Mines Physique 2 MP 2005

Thème de l'épreuve Déviations dues à la relativité générale
Principaux outils utilisés mécanique du point, équations différentielles, propagation dans un plasma, développement perturbatif

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEUBES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2005
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, 
TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 11 -MP

L'énoncé decette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 
7 pages.

0 Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le 
signale sur sa copie et poursuit
sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à 
prendre.

- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi 
que des qualités de

rédaction de la copie.

A

. Notations : vecteur ----> V (on pourra écrire V) ; vecteur unitaire de la 
coordonnée c : c.

DÉVIATIONS

Ce problème concerne la déviation d'objets non massifs (rayons lumineux) ou 
massifi (pla--
nètes) dans divers champs (gravitationnel, coulombien). Il fait référence à des 
notions relati-
vistes qu'il suffira d'admettre sans autre fonne de procès, et conduisant à des 
conséquences
observables. La première partie étudie la déviation de la lumière dans un champ 
gravitation--
nel. La seconde partie concerne un mouvement képlerien en relativité générale. 
La troisième
partie étudie la déviation de la lumière par un plasma non homogène. La 
quatrième partie
fait appel à des notions relativistes, qu'elle traite de façon newtonienne.

Toutes ces parties sont indépendantes entre elles, mais elles peuvent étendre 
ou utiliser des
résultats d'autres parties, en adoptant éventuellement un point de vue 
différent.

Le référentiel d'étude est, dans tout le problème, supposé
galiléen. Toutes les trajectoires seront planes, situées dans

A

le plan xy ; dans le repère polaire (fifi), les coordonnées

d'un corps ponctuel P de masse m (éventuellement nulle)
sont notées, conformément au schéma ci--contre, (rfi) .

Selon la relativité générale, l'équation différentielle régis--

. 1 .
sant la fonction u(9)=---- lorsque P est soumis au

r(EUR)

champ gravitationnel d'un objet massif de masse M S placé au centre de force 0 
est

2 2
%5'21+u= GM(--L--) +3GM u2, [EDI]
C2

où G est la constante de la gravitation (G=6,67x10'11 N.m2 .kg'2) et c la 
vitesse de la
dB
2

lumière (célérité) dans le Vide : c : 3><108 m.s"'. Le moment cinétique L= mr 
d? z est

constant. Le corps massif sera, dans la suite, le Soleil ; voici quelques 
données numériques :

Masse du Soleil M S : 2><1030 kg Température de surface du Soleil T5 : 5800 K
_ Rayon du Soleil RS : 7 X 108 m Masse de l'électron me : 9,1 x 10"30 kg.

1 -- Mirage gravitationnel

I -- 1 Équafions du mouvement

, . , . . d9
Cl 1 ---- Etabhr que, en mecanique newtomenne, L : mr2 -à--t- : mC est constant 
pour une par-

ticule soumise à une force centrale. Toujours dans ce cadre, établir 
l'expression de
l'accélération a de la particule (formule de Binet pour l'accélération) :

(L)fi d2u -
_ a.=-- ---- u ------2--+ur
m d9

_ Cl 2 ---- Dans le cadre relativiste, la force centrale est la résultante

. . . GMS m î°
. de la force de grav1tat10n newtomenne F N =-- 2 GM Sm u2r, terme principal,
ï
. . GM L2 ..
o et d'une force dite perturbatnce FR =-- 3 2 --u4 r.
c m

À quelle condition le terme perturbateur est-il, pour une "particule de masse 
non nulle, très
petit devant le terme newtonien ?

D 3 -- La particule P est un photon, particule de charge nulle et de masse 
nulle associée au
champ électromagnétique et dont on admettra ici qu'elle se comporte comme une 
particule
ponctuelle de moment cinétique non nul. Montrer que « l'équation du mouvement 
du pho-

ton » est

2
d "+u=3GMSu2 [EMP].

d92 &

I-2 Déviation de la ligne de visée d'une étoile

Cl 4 -- On note u0(9) la solution de l'équation [EMP] de la question 3 
correspondant à
G = 0, c'est-à-dire à l'absence de gravitation ; quelle est a priori la 
trajectoire du photon

l . . .
dans ce cas ? sachant que u0(0)= ? et "°(%) :O, donner l'équation de la 
trajectone,
s

d'abord en coordonnées polaires, ensuite en coordonnées cartésiennes ordinaires 
(x,y), ou

réduites (X=-£,Y=À].

le; 1%;
D 5 -- Introduisant dans [EMP] la variable sans dimension Z : Rsu (Z : Bi), on 
obtient
r

dZZ
_ d92
Calculer la valeur numérique de K. On cherche la
solution approchée de l'équation différentielle en Z au
premier ordre en K, sous la fonne

' Z(9) : cos(9) + KZ1 (6).

\_V__J
=Zo(9) '

+Z=KZZ, où O< O et n = n 2 pour z < 0.

On note fil et û,_ les vecteurs unitaires du rayon lumineux dans cha--
que milieu et k le vecteur unitaire de l'axe Oz. Établir, par exemple
d(nû)
ds
part et d'autre de l'interface, l'égalité n 1(nl/\ k) = n 2(u2A k) et en 
déduire les deux lois de

en intégrant la relation : grad(n) sur un domaine très petit de

Descartes pour la réfraction.

Cl 21 -- On pose d£ : --d--î. Quelle est la dimension de EUR ? Montrer que le 
principe fonda--
n
2
mental de la dynamique du photon s'écrit (équation [DP]) d d(£)2M : â--grad(n2).

Cl 22 ---- Pour donner une saveur newtonienne à [DP], on pose EUR : ct, ce qui 
définit t. Le

terme de droite de [DP] peut être compris comme une sorte de force centrale 
agissant sur le
photon ; quelle est la dimension de ce terme ? cette force est--elle attractive 
ou répulsive ?

E] 23 -- Accordons-nous ici le droit de traiter le terme de droite de [DP] 
comme une force
ordinaire. Quelle est, sous cette hypothèse, la trajectoire de la lumière dans 
le plasma ? '

Cl 24 -- À partir des relations énergétiques E : mc2 pour une-particule 
matérielle et E : hv
pour le photon ( v est la fréquence du rayonnement associé au photon et h la 
constante de
Planck), tenter une manipulation de [DP] aboutissant à une forme newtonienne 
d'équation
du mouvement. La justification de cette manipulation serait une autre histoire.

FIN DE. CETTE PARTIE

III -- Retour sur la déviation de la lumière

Cette partie se propose de traiter le photon de fréquence v comme une particule 
matérielle

. . __ hv , . . , . .
qu1 aura1t une masse m = --2--, une energie c1net1que EC : hv (ou h est la 
constante de

c
Planck) et qui suivrait pour autant la mécanique newtonienne. Cette approche ne 
manque pas

d'audace et les résultats devront donc en être accueillis avec circonspection.

Cl 25 -- L'énergie totale d'un photon émis de la surface du Soleil avec la 
fréquence V5 est

GM_JÏ'I hGMSVS
: th -- ------2----
R R c

8 S

donc, dans ce cadre, ET : hvs -- . Ce photon est détecté sur Terre,

dont on néglige l'effet gravitationnel. On attribue donc à ce photon la 
fréquence VT : %.

. , . V . .
Exprimer le facteur de reduction a : --Ï-- en fonct10n du rayon du Soleil et du 
rayon de
Vs

Schwarzschild pour le Soleil ps =2GAÏS . Calculer la valeur numérique du rayon 
de
' . c

Schwarzschild pour le Soleil et pour la Terre (la masse de la Terre est environ 
6 X...24 kg).

E] 26 -- Une réduction de la fréquence du photon est équivalente à une 
augmentation de sa
période; si le photon était utilisé comme une horloge, on aurait donc une 
dilatation du
temps. On admettra que cette dilatation du temps (t |--> t') s'accompagne d'une 
contraction

t' . .--
--;--= %. On note n(r) l'md1ce du
milieu à la distance r du Soleil. Cet indice, doté ici de la symétrie 
sphérique, est défini

. . ds . . . .
comme le rapport de la v1tesse du photon dans le v1de c = ---- a sa v1tesse au 
vmsmage de

dt
ds'

dt'

de l'unité de longueur (! i---> E' ), avec le même facteur :

l'objet massif c' = (s et s' désignent l'abscisse curviligne le long de la 
trajectoire). Éta--

blir l'expression n2(r) : 1 + £-S--.
r

D 27 -- Calculer la déflexion d'un rayon
lumineux provenant de l'infini et passant au
voisinage immédiat du Soleil, comme sché--
matisé sur la figure ci-contre. On admettra la
relation locale n(r)sin[9(r)]=C'°. On utili--

sera le fait que ps << RS. On pourra ren--

Asymptotes de la trajectoire a' 'un photon. +oo
La dévjafion eStD : 6 (oo) _ 9 (_oe) contrer l'intégrale ] : ________dx 3 , 
dont la '
. ' --oo (x2 + a2 )5
. valeur est ] = --2--.
a .
FIN DE CETTE PARTIE

FIN DE L'ÉPREUVE

La première observation d'un mirage gravitationnel date de 1980. La photo 
ci--dessus montre l'arc
cosmique dans l'amas Abe" 2218 ; la source lumineuse est isotrope; le 
déflecteur est la galaxie
super massive au centre de l'arc. La flèche montre un anneau d'Einstein qui a 
été le premier à

prédire l'observation de tels phénomènes.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 MP 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Tailleur (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Julien
Dubuis (ENS Cachan) et Jean-David Picon (École Polytechnique).

Ce sujet comporte quatre parties, bien qu'une erreur dans la numérotation des
parties laisse penser qu'il n'y en a que trois. Elles sont assez largement 
indépendantes.
Sa résolution est rendue plus difficile par quelques fautes de frappe dans les 
résultats
que l'on demande de démontrer. Toutefois cela fait partie des règles des 
concours,
que tous les candidats auront à surmonter.
Comme c'est souvent le cas, le sujet est fondé sur un problème de physique très 
audelà du programme (la relativité générale ici) dont quelques résultats sont 
présentés.
Le candidat doit donc adapter les outils qu'il possède à des équations qu'il ne 
connaît
pas.
· La première partie passe en revue les principaux résultats du problème à deux
corps, et les étend au cas d'une particule de masse nulle.
· La fin de la première partie et toute la deuxième partie sont basées sur une 
résolution perturbative d'équations différentielles. On finit par calculer la 
déviation
du périhélie de Mercure prédite par la relativité générale.
· La troisième partie traite dans un premier temps de la propagation d'une 
particule chargée dans un plasma, avec en particulier le calcul de l'indice du 
milieu.
On modifie alors celui-ci « en suivant la relativité générale » pour retrouver
l'équation de propagation d'un photon.
· Enfin, la dernière partie est consacrée au calcul de la déviation de la 
lumière par
le Soleil, et on retrouve le résultat prédit par la relativité générale. La 
dernière
question du sujet s'appuie sur un résultat attrayant mais malheureusement
faux, ce qui complique sa résolution.
Bien que ce sujet comporte de nombreux passages assez proches du cours, sa
formulation peut surprendre. Il constitue donc un très bon entraînement pour les
concours, car il oblige à prendre des initiatives. Notons que la méthode 
perturbative
employée tout au long du sujet pour résoudre des équations différentielles que 
l'on
est incapable de résoudre dans le cas général est classique et doit être connue.

Indications
1 Dans la formule de Binet n'interviennent que u et , il est donc naturel 
d'exprimer
du
.
 et r en fonction de u, L, m et
d
5 L'équation différentielle doit être vérifiée ordre par ordre.
6 Les directions asymptotiques correspondent aux directions où r tend vers 
l'infini
à  constant, soit aux solutions de Z() = 0. Pour passer à l'équation 
cartésienne,
on exprime Z et cos  en fonction de X et Y.
10 Le résultat demandé n'est pas homogène, il faut montrer
d2 u(1)
1 A2
1 A2
(1)
+
u
=
B
+
+
cos 2 + 2A cos 
d2
2 B
2 B
9 On identifie à nouveau ordre par ordre. On peut négliger les termes d'ordre 2
dans le calcul de l'ordre 1.
11 Pour que le développement perturbatif soit valide, il faut que le préfacteur 
du
terme d'ordre 1 reste petit.
15 La somme des forces volumiques est égale au gradient de la pression.
18 Pour montrer que la contribution des ions est négligeable, on utilise le 
fait que
leur masse est très grande devant celle des électrons. Pour calculer la vitesse 
de
phase (v = /|k|) on peut utiliser les équations de Maxwell Flux et Maxwell
Faraday.

-

20 Montrer plutôt que n-
u  k est indépendant de s.
23 Penser à utiliser la formule de Binet montrée à la question 1.
25 On néglige partout le potentiel gravitationnel de la Terre et on néglige au 
niveau
de la Terre le potentiel gravitationnel du Soleil.
26 Par « dans le vide » il faut comprendre « en absence de champ gravitationnel 
» et
par « au voisinage de l'objet massif », il faut comprendre « en présence de 
champ
gravitationnel ». De plus, le résultat demandé est faux, et il faut montrer
n(r) = 1 +

s
r

27 La généralisation locale de la formule de Descartes n(r) sin (r) = Cte n'est 
en
fait pas valable. On peut toutefois utiliser

--
dn-
u
= grad n
ds
pour se retrouver dans un cas analogue à la déviation d'une masse par un autre
objet plus massif.

I. Mirage gravitationnel
1 Plaçons-nous en coordonnées polaires (r, ). Considérons une particule placée 
au

-

.
point de coordonnées -
r , soumise à une force f = f -
u
r

Les notations de l'énoncé pour les vecteurs unitaires rb, b sont très courantes,
mais peuvent prêter à confusion puisqu'on pourrait penser que les vecteurs
ne sont pas de norme 1 mais r ou . Nous leur préférerons donc les notations
 et -
.
plus usuelles en classes préparatoires -
u
u
r

La vitesse de cette particule s'écrit

-
 + r -

v = r  -
u
u

r

-

-

-

et son moment cinétique
L = m r  v = mr2  -
u
z

Appliquons le théorème du moment cinétique au système composé de la particule
dans le référentiel d'étude.

-
 -
-

-

dL

).
=-
r  f = 0
(puisque f est selon -
u
r
dt
L est bien conservé.
L'énoncé demande d'établir la formule de Binet, qui suppose que l'on puisse
paramétrer r par . Il est donc implicite que le moment cinétique L est non
nul. En effet, on peut alors écrire
C
d
= 2 6= 0
dt
r
et r ne s'annulant pas (puisque C est non nul) le changement de variable est
de classe C . Au contraire si le moment cinétique est nul,  l'est aussi et 
est constant, alors que r peut tout à fait varier.
Dans le cadre d'un mouvement à force centrale, l'accélération tangentielle est
nulle et l'on a

-

a = (r - r 2 )-
u
r
Le moment cinétique étant par ailleurs constant,  peut se réécrire
L
 = u2
m
 2
L
2
3
Par suite
r = u
(1)
m
dr
1 du
De plus, puisque r = 1/u, on a
=- 2
d
u d
Enfin, en effectuant le changement de variable t  , il vient
dr
dr d
dr
=
=

dt
d dt
d
dr
Soit, en utilisant les expressions de  et
,
d
dr
1 du 2 L
=- 2
u
dt
u d m

En dérivant à nouveau, on obtient
d2 r
L d2 u d
=
-
dt2
m d2 dt
d2 r
=-
dt2

et finalement

L
m

2

d2 u 2
u
d2

(2)

Ainsi, en utilisant les équations (1) et (2), on obtient la formule demandée :
-

a = -u2

L
m

2 

d2 u

+u -
u
r
d2

2 Le terme perturbateur est très petit devant le terme newtonien si et 
seulement si
3L2 u4
 mu2
mc2
Or L/m = r2 , ainsi cette condition s'écrit
32  c2 u2
Le facteur 3 ne changeant pas les ordres de grandeur, pour que le terme 
perturbateur
soit très petit devant le terme newtonien, il faut que
|r |  c
En d'autres termes, la vitesse tangentielle de la particule doit être très 
petite devant
la vitesse de la lumière.
3 D'après l'énoncé, l'équation [ED1] est valide y compris pour les particules de
masse nulle. Celle-ci s'écrit dans ce cas
GMs
d2 u
+ u = 3 2 u2
d2
c

[EMP]

4 En l'absence de gravitation, on s'attend évidemment à ce que les trajectoires 
des
photons soient des lignes droites. L'équation différentielle [EMP] s'écrit, 
pour G = 0,
d2 u
+u=0
d2
qui s'intègre en

u0 () = c1 cos  + c2 sin 

On sait de plus que x = cos /u0 et y = sin /u0 . Ainsi,
c1 x + c2 y = 1
et les trajectoires sont bien des droites. En imposant les conditions initiales
u0 (0) = R-1
s

et

u0 (/2) = 0

on obtient c1 = R-1
et c2 = 0.
s
Soit

r() =

Rs
cos 

d'où

X() = 1

et Y() = tan()