Mines Physique 2 MP 2008

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2008
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE­EIVP, Cycle
international

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE
Les vecteurs sont notes en caracteres gras, et leur norme en italique : Le 
vecteur v a pour norme v.
Les valeurs des constantes physiques utiles dans les applications numeriques 
sont donnees a la fin du
texte.
Le referentiel terrestre est suppose galileen. Le champ de pesanteur, 
d'intensite supposee uniforme
g, est dirige suivant l'axe vertical ascendant Oz, et de sens oppose. Tous les 
mouvements etudies
s'effectuent suivant cet axe vertical.
Les gaz ont les proprietes du gaz parfait. La constante des gaz parfaits est 
notee R. La masse molaire
moyenne de l'air est notee Me , sa pression P, sa temperature T et sa masse 
volumique µ . On designe
par Po ,To et µo les valeurs de P, T et µ au niveau du sol (ou z = 0).
La partie III est independante des deux premieres.

I. -- Atmosphere en equilibre
I.A. -- Atmosphere isotherme
On s'interesse a l'equilibre de l'atmosphere, dont on adopte dans un premier 
temps un modele isotherme, de temperature uniforme To . On prendra To = 288 K.
1 -- Exprimer la masse volumique de l'air en fonction de P, R, To et Me .
2 -- Ecrire la condition d'equilibre statique de l'air. En deduire l'expression 
de la pression P (z) en
fonction de Po , de la hauteur barometrique H = RTo / (Me g) et de l'altitude z.
3 -- En prenant pour l'air une composition molaire de 20% en O 2 et de 80% en 
N2 , calculer la
valeur numerique de H. A quelle altitude ziso
50% la pression est elle egale a Po /2 ?

ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE

I.B. -- Equilibre polytropique
Le modele d'atmosphere isotherme precedent n'est pas realiste ; aussi, 
s'interesse-t-on a l'equilibre
polytropique : l'experience montre que, jusqu'a une altitude d'environ 10 km, 
la temperature de l'air
verifie une loi lineaire du type T = To (1 -  z) ou  = 1/zo est une constante 
positive. Cette approximation lineaire est en fait le developpement au premier 
ordre en z/zo d'une expression plus precise.
La valeur experimentale zo  33 km justifie ce developpement dans les dix 
premiers kilometres de
l'atmosphere.
4 -- Montrer que l'on peut ecrire P (z) = Po (1 -  z) et µ (z) = µo (1 -  z) -1 
ou l'on donnera
l'expression de  en fonction de H et de zo .
pol

5 -- A quelle altitude z50% la pression est-elle egale a P0 /2 ? Comparer cette 
valeur a celle obtenue
a la question 3. Ce resultat etait-il previsible ?

Figure 1

Figure 2
6 -- Un bulletin meteorologique fournit les
donnees representees graphiquement sur les Figures 1,2 et 3. La pression est 
donnee en 105 Pa,
la temperature en K, la densite en kg.m-3 et l'altitude en km Un ajustement aux 
moindres carres de
ces donnees permet d'obtenir les relations
T = 288, 14 - 6, 94 z
P = 1, 01 (T /288, 08)5,26

Figure 3

Ceci est-il compatible avec le modele polytropique ?

Dans toute la suite du probleme, on utilisera des valeurs numeriques suivantes 
: To = 288 K, Po =
1013 hPa ,  = 5 et zo = 40 km, soit  = 2, 5 × 10-5 m-1 .
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Ascension de la montgolfiere
Une mongolfiere standard reste a des altitudes raisonnables pour des questions 
evidentes de rarefaction
en dioxygene. Le modele polytropique des basses altitudes est donc bien adapte 
pour decrire son environnement atmospherique, nous l'utiliserons desormais.
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Physique II, annee 2008 -- filiere MP

La pression, la masse volumique et la temperature de l'atmosphere a l'altitude 
z seront notees respectivement Pe , µ e
et Te . La montgolfiere est constituee d'une enveloppe ouverte
de volume interieur Vo = 2000 m3 et d'une nacelle (voir Fig.
4). La masse totale de l'enveloppe, de la nacelle et des passagers est notee m. 
On prendra m = 500 kg ; le volume propre de
ces differents elements est negligeable. Le volume interieur a
l'enveloppe est constant, mais la masse mi de l'air chaud emprisonne a 
l'interieur de cette enveloppe est variable. La masse
de l'ensemble est donc m + mi . On suppose qu'a l'interieur de
l'enveloppe, la temperature Ti et la pression Pi sont uniformes.
L'ouverture inferieure de l'enveloppe permet de realiser en
permanence l'equilibre de pression entre l'air froid exterieur
et l'air chaud interieur. On suppose enfin que les gaz de combustion 
n'affectent pas la masse molaire Me .
Figure 4 - La montgolfiere

II.A. -- Equilibre de la montgolfiere
7 -- Exprimer la masse mi de l'air chaud dans l'enveloppe en fonction de Pe , 
Vo , Me , et RTi , puis
en fonction de µe , Vo , Te , et Ti .
8 -- A l'equilibre mecanique, la poussee d'Archimede compense le poids de la 
montgolfiere et
de l'air chaud qu'elle contient. Trouver la relation qui permet alors 
d'exprimer m en fonction de m i ,
Te et Ti .
9 -- On note zm l'altitude ou la poussee d'Archimede exercee par l'air compense 
le poids mg.
Exprimer zm en fonction de  ,  , m, µo et Vo . Calculer la valeur numerique de 
zm .
10 -- On note Td , la valeur minimale de la temperature Ti permettant le 
decollage de la montgolfiere. Etablir la relation, tres simple, liant m/ (µoVo 
) a 1 - To /Td . Calculer la valeur numerique de
Td .
11 -- Etablir la condition d'equilibre de la montgolfiere

1
1
1
1
Pe
= 1
-
-
(1)
Te Ti
To Td
ou 1 est une constante que l'on exprimera en fonction des donnees du probleme. 
En deduire la
relation, notee [E1 ], donnant a l'equilibre  Ti /Ti en fonction de  Te /Te ,  
Pe /Pe et de Ti /Te .
12 -- En utilisant les grandeurs reduites Z =  z, Zm =  zm et i = Ti /To , 
montrer que la condition
d'equilibre de la question 8 s'ecrit
(1 - Z) -1 =

(1 - Z)
m
+
µoVo
i

en utilisant a present l'expression de zm obtenue a la question 9, deduire 
l'expression de la fonction
d i
Z
7 i (Z) en fonction des parametres  et Zm . On admet que le signe de i (0) =
est le
dZ Z=0
m
- 1. Tracer rapidement l'allure de la courbe representative de i (Z) selon
meme que celui de
µoVo
les valeurs de  m/ (µoVo ). En considerant la phase de descente, expliquer 
pourquoi une montgolfiere
satisfaisant la condition  m < µoVo fait courir le risque d'un ecrasement au sol. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE 13 -- Calculer la valeur numerique Vmax du volume de l'enveloppe permettant de satisfaire la condition i (0) > 0. Pour une valeur Tmax = 373 K de la temperature maximale 
acceptable pour une
mongolfiere, calculer la valeur minimale Vmin du volume de l'enveloppe qui 
permet le decollage.
Calculer les valeurs de zm associees a Vmin et Vmax .

II.B. -- Ascension par apport thermique
Pour faire monter la montgolfiere, l'aeronaute dispose d'un bruleur, qui permet 
d'apporter a l'air
interieur une petite «quantite de chaleur»  Q. La transformation subie par cet 
air est isobare et suffisamment rapide pour que la montgolfiere n'ait pas le 
temps de changer d'altitude pendant cet apport
de chaleur. Dans ces conditions, le systeme peut etre considere comme ferme.
Les capacites calorifiques molaires a pression et volume constants de l'air 
sont notees C p et Cv avec
 = C p /Cv . Elles ne dependent pas de la temperature.
La montgolfiere est en equilibre a l'altitude z, ou l'air exterieur est a la 
pression Pe et a la temperature
Te .
(1)

14 -- Determiner la variation de temperature  Ti associee a l'apport thermique, 
on l'exprimera
(1)
en fonction de ni = PeVo / (RTi ), C p et  Q. En deduire  Ti /Ti en fonction de 
 ,  Q, Pe et Vo .
(1)

15 -- Exprimer la variation de la masse d'air  mi

en fonction de Me ,  Q, C p et Ti .

L'ascension de la montgolfiere s'effectue lentement, sans autre echange 
thermique. L'air qui ne quitte
pas l'enveloppe lors de la variation d'altitude  z subit une detente 
adiabatique reversible.
16 -- La pression exterieure est toujours regie par la loi polytropique etablie 
a la question 4.
(2)
Determiner la variation de temperature  Ti de l'air interieur a l'enveloppe 
pendant cette ascension,
(2)
on l'exprimera en fonction de  ,  ,  , Ti , z et  z. On verifiera que  Ti est 
negatif.
17 -- La temperature exterieure est toujours regie par la loi lineaire de la 
partie I.B. Exprimer
en fonction de  ,  , Te et  Te .

(2)
 Ti /Ti

La variation de la temperature interne a l'enveloppe associee a l'apport 
thermique et a l'elevation de
(1)
(2)
 z est  Ti =  Ti +  Ti .

18 -- Determiner la relation tres simple entre  Pe /Pe et  Te /Te puis, en 
utilisant la relation [E1 ]
de la question 11, etablir la relation

Ti  Te

Q
- ( - 1)
= 2

Te Te
PeVo

ou 2 est une constante que l'on exprimera en fonction de 
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Physique II, annee 2008 -- filiere MP

19 -- La Figure 5
represente le diagramme
 = 5,
pour
(i , Z)
m = 500 kg et Vo = 2000 m3 .
La situation initiale, avant
apport
thermique,
est
representee par le point noir.
Placer sur ce diagramme,
reproduit
grossierement
dans votre copie, les points
representatifs des transformations conduisant aux
(1)
(2)
variations  Ti
et  Ti
de la temperature de l'air
dans l'enveloppe lors de la
montee.

Figure 5 - Diagramme (i , Z)

II.C. -- Descente par apport d'air froid
Pour faire descendre la montgolfiere, l'aeronaute dispose d'une trappe qui 
permet de laisser l'air
chaud s'echapper. Une petite quantite d'air froid, de volume  V et de 
temperature initiale Te , est
admise dans l'enveloppe et remplace le volume correspondant d'air chaud. La 
montgolfiere n'a pas
le temps de changer d'altitude pendant l'etablissement de l'equilibre 
thermique. Toutes ces transformations se font a la pression atmospherique 
exterieure Pe . Le melange d'air chaud (n moles a la
temperature initiale Ti ) et d'air froid ( n moles) s'effectue sans variation 
d'energie interne.
(3)

20 -- Montrer qu'a l'equilibre, la variation de temperature  Ti de l'air 
interieur a l'enveloppe
verifie, apres l'entree d'air froid, la relation
(3)

 Ti
Ti

= f (Ti /Te )

V
Vo

ou f est une fonction simple dont on precisera l'expression.
21 -- La descente de la montgolfiere s'effectue lentement, sans echange de 
chaleur supplementaire.
(2)
L'expression de  Ti /Ti etablie a la question 17 est toujours valable. La 
variation de temperature
(3)
(2)
interne pendant la descente est maintenant  Ti =  Ti +  Ti . En procedant comme 
a la question
18, relier  Ti /Ti a  Te /Te , pour en deduire  Te /Te en fonction de  V /Vo , 
Ti , Te ,  et  .
22 -- En utilisant le meme point de depart, placer sur le diagramme de la 
Figure 5, reproduit
grossierement dans votre copie, les points representatifs des transformations 
conduisant aux variations
(3)
(2)
 Ti et  Ti de la temperature de l'air dans l'enveloppe lors de la descente.
FIN DE LA PARTIE II

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Tournez la page S.V.P.

ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE

III. -- Forme de l'enveloppe de la montgolfiere
La nacelle de la montgolfiere est maintenue par N filins qui enserrent 
l'enveloppe et forment des
meridiens regulierement espaces de l'angle 2 /N. L'enveloppe possede la 
symetrie de revolution
autour de l'axe vertical.
On nomme z la cote des points situes audessus de l'ouverture inferieure de 
l'enveloppe et r le rayon de cette enveloppe a la
cote z. Les axes portant z et r ont pour vecteurs unitaires ez et er . On 
considere aussi
les vecteurs unitaires t(z) et n(z) tangent
et normal au filin au point de cote z. La
condition d'equilibre d'un element de surface de l'enveloppe determine sa forme,
c'est-a-dire la relation r (z). Cette condiditon relie la tension des filins F 
a la force
de force de pression K. On neglige l'action du champ de pesanteur sur 
l'enveloppe et les filins. On suppose que les
pressions de l'air a l'interieur, Pi (z), et
a l'exterieur, Pe (z), de l'enveloppe sont
des fonctions lineaires de z, telles que
Pi (0) = Pe (0). Les masses volumiques interne µi et externe µe sont quant a 
elles
supposees uniformes. La figure 6 indique
les forces agissant sur un element de filin
Figure 6 - Representation des forces s'exercant
de longueur d = AB . L'element de sursur une longueur elementaire d = AB du 
filin
face associe, entre 2 meridiens, est dS =
2 r d/N avec d2 = dr2 + dz2 .
23 -- Justifiez et commentez l'hypothese de linearite des pressions. Exprimer, 
en fonction de g,
µi , µe et de la cote z, la difference des pressions P (z) qui gonfle 
l'enveloppe.
24 -- Ecrire la condition d'equilibre de l'element de filin de longueur d sous 
la forme d'une
d [F(z)t(z)]
dK
relation [E2 ] entre
et
n(z). En deduire que le module F de la force F de tension des
dz
dz
filins est constant sur toute leur longueur.
25 -- Exprimer les composantes de la force de pression dK appliquee a un 
element de surface de
l'enveloppe compris entre deux filins consecutifs et les paralleles de cotes z 
et z + dz. Quelle relation
existe-t-il entre dK et dK .
26 -- En ecrivant la relation [E2 ] de la question 24 dans la base (ez , er ), 
etablir une relation entre
d
dK
F,
et
.
dz
dz
dr
27 -- En considerant la relation entre
et l'angle  , montrer que l'equation differentielle verifiee
dz
par les points de l'enveloppe peut se mettre sous la forme
"
 2 #3/2
d2r
dr
= -Arz 1 +
2
dz
dz
ou A est une constante, dont on donnera l'expression et dont on precisera la 
dimension.

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Physique II, annee 2008 -- filiere MP

28 -- En effectuant le changement de variable z  Ak x et le changement de 
fonction r  Ak y,
montrer que l'on peut trouver une valeur pour le reel k qui permet d'obtenir 
une equation differentielle
[E3 ] independante des caracteristiques de la montgolfiere consideree dans le 
cadre des hypotheses de
ce probleme.
29 -- La Figure 7 indique l'allure de plusieurs solutions de l'equation [E3 ]. 
Ces solutions sont
telles que y(0) = 0.1 et possedent des valeurs de y (0) distinctes. La Figure 8 
est la representation
graphique de 2 solutions : y+ telle que y+ (0) = 0, 1 et y+ (0) = 1, 12 ; y- 
telle que y- (0) = -0, 1 et
y- (0) = -1, 12. Commentez ces diverses figures.

Figure 7

Figure 8
FIN DE LA PARTIE III

Valeurs numeriques utiles
Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.K-1 .mol-1 ,
Acceleration de la gravite a la surface de la Terre : g = 9, 81 m.s-1
Masse atomique de l'oxygene : MO = 16 × 10-3 kg.mol-1
Masse atomique de l'azote : MN = 14 × 10-3 kg.mol-1
FIN DE L'EPREUVE

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