Mines Physique 2 MP 2008

Thème de l'épreuve Ascension atmosphérique en montgolfière
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique
Mots clefs équilibre polytropique de l'atmosphère, atmosphère isotherme, montgolfière, poussée d'Archimède

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2008
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE­EIVP, Cycle
international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE
Les vecteurs sont notes en caracteres gras, et leur norme en italique : Le 
vecteur v a pour norme v.
Les valeurs des constantes physiques utiles dans les applications numeriques 
sont donnees a la fin du
texte.
Le referentiel terrestre est suppose galileen. Le champ de pesanteur, 
d'intensite supposee uniforme
g, est dirige suivant l'axe vertical ascendant Oz, et de sens oppose. Tous les 
mouvements etudies
s'effectuent suivant cet axe vertical.
Les gaz ont les proprietes du gaz parfait. La constante des gaz parfaits est 
notee R. La masse molaire
moyenne de l'air est notee Me , sa pression P, sa temperature T et sa masse 
volumique µ . On designe
par Po ,To et µo les valeurs de P, T et µ au niveau du sol (ou z = 0).
La partie III est independante des deux premieres.

I. -- Atmosphere en equilibre
I.A. -- Atmosphere isotherme
On s'interesse a l'equilibre de l'atmosphere, dont on adopte dans un premier 
temps un modele isotherme, de temperature uniforme To . On prendra To = 288 K.
1 -- Exprimer la masse volumique de l'air en fonction de P, R, To et Me .
2 -- Ecrire la condition d'equilibre statique de l'air. En deduire l'expression 
de la pression P (z) en
fonction de Po , de la hauteur barometrique H = RTo / (Me g) et de l'altitude z.
3 -- En prenant pour l'air une composition molaire de 20% en O 2 et de 80% en 
N2 , calculer la
valeur numerique de H. A quelle altitude ziso
50% la pression est elle egale a Po /2 ?

ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE

I.B. -- Equilibre polytropique
Le modele d'atmosphere isotherme precedent n'est pas realiste ; aussi, 
s'interesse-t-on a l'equilibre
polytropique : l'experience montre que, jusqu'a une altitude d'environ 10 km, 
la temperature de l'air
verifie une loi lineaire du type T = To (1 -  z) ou  = 1/zo est une constante 
positive. Cette approximation lineaire est en fait le developpement au premier 
ordre en z/zo d'une expression plus precise.
La valeur experimentale zo  33 km justifie ce developpement dans les dix 
premiers kilometres de
l'atmosphere.
4 -- Montrer que l'on peut ecrire P (z) = Po (1 -  z) et µ (z) = µo (1 -  z) -1 
ou l'on donnera
l'expression de  en fonction de H et de zo .
pol

5 -- A quelle altitude z50% la pression est-elle egale a P0 /2 ? Comparer cette 
valeur a celle obtenue
a la question 3. Ce resultat etait-il previsible ?

Figure 1

Figure 2
6 -- Un bulletin meteorologique fournit les
donnees representees graphiquement sur les Figures 1,2 et 3. La pression est 
donnee en 105 Pa,
la temperature en K, la densite en kg.m-3 et l'altitude en km Un ajustement aux 
moindres carres de
ces donnees permet d'obtenir les relations
T = 288, 14 - 6, 94 z
P = 1, 01 (T /288, 08)5,26

Figure 3

Ceci est-il compatible avec le modele polytropique ?

Dans toute la suite du probleme, on utilisera des valeurs numeriques suivantes 
: To = 288 K, Po =
1013 hPa ,  = 5 et zo = 40 km, soit  = 2, 5 × 10-5 m-1 .
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Ascension de la montgolfiere
Une mongolfiere standard reste a des altitudes raisonnables pour des questions 
evidentes de rarefaction
en dioxygene. Le modele polytropique des basses altitudes est donc bien adapte 
pour decrire son environnement atmospherique, nous l'utiliserons desormais.
Page 2/7

Physique II, annee 2008 -- filiere MP

La pression, la masse volumique et la temperature de l'atmosphere a l'altitude 
z seront notees respectivement Pe , µ e
et Te . La montgolfiere est constituee d'une enveloppe ouverte
de volume interieur Vo = 2000 m3 et d'une nacelle (voir Fig.
4). La masse totale de l'enveloppe, de la nacelle et des passagers est notee m. 
On prendra m = 500 kg ; le volume propre de
ces differents elements est negligeable. Le volume interieur a
l'enveloppe est constant, mais la masse mi de l'air chaud emprisonne a 
l'interieur de cette enveloppe est variable. La masse
de l'ensemble est donc m + mi . On suppose qu'a l'interieur de
l'enveloppe, la temperature Ti et la pression Pi sont uniformes.
L'ouverture inferieure de l'enveloppe permet de realiser en
permanence l'equilibre de pression entre l'air froid exterieur
et l'air chaud interieur. On suppose enfin que les gaz de combustion 
n'affectent pas la masse molaire Me .
Figure 4 - La montgolfiere

II.A. -- Equilibre de la montgolfiere
7 -- Exprimer la masse mi de l'air chaud dans l'enveloppe en fonction de Pe , 
Vo , Me , et RTi , puis
en fonction de µe , Vo , Te , et Ti .
8 -- A l'equilibre mecanique, la poussee d'Archimede compense le poids de la 
montgolfiere et
de l'air chaud qu'elle contient. Trouver la relation qui permet alors 
d'exprimer m en fonction de m i ,
Te et Ti .
9 -- On note zm l'altitude ou la poussee d'Archimede exercee par l'air compense 
le poids mg.
Exprimer zm en fonction de  ,  , m, µo et Vo . Calculer la valeur numerique de 
zm .
10 -- On note Td , la valeur minimale de la temperature Ti permettant le 
decollage de la montgolfiere. Etablir la relation, tres simple, liant m/ (µoVo 
) a 1 - To /Td . Calculer la valeur numerique de
Td .
11 -- Etablir la condition d'equilibre de la montgolfiere

1
1
1
1
Pe
= 1
-
-
(1)
Te Ti
To Td
ou 1 est une constante que l'on exprimera en fonction des donnees du probleme. 
En deduire la
relation, notee [E1 ], donnant a l'equilibre  Ti /Ti en fonction de  Te /Te ,  
Pe /Pe et de Ti /Te .
12 -- En utilisant les grandeurs reduites Z =  z, Zm =  zm et i = Ti /To , 
montrer que la condition
d'equilibre de la question 8 s'ecrit
(1 - Z) -1 =

(1 - Z)
m
+
µoVo
i

en utilisant a present l'expression de zm obtenue a la question 9, deduire 
l'expression de la fonction
d i
Z
7 i (Z) en fonction des parametres  et Zm . On admet que le signe de i (0) =
est le
dZ Z=0
m
- 1. Tracer rapidement l'allure de la courbe representative de i (Z) selon
meme que celui de
µoVo
les valeurs de  m/ (µoVo ). En considerant la phase de descente, expliquer 
pourquoi une montgolfiere
satisfaisant la condition  m < µoVo fait courir le risque d'un ecrasement au 
sol.
Page 3/7

Tournez la page S.V.P.

ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE

13 -- Calculer la valeur numerique Vmax du volume de l'enveloppe permettant de 
satisfaire la
condition i (0) > 0. Pour une valeur Tmax = 373 K de la temperature maximale 
acceptable pour une
mongolfiere, calculer la valeur minimale Vmin du volume de l'enveloppe qui 
permet le decollage.
Calculer les valeurs de zm associees a Vmin et Vmax .

II.B. -- Ascension par apport thermique
Pour faire monter la montgolfiere, l'aeronaute dispose d'un bruleur, qui permet 
d'apporter a l'air
interieur une petite «quantite de chaleur»  Q. La transformation subie par cet 
air est isobare et suffisamment rapide pour que la montgolfiere n'ait pas le 
temps de changer d'altitude pendant cet apport
de chaleur. Dans ces conditions, le systeme peut etre considere comme ferme.
Les capacites calorifiques molaires a pression et volume constants de l'air 
sont notees C p et Cv avec
 = C p /Cv . Elles ne dependent pas de la temperature.
La montgolfiere est en equilibre a l'altitude z, ou l'air exterieur est a la 
pression Pe et a la temperature
Te .
(1)

14 -- Determiner la variation de temperature  Ti associee a l'apport thermique, 
on l'exprimera
(1)
en fonction de ni = PeVo / (RTi ), C p et  Q. En deduire  Ti /Ti en fonction de 
 ,  Q, Pe et Vo .
(1)

15 -- Exprimer la variation de la masse d'air  mi

en fonction de Me ,  Q, C p et Ti .

L'ascension de la montgolfiere s'effectue lentement, sans autre echange 
thermique. L'air qui ne quitte
pas l'enveloppe lors de la variation d'altitude  z subit une detente 
adiabatique reversible.
16 -- La pression exterieure est toujours regie par la loi polytropique etablie 
a la question 4.
(2)
Determiner la variation de temperature  Ti de l'air interieur a l'enveloppe 
pendant cette ascension,
(2)
on l'exprimera en fonction de  ,  ,  , Ti , z et  z. On verifiera que  Ti est 
negatif.
17 -- La temperature exterieure est toujours regie par la loi lineaire de la 
partie I.B. Exprimer
en fonction de  ,  , Te et  Te .

(2)
 Ti /Ti

La variation de la temperature interne a l'enveloppe associee a l'apport 
thermique et a l'elevation de
(1)
(2)
 z est  Ti =  Ti +  Ti .

18 -- Determiner la relation tres simple entre  Pe /Pe et  Te /Te puis, en 
utilisant la relation [E1 ]
de la question 11, etablir la relation

Ti  Te

Q
- ( - 1)
= 2

Te Te
PeVo

ou 2 est une constante que l'on exprimera en fonction de 
Page 4/7

Physique II, annee 2008 -- filiere MP

19 -- La Figure 5
represente le diagramme
 = 5,
pour
(i , Z)
m = 500 kg et Vo = 2000 m3 .
La situation initiale, avant
apport
thermique,
est
representee par le point noir.
Placer sur ce diagramme,
reproduit
grossierement
dans votre copie, les points
representatifs des transformations conduisant aux
(1)
(2)
variations  Ti
et  Ti
de la temperature de l'air
dans l'enveloppe lors de la
montee.

Figure 5 - Diagramme (i , Z)

II.C. -- Descente par apport d'air froid
Pour faire descendre la montgolfiere, l'aeronaute dispose d'une trappe qui 
permet de laisser l'air
chaud s'echapper. Une petite quantite d'air froid, de volume  V et de 
temperature initiale Te , est
admise dans l'enveloppe et remplace le volume correspondant d'air chaud. La 
montgolfiere n'a pas
le temps de changer d'altitude pendant l'etablissement de l'equilibre 
thermique. Toutes ces transformations se font a la pression atmospherique 
exterieure Pe . Le melange d'air chaud (n moles a la
temperature initiale Ti ) et d'air froid ( n moles) s'effectue sans variation 
d'energie interne.
(3)

20 -- Montrer qu'a l'equilibre, la variation de temperature  Ti de l'air 
interieur a l'enveloppe
verifie, apres l'entree d'air froid, la relation
(3)

 Ti
Ti

= f (Ti /Te )

V
Vo

ou f est une fonction simple dont on precisera l'expression.
21 -- La descente de la montgolfiere s'effectue lentement, sans echange de 
chaleur supplementaire.
(2)
L'expression de  Ti /Ti etablie a la question 17 est toujours valable. La 
variation de temperature
(3)
(2)
interne pendant la descente est maintenant  Ti =  Ti +  Ti . En procedant comme 
a la question
18, relier  Ti /Ti a  Te /Te , pour en deduire  Te /Te en fonction de  V /Vo , 
Ti , Te ,  et  .
22 -- En utilisant le meme point de depart, placer sur le diagramme de la 
Figure 5, reproduit
grossierement dans votre copie, les points representatifs des transformations 
conduisant aux variations
(3)
(2)
 Ti et  Ti de la temperature de l'air dans l'enveloppe lors de la descente.
FIN DE LA PARTIE II

Page 5/7

Tournez la page S.V.P.

ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE

III. -- Forme de l'enveloppe de la montgolfiere
La nacelle de la montgolfiere est maintenue par N filins qui enserrent 
l'enveloppe et forment des
meridiens regulierement espaces de l'angle 2 /N. L'enveloppe possede la 
symetrie de revolution
autour de l'axe vertical.
On nomme z la cote des points situes audessus de l'ouverture inferieure de 
l'enveloppe et r le rayon de cette enveloppe a la
cote z. Les axes portant z et r ont pour vecteurs unitaires ez et er . On 
considere aussi
les vecteurs unitaires t(z) et n(z) tangent
et normal au filin au point de cote z. La
condition d'equilibre d'un element de surface de l'enveloppe determine sa forme,
c'est-a-dire la relation r (z). Cette condiditon relie la tension des filins F 
a la force
de force de pression K. On neglige l'action du champ de pesanteur sur 
l'enveloppe et les filins. On suppose que les
pressions de l'air a l'interieur, Pi (z), et
a l'exterieur, Pe (z), de l'enveloppe sont
des fonctions lineaires de z, telles que
Pi (0) = Pe (0). Les masses volumiques interne µi et externe µe sont quant a 
elles
supposees uniformes. La figure 6 indique
les forces agissant sur un element de filin
Figure 6 - Representation des forces s'exercant
de longueur d = AB . L'element de sursur une longueur elementaire d = AB du 
filin
face associe, entre 2 meridiens, est dS =
2 r d/N avec d2 = dr2 + dz2 .
23 -- Justifiez et commentez l'hypothese de linearite des pressions. Exprimer, 
en fonction de g,
µi , µe et de la cote z, la difference des pressions P (z) qui gonfle 
l'enveloppe.
24 -- Ecrire la condition d'equilibre de l'element de filin de longueur d sous 
la forme d'une
d [F(z)t(z)]
dK
relation [E2 ] entre
et
n(z). En deduire que le module F de la force F de tension des
dz
dz
filins est constant sur toute leur longueur.
25 -- Exprimer les composantes de la force de pression dK appliquee a un 
element de surface de
l'enveloppe compris entre deux filins consecutifs et les paralleles de cotes z 
et z + dz. Quelle relation
existe-t-il entre dK et dK .
26 -- En ecrivant la relation [E2 ] de la question 24 dans la base (ez , er ), 
etablir une relation entre
d
dK
F,
et
.
dz
dz
dr
27 -- En considerant la relation entre
et l'angle  , montrer que l'equation differentielle verifiee
dz
par les points de l'enveloppe peut se mettre sous la forme
"
 2 #3/2
d2r
dr
= -Arz 1 +
2
dz
dz
ou A est une constante, dont on donnera l'expression et dont on precisera la 
dimension.

Page 6/7

Physique II, annee 2008 -- filiere MP

28 -- En effectuant le changement de variable z  Ak x et le changement de 
fonction r  Ak y,
montrer que l'on peut trouver une valeur pour le reel k qui permet d'obtenir 
une equation differentielle
[E3 ] independante des caracteristiques de la montgolfiere consideree dans le 
cadre des hypotheses de
ce probleme.
29 -- La Figure 7 indique l'allure de plusieurs solutions de l'equation [E3 ]. 
Ces solutions sont
telles que y(0) = 0.1 et possedent des valeurs de y (0) distinctes. La Figure 8 
est la representation
graphique de 2 solutions : y+ telle que y+ (0) = 0, 1 et y+ (0) = 1, 12 ; y- 
telle que y- (0) = -0, 1 et
y- (0) = -1, 12. Commentez ces diverses figures.

Figure 7

Figure 8
FIN DE LA PARTIE III

Valeurs numeriques utiles
Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.K-1 .mol-1 ,
Acceleration de la gravite a la surface de la Terre : g = 9, 81 m.s-1
Masse atomique de l'oxygene : MO = 16 × 10-3 kg.mol-1
Masse atomique de l'azote : MN = 14 × 10-3 kg.mol-1
FIN DE L'EPREUVE

Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 MP 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Arnaud Riegert (ENS Ulm) ; il a été relu par Alban
Sauret (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet propose d'aborder quelques aspects du fonctionnement d'une 
montgolfière, notamment son ascension dans l'atmosphère. Il utilise 
essentiellement des notions de thermodynamique de première année et de 
mécanique.
· La première partie est l'occasion d'étudier l'équilibre de l'atmosphère 
terrestre.
On y recherche les lois d'évolution de la pression dans le cas de l'atmosphère
isotherme, puis dans le modèle plus réaliste d'un équilibre polytropique.
· On s'intéresse dans la deuxième partie à l'ascension de la montgolfière dans 
l'atmosphère. Plus précisément, on cherche à déterminer la manière de contrôler 
la
température du gaz contenu dans l'enveloppe pour que la poussée d'Archimède
s'équilibre avec le poids, ainsi que les conditions qui assurent la stabilité de
l'ascension et de la descente.
· Dans la troisième partie, indépendante des deux premières, on détermine la
forme de l'enveloppe de la montgolfière, qui est soumise à des forces de 
pression
différentes à l'extérieur et à l'intérieur.
L'énoncé contient beaucoup de questions demandant des calculs simples, qu'il
faut néanmoins effectuer avec précaution. Ce point est particulièrement 
important
dans la dernière partie. Le sujet propose également des questions qualitatives, 
qui
permettent de bien comprendre le problème physique étudié.
Ce sujet, relativement simple, peut être utilisé pour réviser la thermodynamique
de première année. Il montre par ailleurs la méthode du découpage en portions 
élémentaires pour déterminer la forme d'un fil à l'équilibre sous l'action de 
plusieurs
forces, méthode que l'on retrouve notamment pour établir l'équation de la 
chaînette
ou celle des cordes vibrantes. -

Indications
Partie I
2 La loi fondamentale de l'hydrostatique associée au résultat de la première 
question
permet d'aboutir à une équation différentielle simple sur P(z).
4 Réécrire l'équation différentielle obtenue à la question 2 avec la nouvelle 
expression
de la température et l'intégrer en séparant les variables P et z.
5 Se demander pourquoi il est naturel de trouver une pression plus faible quand 
la
température diminue.
Partie II
8 Le fluide déplacé est l'air extérieur et on néglige le volume de la nacelle.
10 Écrire l'équilibre de la montgolfière à l'altitude z = 0, juste au-dessus du 
sol.
11 Il s'agit ici de recombiner les équations obtenues aux questions précédentes 
: il peut
être utile de les récapituler au brouillon pour voir quelles sont les 
manipulations
à effectuer.
12 Pour justifier le risque d'écrasement, étudier la stabilité de l'équilibre : 
comment
cet équilibre est-il modifié lorsque la montgolfière effectue une « petite » 
descente
sans que la température intérieure ne soit modifiée ?
13 Réfléchir sur les notations Vmin et Vmax .
14 On est à pression constante : effectuer un bilan d'enthalpie.
15 Jouer avec la différentielle de la loi des gaz parfaits.
16 Partir de la différentielle de la loi de Laplace en T et P.
18 Remarquer que Pe /P0 = (1 -  z) = (Te /T0 ) .
19 Regarder graphiquement les conditions en Z et en i lors des deux 
transformations.
20 Faire le bilan d'énergie interne pour les deux sous-systèmes comme en 
calorimétrie.
Partie III
23 Le point de départ est la loi fondamentale de l'hydrostatique.
24 Faire un bilan des forces sur la portion de filin et remarquer la présence 
de quantités différentielles qu'il faudra assimiler à des dérivées au premier 
ordre.
26 Se rappeler du cours de cinématique sur les coordonnées polaires et procéder 
par

-
analogie pour calculer d t /dz.
27 Remarquer que dr/dz = tan  et d2 = dr2 + dz 2 .
28 Un choix judicieux de k permet de faire disparaître A de l'équation !

I. Atmosphère en équilibre
I.A

Atmosphère isotherme

1 Si on considère une quantité n de gaz dans un volume V, de masse volumique µ
et de masse molaire Me , sa masse vaut m = n Me et sa masse volumique est donc
µ = n Me /V. La loi des gaz parfaits P V = n R T s'écrit également
µ=

P Me
R T0

2 On utilise ici l'équation fondamentale de l'hydrostatique
--

-

µ-
g - grad P = 0
qui se projette sur l'axe Oz en
Me g
dP
= -µ g = -
P
dz
R T0
On reconnaît ici la hauteur barométrique H. L'équation différentielle
dP
P
=-
dz
H
s'intègre avec la condition initiale P(0) = P0 en
P(z) = P0 e -z/H
3 La masse molaire moyenne de l'air vaut
Me = 0,2 × 2 MO + 0,8 × 2 MN = 28,8 · 10-3 kg.mol-1
La valeur numérique de H est donc
H = 8,47 km
iso
L'altitude z50%
à laquelle la pression vaut la moitié de la pression au sol est définie
iso
par P(z50% ) = P0 /2, soit

 z iso  1
exp - 50% =
H
2
c'est-à-dire

iso
z50%
= H ln 2 = 5,87 km

L'ordre de grandeur de la hauteur barométrique est celui de l'altitude des
plus hautes montagnes, ce qui explique que les grimpeurs manquent d'oxygène à 
l'approche des sommets.
Le rapport du jury souligne que « ne pas faire les applications numériques
est une politique désastreuse ». Outre le fait que « le barème qui leur est 
attribué est loin d'être négligeable », elles permettent souvent de se faire une
idée des capacités du candidat déterminante pour la suite de la correction.

En effet « les candidats qui ont répondu : H = 8,5.103 J.N-1 , réponse au 
demeurant formellement exacte, n'ont très certainement pas vraiment saisi que
H est la hauteur caractéristique de l'évolution de la pression ». De plus, elles
permettent souvent de détecter (ou au moins soupçonner) des erreurs dans
les formules littérales (cas d'un z 50%
iso négatif) ou dans les conversions d'unités
-5
(le jury parle d'un z 50%
m qu'il eût au moins fallu commenter
iso = 8,1.10
pour dire que cela se saurait si la pression était divisée par deux chaque fois
que l'altitude augmente de 0,1 mm !)
I.B

Équilibre polytropique

4 Avec la nouvelle expression de la température, l'équation différentielle de 
la question 2 devient
P
dP
=-
dz
H (1 -  z)
dP
dz
=-
P
H (1 -  z)

Séparons les variables
et intégrons entre z = 0 et z :

P(z)
1
=
ln(1 -  z)
P0
H
On obtient alors bien une expression de la forme
ln

P(z) = P0 (1 -  z)

avec

=

1
z0
=
H
H

La masse volumique µ s'écrit comme précédemment
µ=
On obtient ainsi

P0 (1 -  z) Me
P Me
=
RT
R T0 (1 -  z)

µ(z) = µ0 (1 -  z)-1

pol
5 L'altitude z50%
à laquelle la pression vaut la moitié de la pression au sol est définie
pol
par P(z50% ) = P0 /2, soit
!
pol
z50%
1
1-
=
z0
2

Ainsi,

pol
z50%
= z0 (1 - 2-1/ ) = 5,38 km

Cette distance est inférieure à celle trouvée dans le cas de l'atmosphère 
isotherme :
on s'attend en effet à une baisse de la pression avec la température, et la 
température
diminuant avec l'altitude, il semble logique que la baisse de pression soit 
également
plus rapide.
6 L'ajustement aux moindres carrés fournit une variation linéaire de la 
température
avec une distance caractéristique
288,14
= 41,5 km
z0 =
6,94
1
soit
=
= 2,4.10-2 km-1 = 2,4.10-5 m-1
z0