Mines Physique 2 MP 2000

Thème de l'épreuve Impact d'une comète sur la Terre; guide d'ondes avec une couche isolante
Principaux outils utilisés mécanique, thermochimie, ondes électromagnétiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


11111.

A 00 PHYS. Il
ECOLE NATIONALE DES PONTS ET cmussEEs,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2000

SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours ENSAE (Statistique), ENSTflVI, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE Il -MP
L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 6 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

- Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même s'il n'a pas été
démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui vous
sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. 
Le barème tiendra compte de ces
initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

L'énoncé de cette épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants.

Premier problème
L'EXTINCTION DES DINOSAURES

Les données numériques nécessaires à la résolution du problème sont présentées 
au fitr et à mesure de
l'exposé des questions ; la lecture de la totalité des questions qui précèdent 
est donc nécessaire à la
résolution de chacune des questions posées. Cependant, de nombreuses questions 
sont indépendantes
les unes des autres : il est possible de répondre à certaines questions sans 
avoir nécessairement résolu
toutes celles qui les précèdent.

Il y a de cela environ 65 millions d'années, les dinosaures et de nombreuses 
autres espèces vivantes,
terrestres et aquatiques, animales et végétales, ont été victimes d'une 
extinction massive et brutale
(événement K/T, à la limite des périodes crétacée (K) et tertiaire (T)). Parmi 
les diverses hypothèses
proposées, celle qui recueille à l'heure actuelle le plus de suffrages dans la 
communauté scientifique
est celle de l'impact d'une comète à la surface de la Terre. Ce problème 
examine quelques-uns des
aspects de la description mécanique et énergétique d'un tel impact.

Première partie -- Les mouvements cométaires

Un ensemble d'astéroïdes de faible dimension se trouve vraisemblablement 
réparti, dans le système
solaire, à grande distance du Soleil (au-delà de l'orbite de Pluton). La masse 
totale de ces astéroïdes
(nuage de Cort) représente environ le tiers de la masse totale des neuf 
planètes et de leurs satellites.
Lorsqu'un de ces astéroïdes est suffisamment dévié de sa trajectoire 
quasi-circulaire par l'effet gravi-
tationnel d'autres astéroïdes et planètes pour s'approcher à très courte 
distance du Soleil, il prend le
nom de comète.

Nous étudions ici les caractéristiques du mouvement d'une comète hypothétique, 
qui pourrait, à cer-
tains égards, ressembler à celle qui fut peut--être responsable de l'événement 
K/T .

Page 1/6 Tournez la page S.V.P.

Comète - Guidage

Cette comète C, de masse m = 2,5 1015 kg, est considérée comme sphérique, de 
rayon rc = 104 m ; sa
trajectoire autour du Soleil est une ellipse très allongée.

La comète C est aussi caractérisée par une distance maximale au Soleil d,... = 
5 104 a, où a = 1,5 10...
m est le rayon de la trajectoire (supposée circulaire) terrestre autour du 
Soleil (a est appelé unité astro--
nomique). Elle est enfin caractérisée par une période de mouvement notée T. On 
note To la période du
mouvement terrestre autour du Soleil.

1. Déterminer numériquement la vitesse vo de la Terre sur son orbite circulaire 
autour du Soleil.

2. On note G la constante de la gravitation universelle et Ms la masse du 
Soleil. Exprimer le pro-
duit G Ms en fonction de vo eta.

3. La distance minimale de C au Soleil est notée d...,. Exprimer, en fonction 
de d...", d......, a et vo,
les vitesses maximale vmax et minimale v...... de C sur son orbite. On pourra 
utiliser des relations
de conservation.

4. Quelle relation doivent vérifier d...... et a pour qu'un impact de C sur la 
surface de la Terre
puisse être envisagé ?
En déduire une évaluation numérique de la plus petite valeur possible pour 
v,....

5. On choisira dans la suite d...... E a. Quelles sont les valeurs extrêmes 
possibles de la vitesse
relative de la Terre et de C (vitesse d'impact) au moment du choc de C sur la 
Terre ?

Deuxième partie -- L 'imgact

L'hypothèse d'un impact de comète a été avancée pour la première fois à la 
suite de la mise en évi-
dence d'une couche, déposée sur toute la surface de la Terre (considérée comme 
une sphère de rayon
RT = 6,4 106 m) de quelques millimètres d'épaisseur, contenant de l'Iridium 
(métal lourd et non radio--
actif) en proportion anormale. La couche (dite K/T) ainsi mise en évidence est 
actuellement enfouie
sous des sédiments plus récents. Elle contient une masse totale d'Iridium 
estimée à 5 108 kg. La pro-

portion usuelle d'Iridium en masse dans la croûte terrestre est de l'ordre de 
10"'°.

6. Par quelle(s) méthode(s), peut-on, à votre avis, déterminer des proportions 
aussi faibles que
celles qui sont citées ci-dessus ?

7. La masse volumique moyenne de la terre est pT = 5,5 103 kg.m". Comparer les 
proportions

d'Iridium dans la couche K/T et dans le reste de la croûte terrestre. Conclure, 
sachant que la

proportion d'Iridium en masse dans les astéroïdes et les comètes est quelques 
dizaines à quel-

ques centaines de fois plus élevée que dans la croûte ter-
; restre.

' ' Au moment de l'impact, nous considérerons que la trajec-
toire de la comète C parvient sur la Terre selon une trajec-
toire verticale, avec une vitesse (relativement au sol terres-

atmosphère tre) égale à v; = 2 104m.s'1, qui reste pratiquement cons-

tante pendant la traversée de l'atmosphère, au-dessus de la
mer où l'impact a eu lieu.

Lors de sa descente dans l'atmosphère, la comète expulse

la totalité de l'atmosphère dans une colonne cylindrique de

rayon rc.

EZ;Z;Z;ZZËZ;ZZZZ;Z;Â 8. Déterminer la masse de cette colonne d'air, sur la

hauteur totale de l'atmosphère. La pression atmosphérique

_ n?er peurs"

Page 2/6

. Physique Il ; année 2000 ; filière MP

au sol est Po = 105 Pa et l'accélération de la pesanteur au sol est g = 9,8 
m.s'2. La hauteur totale
de l'atmosphère, h, est de l'ordre de la centaine de kilomètres (h : 6 ><104 
m). On considérera

que l'intensité et la direction du champ de pesanteur sont constants sur cette 
distance.

9. La variation relative de la vitesse de la comète à l'issue de sa traversée 
de l'atmosphère est
inférieure de 1 % à ce qu'elle serait en l'absence d'atmosphère. Comparer la 
variation de
l'énergie cinétique de la comète, lors de cette même traversée, et la variation 
de son énergie
potentielle de pesanteur.

En déduire, en considérant le transfert d'énergie de la comète à l'air expulsé 
au cours de sa
descente, que la vitesse des molécules d'air au moment où elles quittent cette 
colonne cylin--
drique est de l'ordre de grandeur de vl.

10. En déduire l'énergie cinétique communiquée par la comète à l'atmosphère; 
comparer à
l'énergie cinétique initiale de la comète. Conclure.

La partie de la mer peu profonde (profondeur de l'ordre de100 m) située sur la 
trajectoire de la comète
est instantanément vaporisée et expulsée par la traversée de la comète.

11. La masse volumique de l'eau liquide est po = 103 kg.m'3 ; l'enthalpie de 
vaporisation massique

de l'eau est L = 2,3 106 J.kg". Déterminer l'énergie communiquée par la comète 
à l'océan ;
comparer à l'énergie cinétique initiale de la comète. Conclure.

Troisième partie -- Les retombées de l 'imgact

On considère qu'après l'impact, environ 90 % de l'énergie cinétique de la 
comète sont convertis en
émission de projectiles divers. Après être remontés à travers la colonne de 
vide créée par la chute de la
comète, ces projectiles se répartissent de façon quasi-uniforme sur toute la 
surface de la haute atmos--
phère, à une altitude de l'ordre de h = 6 104 m. La combustion de ces 
projectiles lors de leur retombée

convertit la totalité de l'énergie cinétique en énergie thermique. La durée 
totale de la combustion est
estimée à une heure.

12. Déterminer la puissance totale ainsi rayonnée par la haute atmosphère, et 
la puissance par
unité de surface @ correspondante.

13. On souhaite comparer cette puissance $ au flux solaire moyen «p,. Pour 
déterminer celui-ci, on

assimilera le Soleil à un corps noir sphérique de rayon R, = 7 108 m, dont la 
température de
surface est de l'ordre de T, = 5,7 103 K.

Déterminer le flux solaire moyen cp. reçu à la surface de la haute atmosphère 
terrestre, à la
distance a du Soleil. On rappelle la valeur de la constante de Stefan, (: = 
5,67 10" W.m".K"'.
Comparer q) et cp,. Conclure.

14. Comparer encore la puissance totale due à la combustion et la puissance 
(que vous estimerez)
correspondant à un réacteur (une tranche) de centrale nucléaire de production 
d'électricité.
Conclure à nouveau.

15. La température d'équilibre T, à la surface du sol (en négligeant le 
rayonnement solaire, obs-
1

Z
curci par les retombées de l'impact) peut être évaluée par la relation 7; == 
(2l) (1+ î%Ï--).
O'

Justifier cette relation. Évaluer T e ; conclure.

FIN DE CE PROBLÈME

page 3 /5 Tournez la page S.V.P.

Comète - Guidage

Second problème

ONDES GUIDÉES EN SURFACE

Les ondes électromagnétiques sont susceptibles de se propager dans divers 
milieux. Ce problème
présente une étude du phénomène de guidage d'ondes électromagnétiques entre 
deux plans ; cepen-
dant, il ne s 'agit pas ici de plans métalliques, mais de plans de 
discontinuité des propriétés électri-
ques des matériaux utilisés.

Les vecteurs seront notés par des caractères gras (exemple : E). Les vecteurs 
unitaires du système
d'axes orthonormé (Oxyz) seront notés u,, uy et u,.

On rappelle les valeurs numériques de la célérité de la lumière dans le vide c 
= 3,00 108 ms" et de la
perméabilité magnétique du vide tu; = 4 TE lO'7 Hm".

On rappelle aussi que rot rot U = grad div U - AU, pour toute fonction 
vectorielle U.

Première partie -- .Milieux conducteurs

Nous étudions dans cette partie un milieu décrit par les équations de Maxwell 
relatives au vide, carac-
térisé par la densité volumique de courant j et par une densité volumique de 
charge nulle : p = O.

16. Expliquer en quoi est généralement fausse l'affirmation « Ce milieu ne 
comporte pas de char-
ges, donc le courant électrique y est nécessairement nul ».

17. Écrire les équations de Maxwell vérifiées par le champ électromagnétique 
(E, B) dans ce mi-
lieu.

Le milieu étudié sera provisoirement considéré comme un milieu conducteur 
ohmique, de conductivité
7. Les champs étudiés (E, B, j) sont harmoniques de pulsation a).

18. Quelle approximation classique peut-on faire dans les équations de Maxwell, 
pour les bons
conducteurs ? On discutera des limites en fréquence de cette approximation dans 
le cas du cui--

vre (y = 5,7 107 Sm") et du silicium (y = 3 >< 10'4S.m"). Conclurc, sachant 
qu'on limitera la
suite de l'étude à des ondes de fréquence inférieure à IGHZ.

19. Déterminer, pour un bon conducteur, l'équation vérifiée par le champ 
électrique E seul ; on
. . 2
l'écr1ra en fonction de la grandeur 5 = l .
llon
20. Montrer que, dans un milieu bon conducteur occupant l'espace x > O, 
invariant par translation

dans le plan (Oyz), un champ électrique de la forme :

E(x,t) = E0 exp{i(oe1 _ %)] exp(_%)

est la seule solution des équations de Maxwell compatible avec la géométrie du 
problème.
Commenter ; conclure, numériquement, dans le cas du cuivre à 1MHz.

21. Qu'appelle-t-on approximation des conducteurs parfaits ?

Page 4/6

Physique 11 ; année 2000 ; filière MP

Seconde artie -- Ondes de sur ace

L'espace contient trois régions distinctes (cf. fi-
gure) ; la région I (x > a > O) est vide ; la région
I I (0 < x < a) est constituée d'une mince couche
de milieu isolant, et la région III (x < 0) est
constituée d'un métal parfait).
Dans le métal, le champ électromagnétique est nul.
Dans le vide, les densités volumiques de charge p
et de courant j sont nulles. On admet que, dans la
Disposfifguidanî région isolante, le champ électromagnétique véri-
fie les équations de Maxwell modifiées :

divE=0 rotE=--a--B
ôt
div B = 0 rotB : e,poeo aa--IÎ

où la permittivité relative du, diélectrique EUR, est un nombre réel supérieur 
à 1.

On étudie la propagation dans ces trois régions de l'espace d'une onde 
électr'omagnétique dont le

champ magnétique, porté par le vecteur unitaire uy s'écrit B : Bo(x)uy exp[i(æt 
-- kz)]

et l'on cherche le champ électrique sous la forme E : E0 (x) exp[ i(cot -- kz)]

Les constantes &) et k ont la même valeur réelle positive dans les trois 
milieux, tandis que la fonction

Bo(x) et les trois composantes E0x(X), Eoy(x), Eo,(x) de Eo(x) sont des 
fonctions de x seulement, avec des
expressions différentes dans les trois milieux I, I I et I I I.

22. Exprimer les diverses composantes de Eo(x) en fonction de a), k, Bo(x) et 
de ses dérivées, et

des constantes qui caractérisent le problème, dans la région II.
En déduire les relations analogues s'appliquant dans la région I.

23. Déterminer, dans les régions I et II, les équations différentielles 
vérifiées par la fonction
Bo(X).
24. On cherche une solution des équations de Maxwell (dite onde guidée en 
surface) telle que

l'amplitude du champ magnétique est une fonction exponentielle réelle de x dans 
le milieu I et
une fonction sinusoïdale de x dans le milieu II. On notera ces fonctions BI exp 
(- ax) et

En cos (B x + d)) respectivement. À quelle condition (portant sur k, a), c et 
e,) une telle onde

existe-t--elle ? Déterminer alors a et ,B et montrer la relation (RI) :
2

a2 + [32 = %(e -- 1) (R1)
0
25. Expliquer l'analogie et les différences entre le dispositif présenté ici et 
les guides d'ondes à

parois métalliques étudiés dans le cadre du cours.

Troisième partie -- Relations de passage et modes du gyide d'ondes

À la surface de séparation de deux milieux matériels (vide, métal parfait ou 
isolant), on admettra que
les relations de passage du champ électromagnétique sont les mêmes que celles 
qui sont étudiées dans

Page 5/6 Tournez la page S.V.P.

Comète - Guidage

le cadre du cours pour ce qui concerne les deux composantes (normale et 
tangentielle) du champ
magnétique et la seule composante tangentielle du champ électrique.

En revanche, la relation relative à la composante normale du champ électrique 
ne se généralise pas ici.
On n'étudiera donc pas l'éventuelle discontinuité de cette composante normale 
dans la suite.

D'une façon générale, l'écriture des relations de passage aura pour but de 
relier les expressions des
champs de part et d'autre des surfaces x = 0 et x = a ; on ne cherchera pas à 
déterminer les expressions
des éventuelles densités surfaciques de charge ou de courant.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

Expliquer pourquoi la fonction Bo(x) est continue de part et d'autre de la 
surface x = a.

Exprimer une relation de passage à la surface x = 0 permettant d'obtenir la 
valeur de «p.

Exprimer de même des relations de passage àla surface x = a.

Montrer qu'il n'existe pas de solution de la forme demandée (onde de surface) 
pour certaines
valeurs de (Ba). On supposcra bien sûr dans la suite que la solution cherchée 
existe.

Établir la relation (R2) : fitan(fla) = e,a.

Pour résoudre le système d'équations formé de (R1) [question (24)] et (R2), on 
pourra utiliser
une méthode graphique, en posant X = /3a et Y = aa.
Il n 'est pas nécessaire de disposer d'une calculette graphique, ni même d 'une 
calculette très

performante, pour venir à bout des calculs numériques nécessaires, qui sont 
simples.
Montrer que les solutions de ces équations sont en nombre fini, ce nombre 
dépendant de la

pulsation w. On pourra remarquer que les zéros de la fonction X ---> X tan(X) 
sont les mêmes
que ceux de la fonction X ---> tan(X).

Chaque solution porte le nom de mode du guide. Définir et déterminer la 
pulsation de coupure
a),, du mode numéro n. Expliquer l'analogie avec les modes d'un guide d'ondes à 
parois

métalliques.

FIN DE CE PROBLÈME

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 MP 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nancy Loosemore (ENS Lyon) ; il a été relu par 
JeanDavid Picon (École Polytechnique) et Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon).

Le sujet se divise en deux problèmes indépendants, tous deux se subdivisant en
trois parties, dont presque toutes peuvent être traitées séparément.
Le premier problème étudie l'impact d'une comète sur la Terre. Une section 
utilise
les notions de forces centrales ; elle concerne le mouvement de la Terre et de 
la comète
avant la collision. La suite fait intervenir de la mécanique plus générale, 
ainsi que
quelques notions de thermodynamique. On y étudie la descente de la comète à 
travers
l'atmosphère, puis les conséquences pour le bilan énergétique de la surface de 
la Terre.
Le second problème porte sur les ondes électromagnétiques. Après avoir étudié
les milieux conducteurs, le sujet se tourne vers l'étude d'un guide d'ondes, 
qui diffère
des guides d'ondes « classiques » par l'existence d'une couche isolante entre 
métal et
vide. On utilisera ici les relations de passage des champs à la surface de 
séparation
entre les milieux.

Indications

Premier problème
3 Utiliser la conservation de l'énergie, la conservation du moment cinétique 
bien
entendu, ainsi que le fait qu'aux points dmin et dmax , on a r = 0. 
C'est-à-dire que
la vitesse est orthoradiale... Ceci donne deux équations contenant v min et v 
max .
5 L'obtention de la vitesse relative nécessite de considérer la direction des 
mouvements de la Terre et de la comète.
7 Estimer la masse de la couche dans laquelle se trouve la concentration la plus
élevée d'iridium.
8 C'est le poids de cette colonne d'air qui génère la pression P0 à la surface 
de la
Terre.
9 Bien noter toutes les variables du problème en distinguant les deux cas : avec
et sans atmosphère. Pour estimer la différence de variation d'énergie cinétique 
et
potentielle, il faudra entre autre calculer la vitesse de la comète et de la 
surface de
la Terre, dans le cas sans atmosphère, estimer la masse de l'atmosphère, ainsi 
que
relier G à g pour obtenir une valeur numérique de G, non fournie par l'énoncé.
12 On parle ici de la puissance par unité de surface au niveau de la haute 
atmosphère.
14 Essayer d'estimer l'ordre de grandeur.
15 Effectuer un bilan énergétique pour la surface de la Terre. Attention au 
fait que
la puissance rayonnée par le projectile n'est pas entièrement dirigée vers le 
sol.

Second problème
18 Un bon conducteur a une conductivité élevée. On peut donc s'attendre à ce que

-

-

-
E
0
soit négligeable devant j . Reste à le vérifier en utilisant le fait que E est
t
harmonique...
19 Utiliser la formule du début avec trois des équations de Maxwell.

-
20 Le champ électrique respecte les invariances de l'espace. De plus, sachant 
que E
est harmonique, on pourra chercher les solutions sous la forme

-

-
E (x, t) = E (x)eit . Il faut alors résoudre une équation du second ordre en
x.

-

-

E
- -
22
peut être relié à E encore une fois. L'équation à utiliser est donc rot B =
t

-
E
 r  0 µ0
.
t
23 Se rappeler de la question 19.
24 Les équations de la question 23 étant de la forme B0  (x) + aB0 (x) = 0, 
discuter
la forme des solutions en fonction du signe de a.
26 Le milieu II est un isolant. Il ne peut pas supporter de courant surfacique.
29 S'intéresser aux signes de  et  permet de conclure que les membres de droite
des deux équations de la question précédente ont même signe...

31 Tracer les deux courbes. Celle en X tan X peut être faite très 
approximativement.
Ceci permet de visualiser où se trouvent les solutions, en gardant à l'esprit 
les
signes de  et .
32 Le ne mode n'existe que si la pulsation  est suffisamment élevée...

Premier problème : l'extinction des dinosaures

Première partie : mouvements cométaires

1 D'après l'énoncé, l'orbite de la Terre est supposée circulaire. La vitesse 
angulaire
de la Terre est donc constante. Notons-la . On a les deux relations
2
v0 = a  et  =
T0
Sachant que T0 = 365 jours, la vitesse vaut
v0 = 3, 0 .104 m.s-1
2 Projetons la relation fondamentale de la dynamique radialement, sachant que la
Terre n'est soumise qu'à l'attraction gravitationnelle du soleil. Puisque son 
orbite est
supposée circulaire, son accélération radiale peut s'écrire
ar = -

v2
r

Avec v = v0 et r = a ici, on obtient
-
soit

v0 2
G MS MT
= -MT
2
a
a
G MS = a v0 2

3 La conservation de l'énergie de la comète s'écrit
1
G MS m
m v2 -
= Cte
2
r
v max correspond donc au point où la distance entre comète et soleil est 
minimale et
v min au point où cette distance est maximale.
Par conséquent,

1
G MS m
1
G MS m
m v max 2 -
= m v min 2 -
2
dmin
2
dmax

(1)

Une deuxième relation s'obtient à partir de la conservation du moment cinétique,
qui est assurée ici parce que le système est un système à force centrale.
Il vient

m r2  = Cte

Aux points où r = dmin et r = dmax , la vitesse de la comète est dirigée 
orthoradialement (en effet, par définition de ces points r = 0 donc v = r) et 
par conséquent
v max = dmin max

v min = dmax  min