Mines Physique 1 MP 2014

Thème de l'épreuve De la physique autour d'un tore
Principaux outils utilisés mécanique du solide, électromagnétisme, induction, diffusion thermique
Mots clefs pince ampèremétrique, torique, modèle de Drude, moment d'inertie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (EILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (EILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2014
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ] -- MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il aura été amené a prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter a formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

DE LA PHYSIQUE AUTOUR D'UN TORE

Ce sujet comporte quatre parties totalement indépendantes qui explorent les 
propriétés phy--
siques d'objets de forme torique. Un tore est le volume généré par la 
révolution autour d'un
axe d'une figure géométrique donnée (dans le problème, ce sera un rectangle ou 
un cercle, voir
figure 1) appelée section et inscrite dans un plan passant par l'axe. Les 
vecteurs sont surmontés
d'un chapeau s'ils sont unitaires (Üz) ou d'une flèche dans le cas général (5).

Axe Axe

Tore à section
rectangulaire

Tore à section
circulaire (bouée)
l l

FIGURE 1 -- Deux types de tores

De la physique autour d'un tore

I. -- Modélisation d'un hulahoop

Le hulahoop est un cerceau en plastique que l'on fait principalement tourner 
autour de la taille
par un déhanchement rythmé très en vogue dans les années 1960. Pour notre 
modélisation,
nous l'assimilerons a un tore de section rectangulaire en rotation autour d'un 
arbre cylindrique
ficce et vertical, d'axe (O,z) et de rayon 7°, dans le référentiel terrestre 
supposé galiléen RO. Le
tore est de masse volumique ,u homogène, ses dimensions sont les suivantes : le 
rayon du cercle
intérieur est a, celui du cercle extérieur 19 et son épaisseur selon (O,z) vaut 
c. On note G son
centre d'inertie et A son axe de symétrie, dont la direction reste parallèle a 
(0,71) : on peut donc
identifier A : (G,z). On donne l'expression du moment d'inertie d'un cylindre 
de rayon R et
de masse M par rapport a un axe de révolution confondu avec l'axe du cylindre : 
J : %MR2.

Tore , G
9
Vu,

Üy

@, @,

Base cartésienne
FIGURE 2 -- Rotation du hulahoop
Ü 1 -- Justifier que le moment d'inertie autour d'un axe A donné de l'ensemble 
constitué par

la superposition de deux distribution de masses 81 et 82 disjointes est la 
somme des moments
d'inertie de 81 et 82 par rapport a cet axe.

Ü 2 -- Déterminer le moment d'inertie J du tore par rapport a l'axe (G,z) en 
fonction de ,u,
a, b et c.

Le contact entre la paroi intérieure du tore et le cylindre vertical se 
répartit sur un segment
vertical dont on note ] le milieu. Il y a roulement sans glissement entre les 
deux solides. On note
f le coefficient de frottement statique au niveau de ce contact. On note @ = Q 
"ÜZ le vecteur
vitesse angulaire de rotation du tore autour de son axe A. La position de G est 
repérée par

l'angle 9 : (Ü...O(È).

Ü 3 -- Établir la relation entre 9 et Q associée a l'hypothèse de roulement 
sans glissement.

En déduire l'expression de l'énergie cinétique du tore dans le référentiel R0 
en fonction de
2 2
JO : u7rc(b2 -- a2)% et Q.

Ü 4 -- On suppose que Q est constante. Déterminer les composantes des forces 
subies par le
tore au contact avec le cylindre vertical. En déduire a quelle condition sur Q 
l'hypothèse de
roulement sans glissement est justifiée. Décrire qualitativement ce qui se 
passe lorsque cette
condition n'est plus vérifiée.

Page 2/6

Physique [, année 2014 -- filière MP

On suppose maintenant que l'hypothèse de roulement sans glissement est vérifiée 
mais qu'on
observe une adhérence du tore sur le cylindre qu'on modélise par la création 
d'une force de
liaison attractive  = AÛT entre le cylindre et le tore localisée en un point B 
représenté sur
la partie droite de la figure 2 et voisin de ] tel que [? = 6%. On donne la 
vitesse angulaire
initiale Q0 du tore.

Ü 5 -- En utilisant par exemple le théorème de la puissance cinétique, établir 
la loi d'évolution
Q(t) et conclure quant a la pratique du hulahoop.

FIN DE LA PARTIE I

II. -- Étude d'un conducteur ohmique torique

Un conducteur ohmique est caractérisé
par une conductivité électrique y de l'or--
dre de 108 S - m_1. Il forme un tore
tronqué de section rectangulaire de ra--
yon intérieur &, de rayon extérieur (9,
d'épaisseur 0.

On cherche a déterminer la résistance
orthoradiale R d'une portion de ce con--
ducteur comprise entre les angles 9 = 0
où on applique un potentiel uniforme
V = U et 9 = oz où on applique un
potentiel V = O.

Fo%

FIGURE 3 -- Portion d'un conducteur torique

Ü 6 -- On rappelle la valeur numérique

1

de la constante 50 = Î - 10_9 dans les unités du système international. 
Rappeler le nom et
77

l'unité pratique de cette constante.

Ü 7 -- Établir, dans un conducteur ohmique, l'équation différentielle vérifiée 
par la densité
volumique de charge p. En déduire que p : () tant que la durée T 
caractéristique de variation
des grandeurs électromagnétiques est très supérieure a une durée 7' dont on 
donnera l'expression
en fonction de y et 50 ainsi que la valeur numérique.

Ü 8 -- Montrer qu'un terme peut être négligé dans l'équation de Maxwell--Ampère 
si T >> 7'.

Ü 9 -- Établir l'équation vérifiée en régime permanent et dans le conducteur 
ohmique par le
potentiel électrique V.

Ü 10 -- On suppose que V ne dépend que de l'angle 9 en coordonnées cylindriques 
et on donne,
dans ce système de coordonnées, les expressions du gradient du potentiel gradV 
= lô--VÜ9 et de

r 89
son laplacien AV = 5%. Déterminer les expressions de V(9), du champ E et de la 
densité

de courant ;.

Ü 11 -- Déterminer l'expression de l'intensité totale ] traversant une section 
rectangulaire
droite quelconque de ce tore. En déduire sa résistance orthoradiale R en 
fonction de a, b, 0, y
et or.

Ü 12 -- Rappeler l'expression de la résistance d'un conducteur filiforme de 
section S et de
longueur L. Vérifier qu'elle est cohérente avec l'expression du conducteur 
torique quand () est
très proche de &.

FIN DE LA PARTIE II

Page 3/6 Tournez la page S.V.P.

De la physique autour d'un tore

III. -- Etude d'une pince ampèremétrique

:i _ Une pince ampèremétrique est un appareil dont l'extrémité possède
'1 la forme d'un tore. En disposant ce tore autour d'un conducteur
, M parcouru par un certain courant le dispositif équipant la pince

A\1üg permet d'en mesurer l'intensité.
"9 % Son principal intérêt est l'absence de contact physique avec le

0 u,. . ,. . , . , . . .

conducteur et le fait qu Il ne s01t pas necessaire d ouvrir le c1rcu1t

pour mesurer le courant qui le traverse contrairement a l'implan--
tation d'un ampèremètre classique.

?; A\Fil à tester Le dispositif de mesure de la pince ampèremétrique est formé 
d'un
bobinage torique comportant N spires enroulées sur un tore de
section rectangulaire de rayon intérieur &, de rayon extérieur 19,
d'épaisseur c, d'axe (0,71). Le fil conducteur utilisé pour le bobi--
nage possède une résistance linéique À.

FIGURE 4 -- Partie active
de la pince

Un point M intérieur au tore est repéré par ses coordonnées cylindriques : Oîl 
: 7°"lî,» + zÛZ
avec 7° EUR [61,19] et ?: EUR [O,c].

Un fil rectiligne infini de même axe (O,z) est parcouru par un courant 
d'intensité i(t). On note
i1(t) l'intensité du courant circulant dans la bobine torique. On se place dans 
l'approximation
des états quasi--stationnaires.

Ü 13 -- Rappeler ce qu'on appelle approximation des états quasi--stationnaires. 
Montrer que
cette approximation permet de simplifier l'équation de Maxwell--Ampère. Enoncer 
dans ce cas
le théorème d'Ampère.

Ü 14 -- Montrer qu'au point M intérieur au tore, le champ magnétique peut se 
mettre sous
la forme B : B(r)Ûe où l'on précisera l'expression de B (7°) en fonction de 
u... i(t), i1(t), N et
7°.

Ü 15 -- Calculer le flux (I) de Ë a travers le bobinage et en déduire les 
expressions des
coefficients d'autoinductance L du bobinage et de mutuelle inductance M entre 
le fil et le
bobinage.

Ü 16 -- Déterminer l'expression de la résistance totale Rp du bobinage en 
fonction de a, b, e,
N et À.

On se place en régime sinusoidal forcé avec i(t) : I.../Ï cos(wt) associée a 
l'intensité complexe
@ : Ioflejw' et i1(t) : 11\Æcos(wt + gpl) associée a l'intensité complexe 21 : 
Ilflejwtejfil.
Ü 17 -- Le bobinage formant un circuit fermé, déterminer l'expression de la 
fonction de

@
transfert fi : i en fonction de M , w, Rp et L.
@

Ü 18 -- Dans quel régime de pulsation ce dispositif peut--il former une pince 
ampèremétrique ?

FIN DE LA PARTIE III

Page 4/6

IV. -- Étude thermique d'un objet torique

Un tore de section carrée a >< a et de rayon intérieur
a (donc de rayon extérieur 2a) est fabriqué dans un
matériau de masse volumique ,u, de capacité calorifique
massique c et de conductivité thermique À.

Le profil des températures possède la symétrie cylin-

drique : T ne dépend que du rayon 7° et du temps 15 soit

vide T(r,t). La face intérieure (7° = a, 9 EUR [0,27r[, Z EUR [O,a])

et la face extérieure (7° = 2a, 9 EUR [0,27r[, Z EUR [O,a]) sont
placées dans le vide.

Disques isolants

et réfléchissants Sur les faces parallèles (z = 0 ou z = a), on pose

deux disques parfaitement isolants thermiquement et
< de surface parfaitement réfléchissantes.

Ü 19 -- En effectuant un bilan thermique sur la per-
FIGURE 5 _ Vue éclatée du système. tion torique définie par l'intervalle [7°,7° 
--l-- dr], montrer
L'axe (O)z) est celui du tore que le champ des températures vérifie l'équation

ô_T
ÔT : 8 (T 87°)
Ôt Ô7°
où l'on exprimera EUR en fonction des grandeurs caractéristiques du matériau et 
l'on précisera son
unité.

57°

Ü 20 -- On cherche, pour cette équation, une solution stationnaire à variables 
séparées sous
la forme T (7°,t) = p(r)n(t). Etablir les deux équations différentielles 
vérifiées respectivement par
p(7°) et 7y(t) en faisant apparaître une constante X commune a ces deux 
équations.

Ü 21 -- Déterminer l'expression de 7y(t) sans chercher à caractériser la ou les 
constantes
d'intégration. Quel est le signe de X ?

Ü 22 -- Pour la fonction p(7°), on cherche une solution développable en série 
entière sous la
00
ferme p(7°) = z ozn7°n. Après avoir rapidement justifié cette recherche, 
déterminer les expres-
n=O
siens des 042}, et des ng+1 pour tout entier p positif ou nul.
Ü 23 -- En examinant tous les transferts thermiques possibles sur la face 
interne, justifier le
d
fait que --'0 = O.
dlr 'Ï'=OE
p(7°) La fonction p(7°) qui admet le développement en série déterminé
170 a la question 22 et qui vérifie la condition aux limites imposée
___________ par la question 23 s'exprime en utilisant les fonctions de Bessel
078 de première (J) et de deuxième (Y) espèces. Elle s'écrit
0,6 EUR J1(a)
....................... p7° =K J07° -- Y07°
ê ; T ( > < ) Y1 (a) < )
0,4 '
075 170 175 270 où K est une constante d'intégration. La courbe représentative

FIGURE 6 -- La fonction p(T) de cette fonction sur le domaine d'étude et pour K 
= 1 et a = 1
fait l'objet de la figure 6.

De la physique autour d'un tore

Ü 24 -- À un instant t donné, on suppose que la face externe, assimilée a un 
corps noir,
est en quasi équilibre thermique. En utilisant la loi de Stefan--Boltzmann, 
établir la deuxième
condition aux limites vérifiée par p en 7° : 2a. Montrer que l'on arrive alors 
a une contradiction.
Quelle hypothèse doit--elle être remise en question ?

Ü 25 -- En admettant que la solution précédente convienne malgré tout, décrire 
l'évolution
de la température dans le tore au cours du temps en traçant sur un même 
graphique les profils
des températures a diverses dates. Justifier en particulier le fait que T tend 
uniformément vers
zéro.

FIN DE LA PARTIE IV

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE).

Cette épreuve étudie quelques propriétés d'un tore à travers quatre exercices
indépendants.
· Le premier exercice étudie sommairement le « fonctionnement » d'un hulahoop.
Les premières questions visent à obtenir l'expression du moment d'inertie du
tore autour d'un axe. Seules les deux dernières questions concernent l'étude
dynamique proprement dite. Même s'il n'est pas difficile et abordé ici d'une
façon un peu originale, le calcul du moment d'inertie n'est pas vraiment dans
l'esprit du programme.
· Le deuxième exercice vise à exprimer la résistance d'un conducteur ohmique
ayant la géométrie d'un tore. À partir des équations de Maxwell, on redémontre
la neutralité d'un conducteur puis on résout l'équation de Laplace qui régit le
potentiel électrique, ce qui permet d'établir la loi d'Ohm dans cette géométrie.
Très détaillée, la démarche proposée est analogue à celle qui a été effectuée en
cours pour un conducteur cylindrique.
· Dans le troisième exercice, on étudie une pince ampèremétrique. Ce dispositif
permet, par induction, de mesurer un courant d'intensité importante circulant
dans un fil. Un des avantages de ce dispositif est qu'il n'y a pas besoin 
d'ouvrir
le circuit pour insérer l'instrument de mesure, comme on doit le faire pour
utiliser un ampèremètre. Le calcul est conduit en passant par la détermination
du flux du champ magnétique à travers le tore. On termine en précisant les
conditions de fonctionnement d'une telle pince grâce à l'étude de sa fonction
de transfert.
· La quatrième partie est une étude thermique d'un objet torique placé dans le
vide. Après l'établissement de l'équation de la diffusion thermique dans cette
géométrie, on poursuit avec une étude semi-qualitative du profil de température.
Pour cela, on détermine d'abord les conditions aux limites, ce qui implique de
conduire des raisonnements simples mais qui nécessitent de passer en revue
tous les modes de transfert thermique possibles. On termine en utilisant la loi
de Stefan.
L'ensemble n'est pas très difficile et reste proche du cours. Seule la dernière 
partie
est un peu plus poussée. Cela en fait tout de même une épreuve relativement 
difficile
à traiter dans le temps imparti puisqu'il faut changer de thématique après 
seulement
quelques questions.
L'ensemble des points abordés dans cette épreuve figure toujours au programme
en vigueur à la rentrée 2014.

Indications
Partie I
2 Le tore peut être vu comme un cylindre « évidé », c'est-à-dire que l'on peut 
voir
un « grand » cylindre comme un « petit » cylindre plus un tore, ce qui permet de
trouver J à partir de la question 1.
4 Appliquer le théorème de la résultante dynamique au tore. Supposer que le 
mouvement du tore reste horizontal et remarquer que G a alors un mouvement 
circulaire
uniforme.
5 Seule la force d'adhérence a une puissance non nulle. Sans hypothèse 
supplémentaire sur A, on ne peut pas intégrer l'équation différentielle qui 
régit l'évolution
d
.
de  mais on peut interpréter
dt
Partie II
9 En régime permanent, l'équation de Maxwell-Faraday permet d'introduire le 
potentiel électrique. Utiliser également l'équation de Maxwell-Gauss (avec  = 
0).
11 L'intensité I qui traverse une section droite  d'un conducteur est
ZZ

-

-
I=
 · dS

Partie III
14 Supposer que le nombre N de spires est grand. Les sources du champ magnétique
sont le courant i1 dans le tore et le courant i dans le fil. Une étude des 
symétries et

-
invariances conduit à B = B(r, z, t)c
u . Appliquer ensuite le théorème d'Ampère
et vérifier que la composante orthoradiale du champ ne dépend pas de z. Si les
courants i1 et i dépendent du temps, le champ magnétique en dépend.
15 Le flux à travers le bobinage est égal à N fois le flux à travers une spire.
17 Écrire l'équation électrique soit en considérant des inductances L et M en 
série
avec une résistance Rp , soit en utilisant la loi de Faraday pour déterminer la 
f.é.m.
totale du circuit qui est alors uniquement constitué de la résistance Rp .
18 Le principe de la mesure est de mesurer i1 et d'en déduire i. Il faut donc 
que
la relation liant ces deux grandeurs soit linéaire et indépendante de la forme 
du
signal (notamment de sa pulsation).
Partie IV
19 Appliquer le premier principe à la portion torique proposée. La puissance 
transférée par conduction à travers un cylindre est égale au flux du vecteur 
densité de

courant thermique -
 à travers la surface de ce cylindre.
23 Les transferts thermiques peuvent être de trois natures distinctes : 
conductifs,
convectifs ou radiatifs.

De la physique autour d'un tore
I. Modélisation d'un hulahoop
1 Par définition, le moment d'inertie d'un solide S autour d'un axe  est
Z
J=
r2 dm
MS

où r désigne la distance entre l'axe  et le point M. Si S peut être décrit comme
deux solides disjoints S1 et S2 , l'intégrale sur S est la somme des deux 
intégrales
sur S1 et S2 :
Z
Z
2
JS1 S2 =
r dm +
r2 dm
M  S1

M  S2

2 Le moment d'inertie d'un cylindre de hauteur c, de rayon b et de masse Mb est,
d'après l'indication de l'énoncé,
1
Mb b2
2
Quant à celui d'un cylindre de hauteur c, de rayon a et de masse Ma , c'est
Jb =

1
Ma a2
2
D'après la question précédente, on peut écrire
Ja =

Jb = Ja + J
Il ne reste qu'à exprimer les masses des deux cylindres
Ma = µ  c a2
donc

J=

et

Mb = µ  c b2

1
µ c (b4 - a4 )
2

On pouvait faire un calcul direct à partir de la définition du moment d'inertie
Z c Z b
Z c Z b
Z b
J=
r2 dm =
r2 (2µrdr dz) = 2µ c
r3 dr
z=0 r=a

z=0 r=a

r=a

Cela conduit bien au même résultat.
3 Le roulement sans glissement peut se traduire formellement par la relation 
suivante au point de contact I entre l'arbre et le tore :

-

v (I  tore) = -
v (I  arbre)
-

-
Or, l'arbre étant fixe dans le référentiel R0 , 
v (I  arbre) = 0 . En utilisant par

-
ailleurs la relation de cinématique pour un solide dont le vecteur rotation est 
 ,
 -
-

-

v (I  tore) = -
v (G) +   GI

 -
-
 -

-

v (G) +   GI = 0

il vient

-
 
v (G) = OG  u
c = (a - r)  u
c

-
-

   GI = ( u
cz )  (-ac
ur ) = -a  c
u

Or,

Finalement,

 =

a

a-r

D'après le théorème de König, l'énergie cinétique du tore de masse
m =  µ c(b2 - a2 )
est la somme de deux termes :

2
2
1 
1
E c = m-
v (G) + E c =  µ c(b2 - a2 ) (a - r)  + E c
2
2
où E c est l'énergie cinétique barycentrique, qui s'écrit, dans le cas de la 
rotation
autour d'un axe fixe,
E c =

1
1
a2 + b 2 2
J 2 = µ c (b2 - a2 )

2
2
2

En remplaçant (a - r)  par a , on obtient bien
Ec =

1
J 0 2
2

avec

J0 =  µ c(b2 - a2 )

3a2 + b2
2

4 Dans le référentiel galiléen R0 , le tore est soumis à
· son poids -m gc
uz ;

-
 -
-

-
· une force de contact au niveau de l'arbre : R = T + N ; la force N est la

-
réaction normale et la force T , qui traduit les frottements solides, est 
opposée
à la vitesse de glissement.

-

-
Compte tenu de la géométrie, on peut écrire a priori, N = Nr u
cr et T = T u
c +Tz u
cz .
Le théorème de la résultante dynamique s'écrit

d-
v (G)
m
= -m gc
uz + N c
u r + T u
c + Tz u
cz
()
dt

Puisque  est supposé constante, il en est de même pour  en raison du roulement
sans glissement. Par conséquent, G a un mouvement circulaire uniforme de vitesse
angulaire  et de rayon (a - r) autour du point O, donc

d-
v (G)
= -(a - r)2 c
ur
dt

En remplaçant  par son expression en fonction de , il vient

a2
d-
v (G)
m
= -m
2 u
cr
dt
a-r
En projetant la relation (), on trouve
N = -m

a2
2
a-r

T = 0

Tz = mg