
de B RILLOUIN ideal, c'est-a-dire celui pour lequel tous les electrons sont en 
mouvement circulaire a
vitesse angulaire B constante. On exprimera V (r) en fonction de V0 , r, a et b 
et on constatera que
ce mode ne peut etre obtenu que pour une valeur particuliere BB du champ 
magnetostatique que l'on
determinera en fonction de B , e, m, V0 , a et b.
9 -- On considere toujours que les electrons sont emis a vitesse nulle a la 
cathode. Montrer que
pour un mode de B RILLOUIN ideal, seuls les electrons situes loin de la cathode 
(r  a) possedent
approximativement l'energie mecanique qu'ils avaient au moment de leur 
emission. Exprimer pour
ces electrons peripheriques BB et B en fonction de e, m, b et V0 .
10 -- On donne b = 5 mm, m = 9, 1 × 10-31 kg et e = 1, 6 × 10-19 C. Comment 
choisir V0 pour
obtenir des oscillations peripheriques de frequence B / (2 ) = 2, 45 GHz ? 
Quelle doit etre la valeur
de BB ?
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Le klystron, amplificateur hyperfrequence
Cette partie decrit le principe de fonctionnement du klystron a deux cavites, 
dispositif amplificateur
de tension hyperfrequences invente en 1937 par W ILLIAM H ANSEN, RUSSELL et S 
IGURD VARIAN.
Le fonctionnement du klystron a deux cavites est fonde sur la modulation de 
vitesse d'un faisceau
d'electrons. Ses inventeurs decrivaient le principe du klystron au moyen de 
l'analogie suivante : « imaginez un flot continu de vehicules circulant de San 
Francisco a Palo Alto ; si les voitures quittent San
Francisco a intervalles reguliers et avec la meme vitesse, alors, jusqu'a leur 
arrivee a Palo Alto, elles
seront regulierement espacees et on observera un flux uniforme de vehicules. 
Mais supposez que,
d'une maniere quelconque, la vitesse de certaines voitures puisse etre 
legerement augmentee a leur
depart de San Francisco, tandis que d'autres seraient legerement ralenties. 
Alors, au fur et a mesure
de leur trajet, les voitures rapides rattraperaient les plus lentes et elles 
formeraient des paquets. Ainsi,
si la vitesse des voitures est assez differenciee et la duree du trajet 
suffisante, le flux uniforme serait
transforme. Dans le cas ideal, l'arrivee a Palo Alto se produirait en groupes 
clairement definis ». De
la meme facon, dans un tube a electrons, le controle du flux d'electrons peut 
suivre le meme principe
de « formation de paquets » par modulation de la vitesse plutot que par un 
controle direct du flux par
une electrode de sortie.
Le klystron est un tube a electrons (particules de masse m et de charge -e 
supposees non relativistes
dans tout le probleme) utilise en modulation de vitesse, decrit sur la figure 
3. Les electrons sont emis
dans le vide qui regne dans la cavite par effet thermoelectronique dans un 
canon a electrons forme
Page 3/7

Tournez la page S.V.P.

OSCILLATIONS DE PUISSANCE A HAUTE FREQUENCE

F IG . 3 ­ Principe du klystron a deux cavites
d'une cathode chauffee (K), portee au potentiel VK = 0, d'une grille de 
focalisation (F) et d'une grille
d'acceleration (A) portee au potentiel constant VA > 0. La sortie des electrons 
de la cathode chauffee
se fait a l'abscisse zK < 0, a vitesse initiale negligeable.
Apres la traversee de la grille d'acceleration, positionnee a l'abscisse zA = 
0, les electrons forment un
faisceau homocinetique, de vitesse u0 = u0 ez , colineaire a l'axe du klystron. 
Ils atteignent deux grilles
dites de modulation, (M1 ) et (M2 ) separees par la distance d et 
respectivement portees aux potentiels
VA et VM = VA +Vo sin ( t). La frequence f =  / (2 ) est imposee par un 
oscillateur non decrit ici.
On designe par  + d la distance OM et l'on suppose que d   (voir figure 3).
A la sortie de la zone de modulation, les electrons de vitesse u = uez 
traversent un espace de glissement de longueur L avant d'atteindre les grilles 
de detection, (D1 ) et (D2 ) separees par la distance d
et respectivement portees aux potentiels VM et VD ; on suppose que d  L (voir 
figure 3). Enfin, une
anode An collecte les electrons qui ont traverse le systeme sans etre 
interceptes.
Dans tout le probleme, on notera I(z,t) le courant electrique qui circule, a 
l'instant t et a la cote z,
dans une section droite du tube orientee dans le sens des z decroissants de 
sorte que I (z,t) soit positif.
On neglige tout champ magnetique et l'on suppose que le potentiel electrique 
qui regne dans le tube
n'est fonction que de z et du temps t : V = V (z,t) ; pour cette raison, a 
partir de la question 13, le
champ electrique dans le tube sera note E = E(z,t)ez .

II.A. -- Etude du faisceau d'electrons dans le tube
Dans la region 0 < z < , on notera I0 = I (z) le courant electrique qui 
traverse le tube ; le faisceau electronique
est suppose cylindrique, de rayon a, de section s =  a2 .
On pourra utiliser les coordonnees cylindriques (r,  , z)
exprimees dans la base cylindrique locale {er , e , ez }
representee sur la figure 4.
11 -- Representer sur un schema le sens du courant I0 .
Exprimer I0 en fonction de a, uo et de la charge volumique
electronique  , supposee uniformement repartie dans le cylindre. Montrer que le 
champ electrique Ec cree par cette
distribution cylindrique de charges ne depend que de la distance radiale r a 
l'axe du cylindre. En deduire l'expression
de Ec (r) en fonction de r, de la permittivite du vide 0 ainsi
que de I0 , u0 , et a.

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x
ex

e - r ez a
e

µ

r e
µ

O

z

ey

y
F IG . 4 ­ Coordonnees cylindriques

Physique II, annee 2009 -- filiere MP

12 -- On considere qu'un electron situe a la peripherie du faisceau evolue dans 
le champ uniforme
Ec (a). Calculer la deviation radiale r qu'il subit en fonction de e, m, Ec (a) 
et de  = /uo la duree
du trajet d'un electron peripherique entre (A) et (M1 ). En deduire que l'on ne 
peut considerer que le
faisceau d'electrons reste approximativement cylindrique qu'a une certaine 
condition, que l'on ecrira
sous la forme I0  I1 . On exprimera I1 en fonction de m, e, a, u0 , 0 et . On 
dira alors que l'on
neglige la defocalisation du faisceau. On fera cette approximation dans toute 
la suite du probleme.
13 -- Exprimer, en fonction de I0 , u0 , s et 0 , l'equation differentielle qui 
regit les variations de
E(z,t) en fonction de z dans la region 0 < z < . En deduire le potentiel V 
(z,t) en fonction VA , Io , u0 ,
s, 0 , z et . A quelle condition (exprimee sous la forme I0  I2 ) peut-on 
considerer que V (z,t) est
uniforme dans cette region ? On exprimera I2 en fonction de VA , s, u0 et . 
Expliquer pourquoi cette
approximation consiste a negliger la charge d'espace dans le tube. On fera 
cette approximation dans
toute la suite du probleme.
14 -- Determiner l'expression de V (z) pour zK < z <  + d + L et tracer la 
courbe correspondante.
15 -- Determiner la vitesse u des electrons qui traversent la grille de 
modulation (M2 ) a l'instant
t, on l'exprimera en fonction de u0 ,  , t et de  = V0 /2VA . Donner une 
expression approchee de u
lorsque   1 ; on se placera dans ce cas dans toute la suite du probleme.
16 -- Expliquer pourquoi le generateur qui alimente les grilles de modulation 
ne fournit, en
moyenne aucune energie. Quelles causes consommatrices de puissance, non prises 
en compte dans ce
qui precede, pouvez-vous imaginer au niveau du dispositif de modulation ?

II.B. -- Etude de la modulation de vitesse du faisceau d'electrons
17 -- On considere ici des electrons qui sont passes par la grille de 
modulation (M2 ) a l'instant
t1 ; on pose 1 =  t1 . Ces electrons atteignent la grille de detection (D1 ) a 
l'instant t2 ; on posera
2 =  t2 , 0 =  L/u0 et k =  0 . Quelles sont les dimensions physiques de 1 , 2 
, 0 et k ? En se
limitant au premier ordre en  , exprimer 2 en fonction de 1 , 0 et k.
18 -- Sur un intervalle symetrique centre en 0, tracer l'allure des courbes 
donnant 2 - 0 en
fonction de 1 pour k = 0, k = 0, 5 et k = 1. Expliquer pourquoi k porte le nom 
de parametre de
groupement.
19 -- Dans cette question seulement, on considere que k = 1. L'etude precedente 
montre que
l'on peut regrouper les electrons. Pour fixer les idees, considerons 
l'intervalle de temps dt1 centre
sur 0 de telle maniere que -dt1 /2 < t < dt1 /2, tel que tous les electrons qui 
ont ete emis de (M2 )
pendant une duree dt1 arrivent sur (D1 ) pratiquement au meme instant t2 , a 1% 
pres. Determiner dt1
en fonction de L,  et u0 . A quelle fraction  de la periode du signal de 
modulation VM (t) cette duree
correspond-elle ?
Application numerique : on donne m = 9, 1 × 10-31 kg, e = 1, 6 × 10-19 C, VA = 
75 kV, L = 10 cm
ainsi que  = 5, 98 × 109 rad.s-1 . Determiner dt1 et  .
20 -- On considere que la duree du trajet d'un electron entre (M1 ) et (M2 ) 
est nulle. L'intensite
du courant electrique qui atteint la grille de modulation (M2 ) a l'instant t1 
est donc I0 . On note I(1 )
l'intensite du courant electrique qui atteint la grille de detection (D1 ) a 
l'instant t2 . Relier I(1 ), I0 et
d2 /d1 . En deduire que
I0
I(1 ) =
1 - k cos 1
21 -- On note  =  (t2 - L/uo ) la phase de l'onde de courant qui se propage le 
long de l'axe du
klystron, a l'instant ou cette onde atteint la grille de detection (D1 ). 
Exprimer  en fonction de k et
1 . Montrer que, si k  1, le courant I(1 ) peut etre considere comme une 
fonction de  . Quelle est
la periode T de cette fonction ? Est-ce une fonction paire ou impaire de  ?

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Tournez la page S.V.P.

OSCILLATIONS DE PUISSANCE A HAUTE FREQUENCE

22 -- On cherche la decomposition de Fourier de I( ) sous la forme :

I( ) = hIi +  an cos 2 n
+  bn sin 2 n
T
T
n=1
n=1
Determiner hIi, puis bn pour tout n  1. On donne l'expression integrale de la 
fonction de Bessel de
Z
premiere espece d'ordre p :
1 
cos ( sin  - p ) d
J p ( ) =
 0
Exprimer simplement an en fonction de I0 et de Jn (nk). On conservera cette 
expression dans la suite
meme si k > 1.

II.C. -- Dimensions et accord du klystron
L'onde de courant parvenant au detecteur sera detectee sous
la forme du courant alternatif iD (t) ; celui-ci s'ecrit, en se
limitant au premier terme de la serie de Fourier, proportionnellement a la 
fonction de Bessel J1 ( ) :

L
L
iD (t) = 2 I0 J1 
cos  t -
u0
u0
ou  est le rendement de detection, et I0 le courant strictement positif produit 
par le canon a electrons. Le trace de
J1 ( ) est reporte sur la figure 5. On notera que J1 ( ) = 0
pour 01 = 3, 83 et 02 = 7, 02 ; le premier maximum de
J1 ( ) est atteint pour m = 1, 84 et vaut J1 (m ) = 0, 58.

F IG . 5 ­ Fonction de Bessel J1 ( )

23 -- A quelle distance Lm de la grille de modulation (M1 ), la grille de 
detection (D1 ) doit-elle
etre placee pour obtenir un courant detecte d'amplitude maximale ? On exprimera 
Lm en fonction de
la frequence f du signal de modulation, de VA ,  , m, e et m .
24 -- On donne m = 9, 1 × 10-31 kg, e = 1, 6 × 10-19 C, VA = 75 kV,  = 0, 5 et 
L = 10 cm. Calculer la frequence f pour laquelle est accorde le klystron. Dans 
quel domaine spectral cette frequence
se situe-t-elle ?

II.D. -- Etude du systeme de detection
Le systeme des deux grilles de detection est ici assimile a deux plans 
metalliques, parfaitement conducteurs, disposes a la distance d l'un de 
l'autre. On note
O1 et O2 les intersections des deux grilles de detection
(D1 ) et (D2 ) avec l'axe Oz. On considere qu'a un
instant donne, un seul electron, note , se trouve
entre ces deux grilles ; il a alors parcouru la distance
ze = O1  telle que 0 < ze < d dans l'espace defini par
les deux grilles (voir figure 6). Soit P1 (respectivement
P2 ) un point quelconque de la grille (D1 ) (respectivement (D2 )) repere par 
la distance r1 = O1 P1 (respectivement r2 = O2 P2 ).

F IG . 6 ­ Grilles de detection

Dans toute la partie II.D, on notera V1 et V2 les potentiels respectifs des 
grilles (D1 ) et (D2 ) dont les
dimensions transverses sont supposees tres superieures a d, de maniere a 
negliger tout effet de bord.
L'ensemble de l'etude electrique sera mene dans le cadre de l'electrostatique.
Page 6/7

Physique II, annee 2009 -- filiere MP

25 -- En l'absence de tout electron entre les grilles, determiner les densites 
surfaciques de charge
01 et 02 portees par les grilles. On les exprimera en fonction de vD = V2 -V1 , 
de d et de la permittivite du vide 0 .
26 -- En sa presence (voir fig. 6), on admet que la charge ponctuelle de 
l'electron  influence
totalement les deux plans metalliques, c'est-a-dire que toute ligne de champ 
issue d'un point Pi du
plan (Di ) passe par le point de cote ze ou se trouve l'electron. Tracer 
l'allure des lignes de champ du
champ electrique E dans l'espace compris entre (D1 ) et (D2 ). Tracer egalement 
l'allure des surfaces
equipotentielles.
En presence de cet electron, on appelle 1 et 2 les charges surfaciques aux 
points P1 et P2 , et q1 et
q2 les charges totales portees par les deux facades des grilles (D1 ) et (D2 ) 
en regard. Quels sont les
signes de 1 et 2 ? Quels sont les signes de q1 et q2 ? Justifier. Que peut-on 
dire de q1 + q2 ?
27 -- Quelles sont les valeurs limites q1i et q2i des charges q1 et q2 a 
l'instant ti ou l'electron vient
de penetrer dans l'espace de detection, c'est-a-dire lorsque ze  d ? Expliciter 
de meme les valeurs
limites q1 f et q2 f des charges q1 et q2 a l'instant t f ou l'electron va 
quitter l'espace de detection c'esta-dire lorsque ze  d. Finalement, quelle est 
la charge qD qui a circule dans les grilles de detection
lors du passage d'un electron a travers les grilles de detection ?
On note IK le courant transporte par les electrons qui circulent le long de 
l'axe du klystron, et qui
traverse les grilles de detection. Ce courant provoque la circulation d'un 
courant electrique variable
iD dans le circuit referme sur les grilles de detection.
28 -- Que vaut iD si le courant IK est constant ?
On suppose que le courant IK = hIK i + iK (t - ze /u0 ) comporte maintenant une 
partie sinusoidale
iK (t - ze /u0 ) qui se propage a la vitesse u0 . On considere la charge 
electrique circulant entre les
grilles sous l'effet du seul courant alternatif iK .
29 -- Exprimer la charge q(t) comprise, a l'instant t, entre les deux plaques, 
sous forme integrale.
Determiner la variation dq = q(t + dt) - q(t). On supposera que la largeur d 
est faible devant uo / .
En deduire le courant iD . Quel est, a la pulsation  , le rendement  du systeme 
de detection ?
FIN DE LA PARTIE II
FIN DE L'EPREUVE

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 MP 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Clothilde Heyrendt (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Antoine Bréhier (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur 
en
CPGE).

Le sujet propose d'étudier des tubes à vide et des tubes à faisceaux 
d'électrons,
éléments que l'on retrouve encore couramment dans le domaine des hautes 
fréquences
et des fortes puissances. Il est subdivisé en deux parties :
· La première porte sur le magnétron, oscillateur hyperfréquences constitué d'un
tube à vide et de deux électrodes cylindriques coaxiales. On s'intéresse au 
mouvement, entre ces électrodes, des électrons émis par la cathode centrale dans
différentes situations selon qu'il règne, entre la cathode et l'anode, un champ
magnétique constant ou non et selon qu'il y a ou non une charge d'espace.
· La seconde partie est consacrée à un dispositif amplificateur de tension 
hyperfréquences : le klystron à deux cavités. Son fonctionnement étant fondé 
sur la
modulation de vitesse d'un faisceau d'électrons, c'est ce dernier qui est étudié
en détail.
Ce problème, d'une difficulté raisonnable, est relativement calculatoire. Il 
permet
de tester ses connaissances sur la mécanique du point dans le cadre de 
l'électrostatique
et de l'électromagnétisme.

Indications
Première partie
1 Se rappeler qu'il s'agit de coordonnées cylindriques pour le calcul du 
laplacien.
2 On peut écrire la conservation de l'énergie mécanique ou appliquer le principe
fondamental de la dynamique.
4 Remarquer la conservation de l'énergie mécanique et sa valeur particulière.
5 Chercher à exprimer .
6 Utiliser les questions 4 et 5 pour éliminer .
7 Calculer le potentiel de la distribution et montrer que sa forme n'est pas 
compatible avec celle trouvée à la question 1.

Deuxième partie

-
11 Faire attention au signe de I0 et penser à vérifier la continuité de E en r 
= a.
12 Appliquer le principe fondamental de la dynamique.
13 Le potentiel varie entre une valeur minimale et VA . Pour trouver I2 , il 
faut écrire
Vmin  VA .
14 Vérifier la continuité du potentiel obtenu.
15 Utiliser la conservation de l'énergie mécanique et sa valeur particulière.
20 Écrire la conservation de la quantité d'électrons véhiculés.
25 Utiliser le théorème de Gauss au niveau de (D1 ) et de (D2 ) pour déterminer 
01
et 02 .
26 Travailler sur l'hypothèse d'influence totale.

Oscillations de puissance à haute fréquence
I. Le magnétron, oscillateur hyperfréquences
I.A

Le magnétron sans champ magnétique

1 D'après l'équation de Maxwell-Gauss et en l'absence de charges (espace 
interélectrodes supposé vide),

-
div E = 0
--

-
Comme par ailleurs E = - grad V, on peut écrire
--
div (grad V) = 0
Par invariance par rotation autour de l'axe (Oz) et par translation 
parallèlement à
cet axe, V ne dépend que de la variable r. Ainsi
--
dV -

grad V =
er
dr

--
1 d
dV
soit
div (grad V) =
r
r dr
dr

1 d
dV
On en déduit
r
=0
r dr
dr
c'est-à-dire
ou encore
Au final

r

dV
=  = Cte
dr
dV

=
dr
r

V(r) =  ln

r

+
a
où les constantes d'intégration  et  sont à déterminer en prenant en compte les
conditions aux limites
(
V(a) = 0
V(b) = V0

Par conséquent,

V(r) = V0

ln (r/a)
ln (b/a)

2 Pour étudier la trajectoire des électrons, il est nécessaire de connaître les 
forces
auxquelles ils sont soumis. La détermination du potentiel V(r) permet de 
calculer le
--

-

-
champ E par la relation E = - grad V. En coordonnées cylindriques,

-
V -
1 V -
V -

E =-
er -
e -
ez
r
r 
z
Puisque V ne dépend que de r, il reste

-
dV -

E =-
er
dr

-
V0

-
soit
E =-
er
r ln (b/a)

-

Ce champ est à l'origine de la force électrostatique Fe qui est exercée sur 
l'électron.
Connaissant cette force, on peut déterminer r = dr/dt en appliquant le principe
fondamental de la dynamique à l'électron dans le référentiel d'étude, supposé 
galiléen.
Dans ce référentiel, l'électron est soumis aux forces suivantes :
-

-
· la force électrostatique Fe = -e E ;

-
-

· son poids P = m-
g , négligeable par rapport à F .
e

Ainsi, on constate que la seule force s'exerçant sur un électron est radiale, 
et par
ailleurs, la vitesse initiale de l'électron est négligeable. On en déduit que
La trajectoire de l'électron est radiale.
Il y a conservation de l'énergie mécanique d'un électron, dans la mesure où les
forces qui s'appliquent sur ce dernier sont conservatives. En effet, la force 
électrostatique dérive d'une énergie potentielle dont l'expression est
ln (r/a)
Ep (r) = -e V(r) = -e V0
ln (b/a)
En r = a (cathode), l'énergie mécanique vaut, avec  = 0 pour une trajectoire 
radiale,
1
2
Em = m r(a) - e VA
2
Or, la vitesse de l'électron au niveau de la cathode est négligeable et le 
potentiel VA
est nul. On en déduit que, quel que soit r, l'énergie mécanique est nulle. En r 
quelconque, elle s'écrit
1
Em = m r2 + Ep (r)
2
r
-2 Ep(r)
On en tire
r =
m
s
2 e V0 ln (r/a)
r =
Finalement,
m ln (b/a)
On retrouve ce résultat en écrivant le principe fondamental de la dynamique

projeté sur l'axe dirigé par -
er , ce qui donne
dr
m
= -e E
dt
dr
e V0
d'où
m
=
dt
r ln (b/a)
Comme par ailleurs, r = dr/dt, on peut écrire dt = dr/r et remplacer dt
dans l'expression ci-dessus. Il vient
e V0 dr
m r dr =
ln (b/a) r
En intégrant entre r = a et r quelconque et en considérant que r(a) = 0,
puisque la vitesse initiale des électrons est supposée négligeable, il vient
r2
e V0
m
=
[ln r - ln a]
2
ln (b/a)
et l'on retrouve bien le même résultat.