Mines Physique 2 MP 2001

Thème de l'épreuve Autour de la notion de secousse...
Principaux outils utilisés mécanique, lois de Coulomb

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2001 PHYS. MP 2

' ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière N[P
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, [NT, 
TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique 11 ---- Filière MP '

Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé.

. Conventions typographiques : un vecteur est noté en gras (A), sa norme en 
italique (" A " = A).

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lorsque
l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que des qualités de

rédaction de la copie.

SECOUSSES

L'épreuve est constituée de deux parties indépendantes l'une de l'autre et que 
l'on pourra traiter dans l'ordre que

l'on voudra. Chacune de ces parties fait intervenir la notion, peu courante en 
mécanique newtonienne, de

da

secousse : on nomme ainsi une quantité (1 égale à la dérivée temporelle d'une 
accélération a : ou = ---

dt

Première partie : SECOUSSES EN MÉCANIQUE

Cette partie présente deux expériences « à une dimension » et indépendantes 
l'une de l'autre.

Première expérience

Sur le guéridon de la figure ], recouvert d'une nappe sans ourlet, on place une 
assiette bien
remplie. D'un geste brusque, on tire la nappe. L'assiette reste en place sur le 
guéridon.
La masse de l'assiette est M = 400 g, celle de la nappe est m = 50 g. Le 
guéridon (fig. 2) est modé--

lisé par un disque de centre O et de rayon R = 25 cm. Il est recouvert d'une 
nappe de même dimen-
sion et d'épaisseur négligeable. L'assiette circulaire, de rayon r = 5 cm, est 
placée au centre de la
nappe. On admet que le support de la force F développée par l'expérimentateur 
pendant qu'il tire sur
la nappe passe par O et que cette force s'écrit, en fonction du temps !, F : 
mali, Où i est un vecteur

% Tournez la page S._V.P.

unitaire COHSÏ&ÏIÏ Gt & une COHSÏ8ÏIÏEUR. Le fl"OtÏEURlÏlEURflt

entre la nappe et le guéridon est négligeable. Le
coefficient de frottement de glissement entre la
nappe et l'assiette est noté f (f = 0,2). Le repère
d'espace Rg(O, i) est supposé galiléen. On note g
l'accélération de la pesanteur (g = 10 m/sz).

-ç._-._-ç. . .
.-.--. .'
.

3::-:--è:æ::---:ù.-... -

Cl 1 -- Montrer que a a bien la dimension

Fig. 1 : assiette, Fig. 2 : nappe et assiette d'une SEURCOUSSEUR--

ue'ridon et na e vues de haut . . , . .
g pp Une premiere modélisation

D 2 ---- On suppose que, tout le long de l'expérience, l'assiette glisse sur la 
nappe. Quel est, à
l'instant t : OJ", le signe de la vitesse de glissement de l'assiette par 
rapport à la nappe '?

D 3 ---- Montrer que l'accélération de l'assiette est constante dans Rg et 
déterminer l'équation
horaire du mouvement de son centre C,, xa : f (t)

E! 4 -- Déterminer l'équation horaire du mouvement du centre C,, de la nappe, 
x,, : h(t).

D 5 -- On observe que le déplacement de l'assiette est négligeable et que le 
contact nappe-
assiette dure un temps T = 0,1 s ; calculer la valeur de a. La manipulation 
peut-elle être conduite avec

succès par un enfant ?

Une modélisation plus réaliste

En réalité, la dynamique de l'assiette Comprend deux phases ; dans la première 
phase, de durée
tl, l'intensité de la force de frottement est inférieure à la valeur f Mg 
donnée par la loi de COULOMB,

l'assiette ne glisse pas sur la nappe et xa : x,,. Le contact entre l'assiette 
et la nappe induit une force
tangentielle T sur l'assiette et donc --T sur la nappe.

Cl 6 -- Pour 0 _<. t5 t1 , intégrer l'équation fondamentale de la dynamique 
appliquée à la nappe
puis à l'assiette. Déduire de ces deux relations que la durée de la phase sans 
glissement est

M
tl : W _ Exprimer xa(t1 ), t=t1, xn(ïl) et ddxtn t=tl

dxa
dt

Cl 7 --- Déterminer, pour tZ tl, et sous la forme de polynômes de la variable 
(t-- tl), les équa--

tions horaires respectives du mouvement de C,, _xa : (p(t ---- tl) et de celui 
de C... x,, = n(t --- tl).

D 8 -- On observe que le contact nappe-assiette dure tc ---t1 : 0,1 3. Calculer 
la valeur de la

secousse (on devra1t amver a l'equat1on a(tc --- tl) : 6(R + r)) ;" calculer 
auss1 tl.

Seconde expérience

Un solide S, de masse m, est accroché au plafond par l'intermédiaire d'un 
ressort R, de masse

négligeable et de raideur k. Un second ressort R2, identique au premier, pend 
sous le solide (fig. 3). À
l'instant t = 0 on tire sur le ressort R2. On constate que si l'on tire 
lentement, l'un des ressorts finit par

se briser et que si l'on tire rapidement, c'est l'autre ressort qui se brise.

Cl 9 -- Prévoir quel est, dans chacun des cas, le ressort qui se brise.

Première modélisation

D 10 --- La force F appliquée à l'extrémité libre de R2 s'exprime par F : mat 
pour t > 0 où a
est une constante. La tension T de chaque ressort suit la loi de HOOKE 
(proportionnalité de la tension

2/6

à l'allongement), jusqu'à une tension de rupture T. : T = kx pour T < T,,

]

où x est l'allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide. On pose

/ k . . . . .
w = ------ et l'on appelle xl(t) l'allongement de R]. Les cond1t10ns initiales
m

ÎÏ k

dynamique appliqué au solide S que l'allongement xl(t) est donné par :

étant (da) : 0 et x1 (0) : ---n3--g--, déduire du principe fondamental de la
r=0

x1 =--ñ]î--g--+Ækg(t-- SiZOEt]=ËËË+%[u--sin(u)] (avec ca!: u).

Ü 11--En déduire l'évolution temporelle des tensions î}(u)et

Fig-- 3 -' deux ressorts T2(u) de chaque ressort.

D 12 -- Représenter les graphes respectifs de î](u) et de T2(u) et discuter 
leurs possibilités

. . &)
d'mtersectmns (poser 8 = --g------ .
a

E] 13 ---- On considère le cas où les graphes de ]](u) et de Tz(u) se coupent. 
Établir, sous la

T , . . . '
forme f 8 = " , l'e uat10n donnant la valeur hm1te de la secousse, a , en 
dessous de la nelle le
q L q

mg
ressort R1 se casse le premier.

D 14 --Applicatîon numérique : la ten-
sion de rupture est atteinte pour un allonge--

ment de 5,8cm; k=20 N.m"l et m=0,1 kg.

Calculer a,]. On pourra, si besoin est, utiliser
le graphe de la fig. 3.

Vers une modélisation plus réaliste

D 15 -- Peut--être vous est--il apparu avant

même cette question que le traitement des
questions 13 et 14 était sous--tendu par une
hypothèse plutôt discutable sur le comporte-
ment global des ressorts. C'est vrai. Dans quel
arcsin(x) sens un traitement plus réaliste de la situation

affecterait-il la valeur numérique de % '? Il va
de soi que la notion de secousse limite reste

pertinente, seule change la manière de la calculer ; on ne demande ici que des 
arguments qualitatifs et
l'on s'attachera surtout à la plausibilité de l'argumentation.

Fig. 3 : graphe de la fonction

x

Fin de cette partie

Seconde partie: SECOUSSE ET RAYONNEMENT

Nous considérons ici quelques implications d'une formulation classique de la 
théorie du rayon--

nement. Dans un référentiel galiléen, l'accélération a d'une particule 
ponctuelle de masse m soumise à
est donnée par la loi de NEWTON ma= F -

une force F ex, .

... Une particule chargée électriquement et

3/6 Tournez la page S.V.P.

accélérée rayonne un champ électromagnétique. L'ensemble particule-rayonnement 
étant considéré
comme un système isolé, la détermination de la trajectoire doit prendre en 
compte l'existence de ce

rayonnement : le champ rayonné, en effet, véhicule un certain nombre de 
grandeurs dynamiques, en

particulier de l'énergie.
Ordres de grandeur (modèle scalaire, pas de vecteurs, à ce niveau de 
description)

Dans un champ de force extérieur Fax,, une particule de charge q acquiert dans 
le temps T une

accélération a. Un théorème dû à LARMOR stipule alors que, en moyenne dans le 
temps, l'énergie

2 2T
totale rayonnée en champ lointain s'exprime par Ead z ---- q
3 47t£0 c

3 a2(t) (les symboles ont ici leur sens
usuel et la barre de dessus signifie la moyenne temporelle). Si cette perte 
d'énergie est petite devant

une énergie caractéristique du problème, an les effets radiatifs sont 
négligeables. On détermine ici des
1

47%:()

=9><109 m.F_1 et c=3><108 m.s".

conditions sous lesquelles Erad z EO. On prendra

D 16 -- La particule, initialement au repos, soumise à une force extérieure 
dans l'intervalle fini

de temps T, acquiert une vitesse de l'ordre de aT . L'énergie caractéristique 
du problème est
2 l q23

- E0 : m(aT)2. Montrer que les effets radiatifs sont significatifs dès que l'on 
a Tz "L'" ---

Cl 17 ---- Calculer, pour m = 0,9 >< 10"30 kg et q = 1,6 >< 10"19 C , la valeur 
numérique de T. Quelle

distance la lumière parcourt--elle dans le temps "L' '?

Cl 18 --- Le mouvement de la particule est circulaire et quasi périodique, de 
rayon d et de
fréquence angulaire ab. En ordre de grandeur, EO est peu différent de moe0 
2a'2. Donner les expressions

typiques de l'accélération a et de T en fonction de (00 et de d , retrouver le 
critère T == T (en réalité, ce

calcul peut donner aussi bien T z 475%", selon le choix des approximations).

Vers l'établissement d'une forme plausible de la force de réaction

L'équation du mouvement de la particule sera écrite conventionnellement sous la 
forme newto-

nienne ; soit v sa vitesse1 :

m%--É=cht+E,. 111

Pour établir l'expression de la force de réaction F ad qui affecte le 
mouvement, on admet que la

2
. , . . 2 61 a (! )
puissance rayonnee a chaque 1nstant est P(t) = -- 3 .
3 475900

241"a()

...dt, que
3 47t£063

Cl 19 --- Soient deux instants t1 et t_,_ ; interpréter l'équation IZrFad. vd 
t-- -- --Î---
tl

'1

1 . , . , .
En toute r1gueur, le vecteur v est la veloczte. La vztesse v est la norme de v.

4/6

nous allons utiliser désormais.

D 20 -- Intégrer par parties le membre de droite de l'équation de la question 
19. On obtient une
da

équation faisant apparaître l'accélération a et la secousse --C-l--.
!

D 21 ---- Admettant l'hypothèse de SCHOTT : a(t1 ).v(tl) : a(t2).v(t2), montrer 
qu'une expression

plausible de la force de réaction, utilisant la constante ? de la question 16 
est (formule d'ABRAHAM-

LORENTZ) :

2
q Êî=mËÎ'--. [2]

47r£Oc3 dt dt

ra

2
F:--
d3

La mécanique newtonienne en danger ?

Il résulte de [l] et de [2] que l'équation du mouvement de la particule chargée 
est

dt

m(a --- "cg--î] : Fext. [3]

_ Cl 22 -- Retrouve--t-on l'équation de NEWTON pour une particule non chargée ?

Cl 23 -- La force extérieure est nulle. À l'instant initial, l'accélération de 
la particule est
a(0) # 0. Quelle est l'accélération au temps t '? Ce. résultat est--il conforme 
à l'hypothèse de SCHOTT '?

Résolution de l'équation [3] ;_conséquences curieuses
D 24 --- lntroduisant la fonction vectorielle A(t) définie par a(t)= 
A(t)exp(£), établir la
T

solution de [3] sous la forme

ma(t) : --î_--J 0 Fext (u) exp[--£î--£]du. [4]

!
où la détermination de la borne d'intégration to est provisoirement laissée en 
suspens.

D 25 -- Expliquer pourquoi il est numériquement légitime d'accepter pour [4] la 
forme, dite

équation de DIM C-PLASS :

00

ma(t) : Jo Fext ([ + Tu) exp(--u) du. [5]

La forme [5] recèle des difficultés ; l'une d'entre elles est que 
l'accélération au temps [ n'est pas liée à

la force extérieure F (I) au seul temps t (comme l'exigerait la loi de NEWTON), 
mais à la valeur de

ext

cette forcéaux instants postérieurs à. t.

E! 26 -- On suppose ici que la force extérieure est appliquée à partir de 
l'instant initial et qu'elle

est constante au-delà. Montrer que la particule acquiert une accélération avant 
même l'instant

d'application de la force tel est le paradoxe de la préaccélération.

Tournez la page S.V.P.
5/6

Vers une restauration de la causalité ?

Cl 27 ---- Exprimer à partir de [4] l'expression de l'accélération initiale 
a(0) .

t

E] 28 ---- Exprimer a(t) en fonction de a(0) et deJ Fext(u) exp(-- %] du. 
Vérifier que cette écri-
0

ture n'est pas incompatible avec la contrainte lim a(t) : 0.

I----)°°

Cl 29 -- La loi de NEWTON ma : Fext entraîne m[v(t) -- v(0)] : io, Fext(u) du. 
Montrer que si l'on

impose la contrainte lim v(t) : 0, alors une forme de la loi de NEWT ON est

mv(t) : --JÎ Fext (u) du. [6]

Cl 30 -- Selon la relation [6], la vitesse au temps ! semble déterminée par la 
donnée de la force

extérieure aux instants postérieurs à t. Qu'en pensez--vous ?

E] 31 -- On admet que la force extérieure jouit de toutes les propriétés 
requises de dérivabilité et

que, à l'échelle de t', ses variations temporelles sont suffisamment lentes. 
Dès lors, son développement

en série de TAYLOR, par rapport à la variable Tu dans un voisinage de t 
converge assez rapidement.

00

Sous ces hypothèses, et sachant que J u" exp(--u)du : nl, argumenter, à partir 
de la relation [5], que

0

l'on puisse admettre l'équation
ma(ï) : îTn % . [7]

CI 32 -- Dans cette question et dans la suivante, la force extérieure est 
uniforme dans l'espace et

0 t < 0
elle ne dépend pas explicitement'du temps : F(t) ={ . Quel est alors le 
problème posé par

FO t > 0
l'équation [7] ? Cette difficulté n'est pas insurmontable ; on peut se 
rassurer, par exemple en intégrant

[7] entre ---8 et +8 et en faisant tendre 8 vers 0. Le résultat de ce calcul 
est une relation, à trouver,

entre AP , variation brusque de quantité de mouvement en t= 0 , T et F0.

Cl 33 ---- Pour élucider le lien entre la relation trouvée à la question 32 
etles relations non causa--

t
. . F ---- t < 0
les qui la précèdent, revenons à la question 25. Montrer que ma(t) = 0 exp( r) 
. Calculer alors

FO t>O

la quantité de mouvement accumulée pendant la phase de préaccélération, 
c'est--à--dire avant l'instant

d'application de la force extérieure.

Fin de cette partie
FIN DE L'ÉPREUVE

6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-David Picon (École Polytechnique) ; il a été 
relu
par Olivier Choffrut (Mines de Paris) et Fabien Guérin (École Polytechnique).

L'épreuve se compose de deux parties indépendantes faisant toutes les deux 
intervenir la notion de secousse, dérivée de l'accélération.
· La première, qui traite de mécanique, se décompose en deux sous-parties 
indépendantes. Dans la première, on cherche à déterminer le mouvement d'une
assiette posée sur un guéridon dont on retire brusquement la nappe. Dans la
seconde, on étudie le mouvement d'une masse accrochée au plafond par 
l'intermédiaire d'un ressort et sous laquelle pend un autre ressort, identique 
au
premier, sur lequel on tire.
· La seconde partie est consacrée au rayonnement émis par une particule chargée
accélérée. On cherche à modéliser l'influence de ce rayonnement sur le 
mouvement de la particule sous la forme d'une force de réaction.
Le sujet est long mais l'énoncé est très progressif. Si la première partie 
reste proche
du cours, la seconde demande en revanche plus de recul et fait appel aux outils 
du
cours de mathématiques.

Indications
Première partie
3 Comme il y a glissement, la loi de Coulomb donne la composante tangentielle de
la réaction de la nappe sur l'assiette en fonction de sa composante normale.
4 Ne pas oublier la force exercée par l'assiette sur la nappe.
5 Se ramener à des grandeurs usuelles, comme une force ou une masse.
6 Puisqu'il n'y a pas de glissement, on peut traiter le système nappe et 
assiette
comme un seul solide.
9 Si l'on augmente très lentement la force, on peut considérer que S est en 
permanence à l'équilibre. Au contraire, si l'on augmente très rapidement la 
force,
on peut considérer qu'il n'a pas le temps de bouger.

-
10 La force exercée par le ressort R2 sur S est égale à F .
13 R1 cassera le premier à coup sûr si T1 est supérieure à T2 quand on atteint 
Tr .
15 Les ressorts sont-ils élastiques à volonté ?
Seconde partie
-
23 Déterminer 
v (t).
25 Effectuer un changement de variable et supposer que t0 est suffisamment 
grand.
30 Comment l'exemple de la loi de Newton éclaire-t-il les hypothèses effectuées 
aux
questions 24 et 25 ?

I.

Secousses en mécanique

Première expérience
1 D'après le principe fondamental de la dynamique, on sait qu'une force est 
homogène à une accélération que multiplie une masse.
Ainsi

[F] = M L T-2

Or, d'après l'énoncé

-

-i
F = mt

On en déduit donc

[] = L T-3

ce qui, par définition, est homogène à une secousse.
Une première modélisation
2 Dans la suite du problème, on se place dans le référentiel galiléen lié au 
guéridon.

-

On choisit comme repère le repère (O, -
i , k ) avec O le centre du guéridon, -
i le

-
vecteur donné dans l'énoncé et k un vecteur unitaire vertical ascendant.
Contrairement à ce qui est écrit dans l'énoncé, c'est bien sûr le référentiel
qui est galiléen et non le repère ! Choisir un référentiel, c'est se donner un
observateur de référence par rapport auquel on mesure les déplacements des
différentes parties du système étudié. On appelle galiléen un référentiel qui
appartient à la classe des référentiels dans lesquels les lois de Newton sont
vérifiées, notamment le principe fondamental de la dynamique. À un référentiel 
donné correspond ensuite une infinité de repères. Choisir un repère
est équivalent à se donner une origine et un système de coordonnées. Pour
les coordonnées cartésiennes par exemple, cela correspond à se donner une
origine et une base de vecteurs.
Soit P un point de contact entre l'assiette et la nappe à l'instant t = 0+ . Par
définition, la vitesse de glissement -
v
G de l'assiette par rapport à la nappe est égale à

-

v =-
v --
v
G

Pa

Pn

où -
vPa est la vitesse du point de l'assiette qui coïncide avec P à l'instant t = 
0+ et

-
vPn celle du point de la nappe coïncidant avec P au même instant.

-
À t = 0, on applique la force F à la nappe qui acquiert ainsi une accélération

-

selon i . À t = 0+ , sa vitesse en projection sur -
i est donc positive. Comme, à
ce même instant, la vitesse de l'assiette est encore nulle, on en déduit, 
toujours en

projection sur -
i , le résultat recherché. À t = 0+ ,
vG < 0

3 On veut déterminer l'accélération -
aa de l'assiette. Pour cela, on lui applique le
principe fondamental de la dynamique.

-

On note T la composante suivant la direction -
i de la force exercée par la nappe

-
-

sur l'assiette et N la composante suivant k de cette même force. On obtient 
alors
 -
-

M-
a = M-
g +T+N
a

-

-i . Comme on applique une force suivant -

On projette cette relation sur k et 
i,

-
les forces subies par l'assiette suivant k ne varient pas. Celle-ci reste donc 
immobile
dans cette direction. On a donc

0 = N - Mg
M xa = T
où xa est l'abscisse du centre de gravité de l'assiette assimilé à son centre 
Ca .
On utilise dans le corrigé les notations classiques suivantes pour les dérivées
par rapport au temps
dx
d2 x
= x
et
= x
dt
dt2
D'après l'énoncé, on considère que l'assiette glisse sur la nappe. Ainsi, 
d'après la
 -
-

loi de Coulomb, on sait que T et N vérifient

-

-
T =f N
Par conséquent

-

a = f g-
i

On intègre l'équation précédente pour obtenir l'équation horaire du centre de
l'assiette. En considérant que xa (0) = 0 et = xa (0) = 0, on obtient
xa (t) =

f g t2
2

4 L'équation horaire du mouvement du centre Cn s'obtient par la même méthode.
On applique le principe fondamental de la dynamique à la nappe
 -
 -

-
 = --

m-
a
T - N + F + m-
g +R
n

-
où l'on a noté R la réaction du guéridon sur la nappe. En effet, d'après la loi 
de
 -
-

l'action et de la réaction, l'assiette exerce sur la nappe une force - T - N . 
Comme

-

-
il n'y a pas de frottement entre la nappe et le guéridon, R est suivant k . 
Ainsi, de

même que pour l'assiette, le mouvement de la nappe se fait uniquement selon -
i . La
projection sur ce vecteur de la relation précédente conduit à
m xn = -T + F
M
Donc
xn (t) = - f g +  t
m
Les conditions initiales pour le mouvement de la nappe sont les mêmes que celles
utilisées pour l'assiette, à savoir xn (0) = 0 et xn (0) = 0. Après double 
intégration
selon t, on trouve
xn (t) =

 t3
Mf g t2
-
6
2m